Ổn định của tấm FGM có gân gia cường theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

29 Bảng 14 Minh họa ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM... Sự phân tích dao động tự do của tấm FGM tựa đơn trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak cũn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐÀO VĂN DŨNG

Hà Nội – Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Đào Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả

Trần Thị Thơm

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Tổng quan

Chương 1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA ES –FGM 1

1.1 Tấm vật liệu cơ tính biến thiên 1

1.2 Các phương trình cơ bản 1

1.3.Phân tích sự vồng tuyến tính của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp 7

1.4.Phân tích sau vồng của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp 11

Chương 2 TÍNH TOÁN SỐ 16

2.1 Khảo sát bằng số sự vồng tuyến tính của tấm FGM 16

2.1.1 So sánh kết quả 16

2.1.2 Ảnh hưởng của gân (không tính đến nền) 17

2.1.3 Ảnh hưởng của nền ( không gân) 18

2.1.4 Ảnh hưởng của gân và nền 19

2.1.5 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k 20

2.1.6 Ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân ( các gân vuông góc và nền) 21

2.1.7 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h( các gân vuông góc và nền) 22

2 2.Khảo sát bằng số sự vồng phi tính của tấm FGM 22

2.2.1 Ảnh hưởng của gân ( không tính đến nền) 22

2.2.2 Ảnh hưởng của nền ( không gân) 25

2.2.3 Ảnh hưởng của gân và nền 26

2.2.4 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k 26

2.2.5 Ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân( các gân vuông góc và nền) 30

2.2.6 Ảnh hưởng của a/h (các gân vuông góc và nền) 32

Kết luận 33

Tham khảo: 34

DANH MỤC CÁC BẢNG, CÁC HÌNH

Hình 1 Tấm FGM có gân chịu nén 2

Hình 2 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn 20

Hình 3 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h lên tải trọng vồng tới hạn 20

Hình 4 Ảnh hưởng của biến dạng trượt lên tải trọng vồng tới hạn 21

Hình 5 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn ứng với =0 30

Hình 6 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn ứng với =1 31

Bảng 1 So sánh tải trọng vồng tới hạn P xcr (MN) cho tấm FGM không gân (b/h=100) 16

Bảng 2 So sánh tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) cho tấm FGM không gân 17

Bảng 3 Ảnh hưởng của gân lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) 18

Bảng 4 Ảnh hưởng của nền lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM có gân, bứng với mốt vồng m 18

Bảng 5 Ảnh hưởng của cả gân và nền lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN), aứng với cặp(m,n) 19

Bảng 6 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn 20

Bảng 7 Ảnh hưởng của biến dạng trượt lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) 21

Bảng 8 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) 22

Bảng 9 Ảnh hưởng của gân, không nền với K1 K2  0 25

Bảng 10 Ảnh hưởng của nền không gân 25

Bảng 11 Ảnh hưởng của cả gân và nền( có cả gân theo phương ox và oy, số gân theo phương ox bằng 8, số gân theo phương oy bằng 8) 26

Bảng 12 Ảnh hưởng của k ứng với =0 ( đối với trường hợp không gân) 28

Bảng 13 Ảnh hưởng của k ứng với =1 ( đối với trường hợp không gân) 29

Bảng 14 Minh họa ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM 30

Bảng 15 Ảnh hưởng của a/h đến Px (trường hợp không gân) 32

Tổng quan

Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) ngày càng được ứng dụng trong thực tiễn, nhất là trong các ngành công nghiệp hiện đại Vì vậy việc nghiên cứu độ bền và sự ổn định của kết cấu FGM là vấn đề được nhiều nhà khoa học trong nước và trên thế giới quan tâm Shen và Wang [1] đã trình bày sự phân tích uốn phi tuyến cho tấm FGM tựa đơn trên nền đàn hồi kiểu Pasternak khi sử dụng kĩ thuật nhiễu hai bước dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao và phương trình tổng quát dạng von Karman Sự phân tích dao động tự do của tấm FGM tựa đơn trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak cũng được nghiên cứu bởi Ait Atmane và cộng sự [2] bằng việc sử dụng thuyết biến dạng trượt bậc cao mới Dựa trên lý thuyết tương tự , Ameur và cộng sự [3] đã giải quyết bài toán phân tích uốn của tấm FGM tĩnh trên nền đàn hồi Các kết quả về dao động tự do của tấm chữ nhật FGM tĩnh trên nền đàn hồi thu được bởi Hashemi và cộng sự [4] bằng việc sử dụng thuyết biến dạng trượt bậc nhất Các hệ số hiệu chỉnh cắt cho tấm FGM được xem xét trong bài báo của họ Sự phân tích vồng và sau vồng của tấm FGM không hoàn hảo tựa đơn trên nền đàn hồi và chịu tải nén cơ và tải nhiệt trong mặt phẳng được nghiên cứu bởi Duc và Tung [5] bằng việc sử dụng thuyết biến dạng trượt bậc cao Nghiệm giải tích chính xác cho tấm FGM vồng chịu tải trọng phân bố không đều trong mặt phẳng được trình bày bởi Bodaghi và Saidi [6] Vị trí mặt trung hòa được xác định trong công trình đó

Về tấm có gân, nhiều nghiên cứu đã và đang tập trung phân tích sự uốn, dao động, vồng và sau vồng [7-14] Gần đây , Peng và cộng sự [15] đã cho sự phân tích

về tấm chữ nhật có gân dưới tải trọng đều dựa trên thuyết biến dạng trượt bậc nhất

và phương pháp phần tử tự do Galerkin Sapountzakis và Dikaros [16] đã trình bày đáp ứng động lực với độ võng lớn của tấm có gân là các dầm song song Trong công trình của họ , dầm cứng được xét tách biệt với tấm bằng tiết diện trong mặt dưới phía bên ngoài của tấm, có tính đến các lực ngoài phát sinh trong tất cả các hướng tại giao diện tưởng tượng Birman và Byrd [17] đã nghiên cứu sự ổn định và dao động tự do của tấm FGM hình chữ nhật được gia cường bằng hệ thống các gân

dọc song song Sự tối ưu hóa bài toán liên quan đến sự lựa chọn các gân dọc và khoảng cách giữa chúng cũng được xét đến trong công trình đó Najafizadeh và cộng sự [18] với các phương trình ổn định theo chuyển vị, đã nghiên cứu ứng xử vồng cơ học của vỏ trụ FGM có gân dựa trên thuyết vỏ cổ điển Các gân dọc và gân vòng của FGM được giả sử thay đổi liên tục qua bề dày của trụ Tác giả DH Bich và các cộng sự [19, 20, 21] đã nghiên cứu ứng xử vồng tĩnh và động phi tuyến của tấm

và vỏ FGM có gân lệch tâm thuần nhất theo lý thuyết tấm và vỏ cổ điển Tác giả

ĐV Dũng và LK Hòa [22, 23] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ tròn FGM với gân gia cường cũng là FGM Hàm độ võng được tìm dưới dạng ba số hạng Luận văn nhằm mục đích nghiên cứu sự ổn định của tấm FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi chịu tổ hợp tải nén cơ Các hệ thức cơ bản được dẫn giải trên cơ sở kĩ thuật san đều gân và lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất Điểm mới của luận văn là thu được hệ thức dạng giải tích để xác định tải trọng vồng tới hạn và mối quan hệ của đường cong tải-độ võng sau vồng của tấm Ảnh hưởng của gân, nền, vật liệu và tham số hình học đến sự ổn định của tấm FGM có gân lệch tâm (ES-FGM) đã được khảo sát chi tiết

Luận văn gồm phần tổng quan, 2 chương, phần kết luận, danh mục các bảng

và hình vẽ, tài liệu tham khảo và phụ lục Nội dung chính của các chương bao gồm:

- Chương 1: Trình bày các phương trình cơ bản được sử dụng để phân tích sự vồng tuyến tính và sau vồng của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp

- Chương 2: So sánh kết quả số của luận văn với kết quả của Shariat và Eslami

sử dụng thuyết biến dạng trượt bậc ba cho tấm và kết quả của Hamid Mozafari và Amran Ayob đồng thời cũng trình bày các kết quả số về sự ảnh hưởng của gân, nền,

tỉ lệ giữa chiều dài với độ dày a/h, tỉ lệ thể tích k đến tải vồng tới hạn của tấm Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây

Chương 1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA ES –FGM

1.1 Tấm vật liệu cơ tính biến thiên

Giả sử tấm được làm bằng hỗn hợp của kim loại và gốm với tỉ lệ về thể tích

tuân theo quy luật lũy thừa:

c m

Trong đó chỉ số tỉ phần thể tích k0 chỉ lượng vật liệu phân bố theo bề dày h

của tấm FGM, z là tọa độ dày và chạy từ -h/2 đến h/2; các chỉ số dưới m và c chỉ

các thành phần của kim loại và gốm tương ứng

Các tính chất hiệu dụng của tấm FGM Preff được xác định theo quy luật tuyến

tính của vật liệu như sau

c c m m eff Pr (z)V Pr (z)V

Pr   (2) Theo quy luật đã được đề cập, modun Young E được biểu diễn ở dạng

  m m c c m  c m k

h

z E

E E V E V E z E

Xét tấm hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và độ dày h Hệ tọa độ Đề

Các Oxyz được chọn như chỉ ra trong hình 1 Gỉa sử rằng tấm chịu các tải trọng nén

theo hai phương là P x và P yvà được gia cố bởi các gân đặt gần nhau theo chiều dọc

(trục x) và chiều ngang ( trục y) Để đảm bảo tính liên tục giữa gân và tấm, gân

được lấy là kim loại nếu nó được đặt ở phía mặt tấm là kim loại và là gốm nếu nó

nằm bên mặt là gốm

Hình.1 Tấm FGM có gân chịu nén

 Liên hệ hình học

Theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất có tính đến yếu tố phi tuyến hình học Von

Karman thì các thành phần biến dạng của tấm tại điểm ở khoảng cách z so với mặt

phẳng trung bình có dạng [27]

o xy

xy

y y

o y y x x

o

x

x

w w

z

z z

, ,

, , ,

,,

2

1

y x x y

o xy y y

o y x x

Với uu(x,y),vv(x,y) và w w(x,y) là chuyển vị tại mặt phẳng trung bình của tấm dọc theo các hướng x,y và z, và x, y biểu diễn góc xoay của mặt cắt ngang quanh trục y, x tương ứng

 Định luật Hook cho tấm và gân

Định luật Hook cho tấm được xác định như sau

P xz yz P

yz xy P

xy

x y P

y y x P

x

E E

E

E E

,1

2

,1

2

,1

s yz xz sx

s xz y sy

s y x sx

 Liên hệ giữa nội lực và momen với biến dạng

Sử dụng kĩ thuật san đều gân và bỏ qua độ xoắn của các gân và lấy tích phân các liên hệ ứng suất- biến dạng và momen của chúng theo độ dày của tấm ta được các biểu diễn cho tổng hợp lực, tổng momen, và tổng lực cắt của tấm ES-FGM như sau

, , 66 66

, 2 22 ,

12 2

2 22

12

, 12 ,

1 11 12

1

1 11

x y y x o

xy xy

y y x

x o

y sy

o x y

y y x

x o

y o

x sx x

B A

N

C B B

d

A E A A

N

B C

B A

d

A E A N

, , 66 66

, 2

2 22

, 12 2

22 12

, 12 , 1

1 11

12 1

11

x y x o

xy xy

y y sy x

x o

y o

x y

y y x

sx o

y o

x x

D B

M

d

I E D D

C B B

M

D d

I E D B

C B M

y y

y

x x

x

A w A

Q

A w A

Q

, 55 ,

55

, 44 ,

11  

E A

1

66  

E A

,

2 22

11   

E B

2

66  

E B

,

3 22

11   

E D

3

66  

E D

2 2 1 2 55 1

1 1 1 1 44

12

,1

A G

E A

d

A G

2 2

1

2 2

1 1

2 2 2 1 1 1

2 2 2 3 2 2 2

2 1 1 3 1 1 1

2

2 2 2

1

1 1 1

4 4

1 2

1 3

1 12

1

, 2 1 2

, 1

2

, 2 ,

,

, 12

1 ,

12 1

, ,

h k k

k E E h E E

k k

kh E E E

h k

E E E E

h h z h h z h b A h b A

z A h b I

z A h b I

d

z A E C

d

z A E C

m c m

m c

m c m

sy sx

và độ dày tương ứng của các gân dọc và gân ngang

,02

,0

,0

, 2 ,

, ,

y

x

xy

x y

xy

x

x

yy xx xy

xy yy

y xx x y

M

Q M

M

q w K w

w K w N w

N w

N Q

.

.

.

.

.

2 2 2 66 2

2

2 2

2

2

66

2 12 2 2 11

2 2

12 2

2 2

2 11

b y x

w y

w y

w x

w y x

v y

u

a

y x

b x

b y x

w y

w y x

v a

x

w x

w x

u a

y x

y x

2 2 22 2

12 2

2 2

2 22

2 2

12

2

2 2

66 2

2 2

2

2 2

b y

w y

w y

v a

y x

w x

w y

x

u

a

x y x

b x

w y

w y x

w x

w x

v y x

u a

y x

y x









3

0

.

.

.

.

2

1

2

1

.

.

.

2

.

.

2

1

2

1

.

2 2 2 2 2 1 2

2 2

2

2 2

22 12

2 22

2 12

2

66

66

2 2

12 11

2 12

2 11

2 2 55 2

w k

w k q y

w N

x

w

N

y w

y

b x b

y

w y

v a x

w x

u a y x w

x y

b

y

w x

w x

v y

u

a

x w

y

b x b

y

w y

v a x

w x

u a y

y

w a

x x

w

a

yo xo

y x

y x

y x

y x

.

.

.

.

.

44 2

2 2 66 2

2

2 2

2

2

66

2 12 2 2 11

2 2

12 2 2 2

2 11

x

y x

x

w a y x y

d y x

w y

w y

w x

w y x

v y

u

b

y x

d x

d y x

w y

w y x

v b

x

w x

w x

u b

55 2 2 22 2

12 2

2 2

2 22

2 2

12

2

2 2

66 2

2 2

2

2 2

x

y x

y

w a y

d y x

d y

w y

w y

v b

y x

w x

d x

w y

w y x

w x

w x

v y x

1.3 Phân tích sự vồng tuyến tính của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp

Để thiết lập phương trình ổn định, ta sử dụng tiêu chuẩn cân bằng lân cận [18,24,25] Giả sử trạng thái cân bằng ban đầu của tấm FGM dưới các tải trọng cơ học được xác định bởi các thành phần dịch chuyển u o,v ovà w o Cho các số gia nhỏ bất kì u1 ,v1và w1 của các biến dịch chuyển, khi đó tổng các thành phần dịch chuyển của trạng thái lân cận là

uu o u1,vv o v1,ww o w1,x xo x1,y yo y1 (15) Tương tự, lực, momen và lực ngang ở trạng thái cuối cùng của trạng thái lân cận có thể liên quan đến trạng thái cân bằng như sau

.,

,,

,

,,

,

1 1

1 1

1

1 1

1

y yo y x xo

x

xy xyo xy

y yo y

x xo x

xy xyo xy

y yo y x xo x

Q Q Q Q Q

Q

M M

M M M M M M

M

N N

N N N N N N

12

2 1 2 66 2 1 2 1 11 1 2 66 12 2

1 2 66 2 1 2 1

1 11

B

y

B x C B y x

v A A y

u A x

u d

sx









  21 0 ;

2 2 22

2 1 2 66 1 2 66 12 2

1 2 2

2 22

2 1 2 66 1 2 66

B

x

B y x B B y

v d

A E A x

v A y x

u A

A

y

y x

2

1

55

1 44 1 1 1 2 2

1 2 2 55

2 1 2 2 44

w N

y

w K N A x

w K N

A

y

x xyo

yo xo

1 2

66

2 1 2 1

1 11

1 44 1 2 66 12 2

1 2 66 2 1 2 1

y

D

x d

I E D x

w A y x

v B B y

u B x

u C

B

y x

x

x sx

1 55 2 1 2 2

2 22

sy y

x

A y d

I E D x

D

y x D D y

w A y

v C B x

v B y x

u B

1 1

1 w  x  M y 

Các lực trước khi vồng được xác định bởi [25]

.0,

,  



yo x

a

P N

b P

N (19)

Nghiệm thỏa mãn các điều kiện biên (18) có thể chọn dưới dạng :

,cossin

,sincos

,sinsin

,cossin

,sincos

1 1 2 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

y b

n x a m

y b

n x a m

y b

n x a

m W

w

y b

n x a

m V

v

y b

n x a

m U

u

m n

mn y

m n

mn x

m  

  ,  ; m và n là số bán sóng tương ứng theo chiều x và y và

mn

U ,V mn,W mn,1mn,2mn là các hệ số hằng

Thế các phương trình (20) vào các phương trình (17) dẫn tới hệ 5 phương trình

thuần nhất cho U mn,V mn,W mn,1mn,2mn như sau

0

0 0

2 1 55 45

45 44 35

34 25

15 15

14

35 34 33 2

2

25 15 22

12

15 14 12

11

mn mn mn mn mn

yo

V U

H H

H H H

H H

H H

H

H H H N N

H H H

H

H H H

, ,

2 22 2 66 2 25

2

2 22

2 66 2 22

66 12 15

1 11 2 14 66 12 12

C B B

H

d

A E A A

H

B B H

C B H

A A H

 

,

,

, ,

,

55 2

2 22

2 66 2 55

66 12 45

44 66 2 1

1 11

2 44

55 35

44 34

2 2 2 1 55 2 44 2 33

A d

I E D D

H

D D H

A D d

I E D H

A H

A H

K K A A

H

sy sx

C H A

B N

45 44 15 14

25 15 22 12

15 14 12 11

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

35 34

25 15 22 12

15 14 12 11

0 0

H H H H

H H

H H H H

H H H H

35 34

25 15 22 12

15 14 12 11

0 0

H H H H

H H

H H H H

H H H H

(24)

Đặt

a P

b P N

N R

x y xo

B R

b

P x



 (25)

Phương trình (25) được sử dụng để xác định tải trọng vồng tới hạn của tấm tựa trên nền đàn hồi và chịu tải trọng nén cơ theo hai trục Tải trọng vồng P x vẫn phụ thuộc vào giá trị của m và n, từ đó phải cực tiểu hóa các biểu diễn đó với m và n tương ứng, chúng ta sẽ thu được giá trị của tải trọng nén tới hạn

1.4 Phân tích sau vồng của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp

Khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học, nghiệm của hệ phương trình phi tuyến (14) thỏa mãn điều kiện tựa đơn tại bốn cạnh có dạng

.cossin

,sincos

,sinsin

,cossin

,sincos

2 1

1 1 1 1 1

y b

n x a m

y b

n x a m

y b

n x a

m W w

y b

n x a

m V v

y b

n x a

m U u

.cos

.sin

.sin

.cos

.sin

2

t b

  1  1 ;   1n  1

n m

2 11 2

4

1

a a

b a

t    ;

2 11 2

4

1

b b

b a

t    ;

2 66 2

4

1

a a

b a

t    ;

2 66 2

4

1

b b

b a

t    ;

3 32

1

a a

a a

b a

b b

W b

b b

W V a a

a W

U a a

a

2 2

.2 2

2 2

.2 2

66 2 12

2 11

3

66 2 22 3 12 2 66

2 12

2 11

4

1

b b

b a

t   ;

2 11 2

4

1

a d d

b a

t    ;

2 66 2

4

1

b b

b a

t    ;

2 66 2

4

1

a d d

b a

t     ;

2 13

1 l l .l .W l .l l .l l .W l

6 16 5 14 4 15

5 13

4 l l .l .W l .l l .l l .W l

V      (32) 2

14 13

24 12 22 14

1

t t t

t

t t t

25 12 22 15

2

t t t

t

t t t

2 12 1 22

3

t t t

t

R t R

14 21 24 11

4

t t t

t

t t t

15 21 25 11

5

t t t

t

t t t

1 21 2 11

6

t t t

t

R t R

7 t l t l t

45 5 42 2 41

8 t l t l t

54 4 52 1 51

9 t l t l t

55 5 52 2 51

10 t l t l t

4 6 42 3 41

11 t l t l R

5 6 52 3 51

12 t l t l R

2 16 15

2 l .W l .W

