Bồi dưỡng HSGT9 Pương pháp đại số trong giải hình học

Chuyên đề bồi d ỡng HSG toán 9 :Phơng pháp đại số trong giải bài tập hình học Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng Hà - Thái Bình A.Các ví dụ hình thành ph ơng pháp

Chuyên đề bồi d ỡng HSG toán 9 :

Phơng pháp đại số trong giải bài tập hình học

Ngời viết : Tạ Phạm Hải

Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng Hà - Thái Bình

A.Các ví dụ hình thành ph ơng pháp :

Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông có chu vi bằng 72 cm ; Hiệu giữa trung tuyến và đờng cao tơng

ứng với cạnh huyền bằng 7 cm Tính diện tích tam giác

Giải :

Đặt AM = x ( cm ) , x > 7 ⇒ BC = 2x và AH = x – 7

Ta có SABC = x( x – 7) áp dụng định lí Pitago ta có : AB2 + AC2 = 4x2 Hay ( AB + AC )2 – 2.AB.AC = 4x2 (1)

Ta có : AB + AC = 72 – 2x ; 2.AB.AC = 4SABC = 4x(x – 7) ,thay vào (1) ta đợc phơng trình : ( 72 – 2x)2 – 4x( x – 7) = 4x2

⇔ x2 + 65x – 1296 = 0 ⇔ x2 – 16x + 81x – 1296 = 0

⇔ x( x – 16) + 81( x – 16) = 0 ⇔ ( x – 16)( x + 81) = 0

⇔ x = 16 hoặc x = – 81 ( loại )

từ đó AH = 16 – 7 = 9 và BC = 16.2 = 32 và SABC = 9.16 = 144 cm2

Nhận xét : Bài tập trên là bài tập hình học hay bài tập đại số ? Rõ ràng

hàm lợng biến đổi đại số trong lời giải lấn át yếu tố hình học nên cũng có thể gọi là bài tập đại số Nhng , dù là bài tập loại gì thì cũng gợi cho ta một cách nhìn khác về lời giải các bài tập hình : Lời giải kiểu đại số ! Ta hãy xét thêm các ví dụ sau

Ví dụ 2 : Chứng minh công thức Hê rông trong tính diện tích S của tam giác : Cho a , b , c là số

đo 3 cạnh của một tam giác , Đặt a + b + c = 2P thì ta có S= P P a P b P c( − )( − )( − )

Giải :

Đặt HC = x thì BH = a – x

áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông phù hợp ta

có : h2 = b2 – x2 = c2 – ( a – x)2

⇔ b2 – x2 = c2 – a2 + 2ax – x2 ⇔ 2 2 2

2

a b c x

a

+ −

Thay x vào tính h ta đợc h2 = b2 –

2

2 2 2

2

a

h2 =

⇔ h2 =

⇔ h2 = [( c + a – b)( c – a + b)( c + a + b)( a + b – c) ] : 4a2 , thay a + b + c = 2P vào ta có :

M

B

a

h

H

A

⇔ h2 = [( 2P – 2b)(2P – 2a)(2P – 2c).2P ] : 4a2 = [16P( P – a)( P – b)( P – c) ] : 4a2

2

a h

P P a P b P c

2

ah

P P a P b P c S

Ví dụ 3 : Cho ∆ABC vuông tại A , Các phân giác BD và AE cắt nhau ở I Cho biết BI = 10 cm ,

DI = 5 cm Tính diện tích S của tam giác đã cho

Giải :

Đặt AD = x , DC = y , áp dụng tính chất đờng phân giác cho ∆ADB , phân giác AI , suy ra AB = 2x và ∆ABC , phân giác BD ta có :

1

x y

x = BC = Vậy BC = 2y.

áp dụng định lí Pitago cho ∆VABD và ∆VABC , ta có :

4 4

5 15

4 15

x

=





Ta tính đợc x=3 5 thay vào tính y ta tính đợc y= 5 5 Khi đó 2.3 5(3 5 5 5)

3 5.8 5 120 2

Ví dụ 4 : Cho ngũ giác đều ABCDE các đờng chéo của ngũ giác này cắt nhau tạo thành ngũ giác

đều MNHIK Chứng minh rằng tỷ số diện tích của ngũ giác MNHIK và ABCDE là một hằng số

Giải :

Nội tiếp ngũ giác đều ABCDE vào trong đờng tròn tâm O ta dễ dàng chứng minh đợc ∆ABN và ∆BMN là các tam giác cân

đồng dạng Trong đó BN = BM ; AB = AN

Đặt AB = a ; MN = x , ta có AB BN a a x

−

−

⇔ ax = a2 – 2ax + x2 ⇔ x2 – 3ax + a2 = 0 , ∆ = 5a2 > 0

ph-ơng trình có hai nghiệm là :

;

x = − x = + , vì x < a nên chỉ chọn x1. Khi đó :

2 2

MNHIK ABCDE

 

= ữ   = ữữ = ⇒ đpcm.

Ví dụ 5 : Tìm cạnh thứ 3 của một tam giác biết hai cạnh kia là a và b và các trung tuyến ứng với

hai cạnh a và b cắt nhau dới một góc vuông Với điều kiện nào của tỷ số a / b thì loại tam giác

nh trên tồn tại ?

Giải :

Giải :

2x

y

x

10

5 I

E D

C

a

x

K

I

H

N M

C A

O B

1)Đặt GN = x ⇒ BG = 2x ; GM = y ⇒AG = 2y Xét ∆VAGN : 4y2 + x2 = b2/ 4 ( Pitago) Xét ∆VBGM : 4x2 + y2 = a2/ 4 ( Pitago )

⇒ 5x2 + 5y2 = ( a2 + b2 ) / 4 ⇒ x2 + y2 = ( a2 +

b2) / 20 Xét ∆VAGB : 4x2 + 4y2 = c2 nên x2 +

y2 = c2 / 4 Vậy c2/ 4 = ( a2 + b2) / 20 từ đó c2 = ( a2 + b2) / 5 Từ đó khai phơng ta đợc

2 2

5

1) Điều kiện tồn tại của loại tam giác này là

Vì 4( a2 + b2) + 10ab > 0 luôn đúng nên chỉ cần xét 4( a2 + b2 ) – 10 ab < 0 (*)

(*) ⇔ 2a2 + 2b2 – 5ab < 0 ⇔

2 5

1 0 2

  − ì + <

 ữ

  Đặt a / b = k ta có bất phơng trình 2k2 – 5k + 2 < 0 ⇔

2

k

 − ì + − < ⇔ −  < ⇔ − <

4 4 k 4 4 2 k

− + < < + ⇔ < < từ đó ta có kết quả của bài tập

Ví dụ 6 : Tính các góc B và C của ∆ABC vuông tại A biết tỷ số giữa bán kính của đờng tròn

ngoại tiếp và bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác này bằng 3 1 +

Giải tóm tắt :

Theo đinh lí Pitago ta có : b2 + c2 = a2⇔

1

   + =

 ữ  ữ

    Mặt khác

dễ c/m đợc b + c – a = 2r ⇔ 1 2 2

2

a a+ − = a = R R=

Đặt : b x

a = và c y

a = , Ta có hệ phơng trình :

2

3

4

xy

Khi dó x , y là các nghiệm của phơng trình bậc hai : 2 3 1 3

0

X − + ì +X =

2y

y 2x

x c

b

a

A

M

G

N

c

R

r

O

B

C

A

D

E

Giải phơng trình này ta đợc các nghiệm là 1 1; 2 3

X = X = suy ra hệ trên có hai nghiệm , và từ

đó tính đợc Bà = 30 ; 0 Cà = 60 0 hoặc àB= 60 ; 0 Cà = 30 0

Ví dụ 7 : Cho ∆ABC và một hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB , AC và hai đỉnh

còn lại nằm trên đáy BC Trong tất cả những hình chữ nhật nh vậy , hãy tìm hình chữ nhất có diện tích lớn nhất

Giải tóm tắt :

Giả sử hình chữ nhật đó là MNPQ ( xem hình ) Ta đặt MQ =

x ; MN = y , AH = h ; BC = a ⇒ h và a là các hằng số

Ta có : SABC = SAMN + SBMQ + SCNP + SMNPQ

⇔ ah = y( h – x) + x( a – y) + 2xy

⇔ ah = yh – xy + ax – xy + 2xy = yh + ax ⇔ yh = ah –

ax

⇔ y a(h x)

h

= − Khi đó SMNPQ= xy a(h x x) a(hx x2)

2

2

2

MNPQ

=  − + ì − ữ=  − − ữ ≤

Vậy MaxSMNPQ = ah/4 khi MN là đờng trung bình của ∆ABC

Ví dụ 8 : Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho AB = 14 cm , BC = 28 cm Vẽ trên

cùng nửa mặt phẳng bờ AC các nửa đờng tròn tâm I , K , O có đờng kính thứ tự là AB , BC , AC Tính bán kính đờng tròn tâm M Tiếp xúc ngoài với các nửa đờng tròn (I) ; (K) và tiếp xúc trong với nửa đờng tròn (O)

Giải tóm tắt:

Đặt bán kính (M)

là x , HI = y

ta có :

MK = 14 + x , MI = 7 + x ; MO = 21 – x ; IK = 21

OH = 21 – ( 7 + y) ; KH = 21 – y

Gọi H là hình chiếu của M trên AC , áp dụng

định lí Pitago ta có :

MH MO OH

MO OH MK KH

MH MK KH

MK KH MI HI

MH MI HI





y

x

28 14

M

B S

h

y x

N

H

A

M

⇔ ( 21 – x )2 – [ 21 – ( 7 + y)]2 = ( 14 + x)2 – ( 21 – y)2

( 14 + x)2 – ( 21 – y)2 = ( 7 + x)2 – y2

⇔ 245 – 70x = 14y – 245 ⇔ x = 6

14x + 147 = 441 – 42y

Đáp số bán kính đờng tròn (M) bằng 6 cm

Ví dụ 8 : Cho ∆ABC có diện tích bằng S

1.Chứng minh rằng nếu có điểm M trong tam giác sao cho MA = 1 , MB = MC = 6 thì

S2≤ 500

2.Điểm M có đặc điểm gì khi S2 = 500 ?

Giải tóm tắt :

1) Gọi K là trung điểm của BC và vẽ đờng cao

AH của ∆ABC , thì M thuộc trung trực của

BC Gọi I là hình chiếu của M trên AH và trên tia đối của tia MK lấy điểm D sao cho

MD = MA Ta có :

MD ≥ AI nên SDBC ≥ S ( vì tứ giác MIHK là hình chữ nhật ) Đặt HI = MK = x ta có :

BK = 36 x− 2 và DK = x + 1 Khi đó

SDBC = DK.BK = (x + 1) 36 x− 2 với x < 6

Đặt SDBC = S1 thì :

S12 = ( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) Ta chứng minh ( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) ≤ 500 với mọi x < 6 là bài toán xong Thật vậy :

( x2 + 2x + 1)( 36 – x2) ≤ 500

⇔ – x4 – 2x3 + 35x2 + 72x – 464 ≤ 0

⇔ – x4 + 4x3 – 6x3+ 24x2 + 11x2 – 44x + 116x – 464 ≤ 0

⇔ – x3( x – 4) – 6x2( x – 4) + 11x( x – 4) + 116( x – 4) ≤ 0

⇔ – ( x – 4)( x3 + 6x2 – 11x – 116) ≤ 0

⇔ – ( x – 4)( x3 – 4x2 + 10x2 – 40x + 29x – 116) ≤ 0

⇔ – ( x – 4)[x2( x – 4) + 10x( x – 4) + 29( x – 4)] ≤ 0

⇔ – ( x – 4)2( x2 – 10x + 25 + 4 ) ≤ 0

⇔ – ( x – 4)2[ ( x – 5)2 + 4 ]≤ 0 đúng

Vậy S ≤ S1 ≤ 500 đúng đpcm

2) Từ câu 1 , dấu bằng xảy ra khi AD = AM = AH = 1 và MK = IH = 4⇔ A trùng D hay ∆ABC cân tại A và M nằm trên đờng cao AH sao cho MA = 1 ; MH = 4 ⇒ AH

= 5 , MB = MC = 6 Khi đó BK = BH = 36 16 − = 20 2 5 =

S2 = ( BH.AH )2 = ( )2

2 5.5 =500 đúng

1

6 6

1

D

I

A

M

Qua M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC tại

5

HM HN

HA = HB = ⇒ .4 2 5.4 8

HB

HN = = = Khi đó MN2 = MH2 +

NH2 = 42 + 64

5 ; MC2 = 62 ⇒ MN2 + MC2 = 16 +

36 + 64

5 = 324

5

Lại có : CN2 = ( NH + HC )2 =

8 18 324

2 5

5

 +  =  =

2 + MC2 = NC2 nên tam giác MNC vuông tại M ⇔ CM ⊥ MN ⇔ CM ⊥ AB ⇔ M là trực tâm của ∆ABC

Vài lời bàn về cách giải các ví dụ trên :

Từ cách giải trên ta thấy việc tính toán , chứng minh của bài tập hình học đợc đa về việc giải quyết bài tập đại số và cho ta lời giải đẹp , bất ngờ

Để giải bài tập hình theo phơng pháp đại số này ta cũng cần các bớc nh sau :

1 Chọn ẩn số ( có thể 1 hoặc 2 ẩn số )

2 Dùng ẩn số và những yếu tố hình học đã cho biểu diễn các đại lợng hình học cha biết khác

3 Dựa vào các mối quan hệ hình học để lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

4 Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình vừa lập từ đó dễ dàng giải quyết phần còn lại của bài toán

Bài tập luyện tập Bài 1 : Cho ∆ABC vuông tại A , I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác

1 Nếu AB = 5 cm ; IC = 6cm , thì BC = ?

2 Nếu IB2 = 5 cm , IC2 = 10 cm , thì chu vi của ∆ABC bằng bao nhiêu ?

Bài 2 : Cho ∆ABC cân tại A ; I là tâm đờng tròn nội tiếp Biết IA= 2 5;IB= 3 Tính AB

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại C và góc A nhỏ hơn góc B Gọi I ; O thứ tự là tâm đờng tròn nội

tiếp và ngoại tiếp của tam giác và cho biết ∆BIO cũng là tam giác vuông

Chứng minh : BC : AC : AB = 3 : 4 : 5

( Trích đề thi HSG toán 9 toàn quốc 1993 – 1994 )

Bài 4 : Cho ∆ABC ngoại tiếp đờng tròn tâm I Kẻ 3 tiếp tuyến tơng ứng song song với 3 cạnh

của tam giác tạo thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1 , S2 , S3 Gọi diện tích của ∆ABC là

S Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S1 S2 S3

P

S

+ +

=

Bài 5 : Cho ∆ABC , I là giao điểm các phân giác trong AD và BE của am giác Cho biết :

1 3;

3 1

ID = IE =

− Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?

1

6 4

A

M