Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNMai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN H

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Vũ Văn Khương

2 PGS.TS Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sựhướng dẫn của PGS TS Vũ Văn Khương và PGS TS Đặng Đình Châu.Các kết quả được công bố trong 05 bài báo, trong đó có 04 bài báo viếtchung đã được đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án Các kết quảđược phát biểu trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công

bố trong các công trình của tác giả nào khác

Tác giả

Mai Nam Phong

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tâm vàquý báu của PGS TS Vũ Văn Khương và PGS TS Đặng Đình Châu.Các Thầy đã dành nhiều công sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiêncứu khoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên những khó khăn tronghọc tập và cuộc sống Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắcnhất đối với các Thầy

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giảluôn nhận được sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của các Thầy, Cô trong

bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cácThầy, Cô

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, PhòngĐào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học TrườngĐại học KHTN Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trìnhtác giả học tập và hoàn thành luận án này

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủnhiệm Khoa Khoa học Cơ bản và các đồng nghiệp trong Bộ môn Giảitích, Trường Đại học Giao thông Vận tải đã hết sức quan tâm, động viên

và giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian và điều kiện để chuyên tâmnghiên cứu khoa học

Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, động viên,giúp đỡ của những người thân trong gia đình Tác giả xin trân trọng kínhtặng Gia đình thân yêu món quà tinh thần này với lòng biết ơn chânthành và sâu sắc

MỤC LỤC

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3 Các ký hiệu 5 Lời mở đầu 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Phương trình sai phân cấp cao 12

1.1.1 Các định nghĩa về ổn định 12

1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa 14

1.1.3 Các khái niệm về dao động 15

1.2 Hệ phương trình sai phân 16

1.2.1 Các định nghĩa về ổn định 16

1.2.2 Một số kết quả về ổn định của hệ hai phương trình sai phân 18 Chương 2 Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ 20 2.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ 20

2.1.1 Đặt vấn đề 20

2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4) 22

2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.5) 27

2.2 Tính ổn định của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ 33

2.2.1 Đặt vấn đề 33

2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng 35

Chương 3 Hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 50 3.1 Tính bị chặn và ổn định của một dạng hệ phương trình sai phân

phi tuyến 50

3.1.1 Đặt vấn đề 50

3.1.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (3.3) 52

3.1.3 Các ví dụ minh họa 65

3.2 Tính bị chặn, tính ổn định và tốc độ hội tụ nghiệm của một dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 71

3.2.1 Đặt vấn đề 72

3.2.2 Dáng điệu toàn cục của nghiệm hệ phương trình sai phân 73 3.2.3 Các ví dụ minh họa 76

3.2.4 Tốc độ hội tụ 82

3.2.5 Các ví dụ minh họa 86

Danh mục các công trình của tác giả có liên quan tới luận án 94

CÁC KÝ HIỆU

Rk không gian vectơ thực k−chiều

xT chuyển vị của vectơ x ∈ Rk

x ∈ A phần tử x thuộc tập A

x /∈ A phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B (B ⊃ A) tập A là con của tập B

A * B tập A không là con của tập B

A ∩ B giao của hai tập A và B

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình sai phân chiếm một vị trí quan trọng trong hệ động lực rờirạc Các phương trình sai phân xuất hiện một cách tự nhiên như các môhình rời rạc hay nghiệm bằng số của các phương trình vi phân-mô hìnhcủa nhiều hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh học, vật lý, kỹthuật, kinh tế,

Việc nghiên cứu định tính các phương trình và hệ phương trình saiphân phi tuyến đã được tiến hành từ rất lâu, song nó được phát triểnmạnh mẽ từ những năm 90 của thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế

kỷ XXI Ở nước ngoài, có thể đến các nghiên cứu của R.P Agarwal [1],

G Ladas, A.M Amleh, E.A Grove, D.A Georgiou, R.C DeVault, S.W.Schultz [3, 17, 18, 33, 40, 41], L Berg [6, 7, 8, 9, 12], E.M Elsayed [21, 22,23], M R S Kulenovi´c, O Merino, M Nurkanovi´c, Z Nurkanovi´c [36, 37,

38, 39], G Papaschinopoluos, M.A Radin, C.J Schinas, G Stefanidou[50, 53], X Li, D Zhu [43, 44, 45, 46], S Stevi´c [54, 55, 56, 57, 58, 59,

60, 61], S Stevi´c, J Diblík, B Iriˇcanin, Z ˇSmarda [62, 63], Ở trongnước, các kết quả về phương trình sai phân phi tuyến có thể xem trongcác nghiên cứu của Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Sinh Bảy [4, 5, 51], Đặng VũGiang, Đinh Công Hướng [24, 25, 28], Vũ Văn Khương [30, 31, 32].Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức là nghiên cứu các tínhchất và dáng điệu các nghiệm của chúng mà không cần xác định côngthức nghiệm tường minh Như chúng ta đã biết, chỉ một số lớp phươngtrình có dạng đặc biệt mới có thể tìm được công thức nghiệm tường minhcủa nó Do đó, nói chung việc xác định công thức nghiệm của một dạng

phương trình sai phân nào đó thường gặp khó khăn, hoặc nếu xác địnhđược thì công thức thường ở dạng phức tạp, dẫn đến những hạn chế nhấtđịnh trong việc nghiên cứu tính chất của chúng Một số vấn đề tiêu biểu

mà lý thuyết định tính phương trình sai phân quan tâm là: tính dao động,tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính bị chặn, khoảngbất biến của nghiệm,

Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiêncứu về phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rấtquan trọng, vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản

về dáng điệu toàn cục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắtnguồn từ các kết quả của phương trình sai phân hữu tỷ

Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế đượcrời rạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, cóthể kể đến một số mô hình sau đây:

• Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm, xem trong [33]:

x−k, , x0 ∈ [0, ∞)

• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R.M May

đề xuất, xem trong [36]:

xn+1 = α + βxn + γxn−1

A + Bxn + Cxn−1, n = 0, 1, 2, , (4)trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1, x0

là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương

Trong một số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở về các dạngphương trình đã nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà nghiêncứu:

• Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành

xn+1 = α + βxn

A + Bxn, n = 0, 1, 2, , (5)với tên gọi Phương trình sai phân Riccati, phương trình này đã đượcnghiên cứu trong [1, 19, 33]

• Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành

xn+1 = βxn

A + Cxn−1

, n = 0, 1, 2, , (6)

có tên là Phương trình sai phân Pielou, các tính chất của nghiệm

đã được trình bày trong [33]

• Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành

xn+1 = α + βxn

Cxn−1 , n = 0, 1, 2, , (7)với tên gọi Phương trình sai phân Lyness, phương trình này đã đượcnghiên cứu trong [33]

Năm 2008, trong [14], E Camouzis và G Ladas đã trình bày những kếtquả về tính bị chặn của nghiệm, tính ổn định của điểm cân bằng và tínhtuần hoàn của nghiệm lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp ba có dạng

xn+1 = α + βxn+ γxn−1+ δxn−2

A + Bxn+ Cxn−1 + Dxn−2, n = 0, 1, 2, , (8)trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu

x−1, x0 là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương

Trong thời gian gần đây, ngoài những nghiên cứu về các dạng phươngtrình thuộc lớp các phương trình sai phân hữu tỷ (4) và (8) còn có rấtnhiều các nghiên cứu về các dạng khác nhau của phương trình sai phânhữu tỷ, có thể kể đến các nghiên cứu của L Berg và S Stevi´c [9, 12], K.Berenhaut và S Stevi´c [10, 11], S Stevi´c [54, 55], X Li [43, 44], .Một dạng phương trình sai phân phi tuyến khác cũng thu hút được

sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học, đó là phương trình chứa biểuthức dạng mũ ở vế phải, các phương trình dạng này thường được mô tảnhư mô hình dân số của một loài, có thể kể đến một số mô hình tiêu biểusau:

• Mô hình dân số của loài bọ cánh cứng, xem trong [34]:

xn+1 = axn + bxn−2e−c1xn−c2xn−2, n = 0, 1, 2, , (9)trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1, c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > 0 và cácgiá trị ban đầu x−2, x−1, x0 là các số thực dương

• Mô hình dân số của loài muỗi, xem trong [26]:

xn+1 = (axn + bxn−1e−xn−1)e−xn, n = 0, 1, 2, , (10)trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), các giá trị ban đầu x−1, x0 là các sốthực dương

• Mô hình loài ruồi xanh do Nicholson đề xuất, xem trong [33]:

xn+1 = (1 − α)xn + βxn−ke−γxn−k, n = 0, 1, 2, , (11)trong đó α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k là số nguyên dương,các giá trị ban đầu x−k, , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞)

Có rất nhiều các phương trình và hệ phương trình sai phân có chứadạng mũ đã được các tác giả nghiên cứu, có thể xem trong các tài liệu[20, 33, 49, 50, 53] và các trích dẫn trong đó

Tiếp tục hướng nghiên cứu về các dạng phương trình và hệ phươngtrình sai phân phi tuyến trong thời gian gần đây, trong luận án này, chúngtôi đề xuất nghiên cứu các dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn,hoặc các dạng tương tự, hoặc các dạng mới nhằm góp phần làm phongphú thêm các kết quả về lý thuyết định tính các phương trình sai phân

Cụ thể chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề sau:

1 Xây dựng dạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động củahai dạng phương trình sai phân hữu tỷ

2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng một dạng phươngtrình sai phân hữu tỷ

3 Tính bị chặn, khoảng bất biến của nghiệm và tính ổn định củanghiệm cân bằng dương của hai dạng hệ hai phương trình sai phânphi tuyến

4 Tốc độ hội tụ nghiệm của một dạng hệ hai phương trình sai phânphi tuyến.

Cấu trúc của luận án: ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mụclục, Lời mở đầu, Kết luận, Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo,Danh mục các công trình và Tài liệu tham khảo, luận án được bố cụcgồm 03 chương:

Chương 1 Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản sẽ được dùngtrong trong các chương tiếp theo của luận án

Chương 2 Dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm của

L Berg và S Stevi´c, tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm cho hai dạngphương trình sai phân hữu tỷ Bằng việc phân tích các nửa chu kỳ dương

và nửa chu kỳ âm của nghiệm và tính chất các dãy con của nghiệm phụthuộc vào các giá trị ban đầu, tác giả đã chứng minh được tính ổn địnhtiệm cận toàn cục của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ

Chương 3 Tác giả nghiên cứu tính bị chặn, khoảng bất biến của nghiệm,tính ổn định của điểm cân bằng dương đối với hai dạng hệ hai phươngtrình sai phân phi tuyến và nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm tới điểmcân bằng dương của một dạng hệ hai phương trình sai phân phi tuyến.Tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho tính ổn định của điểmcân bằng

Nội dung chính của luận án được công bố trong các công trình [1-5]của tác giả và thầy hướng dẫn

Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015

Người thực hiện

Mai Nam Phong

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và các kết quả

đã được chứng minh để thuận tiện cho việc theo dõi các nội dung tiếptheo của luận án

Phương trình sai phân cấp (k + 1) là phương trình có dạng

xn+1 = F (xn, xn−1, , xn−k), n = 0, 1, 2, , (1.1)trong đó F là hàm số liên tục từ Jk+1 vào J Tập J thường là một khoảngcủa tập số thực, hoặc là hợp của các khoảng, hoặc là tập rời rạc như tậpcác số nguyên Z

Một nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn}∞n=−k thỏa mãnphương trình (1.1) với mọi n ≥ 0 Nếu ta cho một tập (k + 1) các giá trịban đầu

x−k, x−k+1, , x0 ∈ J,

khi đó

x1 = F (x0, x1, , x−k),

x2 = F (x1, x2, , x−k+1),

dó đó nghiệm của phương trình (1.1) là tồn tại và duy nhất xác định bởi(k + 1) giá trị ban đầu

Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k đượcgọi là nghiệm cân bằng Nếu xn = ¯x với mọi n ≥ −k là một nghiệm cânbằng của phương trình (1.1) thì ¯x được gọi là điểm cân bằng của phươngtrình (1.1)

Định nghĩa 1.1 (xem [14])

i) Điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) được gọi là ổn định địaphương nếu với mỗi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu {xn}∞n=−k làmột nghiệm của phương trình (1.1) với

|x−k − ¯x| + |x−k+1− ¯x| + + |x0 − ¯x| < δ,thì

lim

n→∞xn = ¯x

iii) Điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệmcận địa phương nếu ¯x là ổn định địa phương và hút địa phương.iv) Điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) được gọi là hút toàn cục nếumọi nghiệm {xn}∞n=−k của phương trình (1.1) ta đều có

λk+1 − q0λk − q1λk−1 − − qk−1λ − qk = 0, (1.3)được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (1.2).Kết quả sau đây được biết đến với tên gọi "Định lý ổn định tuyến

tính hóa" đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính ổn định địaphương của điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1), có thể xem trong[14], [19].

Định lý 1.1 Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định trong một lâncận mở nào đó của ¯x Khi đó các phát biểu sau là đúng:

i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có môđun bé hơn 1thì điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địaphương

ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có môđun lớn hơn

1 thì điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) là không ổn định.Kết quả sau đây sẽ cho ta điều kiện đủ để tất cả các nghiệm củaphương trình với bậc tùy ý nằm trong đĩa đơn vị

Định lý 1.2 Giả sử q0, q1, q2, , qk là các số thực sao cho

|q0| + |q1| + + |qk| < 1,khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.3) nằm trong đĩa đơn vị

hoặc l = −k, hay l > −k và xl−1 < x

hoặc m = ∞, hay m < ∞ và xm+1 ≥ x.

iii) Nghiệm {xn}∞n=−k của phương trình (1.1) gọi là không dao động xungquanh x, hay gọi đơn giản là không dao động nếu tồn tại N ≥ −ksao cho xn ≥ ¯x với mọi n ≥ N hoặc xn < ¯x với mọi n ≥ N Ngượclại, nghiệm {xn}∞n=−k gọi là dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản

là dao động

iv) Nghiệm {xn}∞n=−k gọi là dao động ngặt xung quanh x nếu với mỗi

n0 ≥ 0, tồn tại n1, n2 ≥ n0 sao cho (xn1 − ¯x)(xn2 − ¯x) < 0

v) Nghiệm {xn}∞n=−k được gọi là bị chặn và bền vững nếu tồn tại các sốdương P và Q sao cho P ≤ xn ≤ Q với mọi n ≥ −k

Trong phần này ta sẽ trình bày khái niệm về sự ổn định của hệ phươngtrình sai phân phi tuyến cấp 1 tổng quát có dạng

Yn+1 = G(n, Yn), n ≥ n0, (1.4)

trong đó Yn = (yn1, , ykn)T ∈ Rk

và G : Z+ × Rk

−→ Rk, G(n, Yn) =(g1(n, yn1, , ynk), , gk(n, yn1, , ynk))T, gi(n, t1, , tk), i = 1, k là hàmliên tục theo ti, i = 1, k

Phương trình (1.4) được gọi là ôtônôm nếu biến n không xuất hiện ở

vế phải của phương trình Một điểm ¯Y ∈ Rk gọi là điểm cân bằng củaphương trình (1.4) nếu ¯Y = G(n, ¯Y ) với mọi n ≥ n0

Định nghĩa 1.3 (xem [19, 36])

i) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.4) được gọi là ổn định nếuvới mỗi  > 0 và n0 ≥ 0 cho trước, tồn tại δ = δ(, n0) > 0 saocho nếu {Yn}∞

n=n0 là một nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn

kYn0 − ¯Y k < δ thì suy ra kYn− ¯Y k <  với mọi n ≥ n0

ii) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.4) được gọi là hút nếu tồn tại

K = K(n0) > 0 sao cho nếu {Yn}∞n=n0 là một nghiệm của phươngtrình (1.4) thỏa mãn kYn0 − ¯Y k < K thì ta có limn→∞Yn = ¯Y iii) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.4) được gọi ổn định tiệm cậnnếu nó ổn định và hút

iv) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.4) được gọi là hút toàn cụcnếu mọi nghiệm {Yn}∞n=n0 của phương trình (1.4) ta đều có

lim

n→∞Yn = ¯Y v) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.4) được gọi là ổn định tiệmcận toàn cục nếu ¯Y là ổn định và hút toàn cục

Chú ý 1.1 Phương trình sai phân (1.1) đã xét ở trên có thể đưa về hệphương trình có dạng

Yn+1 = G(Yn),

1.2.2 Một số kết quả về ổn định của hệ hai phương trình sai

phân

Cho I, J là các khoảng của tập số thực và các hàm số

f : I × J −→ I, g : I × J −→ J

là các hàm khả vi liên tục Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ I ×J ,

hệ phương trình sai phân

tại điểm cân bằng (¯x, ¯y), được xác định bởi

Kết quả về ổn định sau đây sẽ được dùng trong các nội dung tiếp theocủa luận án

Định lý 1.3 (Định lý ổn định tuyến tính hóa [36, 38]) Cho (¯x, ¯y) ∈ I ×J

là điểm cân bằng của ánh xạ F = (f, g), trong đó f , g là các hàm số khả

vi liên tục, xác định trên tập mở I × J ⊂ R2

i) Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF(¯x, ¯y) có môđunnhỏ hơn 1, thì điểm cân bằng (¯x, ¯y) là ổn định tiệm cận địa phương.ii) Nếu ít nhất một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF(¯x, ¯y)

có môđun lớn hơn 1 thì điểm cân bằng (¯x, ¯y) không ổn định

iii) Điểm cân bằng của F = (f, g) là ổn định tiệm cận địa phương khi vàchỉ khi mọi nghiệm của phương trình đặc trưng

λ2 − trJF(¯x, ¯y)λ + detJF(¯x, ¯y) = 0nằm trong đĩa đơn vị, có nghĩa là, khi và chỉ khi

|trJF(¯x, ¯y)| < 1 + detJF(¯x, ¯y) < 2

Chương 2

Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ

sai phân hữu tỷ

đề xuất nghiên cứu tính ổn định, tính giới nội của phương trình

xn+1 = A

xnxn−1 +

1

xn−3xn−4, n = 0, 1, 2, , (2.2)trong đó x−4, x−3, x−2, x−1, x0, A ∈ (0, ∞)

Trong [55], S Stevi´c đã nghiên cứu tính giới nội và bền vững củanghiệm phương trình sai phân

, n = 0, 1, 2, , (2.3)trong đó k là số nguyên dương, αi, pi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, , k và các giátrị ban đầu x−k, x−k+1, , x−3, x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞)

Trong các dạng phương trình trên, các tác giả chỉ tập trung vào việcnghiên cứu tính giới nội và bền vững, tính tuần hoàn, tính ổn định nghiệm,

mà chưa đề cập đến trường hợp nếu phương trình tồn tại nghiệm hội tụđến điểm cân bằng thì dạng tiệm cận của nghiệm như thế nào và cáchthức tiến tới điểm cân bằng của nghiệm

Với mục đích làm đầy đủ hơn việc nghiên cứu về nghiệm của phươngtrình sai phân dạng hữu tỷ, dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệmcận nghiệm trong các nghiên cứu gần đây của L Berg, S Stevi´c, K.Berenhaut [6, 10, 11], trong chương này, chúng tôi đề xuất nghiên cứudạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động của hai dạng phươngtrình sau đây:

, n = 0, 1, 2, ,

(2.5)trong đó A1, A2, A3 ∈ [0, ∞) và A = A1 + A2 + A3 − 1 > 0, x−5,

x−4, x−3, x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞)

Nội dung của phần này đã được công bố trong các bài báo [2] và [3] thuộcdanh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án

2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4)

Ta thấy rằng phương trình (2.4) có điểm cân bằng thỏa mãn

p(t) = x2tk + A1tk−1 + + Ak−1t − 1 = 0 (2.8)Vì

p(0) = −1 < 0, p(1) = x2 + A1 + A2 + + Ak−1 − 1 = 2x2 > 0và

p0(t) = kx2tk−1 + (k − 1)A1tk−2 + + Ak−1 > 0, ∀ t ∈ (0, 1],

do đó luôn tồn tại duy nhất t0 ∈ (0, 1) thỏa mãn

p(t0) = x2tk0 + A1tk−10 + + Ak−1t0 − 1 = 0 (2.9)Dựa trên ý tưởng của L Berg trong [6] và được phát triển bởi S Stevi´ctrong [59], ta dự đoán các nghiệm của phương trình (2.4) có dạng tiệmcận sau:

xn = x + atn0 + o(tn0), (2.10)

với a ∈ R và t0 là nghiệm của phương trình (2.9) đã đề cập đến ở trên.Bài toán được giải quyết bởi việc xây dựng hai dãy phù hợp yn và zn với

có nghiệm thỏa mãn (2.11) với n ≥ n0

Sau đây ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này.Định lý 2.2 Với mỗi Ai ∈ [0, ∞), i = 1, 2, 3, , k − 1, sao cho

k−1

X

i=1

Ai − 1 với dạng tiệm cận (2.10)

Chứng minh Trước hết ta chú ý rằng phương trình (2.4) có thể viết dướidạng tương đương:

X

i=1

Aitn−i+ x2tn)2 + o(t2n)

với p(t) là đa thức đặc trưng (2.8) Ta biết rằng tồn tại duy nhất nghiệm

t0 ∈ (0; 1) sao cho p(t0) = 0 Từ điều này, với t = t0 ta có

t2k 0

Dựa vào các đánh giá trên ta thấy bất đẳng thức (2.13) được thỏa mãnvới n đủ lớn, ở đó f = F + xn−k và F được cho bởi (2.14) Ta có thể ápdụng Định lý 2.1 với I = [x, ∞), ta thấy rằng tồn tại n0 > 0 và phươngtrình (2.4) có nghiệm với dạng tiệm cận xn = ˆϕn + o(t2n0 ), với n ≥ n0, ở

đó ˆϕn được xác định (2.16) và b = q Đặc biệt, nghiệm còn hội tụ đơnđiệu tới điểm cân bằng dương

x =

vuut

2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.5)

Ta thấy phương trình (2.5) có điểm cân bằng dương duy nhất x = √4

A.Phương trình tuyến tính hóa của phương trình (2.5) xung quanh điểmcân bằng có dạng

do đó phương trình (2.18) có nghiệm dương duy nhất t0 thuộc khoảng(0, 1), có nghĩa là

ϕn = ¯x + atn+ bt2n (2.21)Sau đây ta phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này

Định lý 2.3 Giả sử A1, A2, A3 ∈ [0, ∞) và A = A1+ A2+ A3− 1 > 0,khi đó phương trình (2.5) có nghiệm dương không dao động hội tụ đếnđiểm cân bằng dương x = √4

A khi n → ∞ với dạng tiệm cận (2.20).Chứng minh Trước hết, phương trình (2.5) có thể viết dưới dạng

.Đặt

− xn−5.(2.22)

Ta sẽ chứng minh các xấp xỉ tiệm cận nghiệm của phương trình (2.5) códạng (2.20) Biến đổi hàm F (ϕn−5, ϕn−4, ϕn−3, ϕn−2, ϕn−1, ϕn, ϕn+1), ta có

F = F (ϕn−5, ϕn−4, ϕn−3, ϕn−2, ϕn−1, ϕn, ϕn+1)

=

"

A1(¯x + atn + bt2n)(¯x + atn−1+ bt2n−2)(¯x + atn−2 + bt2n−4)



+ A3(2t2n−6+ t2n−8+ t2n−4+ t2n−7+ t2n−5)

+

)− 1 3



A1(tn−2 + tn−1 + tn) + A2(tn−3 + tn−2+ tn−1)+ A3(tn−4+ tn−3+ tn−2) + ¯x4tn+1



− b

¯x



A1(t2n−4+ t2n−2+ t2n)+ A2(t2n−6+ t2n−4+ t2n−2) + A3(t2n−8 + t2n−6+ t2n−4) + ¯x4t2n+2

)− 1 3

A1(tn−2 + tn−1 + tn) + A2(tn−3 + tn−2+ tn−1)+ A3(tn−4+ tn−3 + tn−2) + ¯x4tn+1



tn+ b3t10



¯

x4t12+ A1(t10 + t8 + t6)+ A2(t8 + t6 + t4) + A3(t6 + t4 + t2) − 3

B = p(t

2

0)3t100 < 0,

+ A3(2t−60 + t−80 + t−40 + t−70 + t−50 )



− 227



A1(t−20 + t−10 + 1) + A2(t−30 + t−20 + t−10 )+ A3(t−40 + t−30 + t−20 ) + ¯x4t0

2

đủ lớn, trong đó f = F + xn−5 và F được xác định bởi (2.22) Bởi vì

hàm số f (xn−4, xn−3, , xn, xn+1) là liên tục và không giảm trên khoảng[¯x, +∞) Ta cũng dễ dàng thấy được f (¯x, ¯x, , ¯x) ≥ ¯x Ta có thể áp dụngĐịnh lý 2.1 với I = [¯x, +∞), thấy rằng tồn tại n0 ≥ 0 và nghiệm củaphương trình (2.5) với dạng tiệm cận xn = ˆϕn + o(t2n0 ) với n ≥ n0 Đặcbiệt, nghiệm là hội tụ đơn điệu đến điểm cân bằng dương x = √4

A với

n ≥ n0 Vì vậy xn+n0+k cũng là nghiệm khi n ≥ −k

Bằng phương pháp tương tự, ta có thể mở rộng định lý trên được định

lý sau

Định lý 2.4 Với A1, A2, A3, , Ak−1 ∈ [0, ∞) và A = A1 + A2 + A3+ + Ak−1 − 1 > 0, k, m ∈ N, k, m ≥ 2, khi đó tồn tại nghiệm dươngkhông dao động của phương trình

Với mục đích đó, nội dung của phần này sẽ nhằm nghiên cứu tính ổn địnhnghiệm của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ.

G Ladas [41] đã đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cụccủa phương trình sai phân hữu tỷ

xn+1 = xn+ xn−1xn−2

xnxn−1 + xn−2, n = 0, 1, 2, , (2.24)với các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞)

X Li, D Zhu [45] đã chứng minh được nghiệm cân bằng của phươngtrình (2.24) là ổn định tiệm cận toàn cục

T Nesemann [48] đã nghiên cứu phương trình

xn+1 = xn−1+ xnxn−2

xnxn−1 + xn−2, n = 0, 1, 2, , (2.25)với các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞), tác giả chứng minh đượcnghiệm cân bằng dương của phương trình (2.25) là ổn định tiệm cận toàncục

X Li, D Zhu [46] đã nghiên cứu hai phương trình

xn+1 = xnxn−1 + xn−2+ a

xn + xn−1xn−2+ a, n = 0, 1, 2, , (2.26)và

xn+1 = xn−1 + xnxn−2+ a

xnxn−1 + xn−2+ a, n = 0, 1, 2, , (2.27)trong đó a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞), tácgiả chứng minh được nghiệm cân bằng dương của hai phương trình là ổnđịnh tiệm cận toàn cục Rõ ràng, phương trình (2.26) là nghịch đảo củaphương trình (2.24) khi a = 0 và phương trình (2.27) là sự mở rộng củaphương trình (2.25)

X Li, D Zhu [47] đã chứng minh được nghiệm cân bằng dương củahai phương trình sai phân hữu tỷ sau là ổn định tiệm cận toàn cục:

xn+1 = xnxn−2 + 1

xn+ xn−2

, n = 0, 1, 2, , (2.28)

xn+1 = xn−1xn−2+ 1

xn−1 + xn−2 , n = 0, 1, 2, , (2.29)trong đó các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞)

Dựa trên phương pháp của X Li và D Zhu trong [43, 44, 46] để nghiêncứu về tính ổn định của nghiệm cân bằng dương các phương trình hữu

tỷ, trong phần này chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷcấp bốn sau đây:

xn+1 = xn−1xn−3 + x

2 n−1+ a

x2n−1xn−3 + xn−1+ a, n = 0, 1, 2, , (2.30)trong đó a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞)

Ta thấy, khi a = 0 thì phương trình (2.30) trở thành

xn+1 = xn−1 + xn−3

xn−1xn−3+ 1, n = 0, 1, 2, , (2.31)phương trình này có dạng nghịch đảo tương tự như dạng (2.28) hoặc(2.29)

Nội dung của phần này đã được công bố trong bài báo [1] thuộc danhmục các công trình của tác giả liên quan đến luận án

2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng

Ở phần này, ta sẽ chỉ ra độ dài liên tiếp của các nửa chu kỳ dương vànửa chu kỳ âm của nghiệm không tầm thường của phương trình (2.30)xuất hiện tuần hoàn Ta cũng chứng minh được điểm cân bằng dươngcủa phương trình (2.30) là ổn định tiệm cận toàn cục

Trước hết, ta thấy điểm cân bằng dương ¯x của phương trình (2.30)thỏa mãn

Từ phương trình (2.32) ta có ¯x = 1.

Sau đây ta sẽ trình bày một số định nghĩa cần thiết sử dụng trongcác phần sau

Định nghĩa 2.1 Một nửa chu kỳ dương của nghiệm {xn}∞n=−3 là một

"xâu" các số hạng {xl, xl+1, , xm}, tất cả đều lớn hơn hoặc bằng x,với l ≥ −3 và m ≤ ∞, thỏa mãn

hoặc l = −3, hoặc l > −3 và xl−1 < xvà

hoặc m = ∞, hoặc m < ∞ và xm+1 < x

Một nửa chu kỳ âm của nghiệm {xn}∞n=−3 là một "xâu" các số hạng{xl, xl+1, , xm}, tất cả đều nhỏ hơn x, với l ≥ −3 và m ≤ ∞, thỏamãn

hoặc l = −3 hoặc l > −3 và xl−1 ≥ xvà

Trước khi nghiên cứu nghiệm dương của phương trình (2.30) ta thiếtlập hai bổ đề, chúng đóng vai trò quan trọng trong phần chứng minh cáckết quả chính

Bổ đề 2.1 Nghiệm dương {xn}∞

n=−3 của phương trình (2.30) là tầmthường về cuối khi và chỉ khi

(x−3− 1)(x−1 − 1) = 0, (2.33)

(x−2− 1)(x0 − 1) = 0 (2.34)Chứng minh Giả sử phương trình (2.33) đúng, từ phương trình (2.30) tasuy ra x2n+1 = 1 với n ≥ 0 Thật vậy, giả sử phản chứng

x2 2N −1x2N −3 + x2N −1 + a,suy ra (x2N −3− 1)(x2N −1− 1) = 0 hay (x2(N −2)+1− 1)(x2(N −1)+1− 1) = 0.Điều này trái với (2.36)

Lý luận tương tự như trên, nếu điều kiện (2.34) đúng, từ phương trình(2.30) ta cũng suy ra được x2n = 1 với n ≥ 1 Do đó, để nghiệm dương{xn}∞n=−3 của phương trình (2.30) là tầm thường về cuối thì các điều kiện(2.33) và (2.34) phải đồng thời được thỏa mãn Ta có điều phải chứngminh

Chú ý 2.1 i) Nếu các giá trị ban đầu không thỏa mãn (2.33) và (2.34),khi đó với nghiệm bất kỳ {xn} của phương trình (2.30) ta có xn 6= 1với n ≥ −3

ii) Nếu các giá trị ban đầu thỏa mãn (2.33) nhưng không thỏa mãn(2.34), khi đó nghiệm {xn} của phương trình (2.30) có x2n+1 = 1 với

n ≥ 0 và x2n 6= 1 với n ≥ −1

iii) Nếu các giá trị ban đầu không thỏa mãn (2.33) nhưng thỏa mãn(2.34), khi đó nghiệm {xn} của phương trình (2.30) có x2n+1 6= 1 với

n ≥ −2 và x2n = 1 với n ≥ 1

Trong cả 3 trường hợp trên đây nghiệm đều là không tầm thường, ởphần này chúng ta chỉ nghiên cứu dáng điệu nghiệm không tầm thườngcủa phương trình (2.30)

Bổ đề 2.2 Giả sử {xn}∞n=−3 là nghiệm dương của phương trình (2.30)với các giá trị ban đầu xi 6= 1, i = −3, −2, −1, 0 Khi đó các khẳng địnhsau là đúng với n ≥ 0: