Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn trong lý thuyết xác suất không giao hoán

L'Iereinicievâcs, Zygnumd, i^su va Robbins •.

I

[ I-l^^C g A,,U

Trong the'i g i a n can day, l y t h u y ê t zec s u â t không

g i s o hoan (hey c o e gpi l e xac s u â t t r ê n d^l so von ire-jmann,

X8C s u i t lu^vng t u ) phet t r i e n m^nh me.Sy phét t r i e n n a y ,

mpt m^t l à do nhu câu phet t r i e n n ç i t ^ i cua c r d n h r,£at.h

l y thu\^e-t xéc suât m|'.t khéc l e do nhu câu urj? diing t r o n g

î^ , '" »

i-a

v^t l y luçi'ng t û Kgoei r e con do sy phet t r i e n t^^nh T.e c

l y t h u y e t d^i so cac t o a n uU

Trong l y thuyTrt xsc s u â t kh5.ng g i a o h o e r , n h l ê u l:lt

qua ce ban eue l y t h u y e t r e e s u â t co dien kl'.ônr cca d'ong

n u e Chang h^n su t o n t ^ i ky vyng co d i e u k i ^ n CUÎ^ mçt dpi

so doi vc'i riot dei so eho trur^'c ; t i n h cçn^ t i n h eue phep

chuyen que gio'i h^n knong con l a r.^t vàr: de hJ.én nhien* ïïguo'i t s cung khoag t h e noi ve mex, min, sup, ir^i c*aa cee

toar: t u nh^r: g i e tin khong khong g i a n r l i ^ o e r t , Tirjh ^^Srj^\-ii

g i a o hoan eue cec t o a n t u dôi "^TO'i phep nh^n, v i ^ c không t o n

t ^ i m^t khcng g i a n xac s u â t co' ban curig l e nhung vân de gay kho khan eho vipc n g h i e n cuu < Tat ce nhuîog d i e u do c::u'ng

t o ran^:: : de r^ghiên cuu l y t h u y e t zec su?.t không g i e o h c f n , cân p h a i co nhurzg cong c;i n^-i va phuo'.a,": phep mo'i,

Lu=n en ney t r i n h bey rn9t so k e t qvc n-grden cuu- e u e -chiing.-tôi^ ve 'l-^^t co d^nh l y gic'^i h^n dang Lug-t so Ic'n

t r o n g l y t h u y e t xçc s u â t không gi^^o hoan^' \:-<^t v i n de

ë?-^-s /^ •?

day duç'c n h i e u t a c g i e ' ouan tâ^;

Lu^n an gôr 3 c h u c n r , Trong ehut)'ng I ^ sau k h i g i o i

t h i f u mpt c a c h t o n g quan vâti ce se à : v c n g h i e n cuu \ chilng

t o i t r i n h \:B^' mft c a c h \Av t | t cac k h é i râ.^iTi co ban e u e l y

t h u y e t xac sua^ khong g i a o hoan, can t k i e t chc v i t e nglrl'in

cuu cee chuovrig s a u Do l a cac k h e i nifrr : XJ^~^ SO vor: ::eu:

t r p n g t h É l s v é t , dpi so do du^c , c a c à^i:i^ hpi tp^ t i n h d;;c

l ^ p cua Cac t o a n t u do QU:Ç'C , ky vpng co d i e u k i ^ n ,

Doi vo'i cec k h a i ni^n: do, chung t o i cơ g^'ng t r i n h br^j

in' c - '-— -• -.es

ngân gpn n h a t tron-g chun^-: myc co t h ê d u ^ c ITgoei r e , c.:u.ng

t o i cung nêu therr mÇ-t so t i n h c h a t , nh^n x e t ma chung t c a

se su dyng ve sau

t» ^ / > /•

Trong chuo'ng !E«-) da ngliien cuu myt so dT.nh l y g i c i

h^n ^^':ig, luflt B6 I c n dơi SK'X day va day nliieu c h i sd c a c

t o e n t u co dup^c dơe l ^ p ơ tỵ\: cac d^nh l y g i o i h^n duç-c

x e t vc'i nhu'ng <l^r.g hoi t u khee r:h6U : h c i t u t h e o dp do j

hyi ty hâu deu, h ç i t y hâu deu h a i p h i a , hçi tvi t h e o n g h l e

n s u - R o b b i n s - Cec Ket QUE cua chung t c i eho day nrj.êu c r u

so l e cac k ê t qae dau t i e r thuç^c à^n£ xie'j t r o n g l i r : h ^yc

xac s u â t khong g i e o hoen Cec k e t que khee cung l e nhung

mo' r$ng dpng ke rriçt so k e t que moi x a a t rJ.^n gà,n day

Chuo'ng 3 cung t r i n h bey mçt so d i n h l y g i o ' i h^n d^r^

l u ^ t so lo"n nhung l a doi vô m e r t i n g a l e t f d a y , chung t o i

de t h i ê t l ^ p duç»c nhun-g d i e u k i ê n du eho sy hç± t u hâu d i u

h e i p h i a va h?i t ^ t h e o dp do cua t o n g co t r p n g lv?ç^ng va

datig t o e n phu'o'ng eue m a r t i n g e l e h i ^ u céc k e t qua eue chung

t o i ûio' r-png msjt-^o-keir-qW'tuovng ung t r o n r t i w n g hj'p zec

s u â t co d i ê n ve cung l à nhung k e t qua dâu t i e n t h u p c dç.ng

nay tr-cng l ï n h vyc xac s u i t khong g i e o hoan

Phan lo'n cac k ê t qua cua l u ^ n an da dug'c bao c a c t p

xemine cr : bf mon xéc s u â t thong kê khoa Toan-Cc-«Tin hç

•^ o o

X ^

T i w ï i g 5fci hpc TọiÊ \q-ù Ha i : ? i v s fie àutj- ccflc bo t r o n g

T i e n s i i'.-gayeri jjuy ^'len ve m o u-iao su zj^.r^ nw^^^

da ô e n h n h i ê u t h c i g i a n , cor.£ suc hucng d a n

k h o a Toan n i-pe OfT: 1 •,(-1 p n :mê.n 1Q- Va dcn^ gop n h i ê u y k i ê n veo bar l u ^ n an n a y

^

-Ghuc'nf: I

• MOT SO KÎUI : : i M VA KET QUA LIEIT QUAI^^

11 ) IThu da b i e t , t r o n g l y t h u y e t xac s u â t , cec d i n h l y g i c i

hpn d^ng l u | t se Ic'n dong-raÇt vei t r o quan t r p n g , ^M-'ci l i e n

VD'i t ê n *tuoi cua n h i ê u nha t o a n hpc n o i tié.ng nhu Kolmogore^

K h i n c h i n j b h e b y s h e v L'Iereinicievâcs, Zygnumd, i^su va Robbins

• •

0 0 0 0 / 0

E h i nghien cuu cac dj.nh I3" gio'i h^n dpng l u ^ t so I c n ,

n h i ê u dpng hçi t u da duç'c x e t Hpi t u t h e o xac s u â t , h o i t'yi hâu chac chan, hçi tpi t h e o ngh^ia Hsu.-Robbins Cac d o i tuv'ng

0-duç'c xet khong ngu^ng dirç'c rnc vovi^ Tr-uc'c h ë t do l e day cec

d g i luç'ng ngâu nhiên djc If.p vol môirien cap 1 (ve <^ZXJ 2

-t r o n g -trucng hç'p dey khong cung phan p h o i ) b^ ch|i.n Sau do

l a da;' cec d^i luç'ng Aîên n h i ê n dpc lf.p v c i mô raen cap r ( o < r < 2)- l'guo'i t e cung khong h^n che c* vi§c x e t cac d^ng hpi t]i cua day cac t r u n g b i n h cong

Cua B e t t y F + J J e r t e ( / " - i r ^ ? / " ^ ^ ^ 7 ) i u c z e k (/' •^'-iJ)

Cac van de me cec t a c g i a na:-r de nghien cuu l e • L u ^ t so i o n

eho ^rQ::j ceo t o e n t u ce cuve d^c l ^ p khơng cung phân p h c i

( l'^^bj/), luf.x 30 I c n dp.ng r.arcinkievâczygmund ^^C ^ JCL'^^^

X

-L^i^t so ;Lc'n d ^ n g r i s u - H o b b i n s t r o n g xrao'rg hç'p dgc b i ^ t (/ i\ Ilhu t h e , van con n h i ê u vân dé l i e n ouan ^^i\ l u ^ t so I c n chue

duyc g i e i quyêt- Tror^ l u | r - an nay? chung t o i se x e t û.en mÇt

sơ t r o n g nhu'ng van de n o i t r e n

ni^m va t i n h c h a t co ban nhât cua l y t h u y e t xac s u â t khong

g i a o hoan, càn t l i i e t cbjD vi^c t r i n h bay cac cnu'cn-g eau

1.2^' C'ia s"3: ri l a khơng g i a n I-Iilbert phuc ; :7j(>-) l e d ° i se

( t s t c e ) cec t o a n t u t u y e n t i n h b;_ ch^n t r e n :1 L o t d^i se

con A C.>§(-"-) duyc g p i l e c^i sd von-i^eumann neu A t'^- l i ỵ n

•hç'p ( t u e 1 E nêu x tr A t h i x * ^ A, ^si r.^ l a t o e n t u l i e n hç'p

cua x) ; A ch^'a t o a n t u ár.^ nhât va A dong y eu

ITh^n x e t rang t r o n g djnh rjghia t r ê n , dieu k i g n dong

0 0 ^ •»> ^ ^ _

y eu co t h ê t n a y bgr^ d i e u k i | n dong m^nh : (xem / ?- 7 )

1 3 ) Tfip hç'p csc t o é n t u ehn.eu tr^i'e g i s o t r e n ?: thu-^c A se

duç'c ky hJ.êu l e P r o j A Doi W i hp ( p ) _ CI Px-o^A t e

Doi vc'i c e c p h e p t o a n t r e n Le cun£ co ccn.^: 'cnuc s a u ,

t^j'OTie' ty: riiu c ô n ^ t h u c D e - m o r r e n t r o n ^ ; l y t h u y e t t^.p nç-'P

1 4 ) Ky h i § u A"^ l a t^.p c é c phan t u du-ong c u a A ( t u e l a

A"*" = ( X ^ A ; ixhjh) >/ C Vh ^ H ) Mot p h i e n h'am t u y e n

( y ^ x ) l '^ i ^iy^y) ^ i^^y^^ v o l n o i x , y è A

::êu <^ l à phJ.em hem tuyên x i n n dux.'ng t r e n A t h o e nen

^(.î) = 1 thi <P duvo g p i l e mpt tï^r^ t h a i

-1.5) Ta gpi mçt hèm^ A^ — ^ rô,oo3 l e mpt v e t c h u a n t : c ,

c h i n h x e c , nue huu h^^n neu

1 •^(x+y) = 1:(X) + ^ (y) vc'i m?i x , y 6 A"^

2 I- ( Ax) = A Z- ( X ) VX e A^ ^ >^^ tt3>^^) iv^± qui

uc'c l e O oo = 0 ; 00 oo = oo ;

3 t ( x ' x ) = 3 ( X X 5 ^^ e A

4 Doi \é± mpi x €: A- , ton t^.i l u o i ( x ^ )^<1-A r-^^-^x

( t h e o t o pô m^.nh) seo eho ^ (xc^ ) < oo ( T ^ ( X )

]5 'duvc g p i l e v ê t huu hen ErJ do, T co t h e mo x^r-ng- t h a n l

m$t phiem ham t u y e n t i n h duc^ng t r ê n A B^c b i f t neu 7 ( l ^ ^ l

ch-i khj A l a dpi so von Teum^nn /C-nuu hf,n t u e l e t r ê n A,

moi tp.p hj'p céc phep c h i e u tr^-c g i e c l a n nhau deu ce l u e

luçTxg không qua dem duve [Trên A t o n t ^ i t r ^ n g t h a i v ê t

chuàn t i c , c h i n h xac k h i va c h i k h i A l e d^.i so von Î-Ieumenn

hûu h^n, t u e l e t r o n g A không t o n t ^ i ^toen t u p t ProjA seo

•% 0 0 — ^

eho p l e phep c h i e u t i y c g i a o l ê n k h ô r ^ g i a n cdcrvjoon th\rc

SV eue ïï va p tuo'n^ duovng vo'i phep c h i e u ôo'n vj

1 6 ) Gie su A l e dp-i so von-Neumenn vo'i vet huTi hgn, chuan

t a c , c h i n h x l c Ij Tôpc dç do t r ê n A l e tôpô eho bc^'i h^ l a n

c ^ không :

^Ht ,h)~ ( x 6 A | seo eho ton t ^ i p e Pro-*A t h o a men

llxpfi<t va 7 ( p ) > i - c O , t > o ; ôyo

Ky hipu c a i day du oîia A doi voi tôpô dp do l a A A

l a -X - d^l so (tue l a d^i so vo'i phep doi hg'p) va duç-'c

g p i l a d^i so cae t o a n t u do duç'c,

j^Tguo'i t a de ch^ r a duvc rang moi t o e n t u do duyc

X e A thye c h a t l a mpt t o a n t u do.ng, xac dj.nh t r u met t r ê n

H Va co d^ng

{%) X = u I X j

vo'i \x\ = (x^x)*^"^^ va u l à phép d i n g ey.' bo phfln t r ê n - n ;

u ê A va mpi phep c h i e u pho eue t o a n t u \y.\ cûng t h u p c A

ÎTgoai r e A = (f) {^.) {\ A công t h u e (x) duç'c g p i l a phép phân

t i e n eue ( p o l a r d é c o m p o s i t i o n ) eua t o e n t u x

Trong cac chiro*ng s a u , chung t e se su dpr^s cac t i n h •

c h a t sen day eue t o a n t u do du-ç'c

e) Vo'i moi t o e n t u do duç-c x f i ve {)0 oY£> t r u o c ,

t o n t p i p é P r o j A sao eho xp ê A va ? ( p ) < è

b) ITêu £.C 0,00) —-> 0 , 0 0 3 l e hW do duç'c sao eho

i n f g""^ ( A jOo) > 00 k h i A •> 00 ve x l e t o e n t u

do duç'c t h i g ( l x | ) l e t o é n t u do d u v c

1 , 7 ) Dutri dB.j, se t r i n h bey mpt so dgng hçi tyi se duç-'c s'a'

tror-g l u ^ n en De ngin gon va tong qu,at, chung t o i c h i xây

dung cac k h a i nifm nay vc'i oay nh-iêu chi so ; xem dey mpt

ehi so nhu l a tri50'.ng h^'p r i e n g

De lam d i e u do, truo'o het t e dgt '

N =( n = ( n ^ , , , ,n^^ n^^ ^ N i = 1, d; y KhJ do î l e tS.p sa? thu t u bô ph^n -^Tod quan h^

îleu m Va n khong t h o a m.an h^ t h u c {-^ t) t h i t a n o i '^m k h ô n

nho bo'n n" va ^niet m 4^ n

Trên i: , co t h ê t r e n r bj phep công t h a n h phân va phép

nhân vo hucng Cu t h e l a , nêu

i:h^n x e t râlni

1^^ ,rct(k^I^'' h s n)

I £ ) Qia su: A l a df-.i 20 Von keuxiann vo'i tr^.ng t n a i vex cnuan e o

t i c , c h i n h xéc Z J l a it - d^i se céc t o é n t u do ùxç^o xheo ngble 'd'à nêu t r o n g (X.o) Te noi day d - e h l so céc t o a n "u

do duvc ( x ( n ) n t- k^) C A hpi ty hàu deu (hâu dêu h a i p h i e )

den t o é n t u do duç'c x 6 A khJ \n\ • ^ 00 vin vo'i mpi O C eho t r u c ' c , ton t a i p ^ Pro::A seo eho ~&(p-^ ) < ^ , ( x ( n ) - x ) p érJ

( p ( x ( n ) - x) p ^A) i^ 1 ) ve

li ( x ( n ) - x ) p i | >C ( \ l p ( x ( n ) - x ) p | (

I n \ — > 00

-> 0 ) Khi

Heu t h a y dieu k i | n | n [ 00 nc'i Cl eu m e n çi_ -:> 00

1 J d t hi t e d>sç c d^ n h l'ig hi e hp i hlo oeu

(hàu deu p h a i phi a) klii n ~ > 00 •

Hhê-n x e t rang hpi t y hau deu (hâu deu hai p h i a; krm •

hq-p day nhieu c h i so t h i hpi t y hâu deu (hâu deu h a i p h i e )

k h i | n ) — > 00 kéo t h e o hpi t]i hêu deu (hâu deu h a i p h i a )

k h i n —:> 0 0

Tu dj.nh l y Egorov, suy r e r i n g céc k h é i ni§m hpi t]x

hau deu ve hpi t y hâu deu h e i p h i e l a me rpng t u n h i ê n e u e

k h a i niê^m hpi t u hêu chac 'cb^n t r o n g l y t h u y e t xac s u â t

c o di e ,n s

^^~ '-^•a,-' ^ on (x^ eec ono ( x ; h p i zv ve x nau oeu

jirs^ng t a ' >:: e t t nue myc ;:a n V- o n - " ' ^ T 1 o e xn^i'c

e n e t li riiêm h p i t y hâu deu va hp

1 ' ^ > •

1^ s • ^ 0 , 7 (^

nnu v ^ y l a v i vc'i nnun;_: t r ^ n g -cne

met n e eno oo'i cong thuc

J k h e e n h a n t h i c a c

d ( x , y ) = ^ [ ( x - y ) ^ ( x - y ) j

cung ^a:y nin t o p o h p i t y m^nh t r o n g hj.nh c â u don v ; ( x e m / r £ 7 )

^*5_)_I_^UWIPA-_>/^^. ûbi vo\i t o p o dp do g p i l a sy h p i t u t h e o dp

n i p n

^) ^ ( e ^ ^ ^ ^ ) ( fx(n) - x l ) ) — > 0 k h i ! n ] - - - c o

i i ) ton t ^ i d^y ( p ( n ) S t K ^ ) C P x o j A sac eho ZivHn) )<i

x(S) vin) G A va il x ( n ) p ( S ) |i ^ f vo'i \v.\ du lo-n

(o- day, vo'i moi t o é n tu t y l i e n hç'p x , e^, (x) 1^ phép c h i l u

pho eue X, ung vc'i t ^ p &orel /^ c R)

Trtjo^ng hçT ^=1» "t^^u chuan nay duQ'c cri<snQ m.inh t r o n g

/"AS 7 ( A.'ff ) Truo-ng hg'p d > 1, phép chu,ng minh hoan t o a n

tuo*ng t y

Tu ( i i ) suy r a r i n g k h é i niçm hpi t y theo dp do yêu

ho'n k h a i niem npi t y hau oeu

I.IC) TÙ dey d - e h i so (x(n) n é N^) ^ A , co t h i l ^ p dupx:

dav d - c h i so n^'i tù céc tong r i ê n g

h p i t y (ve t o e n t u x ér A ) hâu deu (hâu deu h a i p h i a ) kho,

j n j ^ oo ho^c k h i n ^ oo , tuovng ung

Trong l u ^ i an n e y , ehunog t o i cuog su dvuog de:a c a c day

so , e hué i so d- c hx s o Cung nhu t r ê n , c hung t e ce t he xây

dyng k h e i nipm hpi t y eue dey sd d - c h i so khi l n | — ^ oo va

k h i n — ^ oo De y rëag doi vo'i cnuoi sd duong t h i h e i k h a i

nipn này t i ^ n g ahau Khi ào', t e se khcng can ,noi ohuoi hç±

ty Ichi ! il i — ^ oo iisy ^^ » — ? oo

1.11) Te noi dây céc t o é n tu' do cuve ( x ( n ) n ér i: ) C ^' ^Qi

t p dly dû vl t o e n t i do duvc r GI i^l-J- ( n | ^ oo neu vc'i mpi i}0 eho t r a o ' c , ton t g i dêy pnép c h i e u tr^vc g i e o

( a j n ) n e l ' ' ^ ) C ProjA seo eho TZl^-^-^^^"^'^ "^ ^ •

^'=-^d

( x ( n ) - x ) q ( n ) 6 A ve fl(x(B) - x ) q ( n ) | ( < £ S^h e " ' ^ )

Kêt qua ssu day de dup'c chuvng minh cnotruo'n£: hç'p a= 1

(xem r \^ J) vé co t h ê de dB.n^ suy rpng r e cno truonj^ hp'p

d 7 1 ; l'eu dây ( x ( n ) n ^ i:^) C A hpi t y d l y du vê t o e n t ù

do duvc X e A , t h i day do' cûn^ hpi t y hau dêu den x

( k h i (ni — > 00 )

^ X X X N 0 ^

1.12) D^ng hpi t y cuôi curig me chung t e de e$.p dên l a hpi t

t h e o nghir Shu-Robbins Te n o i r£>.ig dey t o a n t ù do duç'C

A *w " s, 0 t

( x ( n ) n ^ V ) hpi t y ::heo n:_:hiie Shu-Robbins vê t o s n t u 00

dUQ'c X ^ A khA | n l -—5*00, neu vo*i moi t > ^- eho t i \ r o c

so cec topn tu d^ du'p'c A nêu V tr; l i e n h'/n, c hua t can t u

dong n h a t va dong doi v c i t ô pô dp do

' 0 X 0 -t ^ î '- , 7 _ ^ T

Ỵ\Jịi, x e t rạng n e u W - d ^ i so con c u a A t^xi i = ' • ' ; ) • ' '

l à d f i ?.o -/on ^.yeumánn c o n Ạ Tn^.t v ^ y , t a d o i v i e e c h u n g m i n h

Tue l 8 ^ donr msnh Do l e d i ^ u n h a i chun-r m.inh

Go t h ê kiem t r a tiy^c t i ê p r a n g B h i n h l a C'^'i so

von Leumiann s m n r e d ^ i so c e c t o e n t u do duvc W

1 1 4 ) Gie su- ẬÂ l à h a i A - c p i se

Dpc l ^ p m^nh, neu c o i vtvi mpi t ^ p k ^ <Z.r^ k ^ C k ^

(xem C "T 1 C'^^J "^ ^ dêrj, do c a c v â n de chung t c i n g h i e n

rl-^m tr'u'c g i e o Te n o i r ^ n g da:v d - c h i sb (xiv.) ^^i G " ^ ) c A

l e c a y t r u c g i a o , neu v c l mpi m ^ Y.^ n (r-Y^ m r^' n t n i

' d u e u e k h ô n g g i a n dinh c h u à n n a y se dup'c ky M ç u 1 E L ' C A 6 ^'•

•Ngu-cl t e e ù n r dà e h i r e r a n g co t h ê xem L - ( A , T ) n h u l à t â p ,co

cÙaÀgèm t l t cà c é c t o é n t ù -Khiu t i ' c h b ^ c r " (xem / " '^^J),

Truo'.ng hp'P r = 2 t h i không g i e n I (A,"? ) c/hJjih l e

không g i a n H i l b e r t v r i t i n h vô hu:o'ng ( x , y ) = ïï(yV-)

Bây g i o , g i a su B l à df:i so Von keumanji c o n e u e A v a

h o a n t o ^ n tu'c^vng t\v nhu t r o n g tru'o'nr; hç'p co d i e n

Gia s^'^ A l a d p i se •^on k e u m e n n eo di.nh (B ) l a d a y

t a r ^ e a c a g i so von Heumenn c o n e u e A r h l " i î D ~ d a y " ( x J ^ X ' ( A ,

n duç-c g p i l a m a r t i n g a l e ( d o i v o l d e y ( B ^ ) ) n e u

Ko r a n g , nêu dey (:-:,J l à m a r t i n g a l e b l p u t r i day

t o n r riê.ng c ùa né (S^ = f : v ) l à m e r t i n g el e i; guç'c

„ i ^ u CCI \^'-i aay r.^ = vt

(vc'i V.'^ ( x ^ , , x ^ ^ ) l à A - dpi se do cuve s i n h b o l x ^ x ^ J

1 1 7 ) 3o sung va nh^n x é t : ki:ù.ng t : 6 n g t i n d%:y du hc'n ve dpi

so /on keumenn va r^o s u i t khôn^ g i a o ,hoan co t h ê tim dpc

tron^ ryij r\tj rt^j Trong l y t h u y e t xec s u â t không

g i e o hoan, n^oai cec deng hpi ty de t r i n h bay t r o n g cm'cvr^v

Q-ày, nguol t e con de c|;p d^n mpt so dpng hpi t y khae nx^e^

logeai re» con co the x e t k h e i rdpm h p i t y t r o n g t r u o n g hç'p tong q u a t , k h i t r p n g t h a i khôr^ n h â t t h i ê t l e tre.ng t h a i v e t (xem / ~ z - ^ 7 ) Tinh liinh nhu t h e cung xay r a doi \T)1 k h a i

nipm dçc Ipp (xem C ^J) k h e i nifm ky vpng co d i e u k i ^ n va

k h a i nipra mier-tingele (xem / léj/)- Khi do, sy* hôn t a i » t â i i h

c h a t dong^ k i n doi vol cac phep t o a n l e nhu.ng vân de c â n dup'c xem x e t Trong l u â n an n a y , churog t a se không d i s a u veo

nhung van de do

hi^:^ r~Ur^

Qhuo^n^': I I MOT SO DÎTTH LY GIOI HAÎ^ DAKG LUAT SO LON

DOI VOI CAO TOAk^ TU DO DUOC DOC LAP

' l Mo* dâu :

Trong chuo^ng này chung t e tighiên cuu mpt so d^nh l y

gio'i hpn dpng l u ^ t so lo'n doi w i dey va dey n n i ê u c h i so céc t o é n t ù do duç'c dpc l§.p Ce chuo^ng gôm 4 t i é t : T i l t I

l à phan mo dau T i e t I I dành eho v i | c n g h l ê n cuu c é c d i e u

k i p n h p i t u cua tong co' t r o n g l i r p ' n g c e c t o e n t u do davc

dpc l $ p co t h ê xem dây nhu l e mo rpng cac k e t que c e B

J a m i t s c n , S.Crey, Y/ P r u i t t / " l 7 _ 7 va O.C Heyde / " 1l„7 eho

ly t h u y e t xéc suât không g i e o hoén îv'pt k h e e , t u c e c k ê t

que eue t i é t này I p i nhpn duyc mpt sô k é t que mol day eue

A i u c z e k /"ZùJ? va C.J.K B e t t y /""4-.7 nhu l à nï^-n^ t r u c n g

hp'p r i ê r ^

TroDg t i é t I I I , chung t o i x e t den lup.t yeu va l u p t

mpnh sô I c n eho day nhiêu c h i s o khu de b i e t , t r o n g l y

t h u y e t xec s u â t co d i e n , k h i n g h i e n cuu l u ^ t mpnh sô loT

eho day n h l ê u c h i s o , phân I o n cac t a c g i a deu su d'png den

cac ky t h u ^ t va k e t qua khe s â u - s â c e u e l y t h u y e t m a r t i n g a l e ,

l i e n quan dên cac m a r t i n g a l e r.guvc c a c b a t dëiig t h u c c;rc t r i f/ 25^7, /"'30_7) Dieu ney gêy n h l ê u kho khân eho v i ^ c mù

rpng van de eho l y t h u y e t xec s u â t khong g i a o hoen Pkuo'ng phap chung minh l u ^ t mpnh so lo'n eho day n r l e u c h i so e u e

chung t o i dya t r ê n phuxjTig phép eue k.Etemedi C'cJ, m.pt

ihu^ong phap eho phep chung minh l u f t mpn:: /

mpt va n h i e u c h i se khôr^g que eac b a t dang t h u c cyc dpi

k i e u b a t dkng t h u c Kolmogorov ma cha cân su* djmg b a t dang

thiic Tchebyshev Tuy n h i ê n , k h i su diing phuoTig phé? n à y ,

Etemedi d'à phai dimg dên m.pt s6 t i n h c h a t kha t i n h v i cua

t ê P so thyc va gio'i hpn t r ê n t p p sô th^i'c Vi v^-y kiii chuyen sang eho t r u ù n g iVP 2:éc s u â t không g i e o hoén, chung t o i de

p h a i khac phuc n h i ê u kho khan

Do co l i e n hp c h ^ t che vol c e c k e t que khee eue t i è t , nên l u p t mpnh sô lo'n dôi vol dey mpt c h i so x é t v o i sv' h p i

t v hâu dêu hei p^nLe cung dutJ'c n g h i e n cuu t r o n g t i é t n a y

Trong l y t h u y e t xac su.êt co d i e n v i p c n g h i e n c u u cec

l u ^ t so I c n d^ng Esu-Roboins cung duç'C n h i e u t e c g i a 'qusn

tâm (xem / " l 3 _ 7 [i^J L^'iJ')^ l u y n h i ê n t r o n ^ l y thuyê't

xec s u â t khong g i e o hoan, van de n a y - c h i mol duvc de cpp dên t r o n g mpt b e i bao eua H.Je^^te/"/"* 15_7) • Trong b a i béo

n e y , R J e ^ t e c h i x e t vân de t r o n g t r u c n g hp'p dpc b i ^ t d^y

( x ^ ) C Â co t i n h c h a t l a (x^) dpc I p p l i e n t i é p va (x^) hopc ( I x ^ i ) cùng phân p h o i Chung t o i dùng t i e t lY de t r i n h bey vân de t r o n g t r u c n g ^pp tong quét bon Dey (x,^) k h ô r ^ nhât t h i é t l a cung phân p h o i , c é c t o n g co t h ê l ê y chpy t r ê n nhur^ dey con do'n di§u cac so ty^ n h i ê n , dpng e u s t o n g cung

t o n g quat hcn Ngoai ra chung t o i cung x é t cà l u p t s"o lo'n dpngHsu^uObbins dho day 2 c h i so n ù a

Trong chuo'ng n e y , t u y t h e o céc truDvng hp'p 051 t h ê ma

cac dgng dpc Ipp khee nheu de duvc x e t : Dpc l^p t ù n g c ^ p ,

"dpc l ^ p l i e n t i e p , dpc Ipp mpnh,

s

Trong mpt chuo'ng nlrj va ehucng s a u , t a l u ô n l u ô n

g i s i-*-iei, A -»-£ dpi so V-j:- keumann, *J l a trt"^^ t h a i v e t

- l'

chuàn t i c c h i n h xéc t r ê n A, A l a dpi so céc t o é n t ù do

duç'c t h e o r ^ h i e o (I.'5) chuo'ng I k g c e i r e , t r o n g nhu'ng

trJOTig hçT không gky nen h i e u lam, vol mpi sô phu.'c a C

va t o é n tû do'n vj 1 ê A t e se -vlet a t h a y eho a 1

I I - gu hpi t u eue tong co_ t r g n ^ luvosç

A Su hoi t u theo dg jîp

Dinh nghie II,» 1 : Bang ( e ^ ) cec so d u v n g duvc

me :pi l e mpt me t r p n T o e p l i t z n e u

t o e n t u do duvc t^v l i e n hç'p, k h i do t e n o i x ve y cung phân phôi néu vol mpi t ^ p ho r e l ^ c:t R t e co

X (e.^ (X)) = Z{e^ (y) ) , ^

Duci day, chung t e se x é t d i e u k i p n hpi t p t h e o dp

Khi do vc?i n o i 1 > 0 eho tï^Jt)'c, t e co -'

^ t^ ( g ( I X ( ))

phép chung minh bo de này hoan t o e n tuo*ng ty^nhu phép

ch\rng minh b§ de ( l l ) t r o n g / " 2 0 _ 7 - Chung t a không t r i n h bày 0'- dTay

Bo de I I » 2 : C-ie su* A t a c dpng t r ê n không g i a n K i l b e r t

K ; X e A l e t o a n t u do dtrp*c Khi d o , vol moi t ^ O ^ t a co

( i ) il lx( e j^^^ ^ ) ( \x\ ) ( h ) ( | <: i flhll v o l moi h e H ( i i ) l l i x l e ^ , ^ x ( | x ( ) ( h ) ! | >/ i (f h i l v o l moi

Thât v^y ; neu ngvTQ-c I g i , se t o n t e l h è K ffhf/ = 1

sao eho h é P ( H ) Luc do' h é e ^ • ( i s, l ) (H)

= li [ $,, - ^ t i l (h)(l =11 ( 5 , , - A t i ) ( h ) / / < | f ( 4 - (,,„)(^-)//

Vô Ij Vgy P=0,

Suy ra ( xem ( l 2) c hiro'ng I ) '

h $ i t-^i hâu dêu ve không k h i n —-^ oo ,

Sy h ç i t u hêu deu e u e day t o n g co trpr^^ l u g ' n g l i e n

quen dên t o c dç b i e n t h i e n e u e ham k ( x ) Hem do duç'c dj.nh

n g h i a nhu sau.* Gie su c a c day so ( a ^ ) ve (An) t h o e man c e c

d i e u k i ê n a^ ) 0 0 < An î" œ va ( a ^ / A n ) ^ o k b l

X n ' n

n > o o , K h i d o , L ( x J duvc x a c d^nh b e l cong t h u e

An ( I I 8 ) îUx) = card( n; < x)

A<V=^

k= 1 ^k A 'T^ ^\r^,oo)^ '^i.1 ^ '^•^

A < A.,/a^

0 0

dj.nh l y duç'c chung minh

Trong tru-o^ng hç'P tong quat ho'n, k h i khong n h a t t h i e t

n

A-n = > Bv J t a cân d^t thêm d i e u k i ^ n l e n k ( x )

Dinh l y I I 3 : Già su a^^^> 0 A^ > 0 AJ t oo

a^A^-(Xj,) l e dey t h o a man céc d i e u k i ^ n cua d^nh l y I I 2 do.ng

t h o l lUxO t h o a men (IClO) ve

( 1 1 1 5 ) 1 ^ 7J(e ( ^ ^ ^ ^ ( | x ) ) \ y - 2 i.:(y)dy d ^ < o o

t h i ( n 11) diîng

Chung minh : TÙ phép chung minh d^nh l y t r ê n , t a nhân du^c ( 1 3 1 4 ) néu IT(x) t h o e m.an ( Î I l O ) Do do', t e e h i ea.n chung minh r i n g vol d i e u k i ^ n (11.15) t h i

de 2^;Ap di^-ng djLnh l y I I 2 s e duyc d i e u p h a i c h u n g m i n h

^ ^ ^ * I j u a t so lovn eho d e ? n h l ê u c h i sô'

A L u ^ t y e u so lo'n.'

• ' 0

Bang phuong p h a p tu^Tig t"Lr nhu p h u c n g piiap

cliung minh dj-nh l y ( U l ) , t e co'

»• %

r.i t hQ'P ( I I I 4 ) vc'i ( I I I 5 ) t e duç'c

Dieu nay cung v o l ( I I i 2 ^ k e t thue phep chung minh

Hg oua I I I 1 : Keu ( x (n) n e N^ ) l à day d - e h i so c é c

Chung minh Do day (x ( n ) ; n ê k ) l a doi xung nin d i e u

k i ê n ( I I I 2) eue d i n h l y h l e n n h i ê n t h o e msn ; con céc d i e u

k i p n ( I I I - l ) ( I I I 3 ) t r o n g t r u à n g h^'p dày cùng phân phoi t r i

b i e n thành céc d i e u k i | n ( I I I 1 ' ) ve ( I I I 3 0 tuong v:ng Do

do t i n h dung dân eue h^ a,ua duç'c r u t r a t ù dj-nh l y

l'hgn xét rang hp que ( I I I l ) c h i n h l a mo r p r ^ khơng

g i a o hoén mpt k e t qua cua K l e s o v (xem / 54„7 d^nh l y 1 ) ,

Hp óp III_._^ ( l u ^ t yeu so I C T J Kêu (x ( n ) ; n & Y^)

l e dey céc toan t u do d-crp'c, t u l i e n iiç'p, dpc l ^ p tirng c^.p

Ve cung phân phơi thoa m.an dieu k i p n o ( | 2 : ( l ) | } < ^oo t h i

l^r^ LL x(k) > ^ (x (^) ) , l k h l f B i oc

Chivng minh Khơ.ag mit t i n h t o n ë q u é t , c'o t h e g i s su- rkne

\^iy- Ci)) = 0 Bêy g i e cb_L cân kiem t r a tiv'c t i e p céc d i e u

Chung minh Già su i}0 clio t r u o ' c D o " ( I [ I l ) , co t h e tim

duç'c n^ ér ïï seo eho

- 5 4

^ (e ( fx ( - ) ! ) X ^ / 3

- w - r c ( r J , o o o

Do t i n h do duç'c eue cee t o e n t u x ( k ) (2 < n ) , t o n t ^ i phép

c h i e u p^ é-ProjA sao eho t ( p t ) < ^ / 3 va

f:^ n y(5)-x)p

^ < ^ 0

< ^ / 3 + C + e / 3 + t / 3 = ^

.vo'i mpi n : n >/ n^^ - n y^ n^ : n :^ ïi^

Bo de duç'C chung minh

Gia SU' X t A , y ^A Neu ( x - y ) l à t o é n t u duo^ng t h i

t a noi X I c n ho'n y ve v i ê t x ;>, y Bo de sau day tuovng t y

nhu mçt k e t qua quea b i e t t r o n g g i s i t i c h ce d i e n

Bo de I I I 2 Gia su' x(n) ( n é N ^ ) va x l à nhung phân

7 7 Jf >»

tu ty lien h^'p eue dei so "t^on keumann A Kai dieu kiên

s eu tut-T^ d'OD'ng

( I I I 9 ) x(Jâ) h ç i t^i deu den x k h i n — ^ co

( I I I 10) vo'i mpi ^^C eho t r u c e , t o n t e i n ^Y seo eho

n Çr î^ seo eho v o l mpi h tR Ijhîjé 1 va mpi n G Y n ^ r o

( I I I 12) k ( n ) + "ï 4 k ( n + l ) /D'i mpi n du lo'n

Chir.Dé- m i n h Ghixng t a c h i c â n chirng m i n h

m^t khéc

^Tf^'^'} + l l = r ^ " ' ] + 1 vol n du lo'n

• Kghia l à ( 1 1 1 1 2 ' ) du,uQ

Truo'c h h i x e t l u ^ t mi^nh so lo*n eho dsy n h l ê u chx s o ,

t a chung minh l u ^ t nay eho dey mpt c h i s o Ket que d u o l

dày l e mo^ i ç n g l u ^ t mgah so lo'n Kolmogorov eho l y t h u y e t

0 0 0 0 % 0 f

xec s u â t k h o r ^ g i s o hoan Khân x e t rang k e t que tuo'r^ t^i'

cung de duç^c B e t t y (/^4^7) de c^p d e n , nhung t r o n g t i n h

0 0

hirông k h a c

Dinh l y I I I 2 Gia su:- (x^) l a dey céc t o e n t u do du^c

t y l i e n hç'p» d§c l ^ p t u n g cgp ve cung phân phô'i Kiii d o , néu t^ ( |x^ ] ) < oo t h i

Va x^ ; x^ t h o a man céc d i e u k i | n e u e d i n h l y , nên khoxog

mat t i n h t o n g q u e t , eo t h e g i e t h i e t rang x y^ 0 (Yn)

i = 1 ^ - " r o , i ) ^ ^^'

Gia sii ^ >1 ; k ( n ) = L'^'^'^3 va «c^O eho truo-c Su

daAg thtrc Tchebyshev ; t a nh^n du^c

- c

^ c

00

- ( n ) n=i

( I I i l S ) I ^ n j " ' y ~ x ( k ) " - ^ ^ , ( x ( l ) h d h p k M 5

n - ^ oo

k < n Chung t a s e s'J dimg p h u o r ^ p h é p hoàn t o à n tuc^ng ty: n h u phuo^n,

phaP elvung m i n h d^nh l y I I 2

€

Không r r J t t i n h to.ag q u e t , co' t h ê xem x ( n ) X 0 VO'Z

mpi n é 1^ • D^t