Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7

Môn toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa..., năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tợn

A Phần mở đầu.

I Lời nói đầu.

Phát triển toàn diện nhân cách cho trẻ là mục tiêu của mọi xã hội Nhân cách của con ngời đợc hình thành qua quá trình giáo dục Vì vậy giáo dục học sinh là một việc làm hết sức cần thiết Nó là nền tảng vững chắc ngay từ bớc đầu để trẻ hoàn thiện nhân cách của một con ngời Mọi trẻ em sinh ra đều có quyền đợc chăm sóc

và bảo vệ, đợc giáo dục và học hành Nghị quyết Trung Ương II của Đảng đã sáng suốt đa nền giáo là quốc sách hàng đầu Chính vì vậy Đảng và nhân dân ta đã không ngừng quan tâm và từng bớc đổi mới quá trình dạy học một cách rõ rệt, để tạo tiền

đề đa đất nớc tiến vào thời kỳ công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc

Nh chúng ta đã biết, môn toán có vị trí rất quan trọng trong trờng phổ thông, trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại Các kiến thức và phơng pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt các môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Môn toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa ), năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tợng, năng lực suy luận lôgíc và sử dụng ngôn ngữ chính xác, đồng thời rèn luyện các phẩm chất trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v

Tuy nhiên, từ thực tế công tác giảng dạy của mình tại trờng THCS Định Hải Yên

Định, tôi nhận thấy nhiều học sinh học toán kém, những học sinh lời học không nắm đợc kiến thức cơ bản đã đành, còn có nhiều học sinh chịu khó học bài thuộc bài nhng vẫn không làm đợc hoặc làm sai bài tập Nguyên nhân cơ bản là do các em không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu khảo sát kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết theo nhiều cách khác, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán; không biết hoặc vận dụng cha thành thạo các phơng pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài tập đã giải hoặc áp dụng phơng pháp giải một cách máy móc thiếu linh hoạt; không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho một bài toán hoặc mở rộng lời giải tìm đợc cho bài toán khác do đó bị hạn chế năng trong việc rèn luyện năng lực giải toán

II Thực trạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7a trờng THCS Định Hải Yên Định.

ở lớp 7 khi chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau đa số học sinh gắn chúng vào các tam giác và chứng minh cho hai tam giác bằng nhau mà không đề cập hay sử dụng các định lí hay tính chất khác Vì vậy khi không gắn đợc các đoạn thẳng vào các tam giác thì học sinh không chứng minh đợc hoặc chứng minh đợc cũng rất dài

dòng Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng minh các tam giác bằng nhau, chứng minh hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi.v.v

Do tính cấp thiết của vấn đề cùng với thực tiễn ở đơn vị công tác, tôi nhận thấy vệc “Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau” là vấn đề hết sức cần thiết Đây là nội dung rất khó đối với học sinh lớp 7 Vì vậy tôi xét thấy cần tìm hiểu đề tài này ở tr -ờng và đa ra một số phơng pháp và một hệ thống bài tập tự rút ra trong quá trình công tác nhằm giúp cho việc dạy học giải toán nói chung và “chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau” nói riêng đạt kết quả cao

B Phần nội dung.

I Các giải pháp thực hiện.

1 Khảo sát lớp thực nghiệm

Lớp 7a trờng THCS Định Hải Yên Định năm học 2008 – 2009

Tổng số học sinh: 37

Khả năng

Trung bình 12 32.4 11 29.7 11 29.7 12 32.4

Khả năng phân tích đề

Khả năng thiết lập các dữ kiện để tìm lời giải

Khả năng nêu lời giải đúng, chính xác

Khả năng trình bày bài toán

đúng và đẹp

2 Phơng pháp giải.

Việc giải một bài toán cũng nh việc giải quyết bất cứ một công việc gì thờng tiến hành theo 4 bớc:

Bớc 1: Tìm hiểu đề toán

Bớc 2: Tìm lời giải

Bớc 3: Thực hiện giải

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm đợc

ở mỗi bớc cần phải làm gì? suy nghĩ nh thế nào? tại sao lại suy nghĩ và làm

nh vậy?

Tùy theo từng bài dạy cụ thể mà giáo viên nên đa ra các phơng pháp chứng minh phù hợp Sau đây là các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

Các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

1 Sử dụng hai đoạn thẳng có cùng số đo

2

2 Sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa đờng trung tuyến của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng

3 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đờng trung trực của

đoạn thẳng

4 Sử dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, tính chất cạnh đối diện với góc 300 trong tam giác vuông

5 Sử dụng tính chất của trọng tâm, tính chất giao điểm của ba đờng phân giác, tính chất của giao điểm của ba đờng trung trực

6 Sử dụng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian

7 Sử dụng sự bằng nhau của hai tam giác

8 Sử dụng tính chất của tam giác cân

9 Sử dụng tính chất hình bình hành (sử dụng cho lớp 8)

10 Sử dụng định ly đờng trung bình của tam giác (thuận và đảo) (sử dụng cho lớp 8)

11 Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trớc rồi biến đổi

12 Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau trong đờng tròn (sử dụng cho lớp 9)

13 Sử dụng đoạn thẳng địng ly Talét (sử dụng cho lớp 8)

14 Chứng minh phản chứng

15 Sử dụng định ly đờng thảng đi qua điểm giữa của 1 cạnh bên (đờng chéo) của hình thang, song song với đáy sẽ đi qua trung điểm của các cạnh bên, các đ-ờng chéo (sử dụng cho lớp 8)

16 Sử dụng bình phơng của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định ly Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lợng trong tam giác, trong đờng tròn để đa về bình phơng của chúng bằng nhau)

II Một số biện pháp đã thực hiện hớng dẫn học sinh chứng minh hai

đoạn thẳng bằng nhau.

Để hình thành kĩ năng cho học sinh ngoài việc truyền đạt các phơng pháp chứng minh giáo viên cần đa ra hệ thống bài tập đa rạng từ dễ đến khó để học sinh rèn luyện Ngoài ra giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh bằng nhiều cách khác nhau để học sinh có sự so sánh Sau đây là các bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

Các bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 1.

Cho một góc nhọn xOy Ta dựng về phía ngoài của góc xOy tia Ox’ vuông góc với Ox và Oy’ vuông góc với Oy Lấy một điểm A trên Ox và lấy một điểm C

trên Oy Sau đó lấy trên Ox’ một điểm B và trên Oy’ một điểm D sao cho OA = OB

và OD = OC Chứng minh AD = BC

GT xOy < 900; Ox ' Ox;

Oy

Oy '

OB  OA; OD  OC

KL AD  BC

y

x y'

x' B

D

O

A C

Giải.



















xOy BOC

xOy AOD

0 0

90 90

BOC AOD 

















OC

OD

BOC AOD

OB

OA

BC AD c

g c BOC AOD     



ứng)

Bài 2 Cho tam giác ABC Gọi E là trung điểm của cạnh AC Đờng thẳng qua E song song với cạnh BC, cắt cạnh AB tại điểm F; đờng thẳng qua E song song với cạnh AB cắt cạnh BC tại điểm D Chứng minh F là trung điểm của AB và

D là trung điểm của BC

GT EA = EC, FE // AB, FD // AB

D

F A

Giải:

Ta có: EF // BC  Eˆ1 Cˆ (đồng vị) (1)

ED // AB  Eˆ2 Aˆ (đồng vị) (2)

E là trung điểm của AC nên EA = EC (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra FAE  DEC(g  c g)  FA = DE (4)

Ta có:











 chung

FD

trong) le

(so

D ˆ

F ˆ AB

//

ED

trong) le

(so

D ˆ

F ˆ

BC //

EF

2 2

1 1

) (g c g DEF

FBD   



Từ (4) và (5) suy ra FA = FB

Điểm F  AB mà FA = FB suy ra F là trung điểm của AB

Chứng minh tơng tự, ta có điểm D là trung điểm của cạnh BC

4

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đờng cao AH Từ H kẻ HD  AB

và HE  AC Chứng minh: DE = AH, KA = KH, KD = KE

Â= 900, AH  BC

GT HD  AB, HE  AC

KL DE = AH, KA = KH

KD = KE

K D

E

H

A

C B

Giải: Hai tam giác vuông DAE và EHD bằng nhau vì có cạnh huyền DE chung và

hai góc ADE, HED bằng nhau (so le trong, AD // EH)

Cho ta AE = DH và AD = EH

Hai tam giác vuông ADH và EHD có AD = EH và DH chung nên chúng bằng nhau, cho ta AH = DE

Ta có A ˆ1 Hˆ1 (so le trong)

1

1 ˆ

E  (so le trong)

AD = EH (chứng minh trên)

Suy ra AKD HKE KAKH và KD  KE

Bài 4. Cho tam giác cân ABC có AB = AC Một điểm M thuộc cạnh AB và một điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM = CN Chứng tỏ rằng tam giác AMN cân

GT AB = AC, BM = CN

KL AMN cân

N

C

A

B M

Giải.

Điểm M  AB nên: AM + MB = AB  AM = AB - MB

Điểm N  AC nên: AN + NC = AC  AN = AC - NC

Ta có AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)

Và MB = NC (gt)

Suy ra AM = AN Vậy tam giác AMN là tam giác cân tại A

Bài 5 Cho tam giác đều ABC Trên cạnh BC có một điểm D sao cho

.

3

1

BC

BD  Trên cạnh AB có một điểm E sao cho AE AB

3

1

 và trên cạnh AC có

một điểm F sao cho CF AC

3

1

 Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều

GT ABC đều

.

3

1

BC

BD  , AE AB

3

1

3

1



KL DEF đều

F

E

D C

A

B

Giải.

3

1

BC

BD  , AE AB

3

1

3

1

 mà ABC đều nên ta có ba cạnh bằng nhau: ABACBC (1)

Suy ra: BDAE CF(2)

Mặt khác ta lại có: AF AC CF

BD BC

CD 

AE AB

BE  Kết hợp với (1) và (2) ta suy ra: AF CDBE

Xét các tam giác AEF, BDE, CFD ta thấy

CF AE

BD 

BE CD

AF  

và Aˆ Bˆ Cˆ

nên chúng bằng nhau (trờng hợp c – g – c)

CFD BDE

AEF    



Tam giác DEF có ba cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều

Bài 6 Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =

BA Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =

3

1

BC Gọi K là giao điểm của AE và

CD Chứng minh rằng DK = KC

Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BA lấy D

6

K E

D

A

B

C

GT BD = BA Lấy E trên BC sao cho BE =

3

1

BC

K là giao điểm của AE và CD

KL DK = KC

Giải.

Xét ACD, ta có CB là đờng trung tuyến

Điểm E thuộc đoạn CB và CE =

3

2

CB nên E là trọng tâm của ACD

Do đó AK là đờng trung tuyến của ACD, vậy CK = KD

Bài 7

Cho ABC cân tại A, D là trung điểm của BC Gọi E và F là chân các đờng vuông góc kẻ từ D đến AB và AC Chứng minh rằng DE = DF

Tam giác ABC cân tại A D là trung điểm BC

GT E và F là chân các đờng vuông góc kẻ từ D

đến AB và AC

KL DE = DF

Giải.

Cách 1 (Đa số học sinh thờng sử dụng)

ABC cân tại A nên Bˆ Cˆ

Xét hai tam giác vuông BDE và CDF





C ˆ

B ˆ

(gt) CD DB

 BDE = CDF (cạnh huyền góc nhọn)

 DE = DF (cạnh tơng ứng)

Cách 2.

ABC cân tại A nên đờng trung tuyến AD cũng là đờng phân giác Theo tính chất tia phân giác của một góc, D thuộc tia phân giác của góc A nên cách đều hai cạnh

của góc đó, do đó DE = DF

Bài 8.

Cho tam giác ABC vuông tại A Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I Gọi D và E là chân các đờng vuông góc kẻ từ I đến AB và AC

B

A

Chứng minh rằng AD = AE.

Tam giác ABC vuông tại A Phân

GT giác góc B và C cắt nhau ở I D và E

là chân các đờng vuông góc kẻ từ I

đến AB và AC

KL AE = AD

Giải Cách 1.

AI là phân giác của góc A nên ID = IE (1) Các tam giác vuông ADI, AEI có

0

45







DAI EAI nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE

Cách 2 (học sinh thờng sử dụng)

AI là phân giác của góc A nên ID = IE Suy ra hai tam giác vuông ADI và AEI bằng nhau (cạnh huyền cạnh góc vuông) Suy ra AD = AE

Cách 3

AI là phân giác của góc A nên ID = IE  ID 2 IE2 (1)

Xét hai tam giác vuông ADI và AEI Có AE2 AI2  EI2; AD2 AI2  DI2(Pitago) (2)

Từ (1) và (2)  AE2 AD2  AEAD

Bài 9.

Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD của góc A Đờng thẳng song song với AB vẽ qua điểm D, cắt cạnh AC tại điểm E Đờng thẳng song song với BC kẻ qua điểm E cắt cạnh AB tại điểm F Chứng minh AE = BF

AD là phân giác góc A

GT Dx // AB; Dx cắt AC ở E

Ey // BC; Ey cắt AB ở F

KL AE = BF

D

A

Giải.

AD là phân giác góc A nên A ˆ1 Aˆ2

DE // AB  Aˆ1 Dˆ (so le trong)

Vậy Aˆ2 Dˆ  AED cân, đỉnh E Cho ta AE = DE (1)

8

D

E

I A

EF // BC  EFD FDB (so le trong)

ED // AC  BFD FDE (so le trong)

Kết hợp với FD là cạnh chung, ta suy ra BFD EDF

 BF = ED (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = BF

Bài 10.

Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc xOy Vẽ điểm B sao cho Ox là trung trực của AB Vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC Chứng minh rằng OB = OC

GT Oy là trung trực của AB

Ox là trung trực AC

KL OB = OC

Giải.

Oy là đờng trung trực của AB  OA = OB (1)

Ox là đờng trung trực của AC  OA = OC (2)

Từ (1) và (2)  OB = OC

Bài 11.

Cho tam giác ABC cân tại A, đờng trung tuyến AM Đờng trung trực của AC cắt đờng thẳng AM ở D Chứng minh rằng DA = DB

Tam giác ABC cân tại A

GT Trung tuyến AM

Trung trực của AC cắt AM tại D

KL DA = DB

Giải

x

y

B

C

O

A

D

A

B

Tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên AM cũng là đờng trung trực của BC D là giao điểm của các đờng trung trực của BC và của AC nên D cũng thuộc đờng trung trực của AB Vậy DA = DB

C Kết luận chung.

1 Kết quả của việc vận dụng sáng kiến.

Qua một thời gian áp dụng giải pháp và phơng pháp nói trên chất lợng học sinh trong lớp tôi đã đợc nâng lên rõ rệt Cụ thể nh sau:

Khả năng

Trung bình 12 32.4 11 29.7 11 29.7 10 27

Khả năng phân tích đề

Khả năng thiết lập các dữ kiện để tìm lời giải

Khả năng nêu lời giải đúng, chính xác

Khả năng trình bày bài toán

đúng và đẹp

Qua quá trình áp dụng những phơng pháp, những kinh nghiệm của bản thân vào quá trình dạy học môn toán nói chung và giải bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói chung tôi đã rút ra một số bài học cho mình để góp phần tích cực trong việc nâng cao hiệu quả việc dạy học toán giáo viên cần làm tốt các vấn đề sau:

Khi lập kế hoạch phải dự tính trớc đợc lỗi mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có cách chữa lỗi Trong giờ dạy không nên áp đặt nặng nề, không nên gay gắt đối với những em thờng mắc lỗi phải nhẹ nhàng để học sinh thấy yên tâm

Đối với những bài toán có cấu trúc giống nhau trong quá trình giải học sinh th-ờng dễ nhầm lẫn máy móc giữa bài toán này với bài toán khác Vì vậy phải giúp các

em so sánh phân biệt từng dạng toán

Phải giúp học sinh hiểu bài toán bằng cách giao việc cho các em thông qua gợi ý hoặc lập hệ thống câu hỏi Do đó yêu cầu giáo viên phải nắm chắc các dữ kiện của

đề bài, phải tóm tắt đề toán theo cách ngắn gọn, dễ hiểu Đa ra nhiều cách giải bài toán và trình tự các bớc, các phép tính phải chính xác khoa học Chú ý kiểm tra kết quả của học sinh và chỉ hớng dẫn khi các em thật khó khăn, tuyệt đối không đợc làm thay học sinh

Vì vậy thông qua chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau ở lớp 7, nó không những rèn luện cho học sinh ý thức vợt khó, tính cẩn thận, năng lực lĩnh hội các khái niệm

10

trừu tợng, năng lực suy luận lôgíc và sử dụng ngôn ngữ chính xác, đồng thời rèn luyện các phẩm chất trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v

2 ý kiến đề xuất.

Qua quá trình giảng dạy để giúp các em học sinh có chất lợng học tập tốt hơn tôi

có một vài đề xuất nh sau:

- Các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ nhà trờng có đủ cơ sở vật chất cho giáo viên giảng dạy và sinh hoạt chuyên môn

- Chuyên môn nhà trờng cần tổ chức sinh hoạt chuyên môn thờng xuyên trao

đổi để tìm ra phơng pháp dạy học có hiệu quả nhất và tổ chức dạy mẫu áp dụng các phơng pháp đó

- Cần tạo điều kiện, thời gian để giáo viên có điều kiện tham khảo tài liệu

- Giáo viên cần học hỏi các đồng nghiệp của mình và giúp đỡ đồng nghiệp của mình để bản thân và đồng nghiệp đều tiến bộ vững vàng chuyên môn

- Phụ huynh cần quan tâm hơn đến việc học tập của con em mình đặc biệt tạo

điều kiện để các em có thật nhiều thời gian tự học ở nhà

- Giáo viên chủ nhiệm cần phối kết hợp tốt với nhà trờng và phụ huynh trong việc giáo dục đạo đức cho học sinh giúp các em định hớng đợc việc học của mình

Đây là sáng kiến nhỏ của tôi, đúc kết dợc qua thực tế giảng dạy của mình Thời gian nghiên cứu còn eo hẹp nên chắc chắn còn nhiều sai sót Rất mong đợc sự quan tâm góp ý của các cấp lãnh đạo, chuyên môn nhà trờng và đồng nghiệp cũng nh các bạn độc giả quan tâm để tôi rút kinh nghiệm hoàn thành tốt hơn trong những năm học sau

Yên Định, ngày 9 tháng 4 năm 2009.

Ngời thực hiện

Lê Xuân Trờng