Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao

Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương phá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU VĂN VƯỢNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11,

BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU VĂN VƯỢNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11,

BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn

Đặc biệt, tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn của mình là GS.TS BÙI VĂN NGHỊ, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu

và thực hiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám hiệu và tổ Toán trường THPT Hàm Long, thành phố Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện, cộng tác và giúp đỡ tác giả làm thực nghiệm sư phạm tại trường

Xin cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP dạy học Bộ môn Toán K6, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn gia đình, người thân đã động viên

và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này song vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp các ý kiến quý báu của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2013

Người thực hiện

Kiều Văn Vượng

: Điều kiện : Giáo viên : Học sinh : Nâng cao : Nhà xuất bản : Phương pháp dạy học : Sách giáo khoa

: Sách giáo viên : Tổng chủ biên : Trung học phổ thông : Thực nghiệm sư phạm : Tập xác định

: Ví dụ

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1 Chương 1: TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN

TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔN 5

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 5

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 6

1.3.1 Khái niệm thuật toán và quy trình tựa thuật toán( thuật giải) 8

1.3.5 Tư duy thuật toán và vấn đề phát tiển tư duy thuật toán trong

1.3.6 Dạy học thuật toán và quy trình tựa thuật toán 18

1.4 Một số thực tiễn về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT 19

1.4.1 Đặc điểm của chương trình và sách giáo khoa đại số và giải

tích 11 nâng cao trong chương trình Trung học phổ thông hiện nay 19

1.4.2 Đặc điểm phần đại số tổ hợp trong chương trình và sách giáo

1.4.3.Một số nhận định chủ quan của tác giả về thực tiễn dạy và học

Đại số tổ hợp ở trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh 22

1.5 Tiểu kết chương 1 22

Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY

THUẬT TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ

2.1 Nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa lớp 11 (nâng cao) 23

2.2 Định hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông

qua dạy học giải toán đại số tổ hợp

25

2.2.1 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ

sở đáp ứng được mục đích của việc dạy, học môn toán ở nhà trường

2.2.2 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ

sở tôn trọng chương trình sách giáo khoa hiện hành 25

2.2.3 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần đổi

2.2.4 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toánphải góp phần

đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới 26

2.2.5 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải phát huy

tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn

cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh 26

2.2.6 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải kết hợp

chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính linh hoạt và sáng tạo 27

2.3 Biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy

2.3.1 Biện pháp 1 : Rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các

thuật toán đã được trang bị trong chương trình 27

2.3.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh phát hiện những thuật toán

2.3.3 Biện pháp 3: Trang bị và rèn luyện cho học sinh những kĩ

thuật cần thiết quy một dạng toán lạ về dạng toán quen, về thuật toán

2.3.4 Biện pháp 4: Tạo điều kiện cho học sinh đề xuất một hay nhiều

thuật toán để giải cùng một dạng toán; qua đó chọn được thuật toán

2.3.5 Biện pháp 5: Khắc phục những khó khăn, sai lầm cho học sinh 52

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm 59

3.3.1 Đề bài kiểm tra, đánh giá sau giờ dạy thực nghiệm sư phạm: 68

MỞ DẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt

kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục

và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc

Điều 24, luật giáo dục (2005) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, , bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.2 Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học Tin học được

dạy tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như công cụ dạy học Do đó vấn đề phát triển phát triển tư duy thuật toán trong môn toán giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đều nắm được những yếu tố cơ bản của tin học với tư cách

là thành tố của văn hóa phổ thông" "Góp phần hình thành ở học sinh những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin như tư duy thuật giải, tư duy điều khiển, ", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: tính kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra, "

1.3 Phát triển tư duy thuật toán là một mục đích của việc dạy học toán ở

Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực

xử lý thông tin Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội

1.4 Phát triển tư duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và

môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển tư duy thuật giải, thế nhưng, tư duy thuật giải chưa được chú ý phát triển đúng mức ở nhà trường phổ thông Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án của tiến sỹ Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998) Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển

tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phương trình

Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11

1.5 Nội dung chương đại số tổ hợp – ban nâng cao là nội dung khá hay và

khó ở chương trình toán trung học phổ thông vì có tính trừu tượng, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm

năng có thể chuyển về một thuật toán hay một quy trình tựa thuật toán Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao " làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển

tư duy thuật giải trong quá trình dạy học nội dung đại số tổ hợp lớp 11 nhằm

góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học nội dung đại số tổ hợp nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau:

4.1 Tư duy thuật toán là gì? Vì sao nó cần được phát triển ở học sinh trong

dạy học môn Toán?

4.2 Có thể đưa ra thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải một số dạng

bài toán tổ hợp nhằm tập luyện hoạt động tư duy thuật toán cho học sinh được không?

4.3 Làm thế nào để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài?

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các công trình Tâm lí học, Giáo dục học, Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán liên quan đến đề tài

- Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề )

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung đại số tổ hợp nói riêng

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường THPT Hàm Long – tỉnh Bắc Ninh, kiểm chứng tính khả thi của đề tài thông qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

6 Đóng góp của luận văn

6.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật toán và

vai trò vị trí của việc phát triển tư duy thuật toán trong dạy học toán

6.2 Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật

toán cho học sinh

6.3 Khai thác được một số dạng bài toán tổ hợp có thể giúp học sinh xây

dựng được thuật toán hay quy trình tựa thuật toán

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nội

dung chính của luận văn được trình bày trong gồm có 3 chương

Chương 1: Tư duy thuật toán và vấn đề phát triển tư duy thuật toán cho

học sinh phổ thông

Chương 2: Biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán trong

dạy học giải toán đại sô tổ hợp lớp 11, ban nâng cao

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔN TOÁN 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức

độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

1.1.2 Một số quan điểm khác

Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng

Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động Một yếu

tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi trường

Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học

Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi

sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình

Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống

và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.2 Dạy học giải bài tập toán học

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều quan trọng là bài tập có vai trò giá trị mang hoạt động của học sinh Thông qua giả bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp ( thuật toán), những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Từ đó ta càng thấy rõ hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung

và phương pháp dạy học

1.2.2 Giải bài tập

Vấn đề giải bài tập được tiến hành theo hai hướng cơ bản sau:

Một là thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc quy luật hoạt động tư duy của con người

Hai là nghiên cứu việc giải bài tập như một dạng hoạt động học của học sinh Phải kể đến công trình nghiên cứu của G.Poolya trong nhiều tác phẩm của mình: Giải bài toán như thế nào? Toán học và những suy luận có lý, Sáng tạo toán học…tuy ông không đưa ra một định nghĩa chính xác về giải bài tập, nhưng theo ông giải bài toán là sự “tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” Dựa trên ngững tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, Nguyễn Bá Kim [6] đã nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để tìm hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

+ Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với tri thức đã biết liên hệ bài toán cần giải với một bài toán

cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán chứng minhphanr chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để có thể chọn được cách giải hợp lý nhất

+ Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

+ Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.3 Tư duy thuật toán

1.3.1 Khái niệm thuật toán và quy tắc tựa thuật toán

Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải Từ đó con người đã đi đến khái niệm trực giác về thật toán và khái niệm này đã được dùng từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học

Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn các chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào một lớp của bài toán đó

Tuy nhiên trong quá trình dạy học, chúng ta thường chỉ gặp những quy tắc chưa mang đủ các đặc điểm đó nhưng cũng tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ

dẫn hành động và giải toán Đó là “quy tắc tựa thuật toán” hay còn gọi là

“Thuật giải” được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó

Quy tắc tựa thuật toán phân biệt với thuật toán như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định + Kết quả thực hiện mỗ chỉ dẫn có thể không đơn trị

+ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của bài toán

Mặc dù còn có những hạn chế so với thuật toán nhưng quy tắc tựa thuật toán cũng vẫn là tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán

Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải phương trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ về bài toán

Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output) Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output

Ví dụ 1: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương Input: Hai số nguyên dương M và N

Output: ước chung lớn nhất của M và N

Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a0)

Input: Các số thực a, b, c (a0)

Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax2 + bx + c = 0

Ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có

số thực nào như vậy

Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản:

Input: Các thông tin đã có

Output: Các thông tin cần tìm từ Input

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output

Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,

từ Input của bài toán (algorithm) giải bài toán đó Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau:

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một toán, ta nhận được Output cần tìm

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên

+ Xác định bài toán

+ Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a1, a2, an

+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số

* Ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1

- Lần lượt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng ai với giá trị Max, nếu ai > Max thì Max nhận giá trị mới là ai

* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau:

Bước 1: Nhập N và dãy a1, a2, ,an

Bước 2: Max = ai ; i: = 2

Bước 3: Nếu i > N thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc

Bước 4: + Bước 4.1 Nếu ai > Max thì Max: = ai

+ Bước 4.2 Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bước 3

Từ đó ta thấy thuật toán có các tính chất sau:

* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác

* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo

* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần tìm

Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét:

* Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị Max rồi kết thúc

* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3 Kết quả các bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện

* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy

số và thực hiện Max: = ai nếu ai > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy thì Max là giá trị lớn nhất

1.3.2 Các đặc trưng của thuật toán

- Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả

Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 Tìm đường lối giải toán

Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán

Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta

có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán Bất

kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người

- Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế Có rất nhiều phương pháp

để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi

- Tính tổng quát

Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó

1.3.3 Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",

và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,

Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định Để có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật toán Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán

+ Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

+ Dùng lưu đồ - sơ đồ khối

+ Dùng ngôn ngữ phỏng trình

+ Dùng ngôn ngữ lập trình

- Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc

- Lưu đồ - Sơ đồ khối

Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán Phương pháp lưu

đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý

Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động

* Đường đi

Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để hiện trình tự thực hiện các thao tác

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện

Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có lưu đồ lớn

Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải mô tả những thuật toán phức tạp Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình

- Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là

rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp

Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++, ) để thể hiện thuật toán Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa

Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình

Inra: phương trình có nghiệm kép là

a

b x

* 2





Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm

End

Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán Trong trường hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình

- Ngôn ngữ lập trình

Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Sau đây là ví

dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phương trình bậc hai:

Ví dụ Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai:

if  < 0 then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’)

1.3.4 Độ phức tạp của thuật toán

Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán Độ phức tạp của thuật toán có thể

đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được

1.3.5 Tư duy thuật toán và vấn đề phát triển tư duy thuật toán trong dạy học

Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề một cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau)

Thông qua việc dạy học các quy trình, phương pháp có tính chất thuật toán giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tư duy thuật toán Tư duy thuật toán được đặc trưng bởi các khả năng:

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước

- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

- Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát triển thuật toán tối ưu

Khả năng đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn khả năng sau thể

hiện khả năng xây dựng thuật toán, đặc biệt khả năng thứ hai thể hiện con mắt phát hiện thuật toán

Việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh có thể được thực hiện bằng cách rèn luyện cho họ những khả năng đã liệt kê ở trên như những thành

tố của phương thức tư duy thuật toán

1.3.6 Dạy học thuật toán và quy trình tựa thuật toán

+) Trong dạy học thuật toán hoặc quy trình tựa thuật toán cần lưu ý một số điều sau:

- Thứ nhất là nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó

- Thứ hai là cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể để đọng lại cho học sinh cách trình bày khi luyện tập và được áp dụng trong một thời gian đủ dài để họ nắm vững và vận dụng tốt quy tắc đó

- Thứ ba là cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật toán hoặc quy tắc tựa thuật toán

- Thứ tư là cần làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng trình tự các bước

- Thứ năm là cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học những thuật toán hay quy trình tựa thuật toán +) Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý do cơ bản sau:

- Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong các lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa

- Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải các bài toán bằng máy tính điện tử

- Tư duy thuật toán giúp học sinh học tốt các môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán

- Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển năng lực tư duy khác như phân tích, tổng hợp, khái quát… và hình thành những phẩm chất của con người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra…

1.4 Một số thực tiễn về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.4.1 Đặc điểm của chương trình và sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao trong chương trình Trung học phổ thông hiện nay

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao được biên soạn theo chương trình môn Toán Trung học phổ thông ban hành theo quyết định của

Bộ trưởng Bộ giáo dục và đào tạo, trên cơ sở tổng kết các ưu điểm và nhược điểm của cuốn sách giáo khoa thí điểm Đại số và giải tích 11 ban Khoa học tự nhiên (Bộ 1) sau 2 năm thí điểm được dạy tại gần 50 trường THPT ở nước ta

và lấy ý kiến của các cán bộ, giáo viên trong cả nước

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao là sự tiếp nối của SGK Đại số 10 nâng cao và theo [9, tr14] có những đặc điểm sau:

+ Sát thực, tức là gần gũi với thực tiễn dạy học ở phổ thông nhằm nâng cao tính khả thi của chương trình và sách giáo khoa phù hợp với việc đổi mới giáo dục trung học phổ thông; tiếp cận thực tiễn đời sống, thực tiễn khoa học

+ Trực quan, tức là coi trình quan là phương pháp chủ đạo trong việc tiếp cận các khái niệm toán học, dẫn dắt học sinh nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng thông qua các hoạt động của họ

+ Nhẹ nhàng, tức là xác định các yêu cầu vừa sức đối với học sinh, không quá hàn lâm; sách giáo khoa trình bày vấn đề ngắn gọn, súc tích, không gây cho học sinh căng thẳng trong quá trình học tập

+ Đổi mới, tức là sách giáo khoa đã cách tân cách trình bày, nâng cao tính sư phạm, góp phần đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp đánh giá

1.4.2 Đặc điểm phần đại số tổ hợp trong chương trình và sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao

- Chương trình đại số và tổ hợp được đưa vào dạy trong chương trình lớp 11, giữa học kỳ I với thời lượng 9 tiết Nội dung được trình bày trong chương II cùng với nội dung xác suất

- Tổ hợp là phần mở đầu chương II Các kiến thức của nó rất cơ bản và

có liên quan mật thiết với phần xác suất – một kiến thức rất quan trọng trong

xã hội hiện đại Nếu học sinh không nắm vững phần tổ hợp thì sẽ ảnh hưởng không tốt đến việc học phần xác suất

- Nội dung trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao phần tổ hợp bám sát chương trình và đảm bảo nguyên tắc kế thừa Trong thực tế giảng dạy của bản thân tôi nhận thấy các bài toán tổ hợp luôn là các bài tập khó đối với học sinh Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa được chọn lọc cẩn thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết Do đó học sinh muốn nắm vững bài học thì phải tự mình giải được các bài tập

- Mục đích phần tổ hợp của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học Do dô, hầu hết các ví dụ trong sách giáo khoa ta thấy đều lấy từ thực tế cuộc sống Do đó học sinh cần phải hiểu và phân biệt được các khái niệm, nhớ và vận dụng được các quy tắc, các công thức vào những bài toán đơn giản, không đòi hỏi qua các bước suy luận trung gian

- Mục tiêu chung phần tổ hợp của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao:

* Về kiến thức:

Giúp học sinh:

+ Nắm vững hai quy tắc cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân

+ Hiểu rõ thế nào là hoán vị của n phần tử Hai hoán vị khác nhau có nghĩa là gì?

+ Hiểu rõ thế nào là một chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử Đặc biệt là thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa hai khái niệm trên

+ Nhớ công thức tính số các chỉnh hợp, số các tổ hợp chập k của n phần

tử

+ Nắm vững các định lý, tính chất của chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử

+ Nắm vững công thức khai triển nhị thức Newton

+ Nắm vững quy luật truy hồi thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal khi đã biết hàng thứ n Tìm thấy mối quan hệ giữa các hệ số trong công thức nhị thức Newton với các số nằm trên một hàng của tam giác Pascal

* Về kỹ năng

Giúp học sinh:

+ Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, công thức tính số các hoán vị,

số các tổ hợp, số các chỉnh hợp để giải một bài toán đơn giản

+ Biết vận dụng công thức khai triển Newton vào làm một số bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập

1.4.3 Một số nhận định chủ quan của tác giả về thực tiễn dạy và học Đại số

tổ hợp ở trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh

Với kinh nghiệm mười năm dạy học của bản thân, tôi có một số nhận xét về việc dạy và học Đại số tổ hợp tại trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh như sau:

- Việc dạy và học Đại số tổ hợp vẫn được tiến hành theo những phương pháp truyền thống, chưa áp dụng được các phương pháp dạy học tích cực

- Học sinh tiếp thu phần kiến thức này còn chậm, do có nhiều kiến thức

có tính trừu tượng cao

- Học sinh thường gặp khó khăn khi xác định cách giải bài tập đồng thời việc trình bày lời giải cũng gặp không ít khó khăn

1.5 Tiểu kết chương 1

Chương này trình bày những vấn đề về cơ sở lí luận của việc phát triển

tư duy thuật toán cho học sinh: khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán, quy trình tựa thuật toán; nhiệm vụ, vai trò của việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Tác giả cũng đưa ra được một số ví dụ minh họa cho việc phát triển tư duy thuật toán trong dạy học một số nội dung toán học

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN

TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP LỚP 11

(NÂNG CAO) 2.1 Nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa lớp 11 (nâng cao)

2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản

*) Quy tắc cộng

- Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương

án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách

Tổng quát hơn ta có định nghĩa sau:

- Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương

án A1, A2,…, Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, … và nk cách thực hiện phương án Ak Khi đó công việc đó có thể được thực hiện bởi n1+ n2+…+ nk cách

*) Quy tắc nhân

- Giả sử một công việc gồm 2 công đoạn A và B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n.m cách

Tổng quát hơn ta có định nghĩa sau:

- Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn A1, A2,…, Ak Công đoạn

A1 có n1 cách thực hiện, công đoạn A2 có n2 cách thực hiện, …, công đoạn Ak

có nk cách thực hiện Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2….nk cách

*) Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n Mỗi tập con của A

có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tủ của A (gọi tắt là một

2.2 Định hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán đại số tổ hợp

Nhiệm vụ phát triển tư duy thuật toán cho học sinh không thể thay thế nhiệm vụ đào tạo con người đáp ứng được sự đòi hỏi của xã hội hiện đại, đảm bảo chất lượng và đạt hiệu quả dạy học theo chuẩn kiến thức, kĩ năng đã đề ra của Bộ Giáo dục và Đào tạo Bởi vậy định hướng kết hợp giữa các nhiệm vụ

đó được chúng tôi xác dịnh như sau:

2.2.1 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ sở đáp ứng được mục đích của việc dạy, học môn toán ở nhà trường phổ thông

Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông là: giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy (tư duy logic, tư duy thuật giải, tư duy trừu tượng ) cần thiết của một con người có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kỹ thuật

2.2.2 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải trên cơ sở tôn trọng chương trình sách giáo khoa hiện hành

Chương trình và sách giáo khoa môn Toán hiện nay được xây dựng trên

cơ sở tham khảo những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một

hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm Chương trình và sách giáo khoa lần này đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội dung phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta Cụ thể là:

+ Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua

đó bồi dưỡng các hoạt động tư duy thuật toán

+ Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật giải cho các dạng toán tổng quát

2.2.3 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Trong những năm gần đây, ngành Giáo dục Đào tạo đã đổi mới chương trình, sách giáo khoa, phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo (hoạt động hóa người học) Phù hợp với định hướng đổi mới đó, nhiều kết quả nghiên cứu, áp dụng những xu hướng dạy học không truyền thống vào thực tế Chảng hạn như: dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chương trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện

tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động

Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

2.2.4 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toánphải góp phần đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con người phải năng động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách người học Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá và những phẩm chất của người lao động mới.như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ cho học sinh

2.2.5 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải phát huy tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxki

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra

2.2.6 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải kết hợp chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính linh hoạt và sáng tạo

Để đào tạo những con người có đầy đủ các phẩm chất của người lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động tư duy thuật toán cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tính tích cực trong tư duy của học sinh

2.3 Biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học giải toán đại số tổ hợp

Từ các định hướng trên, những biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho học sinh được chúng tôi đề xuất như sau:

2.3.1 Biện pháp 1 : Rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các thuật toán đã được trang bị trong chương trình

Trong chương trình môn Toán lớp 11, học sinh được trang bị những thuật toán sau:

- Quy tắc cộng

- Quy tắc nhân

- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

- Công thức khai triển nhị thức Newtơn

Điều quan trọng khi vận dụng những thuật toán trên, học sinh cần phân biệt được: khi giải quyết công việc đó ta thực hiện theo những cách khác nhau hay theo những công đoạn kế tiếp nhau? Việc sắp thứ tự trong khi chọn có dẫn tới những cách chọn khác nhau hay không?

Theo đó khi dạy học về hai quy tắc đếm, giáo viên có thể cho HS tiếp cận với hai quy tắc này bằng cách đưa ra một số bài toán (về hai quy tắc đếm,

từ cụ thể đến khái quát), ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm HS nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải Trước hết, mỗi học sinh cần độc lập nghiên cứu lời giải các bài toán được ghi trong phiếu học tập Sau đó cả nhóm thảo luận và phát hiện ra khi nào, dạng nào thì dùng quy tắc cộng, khi nào, dạng nào thì dùng quy tắc nhân Trong mỗi bài toán nên có cả hai quy tắc, tạo điều kiện để học sinh phân biệt được hai quy tắc đếm

Chẳng hạn, một phiếu học tập khi học quy tắc đếm có thể gồm các hệ thống bài toán sau:

Hệ thống 1: gồm các bài toán có nội dung cụ thể:

1) Trong hộp có 6 viên bi trắng khác nhau và 3 bi đen khác nhau

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp viên bi: Trắng, đen?

2) Trên giá sách có 4 quyển Văn và 3 quyển Toán

a) Có bao nhiêu cách chọn một quyển sách?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 quyển sách cùng loại?

3) Hoàng có 8 đồ mặc gồm 3 kiểu quần và 5 kiểu áo

a) Có bao nhiêu cách chọn một đồ mặc?

b) Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Hệ thống 2: gồm các bài toán khái quát từ các bài cụ thể ở trên:

1) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động: Hoạt động một có m cách, hoạt động hai có n cách Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?

2) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động liên tiếp: Hoạt động một có m cách, hoạt động hai có n cách Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?

3) Một công việc được hoàn thành bởi hai phương án: Phương án một có m cách, phương án hai có n cách Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?

4) Một công việc được hoàn thành sau hai công đoạn: Công đoạn một có m cách, công đoạn hai có n cách Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?

Hệ thống 3: gồm các bài toán để củng cố tiếp các bài toán khái quát ở trên

1) Một cơ quan có 4 cổng để vào, ra

a) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan đó?

b) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan đó bằng hai cổng khác nhau?

2) Một tập bài có 5 quân đỏ khác nhau và 4 quân đen khác nhau

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài khác màu?

Bằng cách này giáo viên đã trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm theo phương pháp dạy học tích cực

Ta còn có thể chia các dạng bài tập theo các dạng toán riêng lẻ giúp học sinh thuận lợi trong quá trình rèn kĩ năng về hai dạng bài toán đếm:

Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp theo qui tắc cộng

Ví dụ 2.1: Một nhà hàng có 3 loại kem, 4 loại chè và 6 loại bánh ngọt Thực

khách cần chọn đúng 1 loại đồ ăn Hỏi có mấy cách chọn?

Hướng dẫn: Có: 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn

Ví dụ 2.2: Từ các chữ số 1, 2, 3 có bao nhiêu cách để lập được số tự nhiên có

Ví dụ 2.3: Giả sử trường A được cử một học sinh đi dự trại hè toàn tỉnh Sơn

La, nhà trường quyết định chọn học sinh đó là học sinh giỏi Toán hoặc là học sinh giỏi Văn Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng trường

có 15 học giỏi Văn và 12 học sinh giỏi Toán?

Hướng dẫn: Có các trường hợp sau

Trường hợp 1: Nếu ở trường đó mỗi học sinh giỏi Văn thì không giỏi Toán và

mỗi học sinh giỏi Toán thì không giỏi Văn (tức là không có học sinh nào giỏi

cả Văn và Toán) thì ta mới áp dụng được quy tắc cộng

Ví dụ 2.4: Trong trường THPT Thuận Châu, khối 11 có 16 HS tham gia CLB

đá cầu, 14 HS tham gia CLB bóng đá, 5 HS tham gia cả hai CLB và 10 HS không tham gia CLB nào Hỏi khối 11 ở trường đó có bao nhiêu HS?

Hướng dẫn: Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A thì ta có lời giải

Gọi tập hợp HS khối 11 tham gia CLB đá cầu và CLB bóng đá lần lượt

là A và B Khi đó tập hợp khối 11 đó tham gia câu lạc bộ là A  B

Theo bài ra ta có:|A| = 16, |B| = 14, HS tham gia cả hai CLB là A  B và

|A  B | = 5

Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

|A  B| = |A| + |B|  |A  B | = 16 + 14 – 5 = 25

Vậy khối 11 đó có: 25 + 10 = 35 học sinh

Dạng 2: Đếm số phần tử của tập hợp theo qui tắc nhân

Ví dụ 2.5: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 Hỏi từ các chữ số đã cho ta có thể lập

lập được mấy số tự nhiên khác nhau và:

b) Chọn a = 2 hay b = 3, có 2 cách Sau đó, có 5 cách chọn b ( b a¹ ), 4 cách chọn c (c a, c b¹ ¹ )

Vậy có: 2.5.4 = 40 số nhỏ hơn 400

c) Vì n chia hết cho 5, có 1 cách chọn c (c = 5)

Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), có 4 cách chọn b (b ≠ a, b ≠ c)

Vậy có: 1.5.4 = 20 số chia hết cho 5

Ví dụ 2.6: Một chi đoàn có 15 người, cần bầu ra 1 bí thư, 1 phó bí thư, 1 ủy

viên và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ Hỏi có mấy cách chọn?

Hướng dẫn: Có 15 cách chọn bí thư

Với mỗi cách chọn bí thư, có 14 cách chọn phó bí thư Với mỗi cách chọn bí thư, chọn phó bí thư, có 13 cách chọn ủy viên

Có: 15.14.13 = 2730 cách chọn

Ví dụ 2.7: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5?

Hướng dẫn: Bài toán được chia thành các bước sau

Bước 1: Chọn ra 3 số thuộc tập hợp {2,3,4,6,7} Số cách chọn là:

n1 = C = 10 35

Bước 2: Với 5 số được chọn ra, số các số tự nhiên với 5 chữ số được tạo ra là:

n2 = 5! = 120

Theo quy tắc nhân số các số phải tìm là: n = n1.n2 = 10.120 =1200 số

Ví dụ 2.8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế trong một lớp

học Hỏi có mấy cách xếp sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau?

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau?

Hướng dẫn: a) Có 6 cách chọn một người tùy ý ngồi vào chỗ thứ nhất

Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2 Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6

Tương tự, khi cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và chỗ thứ tư, chỗ thứ tư và chỗ thứ năm, chỗ thứ năm và chỗ thứ sáu

Vậy có: 5.(2.2.2.1.1) = 40 cách

c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tùy

ý trừ đi số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau:

Vậy có: 72 – 40 = 32 cách

Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai quy tắc cộng và nhân

Ví dụ 2.9: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm

phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành?

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành?

Vậy số các số chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5! + 2.4.4! = 312 số

Ví dụ 2.10: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ

0, 2, 3, 6, 9?

Hướng dẫn: Gọi X = {0,2,3,6,9}

Số cần tìm có dạng: n = a a a a a ; a1 ≠ 0