Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách

Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách 17 2.1 Bài toán và phương pháp... Bàitoán bất đẳng thức biến phân thu hút được nhiều sự quan tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Chương 1 Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức

1.1 Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert 5

1.1.1 Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric 6

1.1.2 Bài toán điểm bất động 9

1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 10

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11

1.2.1 Ánh xạ đơn điệu 11

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13

1.2.3 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 14

Chương 2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách 17 2.1 Bài toán và phương pháp 17

2.1.1 Bài toán 17

2.1.2 Phương pháp 19

2.2 Sự hội tụ 20

2.2.1 Định lý hội tụ 20

2.2.2 Một số hệ quả 30

2.2.3 Ví dụ minh họa 33

Kết luận 36

Bảng ký hiệu và danh sách viết tắt

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i và chuẩn k.k,

C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của H, F là ánh xạ đi từ một tập trong

H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational InequalityProblem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C, ký hiệu là VIP(F,C), đượcphát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1)Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiêncủa mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biếnphân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán trong lý thuyết phương trìnhđạo hàm riêng Đến nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thànhnhiều dạng khác nhau, như bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toánbất đẳng thức biến phân véc-tơ, bài toán bất đẳng thức biến phân ẩn Bàitoán bất đẳng thức biến phân thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu củacác nhà toán học vì mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của nhữnglĩnh vực khác nhau trong toán ứng dụng như lý thuyết tối ưu, bài toán bù, bàitoán điểm bất động, lý thuyết trò chơi, cân bằng mạng giao thông

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thứcbiến phân là xây dựng phương pháp giải Trong các phương pháp giải bài toánbất đẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan trọng

vì sự đơn giản và thuận lợi trong quá trình tính toán

Mục tiêu của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một phương phápchiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệmcủa bài toán điểm bất động tách trong bài báo [3] công bố năm 2017 Bài toánđược trình bày cụ thể như sau: Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng

trong các không gian Hilbert H1 và H2,F : C → H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh,

A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính bị chặn, T : C → C, S : Q → Q là cácánh xạ không giãn Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bấtđộng tách VIP(F, Ω) là bài toán

Tìm x∗ ∈ Ω sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2)trong đó Ω là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (Split Fixed PointProblem), ký hiệu là SFPP:

ở đây Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T và ánh xạ S.Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương

Chương 1: Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thứcbiến phân trong không gian Hilbert

Chương này trình bày các khái niệm về ánh xạ không giãn, phép chiếumêtric, bài toán điểm bất động tách, bài toán bất đẳng thức biến phân, mốiliên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trongkhông gian Hilbert thực H Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu[1, 2, 5, 7, 8, 13]

Chương 2 Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân vớiràng buộc điểm bất động tách

Chương này trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động táchtrong không gian Hilbert Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo[3] công bố năm 2017

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học khoa học – Đại học TháiNguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em

có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo Trường Đạihọc khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thànhkhóa học

Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệptrường THPT Ân Thi, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạođiều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Mỵ

Chương 1

Bài toán điểm bất động tách và bài

toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Chương này trình bày một số kiến thức liên quan đến bài toán điểm bấtđộng, bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trongkhông gian Hilbert thực Mục 1.1 giới thiệu về bài toán điểm bất động, bàitoán điểm bất động tách, trình bày một số tính chất của phép chiếu mêtric vàtính chất về tập nghiệm của bài toán điểm bất động Mục 1.2 giới thiệu về bàitoán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và trình bày mối liên hệ giữa bài toánbất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbertthực Kiến thức của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1, 2, 4]

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i và chuẩn k.k,tương ứng Cho {xn}là một dãy trong không gian H Ta ký hiệuxn * x nghĩa

là dãy {xn} hội tụ yếu đến x và xn → x nghĩa là dãy {xn} hội tụ mạnh đến x

1.1.1 Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gianHilbert thực H

(i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L–liên tục Lipschitz trên C nếu tồntại hằng số L ≥ 0 sao cho

kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C (1.1)

(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T

được gọi là ánh xạ không giãn

Sau đây ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C

Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trongkhông gian Hilbert thực H Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần

tử PC(x) ∈ C xác định bởi

kx − PC(x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C (1.2)được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C

Định lý 1.1.3 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong khônggian Hilbert thực H Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC(x) ∈ C saocho (1.2) thỏa mãn

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C saocho kx − unk −→ d, n −→ ∞ Từ đó ta có

tại v ∈ C sao cho kx − vk = d Ta có

hx − PC(x), PC(x) − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C (1.3)

Chứng minh Giả sử PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C Khi đó với mọi

x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC(x) ∈ C Do đó, từ địnhnghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra

Hệ quả 1.1.8 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert

H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có

kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hx − y, PC(x) − PC(y)i

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.1.7, ta có

hx − PC(x), PC(y) − PC(x)i ≤ 0,

hy − PC(y), PC(x) − PC(y)i ≤ 0

Mệnh đề 1.1.9 (xem [2]) Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gianHilbert H, thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Giả sử C không là tập đóng yếu Khi đó, tồn tại dãy {xn}trong

C thỏa mãn xn * x, nhưng x /∈ C Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lýtách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 sao cho

Chú ý 1.1.10 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Định nghĩa 1.1.11 (xem [1]) Cho C là tập con khác rỗng của không gianHilbert thực H và ánh xạ T : C → C Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất độngcủa ánh xạ T nếu T (x) = x

Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là

Fix(T ) := x ∈ C : T (x) = x (1.4)Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng củakhông gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là

(i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T ) 6= ∅ và

Định nghĩa 1.1.14 (xem [6]) Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility lem), viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau:

trong đó, C và Qlần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) làΩ1 Bài toán chấpnhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lý tín hiệu và khôiphục ảnh, liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ, hay có thể áp dụng cho việcgiải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi Bài toán chấp nhậntách trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiênbởi Yair Censor và Tommy Elfving (xem [6]) Để giải bài toán chấp nhận táchtrong không gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem [4]) đã đề xuất phươngpháp CQ bằng cách xét dãy lặp

xn+1 = PC(xn− γAc(I − PQ)Axn), n ≥ 0, (1.5)trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM,

A là ma trận thực cỡ M × N, Ac là ma trận chuyển vị của ma trận A, L làgiá trị riêng lớn nhất của ma trận AcA và γ ∈ 0, L2
Gần đây Hong-Kun Xu(xem [13]) đã giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực vô

hạn chiều trong đó phương pháp CQ có dạng

xn+1 = PH1

Q )A)xn, n ≥ 0, (1.6)với γ ∈ 0, kAk2
, IH1 và IH2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2, A∗

là toán tử liên hợp của A, PH1

Q lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1

lên C và từ H2 lên Q Tác giả đã chứng minh được dãy lặp {xn} xác định bởi(1.6) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) nếu bài toánchấp nhận tách có nghiệm

Định nghĩa 1.1.15 (xem [6]) Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed PointProblem), viết tắt là (SFPP), được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S), (SFPP)trong đó C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gianHilbert thực H1, H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, các ánh

xạ T : C → C, S : Q → Q là các ánh xạ không giãn

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP) là Ω2

(ii) đơn điệu mạnh trênC (hayβ-đơn điệu mạnh trên C) nếu tồn tại một hằng

số dương β sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ βkx − yk2, ∀x, y ∈ C;

(iv) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (hay η-đơn điệu mạnh ngượctrên C) nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkA(x) − A(y)k2, ∀x, y ∈ C

Dễ thấy mọi ánh xạ η-đơn điệu mạnh ngược A đều là ánh xạ đơn điệu, liêntục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = λ1

Nhận xét 1.2.2 Nếu T : C −→ H là một ánh xạ không giãn thì A = I − T

là 1

2-đơn điệu mạnh ngược trên C.

Thật vậy, với mọi x, y ∈ C, ta có

kA(x) − A(y)k2 = k(x − y) − (T x − T y)k2

2-đơn điệu mạnh ngược trên C.

Khái niệm ánh xạ đơn điệu được trình bày trong Định nghĩa 1.2.1 còn được

mô tả dựa trên đồ thị như sau

Định nghĩa 1.2.3 (xem [2]) Ánh xạ đa trị A : H → 2H được gọi là đơn điệunếu

hf − g, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H, f ∈ A(x), g ∈ A(y)

Đồ thị Gr(A) của ánh xạ A được định nghĩa như sau:

Gr(A) = {(x, y) : y = A(x) ∀x ∈ H}

Ánh xạ A : H → 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị Gr(A) của A

không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ một ánh xạ đơn điệu nào khác

Chú ý 1.2.4 Ánh xạ Alà đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với (x, f ) ∈ H × H,

hf − g, x − yi ≥ 0 với (y, g) ∈ Gr(A) suy ra f ∈ A(x)

Ví dụ 1.2.5 Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn Khi đó A = I − T

là một toán tử đơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H

Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có

hA(x) − A(y), x − yi ≥ kx − yk2 − kx − yk2 = 0,

suy ra A là một toán tử đơn điệu

Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xétphương trình

λA(x) + x = y (1.7)Phương trình trên tương đương với

ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm Vậy A là một toán tử đơn điệu cựcđại

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H,

F : Ω → H là một ánh xạ đi từ Ω vào H, trong đó Ω là một tập con của H

chứa C Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F và tập ràng buộc

C, ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.9)

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) với ánh xạ giá F

và tập ràng buộc C được ký hiệu là ΩF C

Trong trường hợp ánh xạ giá F có dạng F (x) = x − x+ với mọi x ∈ C,

x+ ∈ H cho trước, theo Bổ đề 1.1.6

Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại và 0 ∈ Ax nếu và chỉ nếu x ∈ ΩAC

1.2.3 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán

Ngược lại, nếu x∗ ∈ ΩF C thì

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

Chọn x = T (x∗), ta được

hx∗ − T (x∗), T (x∗) − x∗i ≥ 0 hay− kT (x∗) − x∗k2 ≥ 0

Bổ đề 1.2.8 (xem [3]) Cho ánh xạ F : C → H là η-đơn điệu mạnh ngược trên

C và µ ∈ (0, 2η] Xét ánh xạ T : C → C được cho bởi

T (x) = PC(x − µF (x)) ∀x ∈ C

Khi đó ánh xạ T không giãn và Fix(T ) = ΩF C

Chứng minh Từ tính chất η-đơn điệu mạnh ngược trên C của ánh xạ giá F

Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1, H2 Giả sử F : C → H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh,

A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, T : C → C, S : Q → Q là cácánh xạ không giãn Xét bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểmbất động tách VIP(F, Ω2)

Tìm x∗ ∈ Ω2 sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ Ω2, (VIP)

trong đó Ω2 là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP) (đã được

đề cập ở Chương 1)

Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S), (SFPP)với Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T và S

Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω2)

chứa đựng nhiều bài toán quen thuộc đã được xét ở [7, 8, 13, 14] Trong trườnghợp F là ánh xạ đồng nhất I trên C còn T và S lần lượt là các ánh xạ đồngnhất trên C và Q thì VIP(F, Ω2) trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏnhất

Tìm phần tử x∗ ∈ Ω2 sao cho kx∗k ≤ kxk ∀x ∈ Ω2 (2.1)của bài toán chấp nhận tách (SFP) (xem [7])

Khi S là ánh xạ đồng nhất trên Q thì VIP(Ω, F ) trở thành bài toán bấtđẳng thức biến phân với ràng buộc là tập điểm bất động của ánh xạ khônggiãn T (xem [14]) Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biếnphân với ràng buộc điểm bất động tách trong những năm gần đây được quantâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem [3, 5, 9, 10])

Ta cần các bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp

Bổ đề 2.1.1 (xem [12]) Cho {an} là một dãy các số thực không âm thỏa mãnđiều kiện

Bổ đề 2.1.2 (xem [14]) Cho F : C → H là ánh xạ β-đơn điệu mạnh trên C

và L-liên tục Lipschitz trên C, λ ∈ (0, 1) và µ ∈ 0, 2β

L2

 Khi đó

kx − λµF (x) − [y − λµF (y)]k ≤ (1 − λτ )kx − yk ∀x, y ∈ C,

Định lý 2.2.1 (xem [3]) Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗngtrong các không gian Hilbert thực H1, H2, A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính

bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Giả sử ánh xạ F : C → H1 là β-đơn điệumạnh và L-liên tục Lipschitz trên C, T : C → C, S : Q → Q là các ánh xạkhông giãn Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk}, {uk}, {yk} và {zk} xác địnhbởi (2.2) trong đó δ và µ thỏa mãn điều kiện (C1), {λk} và {αk} là hai dãy

số nằm trong khoảng (0, 1) và thỏa mãn các điều kiện (C2)–(C4) Giả sử tậpnghiệm Ω2 của bài toán điểm bất động tách (SFPP) khác rỗng Khi đó dãy{xk}

hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán VIP(F, Ω2)

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bài toán bất đẳng thức biến phânVIP(F, Ω2) có nghiệm duy nhất Thật vậy, vì Ω2 6= ∅ nên Fix(T ) 6= ∅ và

Fix(S) 6= ∅ Theo Bổ đề 1.1.13 thì Fix(T ), Fix(S) cũng là các tập lồi đóng, dođó

Ω2 = x∗ ∈ Fix(T ) : Ax∗ ∈ Fix(S)

⊂ C

cũng là tập lồi đóng Vì F là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C

nên theo Định lý 1.2.7 bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, Ω2) có nghiệmduy nhất x∗