Tính lồi của metric kobayashi trên đa tạp phức taut

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA

TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI

TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA

TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI

TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi của metric Kobayashitrên đa tạp phức taut" không có sự sao chép của người khác Khi viếtluận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng

và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Nếu

có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành nhất tới TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Cô đã dành nhiều thờigian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoànthành bài luận văn này

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viêntrong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đạihọc Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôihoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn

Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cốgắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được Tôi rất mongđược thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

2.2 Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut 17

LỜI MỞ ĐẦU

Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi và khoảng cách Kobayashitrên đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi đã chứng minh được rằng đạohàm của khoảng cách Kobayashi bằng metric Buseman – Kobayashi Cụ thể

là định lý sau:

Nhờ kết quả này Masashi Kobayashi đã chứng minh được một điều kiệncần và đủ cho tính lồi của của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phứctaut sau:

lim

q,q0→p q6=q0

dM(q, q0)

d∗M(q, q0) = 1

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết,

rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi Kobayashi về tính lồi của metricRoyden – Kobayashi trên đa tạp phức taut

Với mục đích như trên, ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,nội dung chính của luận văn gồm 2 chương Trong chương 1, chúng tôi trìnhbày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut và khoảngcách Kobayashi trên đa tạp phức taut Chương 2, chúng tôi trình bày một

số kiến thức bổ sung, các bổ đề cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quảcủa Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đatạp phức taut

ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn

ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi

Họ A = {(Ui, ϕi)}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập

atlas Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và

f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương

(U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương (V,ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V

thì ánh xạ

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)

là ánh xạ chỉnh hình

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)

là ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 1.2 ([1]) Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp

Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức

(U, φ, ∆m là bản đồ địa phương quanh x, tức là U là một lân cận của x

và φ : U → ∆ là ánh xạ song chỉnh hình Đặt φ = (z1, , zm) Khi đó,

(z1, , zm) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x

(x1, , xm, y1, , ym là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được

Đặt

T M = [

x∈M

Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M bởi điều kiện π(TxM ) = x Khi đó

Không gian phân thớ

hóa địa phương)

Nếu E, X là các không gian phức và π là ánh xạ chỉnh hình toàn ánh,

gọi là phân thớ chỉnh hình

Trước khi định nghĩa đa tạp phức taut, ta ký hiệu

tồn tại dãy con hội tụ hoặc dãy con phân kì compact

compact địa phương, liên thông, đếm được thứ hai và compact hóa được

C0(Y, X∗) là compact tương đối, ở đó ký hiệu ∞ là điểm tại vô cùng của

tắc

Vì Hol(∆, X) là đóng trong C0(∆, X) nên điều này tương đương với

Hol(∆, X) ∪ {∞} ⊂ C0(∆, X∗) là compact

đó, Hol(Y, X) là đồng liên tục với mỗi đa tạp phức Y

zν ⊂ Y và fν ⊂ Hol(Y, X) sao cho zν → z0 và d(fν(zν), fν(z0) ≥ ε với mọi

C0(Y, X∗) Vì nó là đồng liên tục tương ứng với d nên theo định lý

C0(Y, X) hoặc đến ánh xạ hằng∞, vìHol(Y, X) đóng trongC0(Y, X) Tồn

Khi đó, g không thuộc C0(∆, X) ∪ {∞} và gν → g khi ν → ∞ Điều

Hol(∆, X) ∪ {∞} không compact trong C0(∆, X∗) dẫn đến mâu thuẫn.Định lý được chứng minh

Từ định lí trên ta có hệ quả sau:

ϕ∈F ϕ (∂, ∆) là compact tương đối trên

ϕ∈F ϕ (∂, ∆) ⊆ D không có dãy con nào trong dãy F phân kì

ϕ∈F ϕ ∆ ⊆ D
và D là giảlồi

Ta có bổ đề sau:

ii) Tích của hai đa tạp taut là một đa tạp taut

phức taut

p1 : X1 × X2 → X1

p2 : X1 × X2 → X2

là các phép chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của

Hol (∆, X1 × X2) = Hol (∆, X1) × Hol (∆, X2)

Do đó ta có khẳng định ii)

taut

Trước hết, chúng tôi giới thiệu giả khoảng cách Kobayashi

Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị

điểm a1, a2, , ak của D và dãy cách ánh xạf1, , fk trongHol(D, X) thỏamãn

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, , k

Khi đó, dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả

Định lý sau đây cho ta tính chất của khoảng cách Kobayashi

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y)) ∀x, y ∈ X

Chứng minh Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobaysashi là

thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x) và f (y) trong Y

Bây giờ, ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi

α = {fi ∈ Hol(D, Z), ai ∈ D, i − 1, , k}

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi

với f (y) nên ta có

d0(x, y) ≤

kX

i=1

d0(fi(0), fi(ai)) ≤

kX

i=1

ρ(0, ai)

Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y)) ∀x, y ∈ X

Vậy định lý được chứng minh

d∗M(p, q) = inf

f {δ(a, b)|∃f ∈ Hol(∆, M ), a, b ∈ ∆, f (a) = p, f (b) = q},

Theo đinh nghĩa này, chúng ta dễ dàng thấy rằng

d∗M(p, q) ≥ d(2)M(p, q) ≥ ≥ d(`)M(p, q) ≥ ≥ dM(p, q)

một miền lồi

dM(p, q) = d∗M(p, q) với mọi q ∈ U

Ví dụ 1.3 ([2]) Vì nếu D là miền lồi trong Cm thì d∗D = dD nên mọi điểm

Chương 2

TÍNH LỒI CỦA METRIC

KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP

PHỨC TAUT

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu metric Royden-Kobayashi vàkhoảng cách Kobayashi trên một đa tạp phức taut Chúng ta chứng minhrằng đạo hàm của khoảng cách Kobayashi trùng với metric BusemannKobayashi Điều này cho chúng ta điều cần và đủ cho tính lồi của met-ric Royden-Kobaysshi

phức taut

Chúng ta nhắc lại ký hiệu:

∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1}

Hol(∆, M ) = f : ∆ → M |f là ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 2.1 ([2]) Cho M là một đa tạp phức m- chiều Khi đó,

b

Mệnh đề sau đây cho ta các tính chất của giả metric Royden-Kobayashitrên đa tạp phức.

(i) FM(ξ) ≥ 0 với mỗi ξ ∈ TpM;

(ii) FM(λξ) = |λ|FM(ξ) với mỗi λC;

Định nghĩa 2.6 ([2]) Một metric Hermitian trên phân thớ vector phức E

hp(η, ¯ζ) = hp(ζ, ¯η)

Một đa tạp Hermitian là một đa tạp phức với một metric Hermitian trênkhông gian tiếp xúc chỉnh hình của nó

đó U ⊂ T M là một lân cận mở nhỏ của 0 ∈ TpM Nếu tồn tại giới hạn

lim

u→υ t→0

dM(q, exp tu)

DdM(υ) = lim

u→υ t→0

dM(q, exp tu)

ξ ∈ TpM, trong đó υ = ξ + ξ thì DdM là một giả metric trên M

DdD(p, ξ) = lim

(q,η)→(p,ξ) t→0

dD(q, q + tη)

2 |t| .

lim

(q,η)→(p,ξ) t→0

dM(q, q + tη)

2 |t| ≤ FD(p, ξ),

trên đa tạp phức taut

Masashi Kobayashi đã chứng minh được một kết quả quan trọng về đạohàm của khoảng cách Kobayashi đó là đạo hàm của khoảng cách Kobayashitrùng với metric Busemann Kobayashi Điều này cho chúng ta điều cần và

đủ cho tính lồi của metric Royden-Kobaysshi Để trình bày kết quả này củaMasashi Kobayashi ta cần một số khái niệm sau:

d∗M(p, q) = ρ(0, t)

d

dζ|ζ = 0



= ξ

ξ ∈ TpM không nhất thiết tồn tại

M.Y.Pang đã chứng minh được kết quả sau:

Định lý 2.1 (M.Y Pang [3]) Cho D ⊂ Cm là một miền chứa điểm gốc,

{pn} ⊂ D và {qn} ⊂ D là các dãy hội tụ tới điểm gốc Giả sử fn ∈ O (∆, D)

(0, f0(0)) Hơn nữa đồng nhất sau là đúng:

zj

2

qn và δ(0, tn) = d∗(pn, qn) Rõ ràng tn → 0 khi n → ∞

F (f0(0)) ≤ 1 và vì ε > 0 trong bất đẳng thức được chọn tùy ý, ta có

F (f0(0)) = 1 Điều đó chứng tỏ f là cực trị theo hướng của f0(0)

Để chứng minh đẳng thức trong định lý, ta nhắc lại

qn− pn

tv

≤ ε2

+

≤ε

Điều này là mâu thuẫn, vì vậy chúng ta hoàn thành chứng minh khẳngđịnh thứ nhất của định lý

Chúng ta cố định một metric Hermitian h trên M Ta có các công thứcsau:

lim

u→v t→0

ϕ(exp tu) − ϕ(q)

lim

u→v t→0

ϕ(exp tu) − ϕ(q)kϕ(exp tu) − ϕ(q)k =

d∗M(exp tu)

|t|

= lim

u→v t→0

ϕ(exp tu) − ϕ(q)kϕ(exp tu) − ϕ(q)k

L0kξkh < FM(ξ)

ξ1, , ξn ∈ TpM thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) ξ1, , ξn là độc lập tuyến tính trên R;

nPj=1

ξj;

nPj=1

FM(ξj)

Bổ đề 2.2 ([2]) Cho p là một điểm thuộc M Khi đó, tồn tại một hằng số

L > 0 thỏa mãn điều kiện sau: Với bất kỳ ξ ∈ TpM, lấy ξ1, , ξn ∈ TpM

kξkh ≤ L

nX

j=1

FM(ξj) ≥ L0

nX

j=1

FM(ξj) ≥ L0

nX

q1 = q, q2, , ql,ql+1 = q0 ∈ M sao cho d(l)M(q, q0) =

lPj=1

d∗M(qj, qj+1)

điểm q1 = q, q2, , ql,ql+1 = q0 ∈ M sao cho dlM(q, q0) =

lPj=1

d∗M(qj, qj+1)

Chứng minh Vì M là taut, M là hyperbolic (tức là dM là khoảng cách và

{q ∈ M |dM(q, p) < R} Khi đó, tồn tại một hằng số r > 0 thỏa mãn

ϕ−1(Bk.k(0, r)) ⊂ W, trong đó Bk.k(0, r) = {z ∈ Cm| kzk < r}

Đặt V = ϕ−1(Bd

Bk.k(0,r)(0,R4)) Với bất kỳ hai điểm q, q0 ∈ V, tồn tạil + 1

điểm q1 = q, q2, , ql,ql+1 = q0 ∈ M sao cho dlM(q, q0) =

lPj=1

≤ 3

4R.

lX

j=1

d∗M(qj, qj+1)

Chứng minh Vì M là taut nên FM là liên tục Khoảng cách Kobayashi dM

C0kϕ(q) − ϕ(q0)k ≤ dM(q, q0),

lPj=1

C0

lX

j=1

kϕ(qj) − ϕ(qj+1)k ≤

lX

j=1

≤

lX

Bổ đề 2.5 ([2]) Với mỗi ε > 0 và mỗi số nguyên dương l ≥ 2m, tồn tại

d(l)M(q, q0) − 2FbM(ϕ−1∗ (p, ϕ(q0) − ϕ(q0))

< ε kϕ(q) − ϕ(q0)k

lPj=1

j=1

d∗M(q +

j−1X

k=0

ξk, q +

jX

j=1

d∗M(q +

j−1Pk=0

ξk, q +

jPk=1

j=1

d∗M(q +

j−1Pk=0

ξk, q +

jPk=1

nX

2

lX

j=1b

trong đó U ⊂ T M là một lân cận mở nhỏ của 0 ∈ TpM Nếu tồn tại giớihạn

lim

u→υ t→0

dM(q, exp tu)

DdM(υ) = lim

u→υ t→0

dM(q, exp tu)

|t|

= lim

u→υ t→0

dM(q, exp tu)kϕ(exp tu) − ϕ(q)k

dD(q, q + tη)

|t| = 2FbD(p, ξ)

với mỗi ξ ∈Cm, nếu D là một miền taut trong Cm.

dM(q, q0)

d∗M(q, q0) = 1

KẾT LUẬN

Luận văn "Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut" đã trìnhbày được một số kết quả sau đây:

1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut

và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut

2 Trình bày một số kiến thức cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quảnghiên cứu sau:

- Trình bày các tính chất của giả metric Buseman – Kobayashi (Mệnh đề

- Trình bày kết quả về thác triển ánh xạ chỉnh hình chính quy (Định lý

2.3)

- Trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng kết quả nghiên cứu của MasashiKobayashi chứng tỏ trên đa tạp phức taut đạo hàm của khoảng cách Kobayashi

này, M Kobayashi cũng đưa ra được một điều kiện cần và đủ cho tính lồicủa giả metric

- Trình bày được một kết quả nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình chính

Tài liệu tham khảo

1 Trình bày số kiến thức đa tạp phức, đa tạp phức taut

và khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut

2... rõ ràng kết nghiên cứu MasashiKobayashi chứng tỏ đa tạp phức taut đạo hàm khoảng cách Kobayashi

này, M Kobayashi đưa điều kiện cần đủ cho tính lồicủa giả metric

- Trình bày kết... kiến thức sở trình bày chi tiết, rõ ràng kết quảnghiên cứu sau:

- Trình bày tính chất giả metric Buseman – Kobayashi (Mệnh đề

- Trình bày kết thác triển ánh xạ chỉnh hình quy (Định