TỔNG HỢP CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM ẠẠO HÀM CẦN NHỚ

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.co

Trang 1

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Đạo hàm của hàm số sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)

( ) k ' = 0 (k là hằng số)

a a – 1

( ) ' =

( ) kx ' = k (k là hằng số)

a a – 1

( ) ' = u ' '

1













x = 2

1

x

−

u

'

1 '

−

=













( ) '

x =

x

2

1

u

u u

2

' '

=

sinx cosx c

' ' osx –sinx

=

2

1

cos x

2

1'

sin x

sinu u '.cos u cosu – u ' u

'

=

2

u ' tan u ' u ' tan u 1

cos u

2

u '

sin u

( ) x x

e ' = e ( ) x x

'

a = a lna (a là hằng số)

( ) u u

e ' = u '.e ( ) u u

a ' = u’a ln a (a là hằng số)

| |

l x '

x

1

| | '

x

log x

.ln a

=

| | ' l

u

u '

| | ' lo

a

g u

u.ln

=

Tính chất của đạo hàm

1 (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ 2 (ku)’ = ku’ (k là hằng số)

'

' '

v

uv v u v

u = −











' 1 1

v

v = −











∗ Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

Dạng : y =

' ' ' 2

2

c x b x a

c bx ax

+ +

2

) ' ' ' (

) ' ' ( ) ' ' ( 2 ) ' ' (

c x b x a

c b bc x c a ac x

b a ab

+ +

− +

−

Dạng : y =

e dx

c bx ax

+

+ + 2

2

) (

2

e dx

dc be x ae x

ad

+

− + +

Dạng : y =

d cx

b ax

+

+ ⇒ y’ = 2

) (cx d

cb ad

+

−

NGUYÊN HÀM

Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản

u là hàm số theo biến x, tức là u=u x( ) *Trường hợp đặc biệt u=ax b a+ , ≠ 0

*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

1.∫dx= +x C ∫du= +u C

2.∫k dx =k x C + , k là ∫k du =k u C +

Trang 2

1 x

x dx

1 + α ≠ −

α+

α = α +

1

u

α

+

1

ax b

a

α α

α

+ +

+

∫

4. 1dx ln x C

(ax b)dx=a ax b+ +C +

∫

2dx x C

x

= − +

u

dx= − +C

∫

a

+

∫

*Nguyên hàm của hàm số mũ

a

+ = + +

∫

8.∫e−x dx= −e−x+C ∫e−u du = −e−u+C

9.

ln C a

x a x

a dx

a+ < ≠

=

u u

a du

a+

=

m

mx n a

mx n

∫

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác

10.∫ cos x dx= sinx+C ∫ cos u du = sinu+C 1

cos( + ) = sin( + + )

a

11.∫ sin x dx= − cosx C+ ∫ sin u du= − cosu+C 1

sin( + ) = − cos( + + )

a

2 cos

2 cos u

du= u C+

2

+

a

ax b

2 sin

x

= − +

2 sin

u

= − +

2

+

a

ax b

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

1. cos 1sin

k

kx dx= kx C+

2

1 cos 2 x dx= sin 2x C+ k =

∫

2. sin 1cos

k

kx dx= − kx C+

∫ ∫ sin 2 x dx= −12cos 2x C+

k

2

2x 2x C

∫

1

ax b

a

α α

α

+ +

+

∫

2 1

.(

1 (2 1) (2x 1) dx . x C 2x 1) C

+

= +

+

∫

(ax b)dx=a ax b+ +C +

∫

3

ln 3 1

3x 1dx= x− +C

−

∫

a

+

3x 5du= x+ +C= x+ +C +

∫

7. e ax b dx 1e ax b C

a

m

mx n a

mx n

2

2 1 1

2 1

ln 5

x

∫

Trang 3

9. cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

a

∫ ∫ cos(2x+ 1)dx=12sin(2x+ + 1) C

10. sin(ax b dx) 1cos(ax b) C

a

∫ ∫ sin(3x− 1)dx= −13cos(3x− + 1) C

2 cos ( )

a

ax b

+

∫

2

tan(2 1) 2

cos (2 1)

x

+

∫

2 sin ( )

a

+

2 sin (3 1)

+

∫

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính

bằng phương pháp đổi biến số đặt u=ax b+ ⇒du= ?.dx⇒dx= ?.du

HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT

TRỜI

1.∫ udv = uv − ∫ vdu

2.

1 u

1

α+

α +

e du = + e C

5.

u

ln a

7 ∫ cos udu = sin u + C 8 tan udu ln cos u C∫ = + 9 cot udu∫ = − ln cos u + C

10.

arcsin C a

−

+

13 2du 2 1 ln u a C

−

15.

2

a ln a u a C

du

+

2

C

a u

+

21.

( 2 2) 3 2 2 2

C

+ +

23.

24.

−

25.

−

a u

−

∫

27.

2

29

Trang 4

31.

−

2

C

a u

−

32.

( 2 2 ) 2 2 2 2 2

C

a bu a ln a bu C

+

34.

2

3

+

35.

( du ) 1ln a bu C

+

36.

+

ln a bu C

+ +

38.

u a bu

+

+ +

a bu

+

2

15b

3b

+

3

8a 3b u 4abu a bu C 15b

+

sin udu u sin 2u C

2

cos udu u sin 2u C

2

46. 2

cot udu = − cot u − + u C

sin udu 2 sin u cos u C

3

cos udu 2 cos u sin u C

3

tan udu tan u ln cos u C

2

cot udu cot u ln sin u C

2

Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc

n 1

−

n 1

−

( ) (( ))

sin a b u sin a b u

cos a b u cos a b u

u sin udu = − u cos u + n u − cos udu + C

u cos udu = u sin u − n u − sin udu

bx

a.sin ax b.cos ax e

+

bu

b sin au a cos au e

−

+

64. ln au du ( ) 1( ( )) 2

ln au b du u ln au b u C , a 0

a

ln u a du u ln u a 2a.arctan 2u C

a

( 2 2 ) ( 2 2 ) u a

u a

+

−

∫

68.

69. au 1 au

a

Trang 5

2

ue du = u 1 e − + C

2

a a

72.

n au

−

2a

I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A Phương pháp biến đổi số thuận t=v x( )

Tính tích phân ( ) ( ( ) ) ' ( )

I = ∫ f x dx= ∫g v x v x dx

Bước 1: Đặt t=v x( ) ,v x( ) có đạo hàm liên tục và đổi cận

Bước 2: Biểu thị f x dx( ) theo t và dt: f x dx( ) =g t dt( )

Bước 3: Tính ( )

( )

v b

v a

I = ∫ g t dt

Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp

( ) ( ( ) ) ' ( ) ( ( ) ) ( )

I = ∫ f x dx= ∫g v x v x dx= ∫g v x d v x

B Phương pháp biến đổi số nghịch x=u t( )

Bước 1: Đặt x=u t t( ) , ∈ [ α β ; ] sao cho u t( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α β ; ] , f u t( ) ( ) được

xác định trên đoạn [ α β ; ] và u( ) α =a u; ( ) β =b

Bước 2: Biểu thị f x dx( ) theo t và dt: f x dx( ) =g t dt( )

Bước 3: Tính I g t dt( )

β α

= ∫

C Phương pháp biến đổi số u x( ) =g x t( ) ,

ln

I f x dx

x

β α

x

ln ln

ln

x x

β α

= ∫   đặt u lnx du 1dx

x

ln ln

ln

x x

I f e e dx

β α

= ∫ đặt u=e x ⇒du =e dx x

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng a e. x+bta có thể giải theo hướng đặt t= a e. x +b

Dạng 4: I f [ cosx] sin x dx

β α

= ∫ đặt u= cosx⇒du= − sindx

b a

I = ∫ f x xdx đặt u = sinx⇒ du = cosxdx

Trang 6

Để tính tích phân dạng .sin 2 .

.

a x b sinx

dx

c d cosx

+ +

∫ ta đổi biến bằng cách đặt t = c+d cosx.

Dạng 6:

2 2

sin

sin 2 cos

b a

x

2 2

sin 2 cos

u

du xdx x



1 tan

cos

ax b

β α

+

1 tan

cos

ax b

+

β α

1 tan

cos

ax b

+

1 cot

sin

ax b

β α

+

1 cot

sin

ax b

+

β α

1 cot

sin

ax b

+

β α

= ∫ + − đặt u = sinx+ cosx⇒du = − ( sinx− cosx dx)

β α

= ∫ − , ( a > 0 )

Hoặc:

1

a x

β α

=

−

Đặt x=asint ⇒dx=acost, với ;

2 2

t  π π 

∈ − 

(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng 2

A tức là 2 2 2 2

a −a x = a x =a x

Đổi cận:

'

;

2 2

;

2 2

t x

x

t

π π α

α

=

⇒



t  π π  α β  π π  t

Đến đây ta hạ bậc tính bình thường

Hoặc:

sin

a t

TỔNG QUÁT:

I a u x dx

β α

= ∫ − , (a> 0 ) hoặc:

( )

1

a u x

β α

=

−

Tương tự: Đặt u x( ) =asint

Dạng 11 : Môt số dạng khác:

Trang 7

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: 2 2

a −b x hay

1

a −b x ta đặt: sin

a

b

;

2 2

t  π π 

∈ − 

  khi đó dx acostdt

b

= và a2 −b x2 2 =acost hoặc 2 2 2

t = a −b x

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: 2 2

b x−a hay

1

b x−a ta đặt: sin

a x

b t

=

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: x a( −bx) ta đặt: 2

sin

a

b

=

.

I a x dx

β α

= ∫ + , (a> 0 ) hoặc

1

a x

β α

=

+

∫

Đặt x=atant

a x

+

=

−

Ví dụ : Tính tích phân sau:

1 0

3 1

x

−

= +

Giải:

1



=

⇒

Khi đó:

1 3

8

t dt t dt I

−

2 2

3

u t

t

u

π π



=



=

⇒

=

2

+

4

3

π

π π

Chú ý:

Phân tích

1 0

3 1

x

−

= +

∫ , rồi đặt t= 1 +x sẽ tính nhanh hơn

β α

Trang 8

Ví dụ: Tính tích phân sau:

2

.

a a

I = ∫ x −a dx, (a> 0 )

x

x a t dx dt xdx x a dt tdt

x a

−

⇒

tdt dx

t a

= + ⇒

( 2 2 2 )

1

n

f x

a b x

= + với n =1;2;3; …thì ta có thể đặtx atant

b

2 2

t  π π 

∈ − 

I f x x dx

β α

+

1

u =x + ⇒du= n+ x dx

x

2

x

Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ax( +b dx) đặt u =ax+b⇒du =adx

KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt

- Thông thường có một số dạng sau đây:

a ( )n 1 n

I f x x dx

β α

+

1

t= x + ⇒dt = n+ x dx

Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: 1 ( )

6

0

1 1

168

I = ∫x −x dx=

HD:

2

3

dt

x

−

1

t t

Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân:

1

0 1

I = ∫x −x dx

Cách 1: Đặt 2

1

t= −x

1 1

(1 )

I t t dt  t t 

∫

Cách 2: Đặt t = − 1 x2

Cách 3: Đặt t =x2

Cách 4: Đặt

2

0

π

Cách 4.1. Đặt

1

sint =u⇒ costdt =du⇒I = ∫u (1 −u du)

Trang 9

Cách 4.2.

2

0 sin (1 sin ) (sin )

π

t

−

I = ∫ −x − −x d −x = ∫ −x d −x = − ∫ −x d −x

KĨ THUẬT NHÂN

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

2

3

dx I

=

+

∫

Giải:

Ta có:

=

3

tdt

t = +x ⇒t = + x ⇒ tdt = x dx⇒x dx =



=

⇒

Khi đó:

2

t

Ví dụ 2: Tính tích phân sau:

2

x

x x

=

∫

Giải:

1 1

0

J

x

+ −

Đặt: 2

t= x + ⇒dt= xdx

⇒

Khi đó:

Trang 10

3

KĨ THUẬT CHIA

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:

- Một số dạng: I f x 1 1 12 dx

β α

Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:

1 5

2 2

1

4 1

x

x x

π

+

∫

Giải:

Ta có:

2

1

1 1

1

x x

+

Đặt: t x 1 dt 1 12 dx

Đổi cận:

1

0

1 2

x

t t x

=



=





⇒





 Khi đó:

1 2

0 1

dt I

t

= +

∫

t= u⇒dt = + u du

Đổi cận:

0 0

1

4

u t

=



=

⇒

Khi đó:

1 tan

4 4

0

KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ

Ví dụ : Tính tích phân sau:

8

0 1

x

= +

∫

Giải:

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	652,37 KB