Tái chuẩn hóa và phép toán r trong điện động lực học lượng tử

MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics- QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo,

GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho

tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi Tôi cũng xin gửi lời cảm

ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày … tháng … năm 2015

Học viên Phạm Tiến Dự

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA……… 6

1.1 S- ma trận……… 6

1.1.1 Các điều kiện cho S- ma trận……… 7

1.1.2 Xác định S- ma trận……… 12

1.2 Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED 18

1.2.1 Khai triển S- ma trận về dạng N- tích……… 18

1.2.2 Quy tác Feynman trong QED……… 22

1.2.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman………24

Chương 2 – TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG……… 31

2.1 Giản đồ năng lượng riêng của electron  ……….31

2.2 Giản đồ phân cực photon……… 37

2.3 Giản đồ một vòng bậc ba……… 44

2.4 So sánh bốn phương pháp khử phân kỳ………51

Chương 3 – TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R……… 54

3.1 Tái chuẩn hóa………54

3.2 Phép toán R để khử phân kỳ……….64

KẾT LUẬN………72

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 74

PHỤ LỤC……… 76

 Bảng 1: Qui tắc Feynman trong QED……….22

kỳ trong QED……… … 51

 Bảng 4 Quy tắc Feynman cho lý thuyết QED tái chuẩn hóa………… 58

 Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai……….20

 Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba……… 21

 Hình 1.4 : Giản đồ một vòng của photon……… 21

 Hình 1.5 Giản đồ năng lượng riêng của electron……… 27

 Hình 1.6 Giản đồ năng lượng riêng của photon………27

 Hình 1.7 Giản đồ đỉnh bậc 3……… 27

 Hình 1.8 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng……… 27

 Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng của electron……… 31

 Hình 2.2: Giản đồ phân cực photon………38

 Hình 2.3: Giản đồ một vòng bậc ba………44

 Hình 3.1: Hàm truyền toàn phần của electron.………59

 Hình 3.2: Bổ chính bậc thấp nhất của 1PI cho electron……… 61

 Hình 3.3: Bổ chính bậc thấp nhất cho 1PI của photon……… 63

 Hình 3.4: Bổ chính bậc thấp nhất cho phần đỉnh……… 63

 Hình 3.5: Nút suy rộng ………65

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics- QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính

xác đến bậc bất kỳ theo hằng số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn 2 1

tử (Quantum Chromodynamics- QCD) – lý thuyết tương tác giữa các hạt gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tương tác – như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh - và được gọi là mô hình chuẩn

quark-Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín ) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản

đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có

thể tích

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được

giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý là hữu hạn Lưu ý, việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu , tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED Cách xây dựng chung S-ma trận

và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác ( bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt) Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc

trưng của các quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá Các phương

pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli –Villars, phương pháp chỉnh thứ nguyên, và phương pháp R- toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng

Tiếp nối khóa luận tốt nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và các phương pháp khử phân kỳ trong mô hình  3”, ta tiếp tục nghiên cứu cho điện động lực học lượng tử Trong khóa luận tốt nghiệp, chúng ta đã xem xét đến

ba phương pháp khử phân kỳ đầu tiên và ở đây chúng ta sẽ xem xét đến phương pháp khử phân kỳ cuối cùng sử dụng phép làm đều của Boguliubov và toán tử

R

Mục đích của luận văn này là chỉ ra ý nghĩa của việc tái chuẩn hóa, sử

dụng phép làm đều của Bogoliubov để tách các giản đồ phân kỳ thành hai phần hữu hạn và phân kỳ Cuối cùng tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng và sử dụng phép toán R để khử phân kỳ cho trường hợp tổng quát

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

Chương 1 Giới thiệu chung về lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong

mục 1.1 giới thiệu S-ma trận và các điều kiện của nó, từ đó chỉ ra rằng các kỳ dị trong lý thuyết trường xuất hiện là do sự bất định của T – tích khi thời gian chập nhau Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng các giản đồ Feynman và tổng kết quy tắc Feynman cho QED Tiếp theo đó là xem xét bậc hội tụ của các giản đồ Feynman, từ đó chỉ ra ba giản đồ phân kỳ cơ bản nhất của QED

Chương 2 Xem xét chi tiết ba giản đồ phân kỳ đã đưa ra ở chương 1, từ

đó tách các tích phân tương ứng thành hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ, bằng phương pháp làm đều của Bogoliubov Chi tiết được trình bầy trong các mục: 2.1 là giản đồ năng lượng riêng của electron, 2.2 là giản đồ phân cực chân không của photon và 2.3 là giản đồ đỉnh bậc ba Cuối cùng trong mục 2.4 chúng

ta sẽ so sánh bốn phương pháp khử phân kỳ là : Cắt xung lượng lớn; Pauli- Villars; Điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp làm đều Bogoluibov

Chương 3 Từ kết quả trong chương 2, ta xây dựng lý thuyết tái chuẩn

hóa cho QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED cho gần đúng một vòng; Mục 3.2 chúng ta sẽ đưa ra phép toán R để khử phân kỳ dựa trên kết quả trong chương 1 về sự bất định của T - tích

Phần kết luận liệt kê các kết quả thu được trong Bản khóa luận và thảo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1

và metric giả Euclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tất cả bốn

thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực  0 

,

A A A gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số  0,1, 2,3, và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

 0   0 1 2 3

A A A  A A A A  A (0.1) Các véctơ phản biến là tọa độ:

x  x t x x x  y x z  t x , (0.2) thì các véctơ tọa độ hiệp biến:

 0 , 1 , 2 , 3   , 

x g x   x t x  x x  y x   z t x , (0.3) véctơ năng xung lượng:

 , x, y, z  , 

p  E p p p  E p (0.4) Tích vô hướng của hai véctơ được xác định:

0 0

ABg A B    A B  A B AB (0.5) Tensor metric có dạng:

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA

Trong khóa luận [3], chúng ta đã trình bầy phương pháp xây dựng lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến từ S- ma trận đến các giản đồ Feynman cho tương tác đơn giản  3, song cấu trúc và hình thức luận của lý thuyết sẽ có “mặt tương tự” trong QED, và QCD Trong chương này, bằng một cách tiếp cận khác, chúng ta

sẽ xem xét: các điều kiện để xác định S-ma trận, từ đó lý giải tại sao lại xuất hiện các phân kỳ trong lý thuyết; trình bầy quy tắc Feynman và xác định bậc hội tụ của các giản đồ trong QED

   g S g 

Với     

Trong các trường hợp thường dùng S S 1

1.1.1 Các điều kiện cho S- ma trận

Để có được sự chặt chẽ về mặt toán học cũng như phù hợp với các qui luật của tự nhiên, trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, S- ma trận được đòi hỏi phải thỏa mãn một số điều kiện

a) Điều kiện hiệp biến

Dưới phép biến đổi Lorentz L:

b) Điều kiện unita

Vì bảo toàn chuẩn (norm) của hàm sóng:

   

     Nên ta có:

    1

S g S g  (1.4) c) Điều kiện nhân quả

Chúng ta phải bảo đảm rằng điều kiện nhân quả được thỏa mãn, nghĩa là bất kỳ kiến cố nào xẩy ra trong tương tác cũng chỉ có ảnh hưởng đến các quá trình diễn

ra sau nó Để thu được công thức tường minh của điều kiện nhân quả, ta sẽ xem xét trường hợp khi không thời gian giới hạn bởi miền G, trong đó xác định hàm

Hình 1.1 Miền nhân quả

Vì thế trong trường hợp này ta có thể biểu diễn:

  1  2 

Trong đó g1 0 chỉ trong G1 và g2  0 chỉ trong G2

Tại thời điểm  có thể xác định một trạng thái được đặc trưng bởi biên độ ,

do điều kiện nhân quả sẽ không phụ thuộc vào tương tác trong G2 và có thể viết dưới dạng:

Chú ý, xa hơn, nếu G1 G2 nghĩa là tất cả các điểm của hai miền có liên hệ không gian gần gũi và vì thế thứ tự thời gian của các miền có thể bị thay đổi bằng một phép biến đổi Lorentz thì dễ có:

 1 2    2 1    1 2

S g g S g S g S g S g nếu G1 G2 (1.9) Bây giời ta xem xét đến dạng vi phân của điều kiện nhân quả Xem xét hai trường hợp khác nhau giữa dạng của sự tương tác trong G2 và thứ được mô tả bằng hàm tương tự trong G1:

  2  1 ,   2  1 

g x g x g x g x g x g x (1.10)

( đạo hàm của hàm cường độ theo thời gian từ thời gian  trở đi thì đóng góp

của g1 không đổi )

  không còn phụ thuộc vào dạng của g trong miền G1 Nó dẫn

đến sự phụ thuộc vào trạng thái của hệ trước thời gian t chứa trong S g  là bị

triệt tiêu bởi phần tương ứng trong S g 



 Vì thế trong trường hợp tổng quát hơn,

ta sẽ chấp nhận công thức theo sau của điều kiện nhân quả:

Nếu hai hàm g   x g x,  xẩy ra đồng thời với 0

x t ( thời gian đích xác), thế thì tích S g   S g



  không phải phụ thuộc vào sự biến thiên đồng thời của g , g bởi giá trị tương tự trong miền 0

x t Nếu ta đặt g y g y  và g y g y  g y , ở đó g y  là biến phân của

hàm gnhận giá trị khác không chỉ khi 0

y t, thì ma trận S g  có thể biểu diễn thành:

Và: S g    S g  S g S g     S g S g      1 S g S g    (1.15) Không phụ thuộc vào trạng thái của hàm g với 0 0

Là độc lập với hàm g x  tại các điểm x y Biến đổi tương tự, ta cũng có toán

tử này cũng có tính chất tương tự cả trong trường hợp x y

Vì thế có thể chứng minh được rằng điều kiện nhân quả có dạng vi phân sau:

Điều kiện nhân quả buộc rằng sự cố xẩy ra cho hệ chỉ có ảnh hưởng đến tiến trình của hệ trong tương lai mà không thể ảnh hưởng đến hành vi trong quá khứ

Có thể chứng minh được rằng điều kiện nhân quả có dạng vi phân sau:

1.1.2 Xác định dạng của S- ma trận

Như đã đưa ra ở trên, ma trận tán xạ cần thỏa mãn ba điều kiện: unita, hiệp

biến và nhân quả Các điều kiện đó đảm bảo cho lý thuyết của ta là bảo toàn

chuẩn, bất biến Lorentz và hợp với luật nhân quả tự nhiên Các điều kiện này,

đặc biệt là điều kiện nhân quả sẽ ảnh hưởng đến việc xác định dạng của S- ma

trận Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét dạng của S- ma trận khi kể đến điều

kiện nhân quả

CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Trong tài liệu [14], Bogoliubov và Schirkov chứng minh rằng các điều

kiện hiệp biến, unita và nhân quả chỉ cho phép tính S n theo S S1, 2, ,S n1 đến độ

chính xác một toán tử hermitic, giả định xứ:

 1 , , 

i x x (1.24) Với hàm hệ số ( coefficient function) có dạng:

Chia thành m nhóm với số phần tử của mỗi nhóm là v v1, 2, ,v m P là toán tử lấy

đối xứng theo mọi cách

Chú ý rằng ở đây để đơn giản hóa biểu thức ta đã đồng nhất ký hiệu:

Ta sẽ thay thế biểu thức của S ma trận bên trên vào ba điều kiện hiệp biến, unita

và nhân quả Trước tiên chú ý rằng nếu hai toán tử gọi là multi-local thì chúng giao hoán với nhau Mà ở đây ta có:

Có nghĩa là nếu hai hàm g1 và g2 là xác định trong hai miền không gian mà tất

cả các điểm thuộc miền này thì đồng dạng không gian ( spacelike) với miền kia thì hai toán tử S g 1 và S g 2 là giao hoán với nhau Đây là một tính chất rất quan trọng

Điều kiện hiệp biến cho ta:

Ở đó P x 1 , ,x x k k1 , ,x n là tổng theo tất cả n k n k!/ !  ! cách lấy giao hoán để thu đƣợc số hạng theo bộ điểm x1, ,x n Ví dụ:

Định nghĩa lại với lưu ý loại trừ điểm x y ta có:

  2      

2 , y

Có thể thấy với trường hợp x y, biểu thức của S2 không được xác định theo mới liên hệ truy hồi Vì thế cho nên để xét được trong tất cả các trường hợp ta cần đưa thêm vào một toán tử:

  2        

Với  2 x y,  0 khi x y gọi là quasi-local ( giả định sứ)

Bằng cách sử dụng mối liên hệ truy hồi ta cũng thu nhận được dạng của các bậc tiếp theo Ví dụ như bậc 3, ứng với n 2:

 1 1      1 1 1 1 2

1.2 Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED

Ta tạm thời không xét đến các thành phần chứa các toán tử giả định xứ ở trên, và xem như chúng chỉ với ý nghĩa toán học Như đã biết trong lý thuyết trường, sau khi thu được S-ma trận dưới dạng các T-tích, ta sẽ sử dụng cách định

lý Wick để đưa chúng về dạng tích chuẩn Các số hạng thu được sẽ được tương ứng với các giản đồ Feynman theo qui tắc: các hàm trường tự do cho tương ứng các đường ngoài; các tích liên kết cho tương ứng các đường trong liên kết giữa hai điểm

1.2.1 Khai triển S-ma trận về dạng N- tích

Như chúng ta đã biết, khi viết L dưới dạng N- tích thì:

u x u x  T u x u x là tích liên kết còn ký hiệu “: :” là tích chuẩn

Ta xét trong QED, với Lint ( )x N J ( )x A x( )e N0  ( )x   ( )x A x( )

Các số hạng của biểu thức sẽ tương ứng với các giản đồ sau đây :

Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai

Tương tự, xét với bậc ba, ta có :

(1.57) Các giản đồ tương ứng với các số hạng trên là:

Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba

Ở đây ta đã gộp các giản đồ có chung dạng vào chung một giản đồ Để cho đóng góp chính xác của mỗi giản đồ trên vào yêu tố ma trận, ta phải thêm vào mỗi giản đồ đó thừa số 1

S , với S là hệ số đối xứng của giản đồ được cho bởi công thức :

Ta có g 1; n  1;n 2 và   0 nên S 2

Sau khi thu được các giản đồ ta có thể thu được ngay biểu thức của biên

độ tán xạ tương ứng với các giản đồ mà không cần biến đổi từ các yếu tố ma trận bằng cách sử dụng qui tắc Feynman

1.2.2 Quy tắc Feynman trong QED

Để thuận tiện cho việc sử dụng, đối với mỗi một loại tương tác, người ta đều xây dựng qui tắc Feynman cho nó Như vậy thay vì phải tính toán từ S-ma trận, ta chỉ cần sử dụng qui tắc Feynman là có thể thu được ngay biểu thức tương ứng với các giản đồ Ở đây, chúng ta sẽ đưa ra qui tắc Feynman cho lý thuyết điện động lực học lượng tử, tương ứng mỗi yếu tố giản đồ với một thừa số của biên độ tán xạ

Bảng 1 : Qui tắc Feynman trong QED

Hạt và trạng thái của nó Thừa số trong biên độ

Feynman

Yếu tố giản đồ

Electron ở trạng thái đầu u p s ,

Electron ở trạng thái cuối u p s ,

Positron ở trạng thái đầu v p s ,

Positron ở trạng thái cuối v p s ,

Photon ở trạng thái đầu k, 

Photon ở trạng thái cuối k, 

 Với tất cả các vòng kín với xung lượng k ta phải lấy tích phân theo xung lượng đó 4  4

/ 2

d k 

 Nó tương ứng được thêm vào trong biên độ

 Với các vòng kín fermion ta phải lấy vết và nhân thêm nhân tử  1 với mỗi vòng

 Nếu hai giản đồ khác nhau một số lẻ các giao điểm fermion thì chúng phải khác dấu

Sau khi áp dụng qui tắc Feynman và thu được các biểu thức của biên độ Feynman là các tích phân bốn chiều trong không gian xung lượng Do đã nói ở

trên, các tính toán của ta chỉ cho chính xác đến một toán tử giả định sứ, nên

không phải tích phân nào thu được cũng là hữu hạn mà một số chứa các kỳ dị

1.2.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét sự phân kỳ của các giản đồ về mặt toán

học, từ đó xác định loại phân kỳ và bậc phân kỳ của chúng Khi tính toán các

giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải

lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản đồ Tất cả các tích

phân này đều có dạng :

 4 n

2 4 1 4 n 2

1 , p , , p ) d p d p d p p

( F

J (1.59) trong đó: F ( p1, p2, , pn) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đường

xung lượng trong Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của

Ta gọi : Fe : số đường xung lượng trong của electron

N e: số đường xung lượng ngoài của electron

F p : số đường xung lượng trong của photon

N p: số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong

bằng số đỉnh: n  v, đồng thời lưu ý hai điểm sau :

+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh:

v 2F p N p (1.60) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đường xung lượng electron :

F   (1.63)

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào

ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng của hàm delta Theo tính chất của hàm delta :  ( p )  ( p0) d4p  ( p0)

thì số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống Nếu có n đường trong thì

số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi Tổng số đường trong là ( Fe Fp) Vậy số các biến độc lập sẽ là :

K2  2 Fp  Fe (1.65)

Thay (1.62) và (1.63) vào (1.64) và (1.65) ta thu đƣợc :

N 1

2

1 N 2

1 v 2

K    (1.67) Với K1 là số biến độc lập, K2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính :



2 1

K

K 4

) p (

) p d (

J (1.68) Đƣa vào tham số mới:

K  K 2  4 K 1 (1.69) Thay (1.66) và (1.67) vào biểu thức của (1.68) ta thu đƣợc :

+Nếu K  0: tích phân này hội tụ

+ NếuK  0: tích phân này phân kỳ

- K  0: phân kỳ lôgarit

- K   1: phân kỳ tuyến tính

- K   2: phân kỳ bậc hai

- K   3: phân kỳ bậc ba … Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED cho bậc 2, 3 và 4, các giản

đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên :

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: K  1  Phân kỳ tuyến tính

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K   2  Phân kỳ bậc hai

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K  0  Phân kỳ loga

Hình 1.8: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là :K  0  Phân kỳ loga Yếu tố ma trận tương ứng với giản đồ

Hình 1.7 Giản đồ đỉnh bậc 3

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng

riêng của electron

Hình 1.8 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng Hình 1.6 Giản đồ năng lượng

riêng của photon

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động

không (các thăng giáng ) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện từ của electron ( hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của

trường electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta

cũng thu được biểu thức phân kỳ

Giản đồ Hình 1.8 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của

trường electron - positron - hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quá trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình Maxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng ánh sáng không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Bảng 2: Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED

Giản đồ năng lượng riêng của photon

Sơ bộ nó phân kỳ bình phương Thực tế từ bất biến chuẩn nó phân kỳ loga

Giản đồ đỉnh Phân kỳ loga

3 0

Nó bị trượt tiêu với giản

đồ cùng với hướng ngược lại của electron (Định lý Furry) Nó có thể không xét

Gồm 4 giản đồ khác nhau bằng việc hoán vị của các ngoài Thực tế,

nó hội tụ bất biến chuẩn

Tóm lại, trong các giản đồ phân kỳ bậc thấp, rút gọn lại, ta chỉ cần quan tâm đến các giản đồ thứ 2, 3 và 4

Như vậy, trong chương này chúng ta đã xây dựng được các biểu thức của

S – ma trận dựa trên các điều kiện của nó, chỉ ra rằng mọi tính toán trong lý thuyết sẽ chỉ chính xác đến một toán tử giả định sứ, và vì thế các phân kỳ xuất hiện trong lý thuyết khi không xem xét đến điều kiện đó là dễ hiểu Một ý tưởng

sẽ nảy sinh ở đây là ta có thể sử dụng các toán tử giả định sứ này để khử đi các phân kỳ, đây cũng chính là mục đích chính của luận văn Song song với đó, chúng ta cũng đưa ra lý thuyết thông thường khi không xem xét đến điều kiện nhân quả Chúng ta đã đưa ra cách xây dựng các giản đồ Feynman, qui tắc Feynman , xác định hệ số đối xứng cũng như bậc hội tụ cho các giản đồ trong QED Trong chương 2, ta sẽ sử dụng phép làm đều Bogoliubov để tách phần phân kỳ của các giản đồ đó

CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG

Trong chương 1, ta đã chỉ ra ba giản đồ đơn giản chứa các phân kỳ trong QED Trong chương này, chúng ta xem xét việc sử dụng phương pháp Bogoliubov để tách các tích phân không hội tụ thành hai phần ( phần phân kỳ và phần hữu hạn) của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của QED Ta sẽ xem xét lần lượt các giản đồ: giản đồ năng lượng riêng của electron; giản đồ phân cực photon và giản đồ một vòng bậc ba Phương pháp Bogoliubov tương tự như phương pháp của Pauli- Villars đã được trình bầy trong [3] Chúng ta sẽ đưa vào một tham số vô cùng lớn M , sau đó sẽ chuyển các tích phân phân kỳ thành một tích phân tương ứng Sử dụng biểu diễn  , sau đó áp dụng các tích phân Gauss

và các kỹ thuật tính toán cuối cùng chúng ta sẽ thu được các phân kỳ trong tích phân ban đầu sẽ chuyển sang số hạng chứa M

Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng của electron

Giản đồ này ứng với giản đồ 1.5 trong chương 1, nó mô tả quá trình tương tác của một electron với chân không vật lý Quá trình tương tác này không làm

thay đổi năng lượng của hạt nên được gọi là giản đồ năng lượng riêng của electron Như đã biết, biên độ tán xạ tương ứng với nó có phân kỳ tuyến tính

Áp dụng qui tắc Feymann, ta có biên độ Feynman của sơ đồ là:

8

m p k ie

Như đã biết, tích phân ở trên phân kỳ như 1

k Cần thiết phải làm đều ( regularization ) hàm đó Theo phương pháp của Bogoliubov:

Ở đây ta lấy một tham số M và hệ số tương ứng c  1 Nếu lấy giới hạn M  

thì các biểu thức sẽ trở về ban đầu Nên thay vì tính tích phân trong biểu thức ta

sẽ tính một tích phân thay thế rồi sau đó lấy giới hạn M 

Ta có biểu thức của  p được điều chỉnh thành biểu thức sau:

0

i d e H

0

0

ˆ ˆ