Tính ổn định và tính CO của các phương pháp runge kutta

51 3.6 Định lý về sự tương đương giữa ổn định B và ổn định đại số với các phương pháp S-bất khả quy.. Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn| ≤ |yn−1| của bàitoán y0 = λy, ta mở rộ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS VŨ HOÀNG LINH

Hà Nội-2014

Lời cảm ơnTrước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Banchủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình và tạođiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn.

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS

Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trongsuốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viêntrong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị trong lớp caohọc Toán khóa 2011 - 2013, đặc biệt là các anh chị chuyên ngành Toánứng dụng khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp đỡ vàđộng viên tôi trong quá trình học tập

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Hiên

Mục lục

1.1 Các phương pháp Runge-Kutta 5

1.2 Xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn 11

1.3 Áp dụng các phương pháp Runge-Kutta giải bài toán cương 18 1.4 Các loại chuẩn 21

2 Tính co cho bài toán tuyến tính 26 2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) 29

2.2 Hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính 30

2.3 Bài toán với nhiễu phi tuyến nhỏ 33

2.4 Tính co trong k.k∞ và k.k1 37

2.5 Hệ số ngưỡng 39

3 Tính ổn định B và tính co 42 3.1 Điều kiện Lipschitz một phía 42

3.2 Ổn định B và ổn định đại số 43

3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số 46

3.4 Ổn định AN 48

3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy 51

3.6 Định lý về sự tương đương giữa ổn định B và ổn định đại số với các phương pháp S-bất khả quy 53

3.7 Hàm tăng trưởng sai số 56

3.8 Tính toán ϕB (x) 58

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Mở đầu

Trong khoa học và kĩ thuật ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tớiviệc giải phương trình vi phân Có rất nhiều trường hợp nghiệm giải tích của cácbài toán này là không thể tìm được Chính vì vậy các nhà toán học đã tìm kiếmnhiều phương pháp số khác nhau để giải các bài toán trên Trong các phươngpháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt và được sử dụngrộng rãi Luận văn trình bày về tính ổn định và tính co của các phương phápRunge-Kutta Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn| ≤ |yn−1| của bàitoán y0 = λy, ta mở rộng đến khái niệm "tính co" khi xét bài toán tuyến tính

y0 = Ay, tiếp đến là các khái niệm tính ổn định B và ổn định đại số khi xét bàitoán phi tuyến Trên cơ sở đó ta có thể lựa chọn ra phương pháp hữu hiệu vàphù hợp nhất để giải các bài toán nảy sinh trong thực tế Nội dung luận vănđược tham khảo chính từ tài liệu [2] và [3]

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về phương pháp Runge-Kutta,cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, cùng với các kiến thức bổ trợcho Chương 2 và Chương 3

• Chương 2: Tính co của bài toán tuyến tính

Luận văn trình bày các khái niệm và định lý liên quan đến tính co khi xétbài toán tuyến tính

• Chương 3: Tính ổn định B và tính co

Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN vàmối quan hệ giữa các khái niệm ổn định của các phương pháp Runge-Kuttakhi xét bài toán phi tuyến

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránhkhỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ýkiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

K (Z) Hàm ổn định với bài toán y0= λ (x) y.

P k (x) Đa thức trực giao Legendre.

ϕ B (x) Hàm tăng trưởng sai số khi xét bài toán phi tuyến.

ϕR(x) Hàm tăng trưởng sai số khi xét bài toán tuyến tính.

1 1 = (1, , 1)T Vectơ cột với các tất cả các thành phần đều bằng 1.

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về các phương pháp Kutta, sự tồn tại lời giải số của phương pháp, cách xây dựng các phương phápRunge-Kutta ẩn cùng với các kiến thức bổ trợ cho Chương 2 và Chương 3 Nộidung của chương này chỉ phát biểu các khái niệm và các kết quả phục vụ chocác chương sau Chứng minh chi tiết của các kết quả trong chương này có thểtham khảo tại [2], [3] và [5]

Runge-1.1 Các phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp Runge-Kutta tổng quát

Phương pháp Runge-Kutta thuộc lớp các phương pháp số một bước, đượcđưa ra bởi hai nhà toán học người Đức là Carl Runge (1856 - 1927) và WilhelmKutta (1867 - 1944)

Trước hết ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một có dạng

y0= f (t, y) , y ∈Rn, f : R×Rn →Rn, y (t0) = y0. (1.1)

trình vi phân (1.1) có thể viết dưới dạng:

s

P

j=1

aij (i = 1, , s)

• Nếu aij = 0 với i ≤ j thì phương pháp là phương pháp Runge-Kutta hiển(ERK).

• Nếu aij = 0 với i < j và có ít nhất một aii 6= 0 thì phương pháp là phươngpháp Runge-Kutta ẩn đường chéo (DIRK)

• Nếu aij = 0 với i < j và aii = γ với i = 1, , s thì phương pháp là phươngpháp ẩn đường chéo đơn (SDIRK)

• Các trường hợp còn lại gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK)

Để dễ dàng hình dung về phương pháp Runge-Kutta, Butcher đã đưa bộ hệ

số của phương pháp vào bảng sau:

Ví dụ 1.1 Một số công thức ERK cơ bản

(a) Euler hiển

1 2

(c) Trung điểm hiển

0 0 0 1

2

1

2 0

0 1 Bảng 1.2: Một số công thức ERK.

Ví dụ 1.2 Một số công thức IRK cơ bản

(a) Euler ẩn

1 1 1

(b) Hình thang ẩn

0 0 0

1 12

1 2 1 2

1 2

(c) Trung điểm ẩn

1 2

1 2 1

Bảng 1.3: Một số công thức IRK.

Sự tồn tại lời giải số của phương pháp

Xét công thức (1.2) trong trường hợp n = 1, nếu ta đặt ki = f (t0+ cih, Yi) với

Để xác định lời giải sốy 1 của phương pháp, trước hết ta cần xác định các giá trị

k i từ hệ phương trình chứa k i cho bởi (1.3) Nói chung, đây là hệ phương trìnhphi tuyến nên trong nhiều trường hợp có thể các ki tồn tại không duy nhất Do

đó, không tồn tại lời giải số của phương pháp Định lý sau đây cho ta điều kiện

để tồn tại lời giải số của phương pháp Runge-Kutta ẩn (1.3)

Định lý 1.1 (xem [2]) Cho hàm f : R×Rn →Rn là hàm liên tục và thỏa mãnđiều kiện Lipschitz theo biến y với hằng số L Nếu

Ở các phần sau, khi xét phương trình thử (1.4) ta luôn giả sử Re (λ) ≤ 0.

Trong trường hợp Re (λ) ≤ 0 ta được điều kiện ổn định tuyệt đối là

|yn| ≤ |yn−1| , n = 1, 2, (1.5)Giả sử y(t), ey(t) là hai lời giải của (1.1) Từ đó ta có các định nghĩa về sự ổnđịnh và ổn định tiệm cận với nghiệm của phương trình vi phân( 1.1)

Định nghĩa 1.2 Nghiệm y (t) của phương trình vi phân( 1.1) gọi là ổn địnhnếu với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |y (to) − y (te o)| ≤ δ thì

Xét bài toán tuyến tính

Re (λ) ≤ 0 và các giá trị riêng có phần thực bằng 0 đều là các giá trị riêng đơnthì hệ y0= Ay là ổn định

Định lý 1.3 (Điều kiện cần và đủ (xem [5])) Nếu Re (λ) < 0 với mọi giá trịriêng λ của A thì hệ ổn định tiệm cận

Để đi đến khái niệm về hàm ổn định của phương pháp Runge-Kutta, ta ápdụng phương pháp Runge-Kutta với công thức (1.2) cho phương trình thử (1.4)được lời giải số

yn = R (z) yn−1 với z = λh. (1.7)Khi đó, để điều kiện ổn định tuyệt đối (1.5) được thỏa mãn thì

phương pháp Runge-Kutta Tập S = {z ∈C: |R (z)| ≤ 1} được gọi là miền ổnđịnh tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta

Ví dụ 1.3

• Phương pháp Euler hiển có hàm ổn định R (z) = 1 + z

• Phương pháp Euler hiển có miền ổn định tuyệt đối là hình tròn có bán kínhbằng 1, tâm −1

Mệnh đề 1.1 (xem [3]) Phương pháp Runge-Kutta ẩn s nấc với

Mệnh đề 1.2 (xem [3]) Hàm ổn định của (1.9) thỏa mãn

Bảng 1.4: Hàm ổn định của một số phương pháp Runge-Kutta ẩn.

Miền ổn định tuyệt đối của các phương pháp cho trong Bảng 1.4 có thể xemtrong [3] Từ kết quả ở trên ta thấy phương pháp Runge-Kutta ẩn có hàm ổnđịnh R (z) là hàm hữu tỉ với tử số và mẫu số có bậc ≤ s.

R (z) = P (z)

Q (z), deg P = k, deg Q = j. (1.12)Định nghĩa 1.5 Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn

S ⊃C−= {z ∈ C: Re (z) ≤ 0} ,

thì phương pháp đó gọi là phương pháp ổn định A (hay A-ổn định)

Phương pháp Runge-Kutta với hàm ổn định như ở (1.12) là ổn định A khi vàchỉ khi

|R (iy)| ≤ 1 với mọiy ∈R (1.13)và

R (z) là giải tích vớiRe (z) < 0. (1.14)

Xấp xỉ Padé của ez

Cho hàm f (z) giải tích trong lân cận của điểm 0, hai số nguyên không âm k

và j Khi đó, ta có thể xấp xỉ hàm f (z) bởi hàm hữu tỉ

f (z) ≈ Pk(z)

P là đa thức bậc k,Q là đa thức bậcj và sai số của xấp xỉ tới O z k+j+1
Trongtrường hợp j = 0khi đó xấp xỉ chính là khai triển Taylor của hàm f (z) tại điểm

0 Khi k = 0 thì Q (z)/P (z) là khai triển Taylor của hàm 1/f (z)

Tuy nhiên, với hàm bất kỳ và k, j bất kỳ thì không phải lúc nào cũng tồn tạixấp xỉ này Khi xấp xỉ

f (z) = Pkj(z)

Qkj(z)+ O z

k+j+1

tồn tại, thì bộ số (k, j) được gọi là xấp xỉ Padé của hàm f

Xấp xỉ Padé của hàm mũ là trường hợp đặc biệt chúng ta cần nghiên cứu,một vài xấp xỉ Padé xấp xỉ các hàm hữu tỉ của các phương pháp quan trọng nhưphương pháp Gauss, phương pháp Radau, phương pháp Lobatto Ta sẽ chỉ raluôn tồn tại xấp xỉ Padé cho các hàm ổn định của các phương pháp này với k,

z22!+ +

k (k − 1) 1 (j + k) (j + 1).

zkk!

Qkj = 1 − j

k + j.z +

j (j − 1) (k + j) (k + j − 1).

z22!+ +

(−1)jj (j − 1) 1 (k + j) (k + 1).

zjj! = Pjk(−z)

so sánh |R (z)| với nghiệm chính xác của phương trình thử |e z | = e x (z = x + iy)

và hi vọng sẽ nhận được nhiều thông tin hơn Chúng ta luôn giả sử rằng các hệ

số của hàm R (z) là số thực và sao cấp chính xác đối xứng qua trục thực Hơnnữa, với z = iy ta có |e z | = 1, khi đó tập A là phần bù của miền ổn định tuyệtđối S trên trục ảo Hình 1.1 và Hình 1.2 thể hiện các tập sao cấp chính xác củaxấp xỉ Padé

Bổ đề 1.1 (xem [3]) Nếu R (z) là một xấp xỉ cấp p của ez, tức là

ez − R (z) = Czp+1+ O zp+2

với C 6= 0 thì khi z → 0, A có dáng điệu như một hình ngôi sao với p + 1 cánhsao có các góc quét bằng nhau và bằng π

p + 1

1.2 Xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn

Phần này sẽ đề cập đến lớp các phương pháp Runge-Kutta ẩn sở hữu tính ổnđịnh khá tốt Việc xây dựng các phương pháp như vậy chủ yếu dựa vào các bộđiều kiện

Hình 1.1: Tập sao cấp chính xác của xấp xỉ Padé với k = 1, j = 2.

Hình 1.2: Tập sao cấp chính xác của xấp xỉ Padé với k = 2, j = 21.

Định lý 1.5 (Butcher 1964) Nếu bộ hệ số b i , c i , a ij của phương pháp Kutta thỏa mãn B (p) , C (η) , D (ζ) với p ≤ η + ζ + 1 và p ≤ 2η + 2 thì phươngpháp có cấp p

Runge-Các phương pháp Gauss

Các phương pháp Gauss hay còn gọi "các phương pháp Kuntzmann-Butcher"

là các phương pháp trùng khớp dựa trên cơ sở của công thức cầu phương Gaussvới các hệ số c1, , cs là nghiệm của đa thức trực giao Legendre bậc s

1 2 1

(b) p = 4

1

2 −

√ 3 6

1 4

1

4 −

√ 3 6 1

2+

√ 3 6

1

4+

√ 3 6

1 4 1

2

1 2 Bảng 1.5: Các phương pháp Gauss cấp 2 và cấp 4.

Định lý 1.6 (Butcher 1964, Ehle 1968) Phương pháp Gausss nấc có cấp chínhxác p = 2s Hàm ổn định là xấp xỉ Padé (s, s) và phương pháp ổn định A.Chứng minh Chi tiết xem [2] và [3]

Các phương pháp Radau IA và Radau IIA

Butcher (1964) đã giới thiệu các phương pháp Runge-Kutta dựa trên cơ sởcủa các công thức cầu phương Radau và Lobatto Ông ấy gọi chúng theo ba loại

I, II hoặc III tùy thuộc vào c1, c2, , cs là nghiệm của

B (2s − 1) là cơ sở Radau, B (2s − 2) là cơ sở Lobatto Ehle (1969) đã theo đuổi

ý tưởng của Butcher và xây dựng các phương pháp loại I, II và III với các tínhchất ổn định vượt trội Một cách độc lập, Axelsson (1969) đã tìm ra các phươngpháp Radau IIA và chứng minh tính ổn định A của chúng

Phương pháp Radau IAsnấc thuộc loại I khi các hệ sốaij (i, j = 1, , s)đượcđịnh nghĩa bởi điều kiện D (s) Đây là cách duy nhất bởi vì các ci là phân biệt

1 4

5 12 1 4

3 4

(c) p = 5

0 19

−1 −√6 18

−1 +√6 18

6 − √ 6 10

1 9

88 + 7 √

6 360

88 − 43 √

6 360

6 + √ 6 10

1 9

88 + 43 √

6 360

88 − 7 √

6 360 1

9

16 + √ 6 36

16 − √ 6 36 Bảng 1.6: Một số phương pháp Radau IA

và bi 6= 0 Bảng 1.6 trình bày các phương pháp đầu tiên có đặc điểm này Côngthức loại II của Ehle thu được bằng cách áp dụng điều kiện C (s)

Theo Định lý II.7.7 trong [2], các hệ số của phương pháp loại II được xâydựng dựa trên cơ sở là nghiệm của (1.20) Ta gọi chúng là phương pháp RadauIIA Với s = 1chúng ta thu được công thức Euler ẩn (xem Bảng 1.3) Các ví dụ

về phương pháp Radau IIA được đưa ra trong Bảng 1.7

(a) p = 3

1

3

5 12

− 1 12

1 3

4

1 4 3 4

1 4

(b) p = 5

4 − √ 6 10

88 − 7 √

6 360

269 − 169 √

6 1800

−2 + 3√6 225

4 + √ 6 10

269 + 169 √

6 1800

88 + 7 √

6 360

−2 − 3√6 225

1 16 −

√ 6 36

16 + √ 6 36

1 9

16 − √ 6 36

16 + √ 6 36

1 9 Bảng 1.7: Các phương pháp Radau IIA cấp 3 và cấp 5.

đều có cấp chính xác p = 2s − 1 Hàm xấp xỉ của chúng là xấp xỉ Padé (s − 1, s)

Cả hai phương pháp đều ổn định A

Chứng minh Chi tiết xem trong [3]

Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB và IIIC

Với tất cả các công thức loại III thì ci là nghiệm của đa thức cho bởi (1.21)

và các trọng số bi thỏa mãn B (2s − 2) Các hệ số aij được định nghĩa bởi C (s)

cho ta các công thức Lobatto IIIA Do đó nó là một phương pháp trùng khớp.Với các phương pháp Lobatto IIIB chúng ta áp dụng D (s) Cuối cùng, để cócông thức Lobatto IIIC chúng ta đặt

ai1= b1 i = 1, 2, , s (1.22)

và xác định cácaij còn lại bởi C (s − 1) Ehle (1969) đã giới thiệu hai lớp phươngpháp đầu tiên, và trình bày các phương pháp IIIC với s ≤ 3 Định nghĩa chungcủa các phương pháp IIIC được đưa ra bởi Chipman (1971) và Axelsson (1972).Các ví dụ được đưa ra ở các Bảng 1.8 - 1.10.

Định lý 1.8 Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB và IIIC có cấp chính xác

p = 2s − 2 Hàm ổn định của các phương pháp Lobatto IIIA và Lobatto IIIB làxấp xỉ Padé (s − 1, s − 1) Với các phương pháp Lobatto IIIC, hàm ổn định làxấp xỉ Padé (s − 2, s) Và tất cả chúng đều ổn định A

Chứng minh Chi tiết xem Phần IV.5 trong [3]

(a) p = 2

0 0 0

1 12

1 2 1 2

1 2

(b) p = 4

0 0 0 0 1

2

5 24

1 3

−1 24

1 16

2 3

1 6

1 16

2 3

1 6 Bảng 1.8: Các phương pháp Lobatto IIIA cấp 2 và cấp 4.

1 2

(b) p = 4

0 16

−1

6 01

2

1 6

1

3 0

1 16

5

6 01

6

2 3

1 6 Bảng 1.9: Các phương pháp Lobatto IIIB cấp 2 và cấp 4.

(a) p = 2

0 12

− 1 2

1 12

1 2 1 2

1 2

(b) p = 4

0 16

− 1 3

1 6 1

2

1 6

5 12

− 1 12

1 16

2 3

1 6 1

6

2 3

1 6 Bảng 1.10: Các phương pháp Lobatto IIIC cấp 2 và cấp 4.

Tóm tắt về việc xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn được thể hiệntrong Bảng 1.11

Phương pháp Bộ điều kiện đơn giản hóa Cấp chính xác Hàm ổn định

Gauss B (2s) C (s) D (s) 2s (s, s) Padé

Radau IA B (2s − 1) C (s − 1) D (s) 2s − 1 (s − 1, s) Padé

Radau IIA B (2s − 1) C (s) D (s − 1) 2s − 1 (s − 1, s) Padé

Lobatto IIIA B (2s − 2) C (s) D (s − 2) 2s − 2 (s − 1, s − 1) Padé Lobatto IIIB B (2s − 2) C (s − 2) D (s) 2s − 2 (s − 1, s − 1) Padé Lobatto IIIC B (2s − 2) C (s − 1) D (s − 1) 2s − 2 (s − 2, s) Padé

Bảng 1.11: Thể hiện đầy đủ của các phương pháp Runge-Kutta ẩn.

 

j + k j

Bổ đề 1.2 (xem [3]) ChoA là ma trận hệ số của một phương pháp Runge-Kutta

ẩn và W là ma trận không suy biến với

Định nghĩa 1.7 Với η, ζ là các số nguyên từ 0 đến s − 1 Ta nói rằng ma trận

W cấp s × s thỏa mãn T (η, ζ) với công thức cầu phương có bộ hệ số (bi, ci)si=1

I là ma trận đơn vị cấp (ζ + 1) × (ζ + 1), R là ma trận tùy ý cấp (s − ζ − 1) × (s − ζ − 1)

(bi, ci)si=1 thì một phương pháp Runge-Kutta dựa trên (bi, ci)si=1, với ma trận

X = W−1AW ta có

a) η cột đầu tiên của X là của XG ⇔ C (η);

b) ζ hàng đầu tiên của X là của XG ⇔ D (ζ)

Bổ đề 1.5 (xem [3]) Nếu công thức cầu phương có các nút ci, tất cả các trọng

số bi > 0 và nếu nó có cấp chính xác p thỏa mãn p ≥ 2η + 1, p ≥ 2ζ + 1 thì matrận

W = (p j−1 (c i ))i,j=1, ,s (1.32)

có tính chất T (η, ζ) và thỏa mãn (1.30) Ở đây, pj(x) là đa thức trực giao bậc

j với tích vô hướng

Nhận xét 1.2 (xem [3]) Chúng ta có thể biểu diễn hàm ổn định của phương

cũng là quan điểm đầu tiên trong lịch sử về bài toán cương là do Curtiss vàHirschfelder đưa ra Theo đó, bài toán cương là những bài toán mà các phươngpháp Runge-Kutta hiển không giải quyết được Đối với các bài toán cương, cácphương pháp Runge-Kutta ẩn giải quyết tốt hơn rất nhiều so với các phươngpháp Runge-Kutta hiển.

Định nghĩa 1.8 Bài toán giá trị ban đầu được gọi là bài toán cương nếu điềukiện ổn định tuyệt đối xác định bước đi h nhỏ hơn nhiều so với yêu cầu về độchính xác

Ngoài ra, ta có thể nhận dạng bài toán cương trong một vài trường hợp đặcbiệt Với bài toán (1.6) ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.9 Đối với bài toán y0 = Ay, A ∈Cm×m nếuRe (λi) ≤ 0(với λi làcác giá trị riêng của A) với i = 1, , m và

max

i |Reλi| min

i |Reλi|  1 thì bài toán gọi là bài

h = 0.0015, phương pháp Gauss cấp 4 cho ta lời giải khá chính xác, còn lời giảicủa phương pháp Gauss cấp 2 có nhiều sai số Trong khi đó, nếu ta sử dụngchương trình ode23s thì chỉ cần 450 bước với hmin ≈ 1.4629 × 10−6, h max ≈ 0.0431

Hình 1.3: Lời giải của y 1 khi ε = 10 bằng các phương pháp Gauss và chương trình ode23s.

Ta lập trình chương trình trong Matlab sử dụng các phương pháp Radau IIAcấp 3 và cấp 5 (xem Bảng 1.6) với bước đi đều h = 0.01 để giải Tiếp theo, ta

so sánh với lời giải của chương trình ode23t Chương trình ode23t là chươngtrình cải biên dựa trên công thức hình thang sử dụng các bước đi h thay đổi(xem [6]) Các lời giải số của y 2 thể hiện trong Hình 1.4 Sau 4000 bước với

Hình 1.4: Lời giải của y 2 bằng các phương pháp Radau IIA cấp 3, cấp 5 và chương trình ode23t.

bước đi đều h = 0.01, lời giải của các phương pháp Radau IIA cấp 3 và cấp

5 có độ chính xác cao Trong khi đó chương trình ode23t chỉ cần 44 bước với

hmax≈ 4, hmin ≈ 2.0026 × 10−4 đã cho ta lời giải có độ chính xác cao

Bài toán 1.3 Bài toán cương OREGO

y03= 0.161 (y1− y3)

y1(0) = 1, y2(0) = 2, y3(0) = 3, 0 ≤ x ≤ 400.

(1.38)

Nhận thấy rằng đây là một bài toán rất cương, ta sử dụng chương trình ode23s

để giải Lời giải số của y2 khi sử dụng chương trình ode23s thể hiện trong Hình1.5 Mặc dù đây là một bài toán rất cương, chương trình ode23s chỉ cần thựchiện 694 bước với hmax ≈ 9.6650, hmin≈ 4.0532 × 10−4

Hình 1.5: Lời giải của y2 khi sử dụng chương trình ode23s.

Chuẩn Euclid cho bởi (1.39) không phải là duy nhất Ngoài ra chúng ta còn

có các chuẩn cho bởi các công thức (1.41) và (1.42) Hơn nữa, người ta đã chứngminh được rằng trong không gian hữu hạn chiều vai trò của các chuẩn là tươngđương nhau

kyk = max (|y 1 | , , |y n |) , (1.41)

Theo định nghĩa, kQk là số nhỏ nhất sao cho

Định lý tiếp theo sẽ đưa ra các cách tính (1.43)

Định lý 1.11 (xem [2]) Chuẩn của ma trận Q = (qki) (k = 1, m, i = 1, n) đượctính bởi các công thức sau đây:

Với chuẩn Euclid (1.39),

kQk =

q

Với chuẩn max (1.41),

Chuẩn logarit

Xét bài toán Cauchy

y0 = f (x, y) , y (x0) = y0. (1.48)Định lý 1.12 (xem [2]) Nếu f (x, y) là khả vi theo y trong một tập mở lồi U

và nếu

∂f

∂y (x, y) ≤ L với (x, y) ∈ U (1.49)thì

kf (x, z) − f (x, y)k ≤ L kz − yk với (x, y) và (x, z) ∈ U. (1.50)(Chuẩn ở (1.49) phụ thuộc vào chuẩn sử dụng trong (1.50).)

Điều kiện (1.50) được gọi là điều kiện Lipschitz Bài toán còn có thể viết ởdạng hệ phương trình vi phân sau

như là một hàm số theo biến x và cố gắng ước lượng sự phát triển của sai số

Định lý 1.13 (xem [2]) Nếu hàm g (x, y)là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiệnLipschitz thì

là chuẩn logarit của Q

Định lý 1.14 (xem [2]) Chuẩn logarit (1.58) thu được bằng các công thức sau:Với chuẩn Euclid (1.39),

µ (Q) = λ max = giá trị riêng lớn nhất của1

Nhận xét 1.3 Với Q ∈Cn×n, các công thức trên vẫn đúng nếu ta thay thế QT

bởi Q∗ và qkk, qii bởi Reqkk, Reqii

Định lý 1.15 (xem [2]) Giả sử ta có ước lượng

Chương này đã trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả với mục đích

sử dụng các kết quả đó trong các Chương 2 và Chương 3 Ta sử dụng kiến thức

về sao cấp chính xác trong chứng minh Định lý 2.2, sử dụng Định nghĩa 1.12

và Định lý 1.15 về chuẩn logarit trong Phần 2.1 Ngoài ra, với các công thứcRunge-Kutta ẩn (Gauss, Radau, Lobatto) đã xây dựng trong phần này, ta sẽnghiên cứu về tính ổn định B và ổn định đại số của chúng trong Chương 3 Bêncạnh đó, ta đã thử nghiệm số giải một số bài toán cương sử dụng các phươngpháp Runge-Kutta

Chương 2

Tính co cho bài toán tuyến tính

Nội dung của chương này được tham khảo từ tài liệu [3] Xuất phát từ điềukiện ổn định tuyệt đối (1.5) của bài toán (1.4), ta mở rộng đến khái niệm "tínhco" cho bài toán tuyến tính (1.6) Tính co có nghĩa là hai lời giải số của cùngmột phương pháp ngày càng gần nhau hơn Nội dung chương này trình bày cáckhái niệm và định lý liên quan đến tính co khi xét bài toán tuyến tính Đầutiên, chúng ta nghiên cứu điều kiện co khi xét chuẩn Euclid (Định lý 2.1 củavon Neumann) Sau đó, ta nghiên cứu tính co trong chuẩn k.k∞ và k.k1 Ngoài

ra, ta còn nghiên cứu các hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính Hơnnữa, từ các ước lượng trong bài toán tuyến tính dừng, ta mở rộng đến các bàitoán với nhiễu phi tuyến nhỏ

Trước tiên, ta xét hàm ϕ (x) là một lời giải trơn của bài toán y0 = f (x, y).Chúng ta tuyến tính hóa hàm f trong lân cận của (x, ϕ(x)) ta được

Công thức (2.4) được nghiên cứu bằng cách biến đổi ma trận J thành dạngchuẩn tắc Jordan Chúng ta giả sử rằng J là ma trận dạng đường chéo và có cácvectơ riêng là v1, , vn và y0 được biểu diễn theo cơ sở này như sau

Việc nghiên cứu sự ổn định có thể dựa trên cơ sở chéo hóa ma trận Jacobi

J ≈ ∂f/∂y như trên Nhưng với những bài toán có số chiều lớn, ma trận thựchiện sự biến đổi có thể là ma trận điều kiện xấu và điều đó sẽ làm mất tất cảcác ước lượng đẹp

Ví dụ 2.1 Rời rạc hóa phương trình hyperbolic

Ta xét bài toán (2.8) với 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 Khi ∆x = 0.01 ứng với việc chiađoạn[0, 1]thànhN = 100đoạn con, ma trậnA là ma trận vuông cấpN −1 = 99.Sau đây, ta sử dụng phương pháp Euler ẩn để giải (2.9) với bước h = 0.01 sửdụng các giá trị ban đầu khác nhau Ta lập trình chương trình thử nghiệm sốcủa phương pháp Euler ẩn trong môi trường Matlab Kết quả của chương trìnhđược thể hiện trong Hình 2.1 Trên hình 2.1 ta thấy hai lời giải số bằng phương

Hình 2.1: Lời giải số y 98 bằng phương pháp Euler ẩn với các giá trị ban đầu khác nhau.

pháp Euler ẩn ngày càng gần nhau hơn Độ lệch giữa hai lời giải số giảm nhanh

về 0, thể hiện trên Hình 2.2

Hình 2.2: Độ lệch giữa hai lời giải số trong Hình 2.1.

2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann)

Xét chuẩn Euclid sinh ra bởi tích vô hướng ký hiệu làh , i Khi đó, vớiy0 = Ay

ta có

d

dx kyk2 = d

dx hy, yi = 2Re y, y0= 2Re hy, Ayi (2.12)

Do đó, điều kiện co của bài toán y0 = Ay0 là

Re hy, Ayi ≤ 0 , ∀y ∈Cn. (2.13)Kết quả trên có được từ Mệnh đề 1.3 với l (x) = µ2(A)

Re hy, Ayi ≤ µ2(A) kyk2, (2.14)

ở đây µ2(A) là chuẩn logarit của A được tính theo công thức (1.59)

thỏa mãn điều kiện (2.13) Với chuẩn Euclid sinh ra bởi tích vô hướng thì ta có

Jordan-và Lubich (1982) Ý tưởng chứng minh dưới đây là của M Crouzeix

diag {λ1, , λn} Trong trường hợp này ta có

hv, A (ω) vi = ωRe hv, Avi + iIm hv, Avi

là A (ω) thỏa mãn (2.13) với mọi ω mà Reω ≥ 0, vì vậy các giá trị riêng của

A (ω) cũng thỏa mãn Reλ (ω) ≤ 0 với Reω ≥ 0 Do đó, hàm hữu tỉ

ϕ (ω) = hu, R (A (ω)) vi

(u, v cố định) không có cực trị trong Reω ≥ 0 Sử dụng A (1) = A chúng ta

Hệ quả 2.1 Nếu hàm hữu tỉ R (z) ổn định A thì lời giải số y n+1 = R (hA) y n là

co trong chuẩn Euclid (tức là ky n+1 k ≤ ky n k) khi (2.13) được thỏa mãn

Rez≤0 |R (z)| ≤ 1 nên sup

Rez≤0

|R (z)| ≤ 1

Do (2.13) được thỏa mãn, theo Định lý 2.1 ta có kR (A)k ≤ 1 Mặt khác, ta có

kyn+1k ≤ kR (hA)k kynk nên kyn+1k ≤ kynk Vì vậy tính co được đảm bảo với cáclời giải số

Hệ quả 2.2 Nếu ma trận A thỏa mãn Re hv, Avi ≤ νkvk2 với mọi v ∈Cn thì

kR (A)k ≤ sup

Rez≤ν

Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 với R (z) = R (z + ν)e và A = A − νIe

2.2 Hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính

Dựa vào các ước lượng ở trên, ta định nghĩa

ϕR(x) := sup

Rez≤x

Hàm ϕR(x) được gọi là hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính Nó là

Rez < x, theo nguyên lý cực đại ta có

ϕR(x) = sup

y∈R

|R (x + iy)|

Các ví dụ:





R (x) nếu − ∞ < x ≤ 0, 1

1 −2z

3 +

z26 , ϕR(x) =

1 − z

2+

z212 , ϕR(x) =

9 + 3x 2

3 − x nếu 0 ≤ x < 3,

(2.23)Định lý 2.2 Giả sử R (z) là ổn định A, xấp xỉ cấp p của ez, tức là

R (z) = ez − Czp+1+ O zp+2

với C 6= 0 Nếu thêm điều kiện |R (iy)| < 1 với y 6= 0 và |R (∞)| < 1 thì ta có

a) Nếu p là số lẻ

ϕR(x) = ex+ O xp+1
với x → 0. (2.24)