dd dãy, đặc trưng euler poincaré và ứng dụng vào nghiên cứu cấu trúc một số lớp mở rộng của môđun cohen macaulay

Một trong những kết quả quan trọng nhất là đặc trưng tínhchất Cohen-Macaulay dãy qua tính triệt tiêu và tính chất Cohen-Macaulaycủa đối ngẫu Matlis của các môđun đối đồng điều địa phương

3.1 Läc tháa m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt 463.2 M«®un Cohen-Macaulay d·y 543.3 §Æc tr­ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y 59

4.1 M«®un Cohen-Macaulay suy réng d·y 714.2 §Æc tr­ng Euler-PoincarÐ bËc cao vµ h»ng sè IF(M ) 784.3 §Æc tr­ng tham sè 85KÕt luËn 93Tµi liÖu tham kh¶o 96

Ký hiệu x = x1, , xd ∈ m là một hệ tham số của M Khi đó ta luôn có

`(M/xM ) > e(x, M), trong đó `(?) là hàm độ dài, e(x, M ) là số bội của

M đối với hệ tham số x Khi dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là tồn tại x saocho `(M/xM ) = e(x, M ), M được gọi là môđun Cohen-Macaulay Có thểnói môđun Cohen-Macaulay là một trong những cấu trúc môđun được nghiêncứu kỹ và có nhiều ứng dụng nhất trong Đại số giao hoán Nếu M là Cohen-Macaulay ta cũng có `(M/xM ) = e(x, M ) với mọi hệ tham số x của M

Mở rộng đầu tiên theo hướng này của lớp môđun Cohen-Macaulay là kháiniệm môđun Buchsbaum do Stăuckrad và Vogel đưa ra Đó là các môđun M

sao cho tồn tại một hằng số I(M ) thỏa mãn `(M/xM ) = e(x, M ) + I(M )

với mọi hệ tham số x Như vậy môđun Cohen-Macaulay là Buchsbaum với

I(M ) = 0 Năm 1979, ba nhà toán học N T Cường-Schenzel-N V Trungxét các môđun M mà tồn tại hằng số C sao cho với mọi hệ tham số x của

M, `(M/xM ) 6 e(x, M ) + C Hằng số C nhỏ nhất được ký hiệu là I(M )

và có tên là hằng số Buchsbaum của M Các môđun như vậy có rất nhiềutính chất tương tự như môđun Cohen-Macaulay và được gọi là các môđun

Cohen-Macaulay suy rộng Rõ ràng môđun Cohen-Macaulay và Buchsbaum

là các trường hợp riêng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng Lý thuyếtmôđun Cohen-Macaulay suy rộng được phát triển rất nhanh trong thập kỷ

80 và những năm đầu thập kỷ 90 của thế kỷ 20 bởi các nhà toán học N T.Cường, Schenzel, N V Trung, Stuăckrad, Vogel, L T Hoa, Brodmann, Goto,Yamagishi, Takayama, và có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán vàHình học đại số Ký hiệu x(n) = xn1

1 , , xnd

d , với n1, , nd > 0 Nếu M

là Cohen-Macaulay suy rộng thì `(M/x(n)M ) = n1 nde(x, M ) + I(M )

với n1, , nd đủ lớn (để ngắn gọn ta sẽ dùng ký hiệu n1, , nd  0), nóiriêng, `(M/x(n)M ) là một đa thức theo n1, , nd Khi M không phải làmột môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Sharp đặt câu hỏi: hàm`(M/x(n)M )

có dạng đa thức theon1, , nd khin1, , nd  0không? Không khó khănlắm có thể tìm được ví dụ chỉ ra câu trả lời là phủ định, dẫn đến câu hỏi tiếptheo là với điều kiện nào thì hàm `(M/x(n)M ) có dạng đa thức Một điềukiện cần và đủ được N T Cường đưa ra trong [8] qua khái niệm up-dãy Hơnnữa, trong bài báo [9] ông cũng chứng minh rằng trong trường hợp tổng quáthàm `(M/x(n)M ) luôn bị chặn trên bởi một đa thức Khi vành R là vànhthương của một vành Gorenstein, N T Cường đã chỉ ra rằng luôn tồn tạimột hệ tham số x của M sao cho `(M/x(n)M )là một đa thức Cụ thể hơn,

ký hiệu a(M ) = a0(M )a1(M ) ad−1(M ) với ai(M ) = Ann(Hmi(M )) làlinh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) của M Khi R

là vành thương của một vành Gorenstein thì từ một kết quả của Schenzel,

ta suy ra luôn tồn tại một hệ tham số x = x1, , xd thỏa mãn tính chất

xi ∈ a(M/(xi+1, , xd)M ), i = 1, , d Một hệ tham số như vậy đượctác giả N T Cường gọi là một hệ tham số p-chuẩn tắc, hơn nữa khi đó

`(M/x(n)M ) =

d

X

i=0

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M), (?)

là một đa thức với mọi n1, , nd > 0 Khái niệm hệ tham số p-chuẩn tắcsau đó đã được Kawasaki sử dụng như một công cụ then chốt để giải bài toán

Macaulay hóa một đa tạp đại số do Faltings đặt ra, từ đó đưa ra câu trả lờikhẳng định cho giả thuyết của Sharp về điều kiện tồn tại phức đối ngẫu Cáckết quả đó thúc đẩy việc nghiên cứu kỹ hơn các tính chất của các hệ tham sốp-chuẩn tắc này cũng như ứng dụng trong nghiên cứu cấu trúc của vành vàmôđun Bản thân các hệ tham số p-chuẩn tắc có rất nhiều tính chất tốt Hầuhết các tính chất này đều do các hệ tham số này thỏa mãn công thức (?) ởtrên Vì vậy trong luận án này, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu các tính chấtcủa các hệ tham số thỏa mãn (?) cũng như các ứng dụng của chúng Các hệtham số như vậy là trường hợp riêng của khái niệm dd-dãy được định nghĩatrong luận án này.

Một mở rộng khác của môđun Cohen-Macaulay theo hướng hoàn toàn khác

là khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy

Ta gọi M là một môđun Cohen-Macaulay dãy (tương ứng, Cohen-Macaulaysuy rộng dãy) nếu tồn tại một lọc các môđun con của M

M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M,

sao cho `(M0) < ∞, dim M0 < dim M1 < < dim Mt = d và mỗi

Mi/Mi−1 là Cohen-Macaulay (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng) với

i = 1, 2, , t Các lọc như vậy được gọi là lọc Cohen-Macaulay (tương ứng,lọc Cohen-Macaulay suy rộng) Chú ý rằng trong khi các môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng là không trộn lẫn, nghĩa là cáciđêan nguyên tố liên kết của môđun thỏa mãn dim R/p = dim M hoặc

dim R/p = 0 (trong trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng), thì cáciđêan nguyên tố liên kết của các môđun Cohen-Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy có đối chiều khá tùy ý, thay đổi từ 0 đến dim M

Đây là một điểm khác biệt cơ bản giữa các lớp môđun này Cấu trúc môđunCohen-Macaulay dãy xuất hiện tự nhiên trong các ứng dụng của Đại số giaohoán vào các bài toán tổ hợp và được Stanley định nghĩa đầu tiên trên cácmôđun phân bậc trong [38], trường hợp môđun trên vành địa phương được

xét bởi N T Cường-L T Nhàn [18], Schenzel [37] Hiện nay việc nghiêncứu cấu trúc môđun này đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học,

đặc biệt là các ứng dụng trong tổ hợp và lý thuyết đồ thị (xem [19], [20], ).Bên cạnh đó, việc nghiên cứu cấu trúc của các môđun Cohen-Macaulay dãy

từ khía cạnh Đại số giao hoán cũng là một vấn đề quan trọng và thu hút cácnhà toán học Các công trình tiêu biểu theo hướng này có thể kể đến [18],[28], [37], [38] Một trong những kết quả quan trọng nhất là đặc trưng tínhchất Cohen-Macaulay dãy qua tính triệt tiêu và tính chất Cohen-Macaulaycủa đối ngẫu Matlis của các môđun đối đồng điều địa phương Một mở rộngkhác khá tự nhiên của khái niệm Cohen-Macaulay dãy là Cohen-Macaulaysuy rộng dãy được N T Cường và L T Nhàn đưa ra trong bài báo [18].Môđun Cohen-Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy là hai đốitượng tiếp theo của chúng tôi trong luận án này Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng

đối với môđun Cohen-Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy luôntồn tại một hệ tham số thỏa mãn công thức (?) ở trên Từ đó chúng tôi ứngdụng để quay lại nghiên cứu cấu trúc của các môđun này Mặc dù định nghĩacủa môđun Cohen-Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy khá giốngnhau, tuy nhiên cũng tương tự như đối với các môđun Cohen-Macaulay vàCohen-Macaulay suy rộng, các kỹ thuật làm việc với hai lớp môđun ở trên làkhác nhau, mang đặc thù của từng lớp môđun

Luận án được chia thành bốn chương

Chương 1 là chương chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nêu lại ngắngọn một số kết quả quen biết trong Đại số giao hoán để tiện cho việc trìnhbày các kết quả trong các chương sau Cụ thể là trong Tiết 1, chúng tôi sẽ nêulại khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng, các khái niệm d-dãy, d-dãymạnh, hệ tham số chuẩn tắc và một số kết quả liên quan, chủ yếu từ các bàibáo [46], [43] Trong Tiết 2, chúng tôi nhắc lại khái niệm kiểu đa thức, hệtham số p-chuẩn tắc và một số tính chất của chúng được trình bày trong [8],[9], [10], [30], [31] Một số kết quả về đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao của

phức Koszul được trình bày trong Tiết 3 Các kết quả này chủ yếu từ [17],[45].

Các kết quả của luận án được trình bày trong các Chương 2, 3 và 4.Trong Chương 2 chúng tôi giới thiệu khái niệm dd-dãy trên một môđun

Đó là các dãy các phần tử x1, , xs ∈ m sao cho với mọi n1, , ns > 0,

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M)

(iii) Tồn tại các số nguyên a0, a1, , ad sao cho với mọi n1, , nd > 0,

k của phức Koszul của M ứng với x là

trong đó Hi(x, M ) là môđun đồng điều Koszul thứ i Một kết quả của Serrenói rằng χ0(x, M ) = e(x, M ) và χk(x, M ) > 0 với mọi k = 0, 1, , d,dẫn đến χ1(x, M ) = `(H0(x, M )) − χ0(x, M ) = `(M/xM ) − e(x, M ).Như vậy tính chất đa thức của hàm `(M/x(n)M ) tương đương với tính đathức của hàm χ1(x(n), M ) Trong trường hợp x là dd-dãy thì

χ1(x(n), M ) =

d−1

X

i=0

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M)

Điều này dẫn đến một câu hỏi mở trong luận án tiến sĩ khoa học của tácgiả N T Cường [1]: phải chăng nếu x là một hệ tham số p-chuẩn tắc thì

χk(x(n), M ) là một đa thức theo n1, , nd với mọi k > 0? Trả lời câuhỏi này chúng tôi có kết quả quan trọng thứ hai của Chương 2 (xem Định lý2.2.3)

Định lý Cho x = x1, , xd là một hệ tham số của M Giả sử x là mộtdd-dãy trên M Khi đó với mọi n1, , nd > 0,

χk(x(n), M ) =

d−k

X

i=0

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)Hk−1(xi+2, ,xd,M ))

Hệ quả lập tức là trả lời khẳng định cho câu hỏi trên Hơn nữa chúng tôicòn chỉ ra dạng khá tường minh của hàm χk(x(n), M ) trong trường hợp này.Phần cuối của Chương 2 được dành để nghiên cứu tính chất của các môđun

có một hệ tham số là dd-dãy Trong các công trình có sử dụng khái niệmdd-dãy, vành R thường được giả sử là có phức đối ngẫu Giả thiết này bảo

đảm mọi môđun hữu hạn sinhM đều có một hệ tham số là dd-dãy, bên cạnh

đó M có nhiều tính chất khác đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu

có sử dụng dd-dãy như tính đóng của quĩ tích không Cohen-Macaulay, tínhcatenary, Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều ví dụ vành R không có phức

đối ngẫu nhưng vẫn là catenary, có quĩ tích không Cohen-Macaulay là đóng

và có hệ tham số là dd-dãy Trong tiết cuối của chương này, chúng tôi bỏ

giả thiết R có phức đối ngẫu, chỉ giả sử M có một hệ tham số là dd-dãy vànghiên cứu sự thay đổi của các tính chất khác Một số kết quả ban đầu theohướng này liên quan đến đối đồng điều địa phương, địa phương hóa và mộttrường hợp đặc biệt của định lý Triệt kiểu Faltings được trình bày trong tiếtcuối của chương này.

Chương 3 được dành cho các nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay dãy.Chúng tôi trước hết giới thiệu khái niệm lọc thỏa mãn điều kiện chiều và hệtham số tốt Các khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứutrong chương này và cả chương sau về môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy

Ta nói một lọc F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M các môđun con của M thỏamãn điều kiện chiều nếu dim M0 < dim M1 < < dim Mt = dim M =

d Ký hiệu di = dim Mi Một hệ tham số x = x1, , xd là một hệ tham

số tốt đối với F nếu (xdi+1, , xd)M ∩ Mi = 0 với i = 0, 1, , t Khi đó

x1, , xdi là một hệ tham số của Mi và ta có thể xét hiệu

IF ,M(x)có nhiều tính chất tương tự như hiệuIM(x) = `(M/xM ) − e(x, M )

đã được xét trước đây khi nghiên cứu môđun Macaulay, Macaulay suy rộng và nhiều vấn đề khác trong đại số giao hoán Cụ thể,

Cohen-IF ,M(x) luôn là một số không âm, khi xét IF ,M(x(n)) như một hàm theo

n1, , nd thì hàm này không giảm, Cũng chú ý rằng bất đẳng thức

IF ,M(x) > 0 tương đương với `(M/xM ) > Pt

i=0e(x1, , xdi, Mi) làmột mở rộng đáng chú ý của bất đẳng thức quen biết giữa độ dài và số bội

`(M/xM ) > e(x, M ) Kết quả chính của Chương 3 có thể tóm tắt trong

định lý sau (xem Định lý 3.3.2)

Định lý Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là một môđun Cohen-Macaulay dãy

(ii) Tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều và một hệ tham số tốt

x = x1, , xd đối với F sao cho IF ,M(x(n)) = 0, với mọi n1, , nd > 0.(iii) Tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều sao cho với mọi hệ tham sốtốt x = x1, , xd đối với F, IF ,M(x) = 0

Như vậy, khi M là Cohen-Macaulay dãy, tồn tại một lọc F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M sao cho với mọi hệ tham số tốt x = x1, , xd ta luôn có

là một đa thức với mọi n1, , nd > 0, trong đó di = dim Mi Từ một

đặc trưng của một hệ tham số là dd-dãy qua hàm độ dài ở Chương 2, tasuy ra mọi môđun Cohen-Macaulay dãy luôn có một hệ tham số là dd-dãy.Khi xét các kết quả trên trong trường hợp vành Stanley-Reisner, các hệ số

e(x1, , xdi, Mi) được tính tường minh thông qua số các mặt cực đại củaphức đơn hình tương ứng với vành đó

Trong chương cuối cùng chúng tôi nghiên cứu lớp các môđun Macaulay suy rộng dãy Kết quả đầu tiên chúng tôi chỉ ra là nếu M là mộtmôđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và F là một lọc Cohen-Macaulay suyrộng thì luôn tồn tại một hằng số C sao cho với mọi hệ tham số tốt x của M

Cohen-đối với F, IF ,M(x) < C đặt IF(M ) = sup

x

IF ,M(x) trong đó x chạy trêncác hệ tham số tốt của M đối với lọc F Luôn tồn tại một hệ tham số x saocho IF ,M(x(n)) = IF(M ) với mọi n1, , nd > 0 Do đó

4 là việc tính hằng số IF(M ) thông qua độ dài của một số môđun đối đồng

điều địa phương Ta có định lý (xem Định lý 4.2.6)

Định lý Cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy M với một lọc Macaulay suy rộng F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M Đặt di = dim Mi,

(i) M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy

(ii) Tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều, một hệ tham số tốt

x = x1, , xdcủaM đối vớiF và một hằng sốC sao choIF ,M(x(n)) 6 C

với mọi n1, , nd > 0

(iii) Tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều sao cho IF(M ) < ∞

Từ định lý này chúng tôi chứng minh một tiêu chuẩn hữu hạn để kiểm tratính chất Cohen-Macaulay suy rộng dãy: M là một môđun Cohen-Macaulaysuy rộng dãy khi và chỉ khi tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều vàmột hệ tham số tốtxcủaM đối vớiF sao choIF ,M(x) = IF ,M(x21, , x2d)

Chương 1

Chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi nêu lại một số kết quả quen biết trong Đại sốgiao hoán nhằm giúp cho việc trình bày rõ ràng và hệ thống các kết quả trongcác chương sau Trong toàn bộ luận án này ta luôn xét (R, m) là một vànhgiao hoán có đơn vị, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M

là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều d Ta dùngx để ký hiệu một hệ tham

số x1, , xd của M

1.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Với mỗi hệ tham số x = x1, , xd của M, đặt IM(x) = `(M/xM ) −e(x, M ) Luôn có IM(x) > 0 M được gọi là một môđun Cohen-Macaulaysuy rộng nếu tồn tại một hằng số C sao choIM(x) 6 C với mọi hệ tham số

x Khi đó, đặt I(M ) = max

x {IM(x)} trong đó x chạy trên toàn bộ các hệtham số I(M ) được gọi là hằng số Buchsbaum của M Khái niệm môđunCohen-Macaulay suy rộng được N T Cường-Schenzel-N V Trung đưa ra vànghiên cứu đầu tiên trong [46] Các kết quả trong tiết này được trích chủ yếu

từ [46], [43]

Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(1.1.1) M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tồn tạimột hệ tham số x và một hằng số C > 0 sao cho IM(x(n)) 6 C với mọi

n1, , nd > 0 Hơn nữa, hằng số C nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này trùngvới hằng số Buchsbaum I(M ).

(1.1.2)M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi các môđun

đối đồng điều địa phương Hmi (M ) có độ dài hữu hạn với mọi i 6= d Đôi khingười ta cũng gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng là môđun có đối đồng

điều địa phương hữu hạn Ngoài ra, hằng số Buchsbaum được tính qua độ dàicủa các môđun đối đồng điều địa phương này qua công thức

Giả sử M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ta gọi hệ tham số x

là một hệ tham số chuẩn tắc nếu IM(x) = I(M ) Như vậy, mọi hệ tham sốcủaM với số mũ đủ lớn đều là một hệ tham số chuẩn tắc Vai trò của hệ tham

số chuẩn tắc trong lý thuyết môđun Cohen-Macaulay suy rộng cũng tương tựnhư vai trò của các dãy chính qui trong nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay.Hầu hết các tính chất tốt của môđun Cohen-Macaulay suy rộng đều suy ra

từ việc tồn tại một hệ tham số chuẩn tắc trên môđun đó Để phát biểu cáctính chất của hệ tham số chuẩn tắc, chúng tôi nhắc lại khái niệm d-dãy củaHuneke

(1.1.5) Một dãy x = x1, , xs ∈ m được gọi là một d-dãy trên M nếu vớimọi i = 1, , s và s > j > i,

(x1, , xi−1)M : xj = (x1, , xi−1)M : xixj

x được gọi là một d-dãy mạnh trên M nếu xn1

1 , , xns

s là d-dãy trên M vớimọi n1, , ns > 0 Ta nói dãy x là một d-dãy mạnh không điều kiện trên

M nếu x là d-dãy mạnh với mọi thứ tự của x1, , xs

Một trong những tính chất quan trọng của d-dãy mạnh là việc giết chết cácmôđun đối đồng điều địa phương (xem [22, Theorem 1.14] hoặc [10, Lemma2.9]).

(1.1.6) Cho x1, , xs là một d-dãy mạnh trên M Khi đó

(i) x là một hệ tham số chuẩn tắc

(ii) Tồn tại hằng số C sao cho với mọi n1, , nd > 0,

`(M/x(n)M ) = n1 nde(x, M ) + C

hay tương đương IM(x(n)) = C

(iii) IM(x21, , x2d) = IM(x)

(iv) x là một d-dãy mạnh không điều kiện trên M

Trong trường hợp tổng quát khi M không nhất thiết là Cohen-Macaulaysuy rộng, giả sử M có một hệ tham số x1, , xd là d-dãy đặt q =(x1, , xd)R Kết quả sau của N V Trung [42, Theorem 4.1] được dùngkhi chúng tôi xét hàm Hilbert-Samuel của một môđun Cohen-Macaulay suyrộng dãy trong Chương 4



ed−i(q, M )

trong đó ed(q, M ) = `(0 :M x1/(0 :M x1) ∩ qM ),

ei(q, M ) = `((x1, , xd−i)M : xd−i+1/((x1, , xd−i)M : xd−i+1)∩qM )

− `((x1, , xd−i−1)M : xd−i/((x1, , xd−i−1)M : xd−i) ∩ qM )

với 0 < i < d và

e0(q, M ) = `(M/qM )

− `((x1, , xd−1)M : xd/((x1, , xd−1)M : xd) ∩ qM )

1.2 Kiểu đa thức và hệ tham số p-chuẩn tắc

Ký hiệu ai(M ) = Ann Hmi (M ) là iđêan linh hóa tử của môđun đối đồng

điều địa phương thứ i của M Đặt a(M ) = a0(M )a1(M ) ad−1(M ) và

Ann(x1, , xi−1)M : xi/(x1, , xi−1)M

với x chạy trên toàn bộ các hệ tham số của M Từ [49, Satz 2.4.5] ta có(1.2.1) a(M ) ⊆ b(M ) ⊆ a0(M ) ∩ a1(M ) ∩ ∩ ad−1(M )

Một hệ tham số x = x1, , xd được gọi là một hệ tham số p-chuẩntắc nếu xi ∈ a(M/(xi+1, , xd)M ) với mọi i = d, d − 1, , 1 Khi R

là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein, Schenzel đã chỉ ra trong [49] là

dim R/a(M ) < d, do đó luôn tồn tại một hệ tham số p-chuẩn tắc của M

trong trường hợp này Đối với hệ tham số p-chuẩn tắc, một kết quả của N T.Cường [10] nói rằng hàm độ dài`(M/x(n)M )là một đa thức theon1, , nd

(1.2.3) p(M ) 6 dim R/a(M ) Dấu đẳng thức xảy ra khi R là vành thươngcủa một vành Gorenstein.

Trong trường hợp hệ tham số p-chuẩn tắc ta có

Xét một hệ tham số x = x1, , xd của M Đặc trưng Euler-Poincaré bậc k

của phức Koszul K(x, M ) được định nghĩa bởi

(1.3.2) depth(M ) = max{k : Hd−k+1(x, M ) = 0}

= max{k : χd−k+1(x, M ) = 0}

= max{k : χj(x, M ) = 0 với mọij > d − k}

Kết quả sau của N T Cường và V T Khôi [17, Corollary 2.2] liên hệ các

χk(x, M ) và số bội của các môđun đồng điều Koszul đóng vai trò quan trọngtrong nghiên cứu của chúng tôi về tính đa thức của hàm χk(x(n), M ).(1.3.3)

χk(x, M ) =

d−k

X

i=0

e(x1, , xi, (0 : xi+1)Hk−1(xi+2, ,xd,M ))

Trường hợp k = 1chính là công thức quen thuộc của Auslander-Buchsbaum[2, Corollary 4.3]

e(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M)

Xét χk(x(n), M ) như một hàm theo n1, , nd > 0 Nói chung,

χk(x(n), M ) không là một đa thức, cả trong trường hợp n1, , nd  0.Tuy nhiên, hàm χk(x(n), M ) không giảm và bị chặn trên bởi các đa thức.Bậc nhỏ nhất của các đa thức này không phụ thuộc việc chọn hệ tham số và

được ký hiệu là pk(M ) Ta có, p0(M ) = d là chiều và p1(M ) = p(M ) làkiểu đa thức của M

Chương 2

dd-Dãy và các đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao

Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm dd-dãy và nghiên cứu một

số tính chất cơ bản của các dãy này Nói một cách không chính xác thì dãy là một định nghĩa khác của hệ tham số p-chuẩn tắc trong [10] thông quakhái niệm d-dãy và định nghĩa cho dãy có độ dài tùy ý Khi một hệ tham số

dd-x1, , xd của M là p-chuẩn tắc thì hàm độ dài `(M/(xn1

1 , , xnd

d )M ) làmột đa thức rất đặc biệt theo n1, , nd Chúng tôi sẽ chỉ ra đây là một đặctrưng của các hệ tham số là dd-dãy Nhìn từ góc độ phức Koszul, điều nàytương đương với đặc trưng Euler-Poincaré bậc một χ1(xn1

1 , , xnd

d , M ) làmột đa thức theo n1, , nd Do đó dẫn đến một câu hỏi tự nhiên là: các đặctrưng Euler-Poincaré bậc cao hơn χk(xn1

1 , , xnd

d , M ) có là đa thức không?Câu hỏi này được đặt ra trong luận án tiến sĩ khoa học của tác giả N T Cường

là xuất phát điểm đầu tiên của tất cả các nghiên cứu của chúng tôi về dd-dãytrong chương này Câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi này được trình bày trongTiết 2 Trong tiết cuối, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của môđun cómột hệ tham số là dd-dãy Trong trường hợp đó chúng tôi đã nhận được một

số kết quả liên quan đến đối đồng điều địa phương, địa phương hóa và mộttrường hợp đặc biệt của định lý Triệt kiểu Faltings Chương 2 được viết dựatrên các bài báo [7], [12] và [13]

2.1 Các tính chất cơ bản của dd-dãy

Định nghĩa 2.1.1 Cho một dãy các phần tử x = x1, , xs ∈ m Tanói x là một dd-dãy trên M nếu x là một d-dãy mạnh trên M và với mọi

i = 1, , s − 1, n1, , ns > 0, dãy x1, , xi là một d-dãy mạnh trên

M/(xni+1

i+1 , , xns

s )M.Chú ý 2.1.2 (i) dd-dãy phụ thuộc thứ tự của dãy Một dãy là dd-dãy theomọi thứ tự của các phần tử trong dãy khi và chỉ khi dãy đó là một d-dãy mạnhkhông điều kiện

(ii) Mọi phần hệ tham số của một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với số

mũ đủ lớn đều là một dd-dãy

(iii) Nếu x1, , xs là một dd-dãy trên M thì x1, , xi là dd-dãy trên

M/(xi+1, , xs)M với mọi i = 1, 2, , s

(iv) Nếu x1, , xs là một dd-dãy trên M thì mọi dãy xn1

Chứng minh (i) ⇔(ii): được suy ra từ định nghĩa dd-dãy.

(ii) ⇒ (iii): hiển nhiên khi lấy k = j

(iii) ⇒ (ii): xét 1 6 i 6 k 6 j 6 s, n1, , ns > 0 Dùng Định lý GiaoKrull, từ giả thiết ta có

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề bằng qui nạp theo s Nếu i = 1 hoặc

i = s thì khẳng định được suy ra từ định nghĩa Do đó trường hợp s = 1, 2

luôn đúng Xét trường hợp s > 2 và 1 < i < s Do x1, , xs−1 là dd-dãytrênM/xns

s M với mọins > 0nên theo giả thiết qui nạp,x1, ,xbi, , xs−1

minh x1, ,xbi, , xs lµ d-d·y m¹nh trªn M/xiM ta chØ cÇn chøng minh

Bổ đề 2.1.7 Mọi dd-dãy x = x1, , xs trênM đều thỏa mãn tính chất đơnthức, cụ thể với mọi n1, , ns, m1, , ms > 0 ta có

Định lý tiếp theo là một đặc trưng cho tính chất dd-dãy của một hệ tham

số thông qua hàm độ dài Đây là một kết quả chính của Chương 2, hầu hếtcác tính chất và ứng dụng của dd-dãy đều xuất phát từ kết quả này

Định lý 2.1.8 Cho x = x1, , xd là một hệ tham số của M Các mệnh đềsau là tương đương:

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M)

(iii) Tồn tại các số a0, , ad sao cho với mọi n1, , nd > 0,

Nhận xét là số hạng thứ hai ở vế phải không phụ thuộc nd, dẫn đến

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M)

(ii)⇒(iii): Hiển nhiên

(iii)⇒(i): Ta chứng minh khẳng định bằng qui nạp theo d Xét d = 1 Ta có

`(M/xn1

1 M ) = a1n1 + a0 với mọi n1 > 0 Mặt khác, `(M/xn1

1 M ) =e(xn1

Cố định n2 > 0 Chú ý là `((0 : xn1

1 )M/xn2

2 M) không đổi với n1  0 dotính chất Noether của M/xn2

2 M Nói cách khác, x1 là dd-dãy trên M/xn2

2 M Ta còn phảichứng minh x1, x2 là một d-dãy mạnh trên M áp dụng tiếp tục (1.3.4) chodãy x2, x1 ta có

đó, từ Hệ quả 2.1.6 suy ra x1, , xd là một dd-dãy trên M

Từ (1.2.2) ta có ngay hệ quả sau của Định lý 2.1.8

Hệ quả 2.1.9 Mọi hệ tham số p-chuẩn tắc đều là một dd-dãy trên M

Như vậy, nếu một hệ tham số x1, , xd là một dd-dãy trên M thì hàm độdài `(M/x(n)M ) là một đa thức theo n1, , nd Gọi 0 = i0 < i1 < <

với ai1, , ait 6= 0 Hệ quả sau nhận được lập tức từ định lý 2.1.8.

Hệ quả 2.1.10 Với các giả thiết như trên và mọi hoán vị σ ∈ Sn thỏamãn σ({ik + 1, , ik+1}) = {ik + 1, , ik+1}, k = 0, 1, , t − 1, dãy

xσ(1), , xσ(d) là một dd-dãy trên M Nói cách khác, dd-dãy có thể hoán vịtrong từng đoạn

Nhắc lại, kiểu đa thức p(M )của M là bậc nhỏ nhất của đa thức chặn trênhiệu `(M/x(n)M ) − n1 nde(x, M ) Do đó p(M ) = it−1 Trong kết quảtiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra rằngp(M )có thể tính được thông qua iđêan linhhóa tử của các môđun đối đồng điều địa phương

Hệ quả 2.1.11 Giả sử M có một hệ tham số x1, , xd là một dd-dãy Khi

đó p(M ) = dim R/a(M )

Chứng minh Từ (1.2.3) ta luôn có p(M ) 6 dim R/a(M ) Với p(M ) <

i 6 d, do tính chất hoán vị từng đoạn của dd-dãy trong Hệ quả 2.1.10,

x1, ,xbi, , xd, xi là dd-dãy trên M, do đó là d-dãy mạnh trên M Từ(1.1.6) ta cóxiHmj(M ) = 0với mọij = 0, 1, , d − 1, dẫn đếnxdi ∈ a(M )

Từ đó suy ra xdp(M )+1, , xdd ∈ a(M ) và dim R/a(M ) 6 p(M )

Từ chứng minh của hệ quả trên ta suy ra nếu x1, , xd là một hệ tham

Như vậy, theo một nghĩa nào đó tập các hệ tham số là dd-dãy và tập các

hệ tham số p-chuẩn tắc là hai tập xấp xỉ nhau Hệ quả là sự tồn tại của hệtham số là dd-dãy và hệ tham số p-chuẩn tắc là tương đương Trong thực tế,việc kiểm tra một hệ tham số có phải là p-chuẩn tắc hay không thường không

dễ vì phải tính một loạt tập iđêan linh hóa tử của các môđun đối đồng điều

địa phương, một việc nói chung là rất khó Trong nhiều trường hợp, định lý2.1.8 và Hệ quả 2.1.12 cho ta một cách đơn giản hơn để làm việc này

định lý 2.1.8 chỉ ra rằng trong trường hợp môđun Cohen-Macaulay suyrộng hệ tham số là dd-dãy và hệ tham số chuẩn tắc hoàn toàn trùng nhau Nhưvậy, có thể coi khái niệm hệ tham số là dd-dãy là một mở rộng của hệ tham

số chuẩn tắc cho trường hợp môđun không là Cohen-Macaulay suy rộng Tacó: d-dãy mạnh không điều kiện ⇒ dd-dãy ⇒ d-dãy mạnh, và hệ tham sốp-chuẩn tắc⇒dd-dãy, tuy nhiên chiều ngược lại nói chung không đúng Phầncuối của tiết này được dành để phân biệt khái niệm dd-dãy với các khái niệmd-dãy mạnh, d-dãy mạnh không điều kiện và hệ tham số p-chuẩn tắc thôngqua một số ví dụ Ví dụ đầu tiên chỉ ra rằng d-dãy mạnh nói chung không làdd-dãy

Ví dụ 2.1.13 Xét vành R = k[[X, Y ]] các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ

số trên trường k đặt M = (X, Y )2 Ta có dim M = 2 và X, Y2 là một

hệ tham số của M Dễ dàng kiểm tra được 0 :M XmY2n = 0 :M Y2n và

XmM : Y2n = XmM : Y2 với mọi n, m > 0 Do đó X, Y2 là một d-dãymạnh trên M Mặt khác ta cũng có

Y2M : Xm =

((XY2, Y3) nếu m = 1,(Y2) nếu m > 1,

nên X, Y2 không là một dd-dãy trên M

Trong ví dụ sau ta sẽ xét một hệ tham số là dd-dãy nhưng không là d-dãymạnh hoán vị được và không là hệ tham số p-chuẩn tắc

Ví dụ 2.1.14 Xét vành R = k[[X1, , Xd+1]], (d > 1), các chuỗi lũy thừahình thức có hệ số trên trường k với iđêan cực đại m= (X1, , Xd+1) Kýhiệu M = R/I trong đó I = (Xd+1d+1, X1Xd+1d , X2Xd+1d−1, , XdXd+1) Dễdàng kiểm tra dim(M ) = dvà X1, , Xd là một hệ tham số của M Bằngmột tính toán đơn giản ta có với mọi n1, , nd > 0,

trong đó n1 ni = 1 nếu i = 0 Do đó X1, , Xd là một dd-dãy trên M

với p(M ) = d − 1 và không là một d-dãy mạnh hoán vị được Mặt khác, tacó

Hm0(M ) ∼= (Xd+1d , X2Xd+1d−1, , XdXd+1)/I

Từ đó suy raa0(M ) = AnnR(Hm0(M )) = m Hơn nữa, vì dim(R/a(M )) =

p1(M ) = d − 1 > 0 do Hệ quả 2.1.11 nên tồn tại i ∈ {1, , d − 1} saocho ai(M ) ⊆ m Vì vậy a(M ) ⊆ a0(M )ai(M ) ⊆ m2 và X1, , Xd không

là một hệ tham số p-chuẩn tắc của M

2.2 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao của phức Koszul

Trong tiết này chúng tôi quan tâm đến các đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao

ra rằng χk(xn1

1 , , xnd

d , M ) là một đa thức có dạng khá tường minh theo

n1, , nd Kết quả này trả lời trọn vẹn cho câu hỏi của tác giả N T Cườngtrong luận án tiến sĩ khoa học của ông (xem [1, Vấn đề mở 1, tr 66]) Sau đóchúng tôi sẽ dùng kết quả này để nghiên cứu hàm độ dài của một số môđun

đối đồng điều địa phương Trước hết ta có một vài bổ đề kỹ thuật

Bổ đề 2.2.1 Cho x1, , xs là một dd-dãy trên M Với mọi 1 6 i 6 j 6 s

đẳng thức được chứng minh bằng qui nạp theo s Chú ý là

Ker(ϕk) = {(ai1, ,ik)i1< <ik ∈ M (s−2k ) :

s−2

X

j=1

yjaj,i1, ,ik−1 = 0},

Im(ϕk+1) = {(bi1, ,ik)i1< <ik ∈ M (s−2k ) : ∃ (ai 1 , ,i k+1)i1< <ik+1 ∈ M (s−2k+1)

sao cho bi1, ,ik =

Nếu s = 1, 2 thì khẳng định của bổ đề là hiển nhiên Với s > 2 xét mộtphần tử bất kì

(ai1, ,ik)16i1< <ik6s−2 ∈ Im(ϕk+1) :

với t > 2 và ct, , cs−2 ∈ M Trên môđun M/(yt+1, , ys−2)M ta có

Ker ϕ k

ys

Bổ đề 2.2.2 Cho x1, , xd là một hệ tham số của M Giả sử x1, , xd làmột d-dãy mạnh trên M Khi đó Hi(x1, , xs, M ), 0 < i 6 s 6 d, có độdài hữu hạn thỏa mãn

Chứng minh Ta có dãy khớp các môđun đồng điều Koszul

là kết quả chính của tiết này đưa ra một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi

đó Kết quả này cũng một lần nữa khẳng định một nguyên lý khi làm việcvới đồng điều Koszul là các kết quả khi phát biểu cho các môđun đồng điềuKoszul bậc thấp thường có một phiên bản tương tự đối với các môđun đồng

điều Koszul bậc cao hơn

Định lý 2.2.3 Cho x = x1, , xd là một hệ tham số của M Giả sử

x1, , xd là một dd-dãy trên M Với mọi k, χk(x(n), M ) là một đa thứctheo n1, , nd−k được cho bởi

χk(x(n), M ) =

d−k

X

i=0

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)Hk−1(xi+2, ,xd,M ))

Chứng minh Các trường hợp k = 0 là hiển nhiên do χk(x(n), M ) =

n1 nde(x, M ) và k = 1là hệ quả của định lý 2.1.8 Xét k > 1 Nhận xét

là với d > i > k, `(Hi(x(n), M )) không phụ thuộc nd−k+1, , nd theo Bổ

n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)Hk−1(xi+2, ,xd,M )).

Chú ý 2.2.4 Nếu hệ tham số x1, , xd không là một dd-dãy trên M thì kếtquả trên không còn đúng nữa, thậm chí χk(x(n), M ) nói chung không còn

là một đa thức theo các biến n1, , nd Tuy nhiên, hàm này luôn bị chặntrên bởi các đa thức và bậc nhỏ nhất của các đa thức này không phụ thuộcvào việc chọn hệ tham số (xem [17]) Ta kí hiệu bậc này bởi pk(M )

Hệ quả 2.2.5 Với giả thiết như trong định lý 2.2.3, `(Hk(xn1

Chứng minh Hệ quả được suy trực tiếp từ Hệ quả 2.2.5 và Bổ đề 2.2.2.

Hệ quả 2.2.7 Với các giả thiết như trong định lý 2.2.3 và i = 0, , d,

`(Hk(M/(xn1

1 , , xni

i )M )) là một đa thức theo n1, , ni.Chứng minh Hệ quả là ngay lập tức từ Bổ đề 2.2.2 và Hệ quả 2.2.6

Nhắc lại là một hệ tham số là dd-dãy luôn có thể hoán vị từng đoạnvẫn là dd-dãy Nói riêng, với mọi i > p(M ), xi+1, , xd là dd-dãytrên M/(xn1

1 , , xni

i )M với mọi thứ tự và mọi n1, , ni > 0 Do đó,

M/(xn1

1 , , xni

i )M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với các môđun

đối đồng điều địa phương Hmk(M/(xn1

Chứng minh Vì xk+1, , xd là một d-dãy mạnh không điều kiện trên

Từ đây khẳng định được suy trực tiếp từ Hệ quả 2.2.6.

2.3 Liên hệ với đối đồng điều địa phương

Trong trường hợp tổng quát, không phải môđun hữu hạn sinh nào cũng cómột hệ tham số là dd-dãy Trong tiết này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu cáctính chất của dd-dãy liên quan đến các môđun đối đồng điều địa phương vàviệc tồn tại hệ tham số là dd-dãy khi chuyển qua địa phương hóa, các kết quảnày được áp dụng để nghiên cứu cấu trúc của các môđun có một hệ tham số

là dd-dãy Trong phần đầu, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun

đối đồng điều địa phương đối với một iđêan sinh bởi một dd-dãy

Mệnh đề 2.3.1 Cho x1, , xs là một dd-dãy trên M Với mọi i < s ta có

1 , ,xs)(M ) ' (0 : xs)Hs−1

(x1, ,xs−1) (M )

Kí hiệu C(x1, , xs−1, M ) là phức Cˇech của M đối với iđêan sinh bởi

x1, , xs−1 Ta có dãy khớp cơ bản của các môđun đối đồng điều Cechˇ

(x 1 , ,x s−1 )(M )(xs)nên ta được dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địaphương

1 , ,xs)(M ) khi và chỉ khi với mọi t > 0 và

u ∈ (xt1, , xti)M : xi+1, tồn tại t0 > 0 sao cho au(x1 xi)t0 ∈(xt+t1 0, , xt+ti 0)M, hay tương đương

Kết quả tiếp theo cho chúng ta một dãy khớp ngắn chẻ ra các môđun đối

đồng điều địa phương, kết quả này đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứngdụng của dd-dãy trong phần sau của luận án

Mệnh đề 2.3.3 Cho iđêan I ⊂ R và k > 0 Giả sử x ∈ m sao cho

xHIi(M ) = 0 với mọi i < k và 0 :M x = 0 :M x2 Xét môđun con bất kì

N ⊆ 0 :M x Khi đó với n > 5 ta có dãy khớp ngắn chẻ ra

ta suy ra x2HIi(M/0 :M x) = 0, ∀ i < k Theo giả thiết, 0 : xn = 0 : x, ta

có biểu đồ giao hoán

p



y

n−2

−→ M/N tương ứng Với n > 3, ψi = ϕi◦ (.x2) = 0.Vì vậy nếu n > 5thì ψi = 0và ϕi = 0với mọi i < k Ta nhận được biểu đồgiao hoán

với mọi j > i + 1 Từ đây kết luận được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.3.

Hệ quả 2.3.5 Cho một hệ tham số x1, , xd của M Giả sử x1, , xd làmột dd-dãy trên M Với 0 6 i < j − 1 6 d − 1 và n > 5 ta có dãy khớpngắn chẻ ra

0 −→ Hmi (M ) −→ Hmi(M/xnjM ) −→ Hmi+1(M/0 :M xj) −→ 0

Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất có chiều dim UM(0) < d Vì M

là Noether nên UM(0) luôn tồn tại và duy nhất

Bổ đề 2.3.6 Cho x ∈ a(M ) là một phần tử tham số của M Khi đó

UM(0) = 0 :M x Hơn nữa, nếu x1, , xd là một hệ tham số và là dãy trên M thì UM(0) = 0 :M xd

dd-Chứng minh Gọi y ∈ Ann UM(0) là một phần tử tham số của M Theo(1.2.1), ta có UM(0) ⊆ 0 :M y ⊆ 0 :M x Hơn nữa, vì x là một phần

tử tham số của M nên dim 0 :M x < d, dẫn đến UM(0) = 0 :M x Nếu

x1, , xd là một dd-dãy trên M thì xdd ∈ a(M ) theo Hệ quả 2.1.12, do đó

UM(0) = 0 :M xd = 0 :M xd

Hệ quả 2.3.7 Cho x, y ∈ a(M ) là hai phần tử tham số của M Với mọi

Bổ đề 2.3.8 Cho x là một phần tử tham số của M Khi đó, ad−1(M ) ⊆a(M/xM )

ta giả sử k < d và đã chọn được yk+1, , yd thỏa mãn

(i) yk+1, , yi, xi+1, , xd là phần hệ tham số với mọi i = k + 1, , d.(ii) yi ∈ a(M/(yn

i+1, , ydn)M ) với i = k + 1, , d.Vì x1, , xd là một dd-dãy trên M nên xdd ∈ a(M ) theo Hệ quả 2.1.12, từ

Bổ đề 2.3.8 suy raxnd, ydn ∈ a(M/(yn

i+1, , ynd−1)M ), i = k + 1, , d − 1

Do đó sử dụng Hệ quả 2.3.7 ta có

Hmj(M/(yin, , ydn)M ) ' Hmj(M/(yin, , yd−1n , xnd)M ),

vớij = 0, 1, , i−2 Trên môđunM/xndM có một hệ tham sốx1, , xd−1

là dd-dãy (theo Mệnh đề 2.1.5) và phần hệ tham số yk+1, , yd−1 sao cho

Mệnh đề 2.3.10 Giả sử M có một hệ tham số là dd-dãy Cho p ∈ Supp M

với r = dim R/p Tồn tại một hệ tham số x1, , xd là dd-dãy trên M saocho xr+1, , xd ∈ p đặt s1 = dim Mp, s2 = depth Mp, ta có

(i) xr+1, , xr+s1 là một hệ tham số của Mp và cũng là dd-dãy trên Mp.(ii) xr+1, , xr+s2 là một dãy chính qui cực đại trên Mp

Chứng minh Nếu r < d ta có thể chọn được một phần tử tham số xd ∈a(M ) ∩ p Xét n > 5.d! Từ Bổ đề 2.3.9, tồn tại y1, , yd−1 ∈ m saocho y1n, , yd−1n , xnd là một hệ tham số và là một dd-dãy trên M Vì vậy

y1n, , yd−1n là một hệ tham số của M/xndM và là dd-dãy trên M/xndM

theo Mệnh đề 2.1.5 Nếu r < d − 1 thì tương tự trên ta chọn được

xd−1 ∈ a(M/xnM ) ∩ plà một phần tử tham số của M/xnM Dùng phương