Giáo trình cấu trúc dữ liệu và giải thuật.

Lý thuyết cấu trúc dữ liệu và giải thuật đầy đủ.

L I NÓI U

C u trúc d li u và gi i thu t là m t trong nh ng môn h c c b n c a sinh viên ngành Công ngh thông tin Các c u trúc d li u và các gi i thu t đ c xem nh là 2 y u t quan tr ng nh t trong l p trình, đúng nh câu nói n i ti ng c a Niklaus Wirth: Ch ng trình = C u trúc d li u +

Gi i thu t (Programs = Data Structures + Algorithms) N m v ng các c u trúc d li u và các gi i thu t là c s đ sinh viên ti p c n v i vi c thi t k và xây d ng ph n m m c ng nh s d ng các công c l p trình hi n đ i

C u trúc d li u có th đ c xem nh là 1 ph ng pháp l u tr d li u trong máy tính

nh m s d ng m t cách có hi u qu các d li u này Và đ s d ng các d li u m t cách hi u qu thì c n ph i có các thu t toán áp d ng trên các d li u đó Do v y, c u trúc d li u và gi i thu t là

2 y u t không th tách r i và có nh ng liên quan ch t ch v i nhau Vi c l a ch n m t c u trúc

d li u có th s nh h ng l n t i vi c l a ch n áp d ng gi i thu t nào

Tài li u “C u trúc d li u và gi i thu t” bao g m 7 ch ng, trình bày v các c u trúc d li u

và các gi i thu t c b n nh t trong tin h c

Ch ng 1 trình bày v phân tích và thi t k thu t toán u tiên là cách phân tích 1 v n đ ,

t th c ti n cho t i ch ng trình, cách thi t k m t gi i pháp cho v n đ theo cách gi i quy t b ng máy tính Ti p theo, các ph ng pháp phân tích, đánh giá đ ph c t p và th i gian th c hi n gi i thu t c ng đ c xem xét trong ch ng Ch ng 2 trình bày v đ qui, m t khái ni m r t c b n trong toán h c và khoa h c máy tính Vi c s d ng đ qui có th xây d ng đ c nh ng ch ng trình gi i quy t đ c các v n đ r t ph c t p ch b ng m t s ít câu l nh, đ c bi t là các v n đ mang b n ch t đ qui

Ch ng 3, 4, 5, 6 trình bày v các c u trúc d li u đ c s d ng r t thông d ng nh m ng

và danh sách liên k t, ng n x p và hàng đ i, cây, đ th ó là các c u trúc d li u c ng r t g n

g i v i các c u trúc trong th c ti n Ch ng 7 trình bày v các thu t toán s p x p và tìm ki m Các thu t toán này cùng v i các k thu t đ c s d ng trong đó đ c coi là các k thu t c s cho l p trình máy tính Các thu t toán đ c xem xét bao g m các l p thu t toán đ n gi n và c các thu t toán cài đ t ph c t p nh ng có th i gian th c hi n t i u

Cu i m i ph n đ u có các câu h i và bài t p đ sinh viên ôn luy n và t ki m tra ki n th c

c a mình Cu i tài li u có các ph l c h ng d n tr l i câu h i, mã ngu n tham kh o và tài li u tham kh o

V nguyên t c, các c u trúc d li u và các gi i thu t có th đ c bi u di n và cài đ t b ng

b t c ngôn ng l p trình hi n đ i nào Tuy nhiên, đ có đ c các phân tích sâu s c h n và có k t

qu th c t h n, tác gi đã s d ng ngôn ng l p trình C đ minh ho cho các c u trúc d li u và thu t toán Do v y, ngoài các ki n th c c b n v tin h c, ng i đ c c n có ki n th c v ngôn ng

l p trình C

Cu i cùng, m c dù đã h t s c c g ng nh ng ch c ch n không tránh kh i các thi u sót Tác

gi r t mong nh n đ c s góp ý c a b n đ c và đ ng nghi p đ tài li u đ c hoàn thi n h n

Hà N i, tháng 10/2007

CH NG 1 PHÂN TÍCH VÀ THI T K GI I THU T

Ch ng 1 trình bày các khái ni m v gi i thu t và ph ng pháp tinh ch nh t ng b c

ch ng trình đ c th hi n qua ngôn ng di n đ t gi i thu t Ch ng này c ng nêu ph ng pháp phân tích và đánh giá m t thu t toán, các khái ni m liên quan đ n vi c tính toán th i gian th c

h c t t ch ng này, sinh viên c n n m v ng ph n lý thuy t và tìm các ví d t ng t đ

th c hành phân tích, thi t k , và đánh giá gi i thu t

1.1 GI I THU T VÀ NGÔN NG DI N T GI I THU T

Thu t toán có th đ c đ nh ngh a nh sau:

Thu t toán là m t chu i h u h n các l nh M i l nh có m t ng ngh a rõ ràng và có th

đ c th c hi n v i m t l ng h u h n tài nguyên trong m t kho ng h u h n th i gian

Ch ng h n l nh x = y + z là m t l nh có các tính ch t trên

Trong m t thu t toán, m t l nh có th l p đi l p l i nhi u l n, tuy nhiên đ i v i b t k b d

li u đ u vào nào, thu t toán ph i k t thúc sau khi th c thi m t s h u h n l nh

Nh đã nói trên, m i l nh trong thu t toán ph i có ng ngh a rõ ràng và có th đ c th c thi trong m t kho ng th i gian h u h n Tuy nhiên, đôi khi m t l nh có ng ngh a rõ ràng đ i v i

ng i này nh ng l i không rõ ràng đ i v i ng i khác Ngoài ra, th ng r t khó đ ch ng minh

m t l nh có th đ c th c hi n trong 1 kho ng h u h n th i gian Th m chí, k c khi bi t rõ ng ngh a c a các l nh, c ng khó đ có th ch ng minh là v i b t k b d li u đ u vào nào, thu t toán s d ng

Ti p theo, chúng ta s xem xét m t ví d v xây d ng thu t toán cho bài toán đèn giao thông:

Gi s ng i ta c n thi t k m t h th ng đèn cho m t nút giao thông có nhi u đ ng giao nhau ph c t p xây d ng t p các tr ng thái c a các đèn giao thông, ta c n ph i xây d ng m t

ch ng trình có đ u vào là t p các ngã r đ c phép t i nút giao thông (l i đi th ng c ng đ c xem nh là 1 ngã r ) và chia t p này thành 1 s ít nh t các nhóm, sao cho t t c các ngã r trong nhóm có th đ c đi cùng lúc mà không x y ra tranh ch p Sau đó, chúng ta s g n tr ng thái c a các đèn giao thông v i m i nhóm v a đ c phân chia V i cách phân chia có s nhóm ít nh t, ta

s xây d ng đ c 1 h th ng đèn giao thông có ít tr ng thái nh t

Ch ng h n, ta xem xét bài toán trên v i nút giao thông đ c cho nh trong hình 1.1

d i Trong nút giao thông trên, C và E là các đ ng 1 chi u, các đ ng còn l i là 2 chi u Có t t

c 13 ngã r t i nút giao thông này M t s ngã r có th đ c đi đ ng th i, ch ng h n các ngã r

AB (t A r sang B) và EC M t s ngã r thì không đ c đi đ ng th i (gây ra các tuy n giao thông xung đ t nhau), ch ng h n AD và EB H th ng đèn t i nút giao thông ph i ho t đ ng sao cho các ngã r xung đ t (ch ng h n AD và EB) không đ c cho phép đi t i cùng m t th i đi m, trong khi các ngã r không xung đ t thì có th đ c đi t i c ng 1 th i đi m

Hình 1.2 th ngã r

AB

Ngoài cách bi u di n trên, đ th còn có th đ c bi u di n thông qua 1 b ng, trong đó ph n

t hàng i, c t j có giá tr 1 khi và ch khi có 1 c nh n i đ nh i và đ nh j

Vi c tô màu m t đ th là vi c gán cho m i đ nh c a đ th m t màu sao cho không có hai

đ nh đ c n i b i 1 c nh nào đó l i có cùng m t màu D th y r ng v n đ nút giao thông có th

đ c chuy n thành bài toán tô màu đ th các ngã r trên sao cho ph i s d ng s màu ít nh t Bài toàn tô màu đ th là bài toán đã xu t hi n và đ c nghiên c u t r t lâu Tuy nhiên, đ

tô màu m t đ th b t k v i s màu ít nh t là bài toán r t ph c t p gi i bài toán này, ng i ta

th ng s d ng ph ng pháp “vét c n” đ th t t c các kh n ng có th Có ngh a, đ u tiên th

ti n hành tô màu đ th b ng 1 màu, ti p theo dùng 2 màu, 3 màu, v.v cho t i khi tìm ra ph ng pháp tô màu tho mãn yêu c u

Ph ng pháp vét c n có v thích h p v i các đ th nh , tuy nhiên đ i v i các đ th ph c

t p thì s tiêu t n r t nhi u th i gian th c hi n c ng nh tài nguyên h th ng Ta có th ti p c n

v n đ theo h ng c g ng tìm ra m t gi i pháp đ t t, không nh t thi t ph i là gi i pháp t i u

Ch ng h n, ta s c g ng tìm m t gi i pháp tô màu cho đ th ngã r trên v i m t s màu khá ít,

g n v i s màu ít nh t, và th i gian th c hi n vi c tìm gi i pháp là khá nhanh Gi i thu t tìm các

gi i pháp đ t t nh ng ch a ph i t i u nh v y g i là các gi i thu t tìm theo “c m tính”

i v i bài toán tô màu đ th , m t thu t toán c m tính th ng đ c s d ng là thu t toán

“tham n” (greedy) Theo thu t toán này, đ u tiên ta s d ng m t màu đ tô nhi u nh t s đ nh có

th , tho mãn yêu c u bài toán Ti p theo, s d ng màu th 2 đ tô các đ nh ch a đ c tô trong

b c 1, r i s d ng đ n màu th 3 đ tô các đ nh ch a đ c tô trong b c 2, v.v

tô màu các đ nh v i màu m i, chúng ta th c hi n các b c:

- L a ch n 1 đ nh ch a đ c tô màu và tô nó b ng màu m i

- Duy t qua các đ nh ch a đ c tô màu V i m i đ nh d ng này, ki m tra xem có c nh nào n i nó v i m t đ nh v a đ c tô b i màu m i hay không N u không có c nh nào thì ta tô màu đ nh này b ng màu m i

Thu t toán này đ c g i là “tham n” vì t i m i b c nó tô màu t t c các đ nh có th mà không c n ph i xem xét xem vi c tô màu đó có đ l i nh ng đi m b t l i cho các b c sau hay không Trong nhi u tr ng h p, chúng ta có th tô màu đ c nhi u đ nh h n b ng 1 màu n u chúng ta b t “tham n” và b qua m t s đ nh có th tô màu đ c trong b c tr c

Ví d , xem xét đ th hình 1.3, trong đó đ nh 1 đã đ c tô màu đ Ta th y r ng hoàn toàn

có th tô c 2 đ nh 3 và 4 là màu đ , v i đi u ki n ta không tô đ nh s 2 màu đ Tuy nhiên, n u ta

áp d ng thu t toán tham n theo th t các đ nh l n d n thì đ nh 1 và đ nh 2 s là màu đ , và khi

đó đ nh 3, 4 s không đ c tô màu đ

Hình 1.3 th

Bây gi ta s xem xét thu t toán tham n đ c áp d ng trên đ th các ngã r hình 1.2 nh

th nào Gi s ta b t đ u t đ nh AB và tô cho đ nh này màu xanh Khi đó, ta có th tô cho đ nh

AC màu xanh vì không có c nh n i đ nh này v i AB AD c ng có th tô màu xanh vì không có

c nh n i AD v i AB, AC nh BA không có c nh n i t i AB, AC, AD nên c ng có th đ c tô màu xanh Tuy nhiên, đ nh BC không tô đ c màu xanh vì t n t i c nh n i BC và AB T ng t

nh v y, BD, DA, DB không th tô màu xanh vì t n t i c nh n i chúng t i m t trong các đ nh đã

tô màu xanh C nh DC thì có th tô màu xanh Cu i cùng, c nh EA, EB, EC c ng không th tô màu xanh trong khi ED có th đ c tô màu xanh

Hình 1.4 Tô màu xanh cho các đ nh c a đ th ngã r

Ti p theo, ta s d ng màu đ đ tô các đ nh ch a đ c tô màu b c tr c u tiên là

BC BD c ng có th tô màu đ , tuy nhiên do t n t i c nh n i DA v i BD nên DA không đ c tô màu đ T ng t nh v y, DB không tô đ c màu đ còn EA có th tô màu đ Các đ nh ch a

đ c tô màu còn l i đ u có c nh n i t i các đ nh đã tô màu đ nên c ng không đ c tô màu

Hình 1.5 Tô màu đ trong b c 2

B c 3, các đ nh ch a đ c tô màu còn l i là DA, DB, EB, EC N u ta tô màu đ nh DA là màu l c thì DB c ng có th tô màu l c Khi đó, EB, EC không th tô màu l c và ta ch n 1 màu

th t là màu vàng cho 2 đ nh này

Hình 1.6 Tô màu l c và màu vàng cho các đ nh còn l i

Nh v y, ta có th dùng 4 màu xanh, đ , l c, vàng đ tô màu cho đ th ngã r hình 1.2 theo yêu c u nh đã nói trên B ng t ng h p màu đ c mô t nh sau:

1.1.2 Ngôn ng di n đ t gi i thu t và k thu t tinh ch nh t ng b c

Sau khi đã xây d ng đ c mô hình toán h c cho v n đ c n gi i quy t, ti p theo, ta có th hình thành m t thu t toán cho mô hình đó Phiên b n đ u tiên c a thu t toán th ng đ c di n t

d i d ng các phát bi u t ng đ i t ng quát, và sau đó s đ c tinh ch nh d n t ng b c thành chu i các l nh c th , rõ ràng h n Ví d trong thu t toán tham n trên, ta mô t b c th c hi n

m c t ng quát là “L a ch n 1 đ nh ch a đ c tô màu” V i phát bi u nh v y, ta hy v ng r ng

ng i đ c có th n m đ c ý t ng th c hi n thao tác Tuy nhiên, đ chuy n các phát bi u đó

thành ch ng trình máy tính, c n ph i qua 1 s b c tinh ch nh cho t i khi đ t đ n m c các phát

bi u đ u có th đ c chuy n đ i tr c ti p sang các l nh c a ngôn ng l p trình

Tr l i ví d v bài toán tô màu đ th b ng thu t toán tham n Ta s xem xét vi c mô t thu t toán t m c t ng quát cho t i m t s m c c th h n T i b c nào đó, gi s ta có đ th G

có 1 s đ nh đã đ c tô màu theo quy t c đã nói trên Th t c Tham_an d i đây s xác đ nh 1

t p các đ nh ch a đ c tô màu thu c G mà có th cùng đ c tô b i 1 màu m i Th t c này s

đ c g i đi g i l i nhi u l n cho t i khi t t c các đ nh c a G đã đ c tô màu m c t ng quát,

th t c đ c mô t nh sau:

void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi)

{

Mau_moi = T p r ng;

For m i đ nh v ch a đ c tô màu thu c G

If v không đ c n i t i đ nh nào trong t p Mau_moi {

Tô màu m i cho đ nh v;

a v vào t p Mau_moi;

}

}

Trong th t c trên, ta s d ng m t ngôn ng di n đ t gi i thu t t a nh ngôn ng l p trình

C Trong ngôn ng này, các l nh đ c mô t d i d ng ngôn ng t nhiên nh ng v n tuân theo cú pháp c a ngôn ng l p trình

Ta nh n th y r ng các phát bi u trong th t c trên còn r t t ng quát, và ch a t ng ng v i các l nh trong ngôn ng l p trình, ch ng h n các đi u ki n ki m tra trong câu l nh For và If

m c mô t hi n t i là không th c hi n đ c trong C th t c có th th c thi đ c, ta c n ph i tinh ch nh m t s b c đ có th chuy n đ i v ch ng trình trong ngôn ng l p trình C thông

th ng

u tiên, ta xem xét l nh If trên ki m tra xem đ nh v có n i t i m t đ nh nào đó trong

t p Mau_moi hay không, ta xem xét t ng đ nh w trong Mau_moi và s d ng đ th G đ ki m tra xem có t n t i c nh n i v à w không l u gi k t qu ki m tra, ta s d ng m t bi n ton_tai Khi đó, th t c đ c tinh ch nh nh sau:

void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi)

Tô màu m i cho đ nh v;

a v vào t p Mau_moi;

}

}

}

Nh v y, ta có th th y r ng đi u ki n ki m tra trong phát bi u If đã đ c mô t c th h n

b ng các phát nh h n,và các phát bi u này có th d dàng chuy n thành các l nh c th trong C

Ti p theo, ta s tinh ch nh các vòng l p For đ duy t qua các đ nh thu c G và thu c Mau_moi làm đi u này, t t nh t là ta thay For b ng m t vòng l p While, bi n v ban đ u đ c gán là ph n t

đ u tiên ch a tô màu trong t p G, và t i m i b c l p, bi n v s đ c thay b ng ph n t ch a tô màu ti p theo trong G Vòng l p F bên trong có th th c hi n t ng t

Void Tham_an(GRAPH: G, SET: Mau_moi)

Tô màu m i cho đ nh v;

Nh v y, ta th y các phát bi u trong th t c đã khá c th , tuy nhiên, đ chuy n đ i thành

ch ng trình trong ngôn ng C thì c n t i vài b c tinh ch nh n a B n đ c hãy xem nh đó là bài t p và t gi i đ hi u rõ v ngôn ng di n đ t gi i thu t c ng nh k thu t tinh ch nh t ng

b c

1.2 PHÂN TÍCH THU T TOÁN

V i m i v n đ c n gi i quy t, ta có th tìm ra nhi u thu t toán khác nhau Có nh ng thu t toán thi t k đ n gi n, d hi u, d l p trình và s a l i, tuy nhiên th i gian th c hi n l n và tiêu t n

nhi u tài nguyên máy tính Ng c l i, có nh ng thu t toán thi t k và l p trình r t ph c t p,

nh ng cho th i gian ch y nhanh h n, s d ng tài nguyên máy tính hi u qu h n Khi đó, câu h i

đ t ra là ta nên l a ch n gi i thu t nào đ th c hi n?

i v i nh ng ch ng trình ch đ c th c hi n m t vài l n thì th i gian ch y không ph i là tiêu chí quan tr ng nh t i v i bài toán ki u này, th i gian đ l p trình viên xây d ng và hoàn thi n thu t toán đáng giá h n th i gian ch y c a ch ng trình và nh v y nh ng gi i thu t đ n

gi n v m t thi t k và xây d ng nên đ c l a ch n

i v i nh ng ch ng trình đ c th c hi n nhi u l n thì th i gian ch y c a ch ng trình đáng giá h n r t nhi u so v i th i gian đ c s d ng đ thi t k và xây d ng nó Khi đó, l a ch n

m t gi i thu t có th i gian ch y nhanh h n (cho dù vi c thi t k và xây d ng ph c t p h n) là m t

l a ch n c n thi t Trong th c t , trong giai đo n đ u c a vi c gi i quy t v n đ , m t gi i thu t

đ n gi n th ng đ c th c hi n tr c nh là 1 nguyên m u (prototype), sau đó nó s đ c phân tích, đánh giá, và c i ti n thành các phiên b n t t h n

- ph c t p v th i gian c a thu t toán

Thông th ng, th i gian ch y c a ch ng trình không ph thu c vào giá tr d li u đ u vào

mà ph thu c vào kích th c c a d li u đ u vào Do v y th i gian ch y c a ch ng trình nên

th i gian th c hi n ch ng trình T(n) trong tr ng h p x u nh t ho c t t nh t ó là th i gian

th c hi n l n nh t ho c nh nh t trong t t c các b d li u vào có kích th c n Ta c ng đ nh ngh a th i gian th c hi n trung bình c a ch ng trình trên m i b d li u vào kích th c n Trong

th c t , c l ng th i gian th c hi n trung bình khó h n nhi u so v i th i gian th c hi n trong

tr ng h p x u nh t ho c t t nh t, b i vì vi c phân tích thu t toán trong tr ng h p trung bình khó h n v m t toán h c, đ ng th i khái ni m “trung bình” không có ý ngh a th c s rõ ràng

Y u t ch t l ng c a mã máy đ c t o b i ch ng trình d ch và t c đ th c thi l nh c a máy c ng nh h ng t i th i gian th c hi n ch ng trình cho th y chúng ta không th th hi n

th i gian th c hi n chu ng trình d i đ n v th i gian chu n, ch ng h n phút ho c giây Thay vào

Ví d , xét hàm T(n) = (n+1)2 Ta có th th y T(n) là O(n2) v i n0 = 1 và c = 4, vì ta có T(n)

= (n+1)2 < 4n2 v i m i n ≥ 1 Trong ví d này, ta c ng có th nói r ng T(n) là O(n3

), tuy nhiên, phát bi u này “y u” h n phát bi u T(n) là O(n2)

Nhìn chung, ta nói T(n) là O(f(n)) n u t n t i các h ng s d ng c và n0 sao cho T(n) < c.f(n) v i n ≥ n0 M t ch ng trình có th i gian th c hi n là O(f(n)) thì đ c xem là có c p đ

t ng f(n)

Vi c đánh giá các ch ng trình có th đ c th c hi n qua vi c đánh giá các hàm th i gian

ch y c a ch ng trình,b qua các h ng s t l V i gi thi t này, m t ch ng trình v i th i gian

th c hi n là O(n2) s t t h n ch ng trình v i th i gian ch y O(n3) Bên c nh các y u t h ng s

xu t phát t ch ng trình d ch và máy, còn có thêm h ng s t b n thân chu ng trình Ví d , trên cùng m t ch ng trình d ch và cùng 1 máy, ch ng trình đ u tiên có th i gian th c hi n là 100n2

, trong khi chu ng trình th 2 có th i gian th c hi n là 5n3 V i n nh , có th 5n3 nh h n 100n2, tuy nhiên v i n đ l n thì 5n3

s l n h n 100n2đáng k

M t lý do n a đ xem xét c p đ t ng v th i gian th c hi n c a ch ng trình là nó cho phép ta xác đ nh đ l n c a bài toán mà ta có th gi i quy t M c dù máy tính có t c đ ngày càng cao, tuy nhiên, v i nh ng ch ng trình có th i gian th c hi n có c p đ t ng l n (t n2

tr lên), thì vi c t ng t c đ c a máy tính t o ra s khác bi t không đáng k v kích th c bài toán có th

x lý b i máy tính trong m t kho ng th i gian c đ nh

, nlog n)) = O(n3)

Nguyên t c nhân c p đ t ng c a hàm nh sau: V i gi thi t v T1(n) và T2(n) nh trên, n u

2 đo n ch ng trình P1 và P2 không đ c th c hi n tu n t mà l ng nhau thì th i gian ch y t ng

th s là T1(n).T2(n) = O(f(n).(g(n))

minh ho cho vi c phân tích và tính toán th i gian th c hi n c a 1 ch ng trình, ta s xem xét m t thu t toán đ n gian đ s p x p các ph n t c a m t t p h p, đó là thu t toán s p x p

n i b t (bubble sort)

Thu t toán nh sau :

void buble (int a[n]){

th i gian th c hi n c đ nh, không ph thu c vào n, do v y, các l nh 4, 5, 6 s có th i gian th c

hi n là O(1), t c th i gian th c hi n là h ng s Theo quy t c c ng c p đ t ng thì t ng th i gian

th c hi n c 3 l nh là O(max(1, 1, 1)) = O(1)

Ti p theo ta s xem xét th i gian th c hi n c a các l nh l p và r nhánh L nh If ki m tra

đi u ki n đ th c hi n nhóm l nh gán 4, 5, 6 Vi c ki m tra đi u ki n s có th i gian th c hi n là O(1) Ngoài ra, chúng ta ch a bi t đ c là đi u ki n có tho mãn hay không, t c là không bi t

đ c nhóm l nh gán có đ c th c hi n hay không Do v y, ta gi thi t tr ng h p x u nh t là t t

c các l n ki m tra đi u ki n đ u tho mãn, và các l nh gán đ c th c hi n Nh v y, toàn b l nh

If s có th i gian th c hi n là O(1)

Ti p t c xét t trong ra ngoài, ta xét đ n vòng l p trong (bi n duy t j) Trong vòng l p này,

t i m i b c l p ta c n th c hi n các thao tác nh ki m tra đã g p đi u ki n d ng ch a và t ng

bi n duy t lên 1 n u ch a d ng Nh v y, m i b c l p có th i gian th c hi n là O(1) S b c

l p là n-i, do đó theo quy t c nhân c p đ t ng thì t ng th i gian th c hi n c a vòng l p này là O((n-i)x1) = O(n-i)

Cu i cùng, ta xét vòng l p ngoài cùng (bi n duy t i) Vòng l p này đ c th c hi n (n-1) l n,

do đó, t ng th i gian th c hi n c a ch ng trình là:

∑ (n-i) = n(n-1)/2 = n2

/2- n/2 = O(n2)

Nh v y, th i gian th c hi n gi i thu t s p x p n i b t là t l v i n2

M t s quy t c chung trong vi c phân tích và tính toán th i gian th c hi n ch ng trình

- Th i gian th c hi n các l nh gán, đ c, ghi v.v, luôn là O(1)

- Th i gian th c hi n chu i tu n t các l nh đ c xác đ nh theo quy t c c ng c p đ t ng

Có ngh a là th i gian th c hi n c a c nhóm l nh tu n t đ c tính là th i gian th c

hi n c a l nh l n nh t

- Th i gian th c hi n l nh r nhánh If đ c tính b ng th i gian th c hi n các l nh khi

đi u ki n ki m tra đ c tho mãn và th i gian th c hi n vi c ki m tra đi u ki n Th i gian th c hi n vi c ki m tra đi u ki n luôn là O(1)

- Th i gian th c hi n 1 vòng l p đ c tính là t ng th i gian th c hi n các l nh thân vòng l p qua t t c các b c l p và th i gian đ ki m tra đi u ki n d ng (th ng là O(1)) Th i gian th c hi n này th ng đ c tính theo quy t c nhân c p đ t ng s l n

th c hi n b c l p và th i gian th c hi n các l nh thân vòng l p Các vòng l p ph i

đ c tính th i gian th c hi n m t cách riêng r

1.3 TÓM T T CH NG 1

Các ki n th c c n nh trong ch ng 1:

- Thu t toán là m t chu i h u h n các l nh M i l nh có m t ng ngh a rõ ràng và có th

đ c th c hi n v i m t l ng h u h n tài nguyên trong m t kho ng h u h n th i gian

- Thu t toán th ng đ c mô t b ng các ngôn ng di n đ t gi i thu t g n v i ngôn ng

t nhiên Các mô t này s đ c t nh ch nh d n d n đ đ t t i m c ngôn ng l p trình

- Th i gian th c hi n thu t toán th ng đ c coi nh là 1 hàm c a kích th c d li u đ u vào

- Th i gian th c hi n thu t toán th ng đ c tính trong các tr ng h p t t nh t, x u nh t,

ho c trung bình

- bi u th c p đ t ng c a hàm, ta s d ng ký hi u O(n) Ví d , ta nói th i gian th c

hi n T(n) c a ch ng trình là O(n2), có ngh a là t n t i các h ng s du ng c và n0 sao cho T(n) ≤ cn2

3 Th i gian th c hi n m t ch ng trình th ng ph thu c vào các y u t nào? Phân tích

c th t ng y u t

4 Nói th i gian th c hi n ch ng trình là T(n) = O(f(n)) có ngh a là gì? Cho ví d minh

ho

5 Nêu quy t c c ng và nhân c p đ t ng c a hàm Có ví d minh ho

6 Nêu các quy t c chung trong vi c phân tích và đánh giá th i gian th c hi n ch ng trình

qui là m t khái ni m c b n trong toán h c và khoa h c máy tính M t đ i t ng đ c

g i là đ qui n u nó ho c m t ph n c a nó đ c đ nh ngh a thông qua khái ni m v chính nó M t

- M t ch cái b t k ghép v i 1 xâu s t o thành 1 xâu m i

T phát bi u “Xâu r ng là 1 xâu ký t ”, ta ghép b t k 1 ch cái nào v i xâu r ng đ u

t o thành xâu ký t Nh v y, ch cái b t k có th coi là xâu ký t Ti p t c ghép 1 ch cái b t k v i 1 ch cái b t k c ng t o thành 1 xâu ký t , v.v

3- nh ngh a hàm giai th a, n!

- Khi n=0, đ nh ngh a 0!=1

- Khi n>0, đ nh ngh a n!=(n-1)! x n

Nh v y, khi n=1, ta có 1!=0!x1 = 1x1=1 Khi n=2, ta có 2!=1!x2=1x2=2, v.v

Trong l nh v c l p trình, m t ch ng trình máy tính g i là đ qui n u trong ch ng trình có

l i g i chính nó i u này, tho t tiên, nghe có v h i vô lý M t ch ng trình không th g i mãi chính nó, vì nh v y s t o ra m t vòng l p vô h n Trên th c t , m t ch ng trình đ qui tr c khi g i chính nó bao gi c ng có m t thao tác ki m tra đi u ki n d ng N u đi u ki n d ng th a mãn, ch ng trình s không g i chính nó n a, và quá trình đ qui ch m d t Trong các ví d trên, ta đ u th y có các đi m d ng Ch ng h n, trong ví d th nh t, n u k = 0 thì có th suy ngay

k là s t nhiên, không c n tham chi u xem k-1 có là s t nhiên hay không

Nhìn chung, các ch ng trình đ qui đ u có các đ c đi m sau:

Khi ch ng trình g i t i chính nó, các tham s , ho c kho ng tham s , th ng tr nên nh

h n, đ ph n ánh 1 th c t là v n đ đã tr nên nh h n, d h n Khi tham s gi m t i m c c c

ti u, m t đi u ki n so sánh đ c ki m tra và ch ng trình k t thúc, ch m d t vi c g i t i chính

nó

u đi m c a ch ng trình đ qui c ng nh đ nh ngh a b ng đ qui là có th th c hi n m t

s l ng l n các thao tác tính toán thông qua 1 đo n ch ng trình ng n g n (th m chí không có vòng l p, ho c không t ng minh đ có th th c hi n b ng các vòng l p) hay có th đ nh ngh a

m t t p h p vô h n các đ i t ng thông qua m t s h u h n l i phát bi u Thông th ng, m t

ch ng trình đ c vi t d i d ng đ qui khi v n đ c n x lý có th đ c gi i quy t b ng đ qui

T c là v n đ c n gi i quy t có th đ a đ c v v n đ t ng t , nh ng đ n gi n h n V n đ này

l i đ c đ a v v n đ t ng t nh ng đ n gi n h n n a v.v, cho đ n khi đ n gi n t i m c có

th tr c ti p gi i quy t đ c ngay mà không c n đ a v v n đ đ n gi n h n n a

2.1.1 i u ki n đ có th vi t m t ch ng trình đ qui

Nh đã nói trên, đ ch ng trình có th vi t d i d ng đ qui thì v n đ c n x lý ph i

đ c gi i quy t 1 cách đ qui Ngoài ra, ngôn ng dùng đ vi t ch ng trình ph i h tr đ qui

có th vi t ch ng trình đ qui ch c n s d ng ngôn ng l p trình có h tr hàm ho c th t c,

nh đó m t th t c ho c hàm có th có l i g i đ n chính th t c ho c hàm đó Các ngôn ng l p trình thông d ng hi n nay đ u h tr k thu t này, do v y v n đ công c đ t o các ch ng trình

đ qui không ph i là v n đ c n ph i xem xét Tuy nhiên, c ng nên l u ý r ng khi m t th t c đ qui g i đ n chính nó, m t b n sao c a t p các đ i t ng đ c s d ng trong th t c này nh các

bi n, h ng, các th t c con, v.v c ng đ c t o ra Do v y, nên h n ch vi c khai báo và s d ng các đ i t ng này trong th t c đ qui n u không c n thi t nh m tránh lãng phí b nh , đ c bi t

đ i v i các l i g i đ qui đ c g i đi g i l i nhi u l n Các đ i t ng c c b c a 1 th t c đ qui khi đ c t o ra nhi u l n, m c dù có cùng tên, nh ng do khác ph m vi nên không nh h ng gì

đ n ch ng trình Các đ i t ng đó s đ c gi i phóng khi th t c ch a nó k t thúc

N u trong m t th t c có l i g i đ n chính nó thì ta g i đó là đ qui tr c ti p Còn trong

tr ng h p m t th t c có m t l i g i th t c khác, th t c này l i g i đ n th t c ban đ u thì

đ c g i là đ qui gián ti p Nh v y, trong ch ng trình khi nhìn vào có th không th y ngay s

đ qui, nh ng khi xem xét k h n thì s nh n ra

2.1.2 Khi nào không nên s d ng đ qui

Trong nhi u tr ng h p, m t ch ng trình có th vi t d i d ng đ qui Tuy nhiên, đ qui không h n đã là gi i pháp t t nh t cho v n đ Nhìn chung, khi ch ng trình có th vi t d i d ng

l p ho c các c u trúc l nh khác thì không nên s d ng đ qui

Lý do th nh t là, nh đã nói trên, khi m t th t c đ qui g i chính nó, t p các đ i t ng

đ c s d ng trong th t c này nh các bi n, h ng, c u trúc v.v s đ c t o ra Ngoài ra, vi c chuy n giao đi u khi n t các th t c c ng c n l u tr các thông s dùng cho vi c tr l i đi u khi n cho th t c ban đ u

Lý do th hai là vi c s d ng đ qui đôi khi t o ra các tính toán th a, không c n thi t do tính ch t t đ ng g i th c hi n th t c khi ch a g p đi u ki n d ng c a đ qui minh h a cho

đi u này, chúng ta s xem xét m t ví d , trong đó c đ qui và l p đ u có th đ c s d ng Tuy nhiên, ta s phân tích đ th y s d ng đ qui trong tr ng h p này gây lãng phí b nh và các tính toán không c n thi t nh th nào

Xét bài toán tính các ph n t c a dãy Fibonaci Dãy Fibonaci đu c đ nh ngh a nh sau:

n a v.v, c nh v y s l i g i đ qui s t ng theo c p s m i u này rõ ràng là không hi u qu

vì trong s các l i g i đ qui đó có r t nhi u l i g i trùng nhau Ví d l i g i đ qui Fibonaci (6)

s d n đ n 2 l i g i Fibonaci (5) và Fibonaci (4) L i g i Fibonaci (5) s g i Fibonaci (4) và Fibonaci (3) Ngay ch này, ta đã th y có 2 l i g i Fibonaci (4) đ c th c hi n Hình 2.1 cho th y

s các l i g i đ c th c hi n khi g i th t c Fibonaci (6)

Hình 2.1 Các l i g i đ qui đ c th c hi n khi g i th t c Fibonaci (6)

Trong hình v trên, ta th y đ tính đ c ph n t th 6 thì c n có t i 25 l i g i ! Sau đây, ta

s xem xét vi c s d ng vòng l p đ tính giá tr các ph n t c a dãy Fibonaci nh th nào

u tiên, ta khai báo m t m ng F các s t nhiên đ ch a các s Fibonaci Vòng l p đ tính

và gán các s này vào m ng r t đ n gi n nh sau:

F[i] = F[i-1] + F [i-2];

Rõ ràng là v i vòng l p này, m i s Fibonaci (n) ch đ c tính 1 l n thay vì đ c tính toán

ch ng chéo nh trên

Tóm l i, nên tránh s d ng đ qui n u có m t gi i pháp khác cho bài toán M c dù v y, m t

s bài toán t ra r t phù h p v i ph ng pháp đ qui Vi c s d ng đ qui đ gi i quy t các bài toán này hi u qu và r t d hi u Trên th c t , t t c các gi i thu t đ qui đ u có th đ c đ a v

d ng l p (còn g i là “kh ” đ qui) Tuy nhiên, đi u này có th làm cho ch ng trình tr nên ph c

t p, nh t là khi ph i th c hi n các thao tác đi u khi n stack đ qui (b n đ c có th tìm hi u thêm

k thu t kh đ qui các tài li u tham kh o khác), d n đ n vi c ch ng trình tr nên r t khó hi u

Ph n ti p theo s trình bày m t s thu t toán đ qui đi n hình

2.2 THI T K GI I THU T QUI

2.2.2 Thu t toán Euclid tính c s chung l n nh t c a 2 s nguyên d ng

c s chung l n nh t (USCLN) c a 2 s nguyên d ng m, n là 1 s k l n nh t sao cho m

và n đ u chia h t cho k M t ph ng pháp đ n gi n nh t đ tìm USCLN c a m và n là duy t t s

nh h n trong 2 s m, n cho đ n 1, ngay khi g p s nào đó mà m và n đ u chia h t cho nó thì đó chính là USCLN c a m, n Tuy nhiên, ph ng pháp này không ph i là cách tìm USCLN hi u qu Cách đây h n 2000 n m, Euclid đã phát minh ra m t gi i thu t tìm USCLN c a 2 s nguyên

d ng m, n r t hi u qu Ý t ng c b n c a thu t toán này c ng t ng t nh ý t ng đ qui, t c

là đ a bài toán v 1 bài toán đ n gi n h n C th , gi s m l n h n n, khi đó vi c tính USCLN

c a m và n s đ c đ a v bài toán tính USCLN c a m mod n và n vì USCLN(m, n) = USCLN(m mod n, n)

Thu t toán đ c cài đ t nh sau:

int USCLN(int m, int n){

if (n==0) return m;

else return USCLN(n, m % n);

}

i m d ng c a thu t toán là khi n=0 Khi đó đ ng nhiên là USCLN c a m và 0 chính là

m, vì 0 chia h t cho m i s Khi n khác 0, l i g i đ qui USCLN(n, m% n) đ c th c hi n Chú ý

r ng ta gi s m >= n trong th t c tính USCLN, do đó, khi g i đ qui ta g i USCLN (n, m% n)

đ đ m b o th t các tham s vì n bao gi c ng l n h n ph n d c a phép m cho n Sau m i l n

g i đ qui, các tham s c a th t c s nh d n đi, và sau 1 s h u h n l i g i tham s nh h n s

b ng 0 ó chính là đi m d ng c a thu t toán

Ví d , đ tính USCLN c a 108 và 45, ta g i th t c USCLN(108, 45) Khi đó, các th t c sau s l n l t đ c g i:

USCLN(108, 45) 108 chia 45 d 18, do đó ti p theo g i

USCLN(45, 18) 45 chia 18 d 9, do đó ti p theo g i

USCLN(18, 9) 18 chia 9 d 0, do đó ti p theo g i

USCLN(9, 0) tham s th 2 = 0, do đó k t qu là tham s th nh t, t c là 9

Nh v y, ta tìm đ c USCLN c a 108 và 45 là 9 ch sau 4 l n g i th t c

2.2.3 Các gi i thu t đ qui d ng chia đ tr (divide and conquer)

Ý t ng c b n c a các thu t toán d ng chia đ tr là phân chia bài toán ban đ u thành 2

ho c nhi u bài toán con có d ng t ng t và l n l t gi i quy t t ng bài toán con này Các bài toán con này đ c coi là d ng đ n gi n h n c a bài toán ban đ u, do v y có th s d ng các l i

g i đ qui đ gi i quy t Thông th ng, các thu t toán chia đ tr chia b d li u đ u vào thành 2

ph n riêng r , sau đó g i 2 th t c đ qui đ v i các b d li u đ u vào là các ph n v a đ c chia

M t ví d đi n hình c a gi i thu t chia đ tr là Quicksort, m t gi i thu t s p x p nhanh Ý

t ng c b n c a gi i thu t này nh sau:

Gi i s ta c n s p x p 1 dãy các s theo chi u t ng d n Ti n hành chia dãy đó thành 2 n a sao cho các s trong n a đ u đ u nh h n các s trong n a sau Sau đó, ti n hành th c hi n s p

x p trên m i n a này Rõ ràng là sau khi m i n a đã đ c s p, ta ti n hành ghép chúng l i thì s

có toàn b dãy đ c s p Chi ti t v gi i thu t Quicksort s đ c trình bày trong ch ng 7 - S p

x p và tìm ki m

Ti p theo, chúng ta s xem xét m t bài toán c ng r t đi n hình cho l p bài toán đ c gi i

b ng gi i thu t đ qui chia đ tr

Bài toán tháp Hà n i

Có 3 chi c c c và m t b n chi c đ a Các đ a này có kích th c khác nhau và m i đ a đ u

có 1 l gi a đ có th xuyên chúng vào các c c Ban đ u, t t c các đ a đ u n m trên 1 c c, trong đó, đ a nh h n bao gi cùng n m trên đ a l n h n

Hình 2.2 Bài toán tháp Hà n i

Yêu c u c a bài toán là chuy n b n đ a t c c ban đ u A sang c c đích C (có th s d ng

c c trung gian B), v i các đi u ki n:

V i n=2, có th th c hi n nh sau:

- Chuy n đ a nh t c c A sang c c trung gian B

- Chuy n đ a l n t c c A sang c c đích C

- Cu i cùng, chuy n đ a nh t c c trung gian B sang c c đích C

Nh v y, c 2 đ a đã đ c chuy n sang c c đích C và không có tình hu ng nào đ a l n n m trên đ a nh

Nh v y, ta th y toàn b n đ a đã đ c chuy n t c c A sang c c C và không vi ph m b t

c đi u ki n nào c a bài toán

đây, ta th y r ng bài toán chuy n n c c đã đ c chuy n v bài toán đ n gi n h n là chuy n n-1 c c i m d ng c a thu t toán đ qui là khi n=1 và ta chuy n th ng c c này t c c ban đ u sang c c đích

Tính ch t chia đ tr c a thu t toán này th hi n ch : Bài toán chuy n n đ a đ c chia làm

2 bài toán nh h n là chuy n n-1 đ a L n th nh t chuy n n-1 đ a t c c a sang c c trung gian b,

và l n th 2 chuy n n-1 đ a t c c trung gian b sang c c đích c

Cài đ t đ qui cho thu t toán nh sau:

- Hàm chuyen(int n, int a, int c) th c hi n vi c chuy n đ a th n t c c a sang c c c

- Hàm thaphanoi(int n, int a, int c, int b) là hàm đ qui th c hi n vi c chuy n n đ a t c c

a sang c c c, s d ng c c trung gian là c c b

Ch ng trình nh sau:

void chuyen(int n, char a, char c){

printf(‘Chuyen dia thu %d tu coc %c sang coc %c

3- L i g i đ qui thaphanoi(n-1, b, c, a) đ chuy n n-1 đ a t c c b sang c c c, s d ng c c

Th t v y, theo ph ng pháp chuy n c a gi i thu t thì có 3 b c B c 1 chuy n n-1 đ a t

c c a sang c c b m t 2n-1-1 thao tác B c 2 chuy n 1 đ a t c c a sang c c c m t 1 thao tác B c

3 chuy n n-1 đ a t c c b sang c c c m t 2n-1

-1 thao tác T ng c ng ta m t (2n-1-1) + (2n-1-1) + 1 = 2*2n-1 -1 = 2n –1 thao tác chuy n ó là đi u c n ch ng minh

Nh v y, thu t toán có c p đ t ng r t l n Nói v c p đ t ng này, có m t truy n thuy t vui

v bài toán tháp Hà n i nh sau: Ngày t n th s đ n khi các nhà s m t ngôi chùa th c hi n xong vi c chuy n 40 chi c đ a theo quy t c nh bài toán v a trình bày V i đ ph c t p c a bài toàn v a tính đ c, n u gi s m i l n chuy n 1 đ a t c c này sang c c khác m t 1 giây thì v i

240-1 l n chuy n, các nhà s này ph i m t ít nh t 34.800 n m thì m i có th chuy n xong toàn b

s đ a này !

D i đây là toàn b mã ngu n ch ng trình tháp Hà n i vi t b ng C:

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

void chuyen(int n, char a, char c);

void thaphanoi(int n, char a, char c, char b);

void chuyen(int n, char a, char c){

printf("Chuyen dia thu %d tu coc %c sang coc %c \n", n,

2.2.4 Thu t toán quay lui (backtracking algorithms)

Nh chúng ta đã bi t, các thu t toán đ c xây d ng đ giái quy t v n đ th ng đ a ra 1 quy t c tính toán nào đó Tuy nhiên, có nh ng v n đ không tuân theo 1 quy t c, và khi đó ta ph i dùng ph ng pháp th - sai (trial-and-error) đ gi i quy t Theo ph ng pháp này, quá trình th - sai đ c xem xét trên các bài toán đ n gi n h n (th ng ch là 1 ph n c a bài toán ban đ u) Các bài toán này th ng đ c mô t d i d ng đ qui và th ng liên quan đ n vi c gi i quy t m t s

h u h n các bài toán con

hi u rõ h n thu t toán này, chúng ta s xem xét 1 ví d đi n hình cho thu t toán quay lui, đó là bài toán Mã đi tu n

Cho bàn c có kích th c n x n (có n2 ô) M t quân mã đ c đ t t i ô ban đ u có to đ x0, y0

và đ c phép d ch chuy n theo lu t c thông th ng Bài toán đ t ra là t ô ban đ u, tìm m t chu i các n c đi c a quân mã, sao cho quân mã này đi qua t t c các ô c a bàn c , m i ô đúng 1 l n

Nh đã nói trên, quá trình th - sai ban đ u đ c xem xét m c đ n gi n h n C th , trong bài toán này, thay vì xem xét vi c tìm ki m chu i n c đi ph kh p bàn c , ta xem xét v n

đ đ n gi n h n là tìm ki m n c đi ti p theo c a quân mã, ho c k t lu n r ng không còn n c đi

k ti p th a mãn T i m i b c, n u có th tìm ki m đ c 1 n c đi k ti p, ta ti n hành ghi l i

n c đi này cùng v i chu i các n c đi tr c đó và ti p t c quá trình tìm ki m n c đi N u t i

b c nào đó, không th tìm n c đi k ti p th a mãn yêu c u c a bài toán, ta quay tr l i b c

tr c, h y b n c đi đã l u l i tr c đó và th sang 1 n c đi m i Quá trình có th ph i th r i quay l i nhi u l n, cho t i khi tìm ra gi i pháp ho c đã th h t các ph ng án mà không tìm ra

u tiên, ta s d ng 1 m ng 2 chi u đ mô t bàn c :

int Banco[n][n];

Các ph n t c a m ng này có ki u d li u s nguyên M i ph n t c a m ng đ i di n cho 1

ô c a bàn c Ch s c a ph n t t ng ng v i t a đ c a ô, ch ng h n ph n t Banco[0][0]

t ng ng v i ô (0,0) c a bàn c Giá tr c a ph n t cho bi t ô đó đã đ c quân mã đi qua hay

ch a N u giá tr ô = 0 t c là quân mã ch a đi qua, ng c l i ô đã đ c quân mã đã đi qua

Banco[x][y] = 0: ô (x,y) ch a đ c quân mã đi qua

Banco[x][y] = i: ô (x,y) đã đ c quân mã đi qua t i n c th i

Ti p theo, ta c n ph i thi t l p thêm 1 s tham s xác đ nh danh sách các n c đi k

ti p, ta c n ch ra t a đ hi n t i c a quân mã, t đó theo lu t c thông th ng ta xác đ nh các ô quân mã có th đi t i Nh v y, c n có 2 bi n x, y đ bi u th t a đ hi n t i c a quân mã cho

bi t n c đi có thành công hay không, ta c n dùng 1 bi n ki u boolean

N c đi k ti p ch p nh n đ c n u nó ch a đ c quân mã đi qua, t c là n u ô (u,v) đ c

ch n là n c đi k ti p thì Banco[u][v] = 0 là đi u ki n đ ch p nh n Ngoài ra, hi n nhiên là ô đó

ph i n m trong bàn c nên 0 ≤ u, v < n

Vi c ghi l i n c đi t c là đánh d u r ng ô đó đã đ c quân mã đi qua Tuy nhiên, ta c ng

c n bi t là quân mã đi qua ô đó t i n c đi th m y Nh v y, ta c n 1 bi n i đ cho bi t hi n t i đang th n c đi th m y, và ghi l i n c đi thành công b ng cách gán giá tr Banco[u][v]=i

Do i t ng lên theo t ng b c th , nên ta có th ki m tra xem bàn c còn ô tr ng không b ng cách ki m tra xem i đã b ng n2

ch a N u i<n2 t c là bàn c v n còn ô tr ng

bi t n c đi có thành công hay không, ta có th ki m tra bi n boolean nh đã nói trên Khi n c đi không thành công, ta ti n hành h y n c đi đã l u b c tr c b ng cách cho giá tr Banco[u][v] = 0

Nh v y, ta có th mô t c th h n hàm trên nh sau:

void ThuNuocTiepTheo(int i, int x, int y, int *q)

Ch n n c đi (u,v) trong danh sách n c đi k ti p;

if ((0 <= u) && (u<n) && (0 <= v) && (v<n) && (Banco[u][v]==0))

mã có th đi t i các ô nào, và cách tính v trí t ng đ i c a các ô đó so v i ô (x,y) ra sao

Theo lu t c thông th ng, quân mã t ô (x,y) có th đi t i 8 ô trên bàn c nh trong hình v :

Ta th y r ng 8 ô mà quân mã có th đi t i t ô (x,y) có th tính t ng đ i so v i (x,y) là: (x+2, y-1); (x+1, y-2); (x-1, y-2); (x-2, y-1); (x-2, y+1); (x-1, y+2); (x+1; y+2); (x+2, y+1)

N u g i dx, dy là các giá tr mà x, y l n l t ph i c ng vào đ t o thành ô mà quân mã có

th đi t i, thì ta có th gán cho dx, dy m ng các giá tr nh sau:

Chú ý r ng, v i các n c đi nh trên thì (u, v) có th là ô n m ngoài bàn c Tuy nhiên, nh

đã nói trên, ta đã có đi u ki n 0 ≤ u, v < n, do v y luôn đ m b o ô (u, v) đ c ch n là h p l

Cu i cùng, hàm ThuNuocTiepTheo có th đ c vi t l i hoàn toàn b ng ngôn ng C nh sau:

void ThuNuocTiepTheo(int i, int x, int y, int *q)

Nh v y, có th th y đ c đi m c a thu t toán là gi i pháp cho toàn b v n đ đ c th c

hi n d n t ng b c, và t i m i b c có ghi l i k t qu đ sau này có th quay l i và h y k t qu

đó n u phát hi n ra r ng h ng gi i quy t theo b c đó đi vào ngõ c t và không đem l i gi i pháp

t ng th cho v n đ Do đó, thu t toán đ c g i là thu t toán quay lui

D i đây là mã ngu n c a toàn b ch ng trình Mã đi tu n vi t b ng ngôn ng C:

Bài toán 8 quân h u

Bài toán 8 quân h u là 1 ví d r t n i ti ng v vi c s d ng ph ng pháp th - sai và thu t toán quay lui c đi m c a các bài toán d ng này là không th dùng các bi n pháp phân tích đ

gi i đ c mà ph i c n đ n các ph ng pháp tính toán th công, v i s kiên trì và đ chính xác cao Do đó, các thu t toán ki u này phù h p v i vi c s d ng máy tính vì máy tính có kh n ng tính toán nhanh và chính xác h n nhi u so v i con ng i

Bài toán 8 quân h u đ c phát bi u ng n g n nh sau: Tìm cách đ t 8 quân h u trên 1 bàn

c sao cho không có 2 quân h u nào có th n đ c nhau

T ng t nh phân tích bài Mã đi tu n, ta có hàm DatHau đ tìm v trí đ t quân h u ti p theo nh sau:

ch 1 quân h u, và t đó ta có quy đ nh là quân h u th i ph i đ t c t th i Nh v y, ta s dùng

bi n i đ bi u th ch s c t, và quá trình l a ch n v trí đ t quân h u s ch n 1 trong 8 v trí trong

c t cho bi n ch s hàng j

Hình 2.6 Các n c chi u c a quân h u Trong bài toán Mã đi tu n, ta s d ng m t m ng 2 chi u Banco(i, j) đ bi u th bàn c Tuy nhiên, trong bài toán này n u ti p t c dùng c u trúc d li u đó s d n t i m t s ph c t p trong

vi c ki m tra v trí đ t quân h u có an toàn hay không, b i vì ta c n ph i ki m tra hàng và các

đ ng chéo đi qua ô quân h u s đ c đ t (không c n ki m tra c t vì theo quy đ nh ban đ u, có đúng 1 quân h u đ c đ t trên m i c t) i v i m i ô trong c t, s có 1 hàng và 2 đ ng chéo đi qua nó là đ ng chéo trái và đ ng chéo ph i

Ta s dùng 3 m ng ki u boolean đ bi u th cho các hàng, các đ ng chéo trái, và các

đ ng chéo ph i (có t t c 15 đ ng chéo trái và 15 đ ng chéo ph i)

int a[8];

int b[15], c[15];

Trong đó:

a[j] = 0: Hàng j ch a b chi m b i quân h u nào

b[k] = 0: ng chéo trái k ch a b chi m b i quân h u nào

c[k] = 0: ng chéo ph i k ch a b chi m b i quân h u nào

Chú ý r ng các ô (i, j) cùng n m trên 1 đ ng chéo trái thì có cùng giá tr i + j, và cùng n m trên đ ng chéo ph i thì có cùng giá tr i – j N u đánh s các đ ng chéo trái và ph i t 0 đ n 14, thì ô (i, j) s n m trên đ ng chéo trái (i + j) và n m trên đ ng chéo ph i (i – j +7)

Do v y, đ ki m tra xem ô (i, j) có an toàn không, ta ch c n ki m tra xem hàng j và các

đ ng chéo (i +j), (i – j +7) đã b chi m ch a, t c là ki m tra a[i], b[i + j], và c[i – j +7]

Ngoài ra, ta c n có 1 m ng x đ l u gi ch s hàng c a quân h u trong c t i

int x[8];

V y v i thao tác đ t h u vào v trí hàng j trên c t i, ta c n th c hi n các công vi c:

x[i] = j; a[j] = 1; b[i + j] = 1; c[i – j + 7] = 1;

V i thao tác b h u ra h i hàng j trong c t i, ta c n th c hi n các công vi c:

a[j] = 0; b[i + j] = 0; c[i – j + 7] = 0;

Còn đi u ki n đ ki m tra xem v trí t i hàng j trong c t i có an toàn không là:

(a[j] = =0) && (b[i + j] == 0) && (c[i – j + 7] == 0)

Nh v y, hàm DatHau s đ c th hi n c th b ng ngôn ng C nh sau:

void DatHau(int i, int *q)

đ c đ nh ngh a thông qua khái ni m v chính nó

- Ch ng trình đ qui: M t ch ng trình máy tính g i là đ qui n u trong ch ng trình có

v y có th s d ng các l i g i đ qui đ gi i quy t

- Thu t toán quay lui dùng đ gi i quy t các bài toán không tuân theo 1 quy t c, và khi đó

ta ph i dùng ph ng pháp th - sai (trial-and-error) đ gi i quy t Theo ph ng pháp

này, quá trình th - sai đ c xem xét trên các bài toán đ n gi n h n (th ng ch là 1

ph n c a bài toán ban đ u) Các bài toán này th ng đ c mô t d i d ng đ qui và

th ng liên quan đ n vi c gi i quy t m t s h u h n các bài toán con

2.4 CÂU H I VÀ BÀI T P

1 Hãy trình bày m t s ví d v đ nh ngh a theo ki u đ qui

2 M t ch ng trình đ qui khi g i chính nó thì bài toán khi đó có kích th c nh th nào

so v i bài toán ban đ u? ch ng trình đ qui không b l p vô h n thì c n ph i làm gì?

3 Hãy cho bi t t i sao khi ch ng trình có th vi t d i d ng l p ho c c u trúc khác thì không nên s d ng đ qui?

4 Vi t ch ng trình đ qui tính t ng các s l trong kho ng t 1 đ n 2n+1

5 Hãy cho bi t các b c th c hi n chuy n đ a trong bài toán tháp Hà n i v i s l ng đ a

là 5

6 Hoàn thi n mã ngu n cho bài toán 8 quân h u và ch y th cho ra k t qu

CH NG 3

M NG VÀ DANH SÁCH LIÊN K T

Ch ng 3 gi i thi u v các ki u d li u danh sách, bao g m ki u d li u c s m ng và

ki u danh sách nâng cao là danh sách liên k t Ngoài ph n gi i thi u s l c v m ng, ch ng 3

t p trung vào các ki u danh sách liên k t

Ph n danh sách liên k t đ n gi i thi u các khái ni m danh sách, các thao tác c b n trên danh sách nh chèn ph n t , xoá ph n t , duy t qua toàn b danh sách Cu i ph n là m t ví d v

s d ng danh sách liên k t đ n đ bi u di n 1 đa th c

Ch ng này c ng đ c p t i m t s ki u danh sách liên k t khác nh danh sách liên k t vòng và danh sách liên k t kép

h c t t ch ng này, sinh viên c n n m v ng lý thuy t và tìm tòi m t s ví d khác minh

ho cho vi c s d ng m ng và danh sách liên k t

3.1 C U TRÚC D LI U KI U M NG (ARRAY)

Có th nói, m ng là c u trúc d li u c n b n và đ c s d ng r ng rãi nh t trong t t c các ngôn ng l p trình M t m ng là 1 t p h p c đ nh các thành ph n có cùng 1 ki u d li u, đ c

l u tr k ti p nhau và có th đ c truy c p thông qua m t ch s Ví d , đ truy c p t i ph n t

th i c a m ng a, ta vi t a[i] Ch s này ph i là s nguyên không âm và nh h n kích th c c a

m ng (s ph n t c a m ng) Trong ch ng trình, ch s này không nh t thi t ph i là các h ng s

ho c bi n s , mà có th là các bi u th c ho c các hàm

a1 a2 ai ai+1 an

L u ý r ng c u trúc c a b nh máy tính c ng đ c t ch c thành các ô nh , và c ng có th truy c p ng u nhiên thông qua các đ a ch Do v y, vi c l u tr d li u trong m ng có s t ng thích hoàn toàn v i b nh máy tính, trong đó có th coi toàn b b nh máy tính nh 1 m ng, và

Nh đã nói trên, m ng là c u trúc d li u d s d ng, t c đ truy c p cao Tuy nhiên,

nh c đi m chính c a m ng là không linh ho t v kích th c Ngh a là khi ta đã khai báo 1 m ng thì kích th c c a nó là c đ nh, không th thay đ i trong quá trình th c hi n ch ng trình i u này r t b t ti n khi ta ch a bi t tr c s ph n t c n x lý N u khai báo m ng l n s t n b nh

và nh h ng đ n hi u su t c a ch ng trình N u khai báo m ng nh s d n đ n thi u b nh Ngoài ra, vi c b trí l i các ph n t trong m ng c ng khá ph c t p, b i vì m i ph n t đã có v trí

c đ nh trong m ng, và đ b trí 1 ph n t sang 1 v trí khác, ta ph i ti n hành “d n” các ph n t

có liên quan

Trong ph n ti p theo, chúng ta s xem xét m t c u trúc d li u khác, c ng cho phép l u tr

1 t p các ph n t , nh ng có kích th c và cách b trí linh ho t h n ó là c u trúc d li u danh sách liên k t

3.2 DANH SÁCH LIÊN K T

3.2.1 Khái ni m

Khác v i m ng, danh sách liên k t là 1 c u trúc d li u có ki u truy c p tu n t M i ph n

t trong danh sách liên k t có ch a thông tin v ph n t ti p theo, qua đó ta có th truy c p t i

ph n t này

R Sedgewick (Alogrithms in Java - 2002) đ nh ngh a danh sách liên k t nh sau:

Danh sách liên k t là 1 c u trúc d li u bao g m 1 t p các ph n t , trong đó m i ph n t là

Danh sách liên k t có th đ c xem nh là 1 s b trí tu n t các ph n t trong 1 t p B t

đ u t 1 nút, ta coi đó là ph n t đ u tiên trong danh sách T nút này, theo liên k t mà nó tr t i,

ta có nút th 2, đ c coi là ph n t th 2 trong danh sách, v.v c ti p t c nh v y cho đ n h t danh sách Nút cu i cùng có th có liên k t là m t liên k t null, t c là không tr t i nút nào, ho c

nó có th tr v nút đ u tiên đ t o thành 1 vòng

Hình 3.1 Danh sách liên k t

Nh v y, m c dù cùng là c u trúc d li u bao g m 1 t p các ph n t , nh ng gi a danh sách liên k t và m ng có 1 s đi m khác bi t sau:

- M ng có th đ c truy c p ng u nhiên thông qua ch s , còn danh sách ch có th truy

c p tu n t Trong danh sách liên k t, mu n truy c p t i 1 ph n t ph i b t đ u t đ u danh sách sau đó l n l t qua các ph n t k ti p cho t i khi đ n ph n t c n truy c p

- Vi c b trí, s p đ t l i các ph n t trong 1 danh sách liên k t đ n gi n h n nhi u so v i

m ng B i vì đ i v i danh sách liên k t, đ thay đ i v trí c a 1 ph n t , ta ch c n thay

đ i các liên k t c a m t s ph n t có liên quan, còn trong m ng, ta th ng ph i thay

đ i v trí c a r t nhi u ph n t

- Do b n ch t đ ng c a danh sách liên k t, kích th c c a danh sách liên k t có th linh

ho t h n nhi u so v i m ng Kích th c c a danh sách không c n ph i khai báo tr c,

b t k lúc nào có th t o m i 1 ph n t và thêm vào v trí b t k trong danh sách Nói cách khác, m ng là 1 t p có s l ng c đ nh các ph n t , còn danh sách liên k t là 1 t p

typedef struct node *listnode;

u tiên, ta khai báo m t c u trúc node bao g m 2 thành ph n Thành ph n th nh t là 1

bi n nguyên ch a d li u, thành ph n th 2 là m t con tr ch a đ a ch c a nút k ti p Ti p theo,

ta đ nh ngh a m t ki u d li u con tr t i nút có tên là listnode

V i các danh sách liên k t có ki u ph n t ph c t p h n, ta ph i khai báo c u trúc c a ph n

t này tr c (itemstruct), sau đó đ a ki u c u trúc đó vào ki u ph n t trong c u trúc node

struct node {

itemstruct item;

struct node *next;

};

typedef struct node *listnode;

3.2.2 Các thao tác c b n trên danh sách liên k t

Nh đã nói trên, v i tính ch t đ ng c a danh sách liên k t, các nút c a danh sách không

đ c t o ra ngay t đ u mà ch đ c t o ra khi c n thi t Do vây, thao tác đ u tiên c n có trên danh sách là t o và c p phát b nh cho 1 nút T ng ng v i nó là thao tác gi i phóng b nh và

h y 1 nút khi không dùng đ n n a

NULL

Thao tác ti p theo c n xem xét là vi c chèn 1 nút đã t o vào danh sách Do c u trúc đ t bi t

c a danh sách liên k t, vi c chèn nút m i vào đ u, cu i, ho c gi a danh sách có m t s đi m khác

bi t Do v y, c n xem xét c 3 tr ng h p T ng t nh v y, vi c lo i b 1 nút kh i danh sách

c ng s đ c xem xét trong c 3 tr ng h p Cu i cùng là thao tác duy t qua toàn b danh sách Trong ph n ti p theo, ta s xem xét chi ti t vi c th c hi n các thao tác này, đ c th c hi n trên danh sách liên k t có ph n t c a nút là 1 s nguyên nh khai báo đã trình bày trên

3.2.2.1 T o, c p phát, và gi i phóng b nh cho 1 nút

listnode p; // Khai báo bi n p

p = (listnode)malloc(sizeof(struct node));//c p phát b nh cho

p

free(p); //gi i phóng b nh đã c p phát cho nút p;

3.2.2.2 Chèn m t nút vào đ u danh sách

Gi s ta có 1 danh sách mà đ u c a danh sách đ c tr t i b i con tr p

Các b c đ chèn 1 nút m i vào đ u danh sách nh sau:

Gi s ta có 1 danh sách mà đ u c a danh sách đ c tr t i b i con tr p

Các b c đ chèn 1 nút m i vào cu i danh sách nh sau (th c hi n đúng theo trình t ):

- T o và c p phát b nh cho 1 nút m i Nút này đ c tr t i b i q

- D ch chuy n con tr t i nút cu i c a danh sách làm đ c vi c này, ta ph i khai báo 1

bi n con tr m i r Ban đ u, bi n này, c ng v i p, tr đ n đ u danh sách L n l t d ch chuy n r theo các nút k ti p cho t i khi đ n cu i danh sách

- Cho con tr ti p c a nút cu i (đ c tr t i b i r) tr đ n nút m i t o là q, và cho con tr

3.2.2.4 Chèn m t nút vào tr c nút r trong danh sách

Gi s ta có 1 danh sách mà đ u c a danh sách đ c tr t i b i con tr p, và 1 nút r trong danh sách

Ta gi thi t r ng nút r không ph i là nút cu i cùng c a danh sách, vì n u nh v y, ta ch c n

th c hi n thao tác chèn 1 nút vào cu i danh sách nh đã trình bày trên

Các b c đ chèn 1 nút m i vào tr c nút r trong danh sách nh sau (th c hi n đúng theo trình t ):

- Cho con tr ti p c a nút r tr đ n q

void Insert_Middle(listnode *p, int position, int x){

int count=1, found=0;

Chú ý r ng trong hàm này, ta gi s r ng c n ph i xác đ nh nút r trong xâu t i 1 v trí cho

tr c position Sau đó m i ti n hành chèn nút m i vào tr c nút r

3.2.2.5 Xóa m t nút đ u danh sách

Gi s ta có 1 danh sách mà đ u c a danh sách đ c tr t i b i con tr p

Chú ý r ng đ xóa 1 nút trong danh sách thì danh sách đó không đ c r ng

Các b c đ xóa 1 nút đ u danh sách nh sau:

- D ch chuy n con tr p qua ph n t đ u tiên đ n ph n t k ti p

- Ng t liên k t c a bi n t m q v i nút ti p theo, gi i phóng b nh cho q

Gi s ta có 1 danh sách mà đ u c a danh sách đ c tr t i b i con tr p

Các b c đ xóa 1 nút cu i danh sách nh sau:

- D ch chuy n con tr t i nút g n nút cu i c a danh sách làm đ c vi c này, ta ph i dùng 2 bi n t m là q và r L n l t d ch chuy n q và r t đ u danh sách t i cu i danh sách, trong đó q luôn d ch chuy n sau r 1 nút Khi r t i nút cu i cùng thì q là nút g n nút cu i cùng nh t