Về việc giải một lớp các phương trình tích phân ngẫu nhiên liên quan đến lý thuyết đổi mới bằng phương pháp MONTE CARLO

D}ni> chmig mixüi... suy nhien di ^ií.

n~Ht ÍRÜOKG 9AI mü 'K)ÍÍG HDP HA SDI

NQÜTJSH lííSOC OÜOiíG

TS T I J S GIAI íáOT LOP CAO PUÜOHG TRIUH TICH PHAH

HGAO mim him QUAH BHT LY T H U Y ^ D O I MOI

BAKG PHJOIÍG PHAP MONTS ÍÍAR3Í0

L u ^ Víín Phó t l f n « t KhOG aíoan-C<y

líruáttg I>^1 hQC T5ng h^^) Ha H^i

TAP THi5 HÜOHa DAR I

1 NguyíS oáy í í j , PSS, Giáo su cap I

(Hu?5nfí dSn chính ) 2« Hguyéñ Buy í i ^ n , ÜS, Giáo sir cap I 3* HguyoS Yiet Plm, Pho t l á n a l

>

¡ « r : ; • '

-turn-HA IIOI - 1983

m DAU

Troiig ntíxkm nam sBn d.ay, i j ' 1 ¿aól duvc áp dvii- : ^

r e i t r o u ¿ - '^ W^ ^^-^'^^^^ niieu t r e n t h l g i c / i i l y

t h u y g t my dw/Q áp dvi^g tiimih oaii¿¿ t r o n g v i § c dy t r u t h i ^ t h^,

c u s ngonh cong nghi^p t h \ ^ ph^^ts (I9o5 1í?70) vo t x ^ -.^

U c l i x í c i i "bu Bxm cua céc t i a i ^ t 4 fíleo thon¿5 v ^ i t a i (iy7t?-l97

5 Vift-l.am, l y thuyi^t imy c r ' " 7<5 ^^ ' ' ^^^* ^"^

Cae k h á i üifm d§u t i 6 n cus l y thiiy^t d o i taai xañt phot tu

nlxuag v^n dB v§ nlian khau h9C CUG a l b e r s o i i ( 1 9 3 3 / * - ^ i 1941,

W»i?'eller da d^t oa sb dau tieai cho l i tkuySt nay k h i n§u r o

"dí-im l y ve pliieoné t r i n ü ' ' l " TiSp t h e o , >3, '^Dpxh

l y á ¿ i ríiol oa hexi'' cua ü i i t di^t /;; co^ ser a&u t i - i n troii^

v i 9 c BU di¿m^ toan ¡190 tíxüi tuán veo l y tixUySt a a y iíM x e t t e

luí^íntí u ó i jái t r u n g b l n h cua m^t quá t r i n h d o i ^ai t r o t i ^ khoí

t h o l giar¿ ¿jo^ t ^ xx£\xxfi t a da du*e r a kli©i nifas ve ham d S i mcd

i K t ) va ciil ro (xem / ? / , / 1 2 / , / 1 4 / , /)/) no l a nghi^m CUG phi

t r i n i i dSi ¿iül»

t (o^ 1) U ( t ) « K ( t ) + j lfl(t-x)k(z)d3C, t ¿ / b , o o / ,

t r o n £ do K(t)> k ( t ) laxi l u v ^ l a imm phan hS xac s u á t , xiam ni§,t

d9 cua ínoi ce t h é troiig quax) tixo d o i mod.»

Bofl v^ • t r o n g nhikig úiig dv^fí l a u nay cua toan 1190 t L

toaii vao l y tiiuy^t d o i u\al l a v i § c g i á i phuo!a¿; t r x n h Wiener-L

d^íiig ( o ^ 1 )

TTOXÍ^ triKíii^:; 1x9^^' (lue trina aol aiori ro^i ríjc kiii trixii

(o» 1) t r o ' thanh 11191 t r i l i l i tru¿' iiBi d o i a c i ( s o l phán

t u y c n tíixli c^p T; i to cüxi^^ cu dyníi cao C6ÍÍ¿¡ c\(t cúci l y i

pliurnto trlriii s a i pháii (xem / 3 l / , / 3 2 / f -33/) de g i e i cae pL;

t r i n h t r u y hSi ke t r e n

ííhíin¿; cGii¿; oy cúfi Lili tron¿; u.q.± ,.¡6 imn^^^ aa d

8U d^juig (xetft ¡y¿¡) u _,: I L 1 t o a n eyxí t r | :

(5¿

-ii-^c-) ^i'*'^ ^'^^ (^21 - -S^i - • ' » íRí • • • )

rá± U^ => ü^n + 1) - U ( n ) , t r o i i ^ do U(n) l a iigiiiyai cua piíuo-rig

t r l n l i t r u y h o i ÜÜI taíJi, / ' ' } v a l t r o quan trgrLi¿ k h l

iighien cuu cae tiio-i ky iigu^, ^t quan tJb.e d o i :TÍO1,

1 .on d§n iifsJalfín cúi.; ¿JÍIUVÜO trliali d o i raed ( o , 1) n^suol

t a (xGui / i 4 / t / ? / ) cíírjiíi da rj^ühiCii cúu vB phiin b5 cúe " t u S l " ve

" t u o i con thQ" cúe cae ca i ' i uiól Trong

truoíig h<^ red r ^ c , hhié^ coch aú d\irí¿¿ coxitS c^ ciía phucmi, pháp

t í i i h tren?' dcíl s8 tuy&i tLiii va t í n l i S r g o d i c troAfe l y t h u y ^ t

xao Sañü «., u.^ «üe g i o i bajog sS b a l t o a n t r e n troii¿i truxmg ii9p ton^í quát vo triKm¿; ii<}^^ ¿giól lúe n¿ (xera / 3 2 / ) V0n d i nay

00 nliieu y righía thya t i o n , bo'i v i t u dó có t h e dveng các

k h á i nl§ffi "hi^m l y » " va "tieui l y » " cua 0191 quan tiié d o i mol (xei

<§: 1 0 , 4 1 1 chitoiig 111,10 iig h ^ n , d i dy bao nang s u ^ t

va 3«n lU9Hí5 cúa 0191 quan t .^ay m^c nao dó ho^c v i | c d\^ bao

aijah luyn^ dinh dux»]^?; áSi v ó i «¿gt quan t h l g i a súo t r o n g chlin

n u ü i v v

Vt t r o n g •: van óB ' ,n tr9n,^^ khl n£¡;hien

cuu l y tiiuy^t d o i ;uól l a viQc t a c dyfj^- cúa con i^u'ol veo cao

qu§n th* d o i raÓL d i quygt d^jaii tagt " o h i á n luyo d o i ifiól di^ phong

tSí un t h e o ¡n^t f/ivic t l é u nao dó (xerii / 1 4 / , /'}/)•

fil§u chú y t r o n ^ quá trliái g i á i ¿an c J e b a l t o a n

ke t r e n l a á ciio s:it',:)Xfi t a da xeia pháti b6 xcc e u ^ t K ( t ) va rn^t di

k ( t ) cúa t u o i t'ag u.^s ^uó t r l n h d o i raól niiu nhüaig he¡n oho trisóxi

Tujr n h l e n , vS ai^t tliSng k e , nhíínií, Iiam noy thuxm¿ du'9'c ::ác dÍJih

0 3

-% ^

Thvc t g t i l ! niiusí , iüx ü - t a c avi^., ^^^ '^iSn veo^cac

kot quá tÍMlx toa'n ch^ v i m | t lu-ong phóp

nén các phuoü^ pháp néu t r e n d¿ lo5?i trú* nó (' ^ ^¿^^

« K ( t , , i:^(t) « k ( t ) io'i , t vou Cía c , t r » l a tínií^oi]

á%xúí ( t í n i i dúng d í i ) oúa lo'i ,_.„_ L ^ B8 tlm d ^^ / ó i chú y ^

rbi¿; ' l a nhürntg b a i toan v ó i nhiSu nglu n h i é n ( e ó t h ^ á , A iv.ie

lóíi - dú s é » EA = 0 ) , do dó cún¿; khong t h e aú (b¿mr> dw^^ os

Te blifft r i n g (xem / 4 / , / 1 6 / ) k h i phán b6 xác tmat cúa cae

quá t r l n i i ngau ?r(s, y) va ftíx), 4 ( x ) da cii .,

( 0 4 ) da diajflc g i a i quySt t r o n ^ t^uxaig hí?i^ t é n ^ ciuát va ro-i rí?c

bltxia pñiso-ng pháp -aonte G a r l o "-Ákss i^^o hlnli ngSu n h i e n cúr^^ df

duvo ^ ^^ t r o a g / l b / dé g i í i ¡-^ i t ' u (0.4'" ' ^ i dang tí;'c

b i f t (p Inh t í c h d o i mol dy jkiii phán hB xác

s u a t c u TTCx.y) da cho»

Trox^ wUii^ t r i i i i i itó^, oxuuw ju^t (xem / 3 5 / f ¿j'4^ ^u ,:;:ic; ate

dyng pjiieotig pl ' ¡te Garlo d I^t l^p oí30 IÍOXÍ 1

ciiycli vu tiftii e^jua ' (o#4> ^'ae

"ham d é i aiói" nhu l a m^t t _ ^ *^ ( §» - §4» chuoTí,

TÍr niiung kfit que noy ohun¿, t a se x e t vi^i^^io n 9 t lujgc

<tó tíxui toaxi l o § i o n t e O a r l o olio cae ux'c iLüy^k, h ^ i t y t h e o

trxuQg blnJi va theo xoo s u a t (xem ^ 5 , c ^^¿1) dSn nghifna cua

^ b a i t o a n cyíc tr^ :

^ »

í

:,ho f (x)« | ( x í u ) í ( ^ ( x ) - J t ( x i u ) , | í x y ^ = Í T C X / Í U ) la^csac que

t r i n h rjrhx nhUn tay» xác d^ a khong gian^xac suSi (U» ^

Yoi xe<^.^ va yé(l.+ ) 1« c«í tham^bi^n '¿Ton& dó ^la 1 t & ^ c i p

•<^ cec ** ' áuaa^ nao dó ke cá »5 o

(A) Ria t h l l t j 1 C9 d o ^ a B^nec ^,- gSa nhúftíí phtsü t«j:>t

-'.•' • ' f l a * ^';ai t r o n s ^^) cus i^lMJcmf: t r l n h ( i 3 )

f

ca t^"" val - )^<;v* ) ^^<^i ~ ' ^5»? ^ '

fetfxrto;*' )[íx) ^- y ( x , ^ ; vo 5 ( x ) dtt cho i,iil cí .i ^tom: ,

¡t ' i quySt du-^íi d, -*^t tonís quát (-«''* L'^J (5 J O^^d ' ,

jíl] • iSn trox»i^: t, .^ ( c h W h«a trQ-^ ^ iBu bei U^^u

cú« ly - - - - a«5i) các kf ygng tom k5 t r £ n ' ^hunis chua

b i g t v i phka' i-hñl xac suSt i- -^-J» c h o i k h l o , ^g t e cni

quan «at áiJ^ nhiai^ c a l t -»• '< \ ,

H x ) y ( x , y ) ve ^ ( x ) ' ^ u^.,, ^x^.^ ^v n^y do^ u¿c I v , v a s i a t r ^ c ^^ ( u * , ) v a ^ o chính^le

a^ kh«c nhau ce bSn gin-e ' >mci Lih^ney va

^j^(x,y) k < x , y ) - K x y )

.:,,;;aM, s e i a ^ nay có th.ú nhw s e l m-&r n.::„ có a^ thí>n

(túc l ' ! ¿r^= ' ^^» ü) khl < ó, /:ii#on^ trL'ih (l.-^í có d^^ig ( i

V l ' t h g v.Já ^- •^^a tru ^ ».-„ - 1 , - ^ y có th5 súd^^n^ úl g i á l

cao bai toen oúa isiál t í c h s í trong dó o5 l i ^ u ban dBu có s e l

aS X ' :.lin khdng có hC '' "

-• ; ,.% « S - '-.c tp f d§n,«»'d|o biv'** <2^fi phuxyxAg

** nay thu^i 1 ^ ' i.uyw uv,

b ^ , ca t r c 3ii« hg^ ¡a» i< | ^ ^ ^ » ' ^^xí» • ^i^ti i <^- ^^^

: ; /) f (x'^^)-i'vxf » i¿*ff+li "^' ' *^'* ^ ' ' J ^ ^® háng

5 t ^ íyU(dy) - «lax j o ^(3L,y)f(y)yH(dy,

flO • - ^ ^

4

-' -' r r • y -' ; P") l a t í c h tiúav)khdttí5-glea xác s u í t ban

(L> X

* -«x / íL í^' fe V chun/?: t o vcac d ^ ii« g i a n -.^c ouat ( - ^ , , «^ij» ^ ^ * ° ^ " * ^ *^

}-,ir nhi§i.L sau ¡

I h a i

»[Cx;+ ) f x y j f i y ; / bólU

* aú rlnfi esc

o.j,

C-i*.]»iJ-l ' j U ) ! í(x«y

roniS I» (U,"

>& coii cSn ••* * ,ic

r a í^Tíj^ su:

fi ' 0

3 CÍO 2 (

-%%"

ÍV :r.rZj,í») * i ^ nu8

¿ C

-f(x +¿ ) - f(^-) ; ^ >°»

thisi oía üÍBii lí S.1 (tr« gia thist 3) uuvo 1.-'" f";;

^''";,'-(5 ¿4) I ^ ^ ^ B Yx e / " o , o o ) , B - C o n s t ^

^ ' - k^ííí <>inh -~ S A ( x , á ) ) CÓ duy nhgt dilm du23^ x

va veri rnoi d co u^xin, ^.o, oO ¿i^Jt, / ^

t r e n 0^t^)\ bou nu'e x* > O v& so a^ v - ^ /

.^, -uá , i a - rilns các quá t r L d ngáu ^ i S H i l b e r t

l i e n ti^c (trung híiúi jhmmii) va

^ l E ? 6 c a ) Í ¿ K X - D ü ^ Y ¿ X <Í); K, D - c o n i

Hon nica, s i á sú r i n g x

1 Dieu kifn (1^ auvc tiiw« -.,

, v ó l Si í oS ciinn tó sS Z (::.^) oá dr.y r ü á t dilm d

'á z

Dieu nay suy ra rting » [ ^fc ), ' ^l^^"^, ¿^, ^g B -sao cho , ^ i a lo B ( l ^ f 11§- t^«5 ^^ ^"' *^^ ' ^ " ' " " ^

S|>]6í-"^|^4 B V X é / ü , i ) /

^ t i nbu- troa ch^ms díha d^nh ly * 1 va t r o r ^

_ l u ^ i t-JQEn¿5 ty? nhu tro Gmxni, - ,^ of.^ Blnh l y ditgc

^ m c4nh l í 5.2 t a a.-, (5.25) vo ( 5 2 6 ) D}ni>

chmig mixüi

Ohuong I I

VS VlSb GlAl e l e HílKJfeG TRbni Tfcn HÍAÜ fiSl (fe W ffl^H»

^ 6 GAO PHÜí^íü ^- \ : ^ i>01 - ^ ^ ^ ^

.dxi n,5hle.n cúu các quá t r i z i h d ó i m ^ d^ phows r % a ^ t a

t h ^ x á t các phucmg t r i n h t í c h phíin sau day (xBra c h u x ^ I I I

(6.1) f^><-)= i

V Ew3c-> V %G co,by^v.^p •

tron,.dó g(x) -^ ( co) ll uá tri^ü ngS nhion t h y c ^ é n

i ^ n ^ Sien xác BuMt CW I^ R w ) , h(x) = h(x,^.), r(x.y)-P(x,y

la các quá trinh ngSu nhien thyo tren khong sien xoc « u a t ^

-tro , uó 3t''cct>-)la tvp hop các haa th^c xoc d^nh tren la,

gi^ su ring ánh xg *^b du^ü ^các u^nh bSl cox.,: aúc

lo toan tú tích phan tic , " ^ ^ Co, - ^ - o ^ ^ t b c ) Theo y nghia cúa lí thuy^t (i5i m<k (xeai c h u o ^ IIX) phuxy trinh (b.1) duí«í e.9i !« Pi^^^^^ ^ ^ ^ '^^'^í ^ ' ^^^ ''^"^.^ í^

1, • iln nhien lo, vó-i uioi C > i> va xet nghiQ cua no tren khoang ¿ü, C/, lí$ (ó,í) có d^m (4.1)

íh§.t v ^ , bang oách ky hi§u :

(b.4) T|(x) * ^

[ g(x), n^u 0 < X <fc;

^c

-IhuoBí, t r l n h ( 5 1 ) oá thí- d,,»,t> v l S t d u ó l d^^, 3ÜU d&í

^ Í ^ y ^ ? t ¿ ^ "f (.-; ¿ , , o i a h » g t l n h t í c h phSn a u

üí d W thgy r l » í Ph»c«.3 t A * (0.B) l a trc^ hvp d^io b l g t

cJa h? ( 6 1 ) , t r o , « dá r^MC du,« a t tron,i í _ L O , ~ C X C C - )

n; i í o h pUfin üi&m naSu nhien va o*ii duxji o cua t í c h phaJí

l a m9t 30 diiong

v i ( 1 ) c¿ tüA v i S t d»7C du¿l d9x.¡ - {".7) "iSn t a c ¿ ^ t h l ^

s ¿ dvh or^o kSt qui tro:>6 ^ ^ 3 ^ 4 oúa c6r._ ^ - ^ ^ l ^ ^

e i J l ( 6 1 ) suy nhien di ^ií nho t í n h t o e n , cae luya ao c a l

t l S n aS cuv« s l 5 i t i9u t r o a 4 7 va * U de uoc lu^n.; Wxong chi-ch n.,aiiS » o¿« r*'"^"* *^5""^ ^ " - ' ^ * " ' ' « ? '^'''*^''" •" ^*

c i a t í c h va huláne J'-e|Cx>ffoH«x) tuwne «ng

' c f ¿ ?^>^ £.^a).3'^,r(x,,)?(x-^)^%),Vx.Lb,^)C^|0

(.Yb) fcx e,^(x) j^e,yú.p^-^)rC^;í)<^^^Co.b)(v ^,.l

t r o n g dó các n£hi$m dS^c xát trong huxmg t r l n h ( b 9 ) ^yo m^ 1^^ P^^'^^^^'^-^^ t r l n h t i o h phan dSi

TCLo,-^^-aiól d^ phonfe l o § i h a i írong chtíon¿ I , u ^ lu^n^ l^on.^ chyck

^^L 1 phiKmí, t r l n h ( o 9 b ) dB cm-oc neu r p , tuw l a

31 «

Khu v | y , phucmg t r i n h ( 6 , 9 ) có thé di^^c v i S t duiTi d^n^ »au t

nghia l a các 'hu-ong, t r l n h t í c h i)X3Jeii doi mói dy phong I09Í h a i

có the ddvc dura v§ phuamf:, t r i n h t í c h phán dSl r.i5i Ai; phonr l o § i

m§t Do dó, ch\W?; ta se nghién cúu ky lijong pliuon^ t r l n h t í c h

phán déi nói dy phong I09Í m9t

§7« Ve viec g l e i Dhij;onj^; t r i n h t í c h phc ^, , d'J lahonf^ l o a i I

Giá sú :

(i.,) •3'^^'> - ^^^)'^'^'^ la quá t r l n h ngau nixi-jn th^c t r e n

khcnf gian xac suat ( W, ¿w t PW")) fa^x) ^ ^.Cx'.v) ) |> ÍÍ , j) ^ ^ <^x L|, • v )

l a các quá t r l n h né;au nhien tliyc t r 6 n khSn^ gian xac auát ("V^^^f

(C1) VÓL mSi C fe (b, c-.') aktt^»i chuoi Z 'C".^

h 9 i tvthong iPfQ.Q} ^^^ i^¿' f^^V.-=->T''

„ II

-trong dó ( \) Isi, P^J ) j ( W , I w , Pw ) ( ^^ ^.y, ^"u ;

<8 du^o ¿iái thi0u trong | 6 Ta có t

Bü dg 7.1 Giá sú TüXLg các dieu ki^n (A^), (B^), (C^) du^c

t h o c c;~a / a l i UO,

1 VÓi inoi Cic(b,co), phu'ontí t r l n h ( 7 4 ) có n^hl^ta duy nhat tren;; L^3, C / ;,

2 Keu h ^G^ <C <oova f^^íx), f^(x) la các n^hi^m oúa fuxmg

t r l n i i (7.'i) troni: L^Co, C^í), L ^ / O J ^ ' G ^ ) tuüiig líng t h l

f2(x) = f , ( x ) , V x e i:o,Ci)(aodM)

3 ?huo*ní:\ t r i i h ( 7 4 ) có n^jhi^in duy nhat ti'ong Jt.' C«^/ ^ )

(chúni;, tuxmg duoiig doi v ó i d9 do li),

Cñúsi:^ -i.inh Chú y r i n g vói •ri9i f f 2 ^ C e ac>^ ta có í

^ ' ( C'^bnCx), V x é Cb,oo>^

C^nc-> - { O V x<c Co,b> ^

TÚ (ii.,), (B^), (G.j) ta có k^t lu(m thú nliát, Ro ran¿; ^¿^^^

thoá man phu-ong t r i n h ( 7 4 ) vói bat ky x f A J , C ^ / DO dó, thec kát l u ^ thú nhat t e thu diio'c ket lu^n thu' h a i

De chúng ;ninh ket l u j n thu' be, ta xet cae Idio'íig sau dáy s

/ k , K +1), k i^o + ^0 "^ ''» » vól k^ > b Gia sú r a n s

f^(x) l a nghi^n cúa phu'c^g t r l n h ( 7 4 ) t r c n g L^ (.o^ ^¿vC ) , i r o ^ i ,

ky hi^u

B@ doní.: thay rang f <SL 3C tlo,oo) va thoa uian phuw'rig

t r i n h ( 7 4 ) Giá sú g e d^^Co,-^^ va thoá man ( 7 4 ) Ro ran£

a £ L[p,^o~^c)c^o^L-»í^ k^t l u ^ i t h ú h a i suy r e rang

3 3

-Do d ó , dS dore tháy r W ^i^>^> ^ f ^'^>: v x c C ^ - N ( - - t í f > • ^ ^ ^ ' ^

Cho ^(^x) = ^ ( x ^ u ) l o quá t r l n h ngau n h i e n t r e n kh6ng

g i a n xác s u a t ( U , 1 ^ > ^L> ) ^^^ °^°

•Gay gio' t a g i ó i t h i a u ra^t uóxi Itcong khóng c h f c h cúa t í c h v6

huióng sau day t r o n ¿ lP¿p, c ) :

(7.7) ( ^of-OT = i 6^|(x)|a>urax^

o o K í

t r o n s dó f l a n£hi§ia duy nhat t r o n g jrf(0,oo) cúe phuxmg t r l n h

( 7 4 )

Ch9n x i c h :^arkov \%> ^ } nhir sau s

Vo-i moi X e K-^ t a xac d^-nh

Gxa SU' ranf :

(j)!.) V^i laoi X C K+ va v ó l moi L - < , - - , o( (fx") , fC-X*.) ^o)

] YfX.,., V X,^,^- u , ^ J j ^ ^ ' ^ , 1] (x., ü,,, )

l a nhüng t h e h i § n doo l|lp cúa các b i e n ngau n h i e n ^Cy^.) i

TÚ ( 7 1 5 ) , "(.7.16) va t i é n lianh tu'o'ng tu' nhu- t r o n g chúng minh d4.nh 3 1 , t a duvc í

Dj.nli l y 7.1 : Gia sú r i n g c á c d i e u k i | n (A^) - (D.j)

thoá oan va x i c h larkov \^^/^\ thoá raan ( 7 8 ) 'Ja có