Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán đếm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN VIẾT KHOA RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYẾT VIẾT KHOA

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VIẾT KHOA

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hoà

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, quý thầy cô, Cán bộ quản lý Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn của

mình là PGS.TSKH Vũ Đình Hòa, thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Toán và Ban Giám hiệu Trường Trung học Phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện, cộng tác và giúp đỡ tôi làm thực nghiệm tại Trường

Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên cùng học tại lớp Lý luận và phương pháp dạy học Bộ môn Toán K7, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Mặc dù bản thân đã rất nghiêm túc, cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này, nhưng vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong được sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp

và những người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2013

Người thực hiện

Nguyễn Viết Khoa

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn…… i

Danh mục các chữ viết tắt……… ii

Mục lục……… iii

Danh mục các bảng……… v

Danh mục các biểu đồ……… vi

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……… 6

1.1 Kĩ năng……… 6

1.1.1 Khái niệm về kĩ năng……… 6

1.1.2 Phân loại kĩ năng trong môn toán……… … 8

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng……… 8

1.2 Một số yếu tố đặc trưng sư phạm cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán 11 1.3 Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn toán……… 12

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng bài toán cho học sinh……… 15

1.5 Tiếp cận phương pháp dạy học hiện đại, nâng cao năng lực tư duy giải toán phần tổ hợp nói chung và nội dung bài toán đếm nói riêng…… 19

1.5.1 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác……… 19

1.5.2 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới………… 20

1.5.3 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học………….… 21

1.5.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập……….…… .21 1.5.5 Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong

dạy học bài tập tổ hợp 11……… …….… 22

Kết luận chương 1……….… … 25

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỌN TRONG CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔHỢP CHO HỌC SINH LỚP 11……… 26

2.1 Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kĩ năng nhận dạng bài toán cho học sinh dưới mọi góc độ……….……26

2.2 Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phép đếm……… 40

2.2.1 Một số kiến thức cần nhớ……… 40

2.2.2 Các phương pháp giải cơ bản……… …42

2.2.3 Một số bài toán cơ bản về phép đếm ……….….50

2.2.4 Một số bài tập áp dụng……… ……68

2.3 Một số bài tập nâng cao về tổ hợp……… 69

2.3.1 Phương pháp tổ hợp trong lí thuyết tập hợp……… 69

2.3.2 Mạng lưới ô vuông……… … 72

2.4 Các tình huống thực tế học sinh thường mắc khi giải bài toán chọn.… 76 Kết luận chương 2……… … 80

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… …81

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm……… 81

3.2 Nội dung thực nghiệm……… …… 81

3.2.1 Lớp thực nghiệm ……….…….… 81

3.2.2 Tiến hành thực nghiệm……….….… 81

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm……… … 82

3.3.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm……….……… 82

3.3.2 Kết quả của thực nghiệm sư phạm……….……… 83

Kết luận chương 3……….……… 86

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……….…… 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

PHỤ LỤC……… ……… 91

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc

Bảng 1.2 Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán 24 Bảng 3.1 Bảng thống kê việc dạy kĩ năng giải toán của giáo viên … 84 Bảng 3.2 Bảng thống kê việc rèn luyện kĩ năng giải toán của học

sinh……… 85

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Trang Biểu đồ 1.1 Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ

năng giải Toán ……… 24 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phản ánh sự so sánh kết quả điểm của hai lớp

thực nghiệm và đối chứng……… 83

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ Cùng với đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống … Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục Như vậy rèn luyện kĩ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của nhà trường phổ thông

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác Nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống trong công việc và trong cuộc sống Toán học có vai trò

to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật Nó liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (1998):

“…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,

chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm

2002) cũng đã chỉ rõ: “ Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát

triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học

cần thiết cho cuộc sống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác …”

Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn), trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kĩ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, …

đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học Đại số nói chung và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh Tác giả Lê Văn Hồng cho

rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ

giữa học và hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác” [14, tr.46] Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn

luyện cho học sinh các kĩ năng trong dạy học Toán

Trong môn toán ở Trường Trung học phổ thông, nội dung các bài toán đếm không dễ, và đây cũng là phần kiến thức mới được đưa vào chương trình lớp 11 nên cả giáo viên và học sinh đều có sự thích thú, tuy nhiên vẫn có ít nhiều bỡ ngỡ khi dạy phần kiến thức này Đặc biệt trong thời đại ngày nay các bài toán đếm đã và đang được ứng dụng rất nhiều trong các ngành khoa học như: Vật lý, Y học, Kinh tế học, Xã hội học… Vì vậy, rèn luyện cho học sinh cách đếm chính xác các khả năng xảy ra trong từng sự việc cụ thể là hết sức quan trọng và cần thiết

Mặc dù các bài toán đếm đã được trình bày trong sách giáo khoa, bản thân nó cũng đã phần nào giúp cho học sinh nhận thấy được ứng dụng của nó trong đời sống Tuy nhiên học sinh chưa thể lường hết các khả năng xảy ra Việc thiết kế những bài giảng như kịch bản cụ thể, tường tận sẽ giúp học sinh

khắc phục yếu tố trên Từ đó học sinh có cách nhìn toàn diện, đa chiều trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học cuộc sống, có thể ứng dụng những kiến thức đã được trang bị trong nhà trường vào công việc của mình sau này

Vì lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là :

“Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán đếm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông”

2 Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về tổ hợp như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận , và nhiều tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim có rất nhiều công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn về việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong học môn Toán

Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể và chuyên sâu về giảng dạy nội dung bài toán đếm dành cho chương trình toán 11 Ban Khoa học Cơ

bản (Trung học phổ thông) Những công trình, bài nghiên cứu trên đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình triển khai đề tài

3 Mục tiêu nghiên cứu

Dạy học nội dung phần tổ hợp trong chương trình Toán lớp 11 có gắn liền với bài toán đếm Lồng ghép các kĩ năng tính toán, suy luận các khả năng xảy ra Từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng của người học, đồng thời rèn cho học sinh nhiều đức tính quý như: cần cù, nhẫn lại, tính tự lập cao và ý chí vượt khó

Giới thiệu một số ví dụ trong thực tiễn liên quan tới các khả năng lựa chọn đếm các phương án giải quyêt cụ thể Tiến hành điều tra quan sát mức

độ quan tâm của học sinh đến những ứng dụng thực tế của toán học và khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn toán của giáo viên bậc Trung học phổ thông

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán đếm cho học sinh qua dạy học giải bài tập tổ hợp lớp 11 Trung học phổ thông

7 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông theo các phương pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ tạo được kĩ năng giải toán nhanh và chính xác cho người học

8 Phương pháp chứng minh luận điểm

- Làm sáng tỏ hai quy tắc chọn, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các yếu tố đặc trưng của bài toán đếm

- Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập từ dễ đến khó,

9 Kết quả nghiên cứu

- Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng nghiệm có kinh nghiệm

ở các trường phổ thông

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số phương pháp dạy học rèn luyện kĩ năng giải các bài toán chọn trong chủ đề đại số tổ hợp cho học sinh lớp 11

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng

1.1.1 Khái niệm về kĩ năng

Kĩ năng là sự thực hiện có hiệu quả một hành động bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép Vì vậy, kĩ năng không chỉ là mặt kĩ thuật của hành động

mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể Chính vì thế, để một người có được kĩ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:

- Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung, mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện v.v…của hành động;

- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian giới hạn tương ứng;

- Đạt kết quả hành động trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả trong những điều kiện thay đổi nhất định

Kĩ năng học tập là sự thực hiện có hiệu quả các hoạt động học tập như hoạt động phân tích, mô hình hóa, khái quát hóa các đối tượng nhận thức… bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép Vì vậy, kĩ năng học tập không chỉ là mặt kĩ thuật của hoạt động, của các thao tác mà còn biểu hiện năng lực thực tiễn, năng lực học tập của chủ thể Bên cạnh các hoạt động học tập, kĩ năng học tập còn bao gồm các kĩ năng tổ chức hoạt động của chủ thể như kĩ năng lập kế hoạch, kĩ năng sử dụng thời gian, kĩ năng nghiên cứu, kĩ năng làm việc nhóm, kĩ năng đọc, viết, ghi chép v.v…

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người cần sử dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi

có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó Với quá trình đó con người

dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kĩ năng để giải quyết các vấn

Quan điểm 2 cho rằng: Kĩ năng là sự sử dụng kiến thức và kĩ xảo đã có

để lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt ra

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng

các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [13, tr 149]

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kĩ năng, chẳng hạn: “Kĩ

năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [22, tr 462] hoặc “Kĩ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu chung lại thì đều nói rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết

đó là kiến thức Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kĩ năng (phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó)

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kĩ năng

Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy

đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động (kĩ năng) Nói cách khác, cần làm sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong tri thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt

ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối tượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu

1.1.2 Phân loại kĩ năng trong môn toán

Có nhiều cách phân loại kĩ năng Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành ba nhóm:

1.1.2.1 Kĩ năng nhận thức

Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ năng nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

1.1.2.2 Kĩ năng thực hành

Trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

1.1.2.3 Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá

Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, … lại xem xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống

Kĩ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kĩ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kĩ năng chỉ được hình hành thông qua quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng

Rèn luyện kĩ năng phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy trong đó

khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có

tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp

đó mà thôi Phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp

và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tự giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

Rèn luyện kĩ năng suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật,

quy tắc nhất định (gọi là quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp, suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại

suy diễn kiểm chứng kết quả của quy nạp

Rèn luyện kĩ năng phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để

phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

Rèn luyện kĩ năng so sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm

xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có

thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố

bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai

hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29]

Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một

mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Rèn luyện kĩ năng khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác

tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [14, tr.46]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Trong toán học người ta thường khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, đỉnh lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử đặc biệt hóa Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa Nhưng nếu sai thì dừng lại

Rèn luyện kĩ năng trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy

nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Tất nhiên sự

phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2 Một số yếu tố đặc trưng sư phạm cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán

Việc hình thành kĩ năng còn tùy thuộc vào đặc điểm tâm lí của mỗi cá nhân Tuy nhiên có thể khái quát thành những bước sau:

Bước 1: Hướng dẫn lý thuyết Trong quá trình hình thành các kĩ năng, tri

thức có vai trò quan trọng, nhận thức càng đầy đủ, tích cực, kĩ năng càng được nhanh chóng hoàn thiện sớm hơn Vì vậy thầy giáo cần cung cấp những tri thức rõ ràng về mục đích, tính chất bài luyện tập, tri thức về hành động cần nắm vững, người học cần ghi nhớ kĩ mục đích, điều kiện, quy trình của việc thực hiện hành động

Bước 2: Làm mẫu Người dạy thao tác mẫu, người học quan sát nhiều

lần, giải thích các thao tác và ý nghĩa của thao tác, những quy định, điều kiện của hành động, những điều nên tránh

Bước 3: Người học xây dựng kế hoạch thực hiện Căn cứ vào những tri

thức về cách tiến hành hoạt động và biểu tượng về những thao tác, người học vạch cho mình kế hoạch, cách thức, thứ tự các thao tác thực hiện

Bước 4: Thực hành và luyện tập Người học lặp lại các thao tác như thao

tác mẫu của giáo viên và luyện tập các thao tác đó trong những tình huống khác nhau

Bước 5: Tự kiểm tra Người học tiến hành so sánh, đối chiếu với các thao

tác mẫu, phát hiện ra các thiếu sót, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong hành động và sửa chữa Trong các bước này sự đánh giá kịp thời, chính xác chất lượng thao tác có tác dụng lớn đối với việc củng cố hành động, nếu thao tác đúng chúng ta sẽ được củng cố, những thao tác không đúng, sai lầm

sẽ được khắc phục kịp thời

Bước 6: Thao tác sáng tạo Việc hình thành kĩ năng sư phạm là phải tiến

hành hoạt động sư phạm (các thao tác) trong các tình huống sư phạm khác nhau, tức là biết vận dụng một cách linh hoạt mềm dẻo vào các hoàn cảnh,

tình huống mới Vì vậy người thầy phải xây dựng các tình huống khác nhau

để người học giải quyết

Tóm lại, có thể nói quy trình rèn luyện kĩ năng trải qua các giai đoạn:

1.3 Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn toán

Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết vấn đề đã quan trọng, nhưng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và được đánh giá rất cao Thậm chí Albert Einstein còn cho rằng: "Việc thiết lập vấn đề thường thiết yếu hơn việc giải quyết vấn đề đó, vì giải quyết chỉ là công việc của kĩ năng toán học hay kinh nghiệm Nêu được vấn đề mới, những khả năng mới nhìn nhận những vấn đề cũ dưới một góc độ mới đòi hỏi phải có trí tưởng tượng và nó đánh dấu bước tiến bộ thực sự của khoa học" Sáng tạo chính là nêu vấn đề

Với nhận thức như trên, trong dạy học kĩ năng phải luyện tập cho học sinh thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình Đồng thời, đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi phải đưa ra các mới đối với nhân loại Nếu họ đương đầu với những vấn

đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu được cái mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết quả bằng những thủ pháp mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo

Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình rèn luyện kĩ năng trải qua bốn giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải

quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan

Hiểu

cách

làm

Làm thử

Luyện tập thành thạo

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn

đề một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng

sáng" trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển

khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

Quá trình hình thành kĩ năng có một số đặc điểm sau:

- Là tiền đề chuyển tri thức và kiến thức vào hoàn cảnh mới

- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra chức năng mới ở những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

- Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

- Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi đã biết được nhiều phương pháp truyền thống

- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần, kiên định mục đích

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi cao độ”, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những kết quả mới

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả

năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập Mặt khác, một số tác giả cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo"

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa các loại hình tư duy như sau:

Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.Krutexcki

Nhà tâm lý học V.A Krutexcki lấy ví dụ cho ba loại hình tư duy:

- Mức tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham gia nhiệt tình vào bài giảng

- Mức tư duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề được thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt động độc lập theo dụng ý trước của thầy (định hướng)

- Mức tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh định lý đó

Về mặt tâm lý học, tư duy sáng tạo có những dấu hiệu đặc trưng như:

- Sản phẩm của tư duy có tính mới mẻ và giá trị (có thể theo nghĩa chủ quan hay khách quan)

- Quá trình tư duy được chỉ đạo bởi tư tưởng, quan điểm, phương pháp luận tiến bộ so với thực tại xã hội

- Quá trình tư duy còn được đặc trưng bởi sự tồn tại của động cơ mạnh, của tính kiên trì vượt khó khăn, sự nỗ lực cá nhân vượt bậc và của nhiều phẩm chất đặc biệt khác nhau thuộc nhân cách

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Tuy vậy, như một quá trình sáng tạo, tư duy sáng tạo có tính chất tương đối: Tư duy sáng tạo của ai, trong hoàn cảnh nào? Cùng một chủ thể giải quyết vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhưng không sáng tạo trong điều kiện khác, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể đối với người này là mang tính sáng tạo còn với người khác thì không như vậy

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng bài toán cho học sinh

Cho đến nay, trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng đã có nhiều công trình nghiên cứu về kĩ năng giải toán cũng như về vấn đề bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trên thế giới, thì những năm

50 của thế kỷ XX trở lại đây các công trình nghiên cứu về năng khiếu và tài năng phát triển rất mạnh mẽ

Vào năm 1960, các nhà trắc nghiệm Mỹ J.W Getzels và P.W Jackson

đã thông báo các số liệu chứng tỏ không có sự phụ thuộc giữa các chỉ số trí tuệ (chỉ số IQ) và năng lực sáng tạo (creativity) Vì vậy, để đánh giá năng lực sáng tạo người ta dựa vào chỉ số CrQ với các tham số như: Tính linh hoạt của

tư duy (số lượng các ý tưởng xuất hiện trong một đơn vị thời gian), tính mềm dẻo của tư duy (năng lực chuyển từ ý tưởng này sang ý tưởng khác), tính độc đáo của tư duy (năng lực sản sinh ra các ý tưởng khác với các quan niệm đã được công nhận chung), tính nhạy cảm (đối với các vấn đề trong thế giới

xung quanh), năng lực vạch ra các giả thuyết; tính viễn tưởng Việc tách biệt

giữa các chỉ số IQ và chỉ số Cr đã đặt nền tảng cho việc đặt đối lập giữa logic

+) Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài người

Giữa hai mức độ hoạt động Toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập đến năng lực sáng tạo Có nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải những bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc

đáo những bài toán không mẫu mực…

Tác giả đã sử dụng một hệ thống bài toán thực nghiệm được chọn lọc một cách công phu để nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Từ các kết quả nghiên cứu đó, tác giả kết luận: Tính linh hoạt của quá trình tư duy khi giải toán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, trong việc thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những phương pháp dập khuôn

Krutecxki cũng nghiên cứu sâu về tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo) Tác giả đã nêu lên sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh bao gồm các mặt:

+) Thu nhận thông tin toán học

+) Chế biến thông tin toán học

+) Lưu trữ thông tin toán học

+) Thành phần tổng hợp khái quát

Trong đó, tính linh hoạt của tư duy trong hoạt động toán học, năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy đảo là những thành phần

quan trọng về mặt chế biến thông tin toán học Đặc biệt năng lực khái quát hóa tài liệu toán học được coi là thành phần cơ bản của năng lực toán học

Ở nước ta khi nói đến những công trình nghiên cứu về dạy học kĩ năng giải toán cho học sinh trong những năm vừa qua, trước hết phải kể đến tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận, …

Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện cho học sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong rèn luyện kĩ năng toán học,

cụ thể là phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự Trong tài liệu này, tác giả đã phân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc

đề xuất một số lượng bài tập thực hành hết sức phong phú Đặc biệt là, để giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ qui trình suy nghĩ để tìm lời giải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng như việc phân tích về những khó khăn thường gặp khi giải toán và phương hướng khắc phục những khó khăn đó Đó là việc mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra các phương pháp giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng dưới đây:

+) Khả năng phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh khác nhau

+) Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các

bài toán mới

Trong [19], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn sách là rèn luyện tư duy sáng tạo nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua lao động tìm tòi cái mới Tác giả khẳng định: "Muốn sáng

tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể do người khác đề xuất cho mình giải quyết Nhưng muốn trẻ thành một người có khả năng chủ động độc lập nghiên cứu thì phải lo bồi dưỡng năng lực, phát hiện vấn đề" [19, tr.166]

Để đi đến cái mới trong toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi thực nghiệm Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo Khi hướng giải quyết vấn đề đã có thì tư duy lôgic giữ vai trò chính Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng là phải giỏi vừa cả về phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp

nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia

Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nêu rõ: "Rèn luyện kĩ năng công tác độc lập là phương thức hiệu quả nhất để học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc, có ý thức và sáng tạo" Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường "chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu người học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng công tác độc lập suy nghĩ của bản thân đã được tôi luyện Học sinh không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy độc lập Các tác giả nhấn mạnh: Công tác độc lập cần phải phát triển ở học sinh sự hoạt động của tư duy và sáng tạo [3, tr.9]

Khi trình bày về công tác độc lập của học sinh trong việc giải bài tập toán, các tác giả lưu ý đến một trong những hình thức cao của công tác độc lập đòi hỏi nhiều sáng tạo là việc học sinh tự ra lấy đề toán Đó là biện pháp

để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình đề xuất bài toán mới, phát hiện vấn đề mới, các phẩm chất của tư duy sáng tạo được nảy nở và phát triển Trong các giáo trình toán học, khi nói đến nhiệm vụ của môn toán đều nhấn mạnh đến nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ chung, trong đó có nhiệm vụ hình thành những phẩm chất trí tuệ, đặc biệt là các phẩm chất tư duy sáng tạo Tác giả Nguyễn Bá Kim đã phân tích: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là

những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa

là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ nhưng vấn đề

là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào" [14, tr.50]

Trong [4], các tác giả đã khẳng định: phát triển những năng lực toán học

ở học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người thầy giáo [4, tr.130]

Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng đã có nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu về năng lực và cấu trúc của tư duy sáng tạo của học sinh Đó là một năng lực hết sức quan trọng trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh

1.5 Tiếp cận phương pháp dạy học hiện đại, nâng cao năng lực tư duy giải toán phần tổ hợp nói chung và nội dung bài toán đếm nói riêng

1.5.1 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích

và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta

có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất

Theo Hoàng Chúng (trong [3]), các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng các phương pháp này để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa các kiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ

có những phương pháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương

tự, hoặc đi sâu vào những trường hợp đặc biệt có ý nghĩa toán học

1.5.2 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau

Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua

quan sát so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự, ) để có thể

tự mình tìm tòi, dự đoán các kết quả, để tìm cách giải một bài toán, chứng minh một định lý, bồi dưỡng cho học sinh các phương pháp chứng minh toán học như phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp để có thể tự mình tìm tòi,

dự đoán được các qui luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán

và suy diễn trong quá trình dạy toán

Khi luyện tập củng cố, chẳng hạn khi học sinh học một qui tắc nào đó, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tính ì của tư duy, tránh hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó

chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vẫn đề và giải quyết vấn đề

1.5.3 Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng kĩ năng giải toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sáng tác những đề toán, tìm tòi những cách giải mới, những kết quả

mới khai thác từ các bài toán đã giải

Khâu kiểm tra đánh giá phải được xem là khâu quan trọng song song với việc dạy học Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu ngoài việc kiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo Ngoài ra cần tổ chức các hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ toán học Các hoạt động đó tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập và kích thích hứng thú học tập của học sinh

1.5.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của

kĩ năng giải toán, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo

Có thể khai thác nội dung các vấn đề dạy học, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc

lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Việc tìm nhiều lời giải của bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó mở đường cho sự sáng tạo phong phú Ngoài ra, khi dạy giải bài tập cần đưa ra các bài tập mới, để học sinh tập dượt sáng tạo, ra các bài tập "không theo mẫu", không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình để bồi dưỡng tính độc đáo của tư duy sáng tạo

1.5.5 Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học bài tập tổ hợp 11

Vấn đề dạy học toán trong dạy học bài tập Tổ hợp - Đại số và Giải tích

11 tuy đã có đổi mới về phương pháp giảng dạy nhưng vẫn còn tồn tại ở nhiều nơi phương pháp dạy học cũ thiếu tích cực từ phía người học, thiên về dạy, yếu về học Chúng ta vẫn hay gặp tình trạng phổ biến trong dạy học bài tập

Tổ hợp chỉ cố gắng chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa hoặc có chăng

là bổ xung thêm một ít bài tập nâng cao Đa số trong các giờ bài tập, giáo viên chỉ chú trọng đến số lượng bài tập mà vấn đề rèn luyện kĩ năng và phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập Tổ hợp chưa được chú trọng Chính vì vậy sự phát triển kĩ năng giải toán của học sinh đã bị kìm hãm Phần lớn học sinh phổ thông thường thụ động trong học toán

Trong dạy học môn toán ở đa số các trường phổ thông, thầy giáo thường phân dạng bài tập để chữa cho học sinh rồi luyện cho các em theo những dạng

đó Chính vì thế, các em thường chỉ giải được những bài toán dạng như thầy

đã chữa một cách máy móc mà khi thay đổi bài toán một chút là các em

không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo Chẳng hạn như đưa ra những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát

để tránh tính ỳ của tư duy, tránh hành động máy móc không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Việc đưa ra những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác;

những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau giúp học sinh hình thành các liên tưởng ngược đồng thời với liên tưởng thuận Bên cạnh đó, giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán

Yêu cầu này đòi hỏi các em phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác nhau, biết chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thao tác trí tuệ khác Cần phải rèn luyện cho học sinh chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy nghịch Có thể thực hiện bằng cách làm những bài tập mà trong đó vấn đề thuận, nghịch đi liền với nhau Đối với các bài tập có thể tìm được nhiều lời giải, mặc

dù mỗi lời giải có một nghĩa khác nhau nhưng cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức tự đánh giá và chọn lựa cách giải hay nhất cho bài toán

Tiến hành điều tra 70 học sinh ở lớp 11 trường THPT Tân Lập, chúng tôi giới thiệu về bảng hỏi:

Mục tiêu:

- Tìm hiểu nhận định của HS về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống

- Thăm dò HS về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải Toán

- Đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ năng giải Toán

Cách xây dựng: Xây dựng dưới dạng câu hỏi Cách trả lời là chon một kết quả (Đánh dấu “x” vào ô muốn lựa chọn)

Cách thức điều tra: Phát phiếu cho từng HS Trên mỗi phiếu điều tra là các câu hỏi trong bảng hỏi (Mẫu 01, Phần phụ lục)

Kết quả thu được thể hiện qua bảng 1.1, bảng 1.2 và biểu đồ 1.1 dưới đây:

Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống

Bảng 1.2 Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán

Nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải Toán Tỉ lệ (%)

Biểu đồ 1.1 Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện

kĩ năng giải Toán

Dựa vào các bảng thống kê, biểu đồ trên chúng ta thấy rằng đa số HS nhận thức được tầm quan trọng của môn Toán cũng như rất muốn được rèn luyện kĩ năng giải toán Tuy nhiên có đến gần một nửa HS được hỏi nghĩ rằng việc tự rèn luyện kĩ năng giải toán là khó hoặc rất khó

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả các về khái niệm kĩ năng, rèn luyện kĩ năng, kĩ năng giải toán và vai trò của việc rèn kĩ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kĩ năng giải toán cho người học Nêu ra các bước tiến hành hoạt động dạy học đạt hiệu quả cao trong việc rèn kĩ năng, đồng thời cũng đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán trong nhà Trường phổ thông

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỌN TRONG CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO

dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình

Vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời suy nghĩ nếu gặp trở ngại Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã

có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của của những kinh nghiệm,

những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Dưới đây là một số bài tập cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải còn chưa hay, giáo viên gợi mở cho học sinh theo các hướng trên để đạt được hiệu quả tốt hơn

Ví dụ 1 Lần lượt xét các bài toán sau đây:

Bài toán 1.1 Có bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hoán vị các chữ số của

số 1234567?

Lời giải Vì các chữ số của số đã cho 1234567 đôi một khác nhau nên

mỗi số tạo ra là một hoán vị của bảy chữ số trên Vậy có thể tạo ra 7! = 5040

số

Bài toán 1.2 Có bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hoán vị các chữ số của

số 1133345?

Hướng dẫn và lời giải Tiếp tục ý tưởng của BT1.1, sử dụng công thức

về số hoán vị để giải BT này Tuy nhiên vì hai chữ số 1 giống nhau, ba chữ số

3 giống nhau nên khi hoán vị hai chữ số 1 cho nhau, ba chữ số 3 cho nhau ta nhận được cùng một kết quả Vì vậy bài toán được giải như sau:

Coi bảy chữ số trên khác nhau, số hoán vị của bảy phần tử là 7!

Khi hoán vị hai chữ số 1 có 2! cách, hoán vị ba chữ số 3 có 3! cách

Do đó chỉ lập được 7!

2!.3!= 420 số thỏa mãn

Bài toán 1.3 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Hỏi từ A có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số khác xuất hiện không quá một lần?

Hướng dẫn Đây là bài toán lập số, chẳng hạn một số lập được là

4232733 Khi nói đến lập số, học sinh dễ nghĩ đến sử dụng chỉnh hợp, vì cần phải quan tâm đến thứ tự các chữ số Tuy nhiên trong bài toán này, số lập ra

có các chữ số giống nhau, và xuất hiện một số lần nhất định Do đó nên gợi

mở cho học sinh suy nghĩ theo các hướng: cách thứ nhất là HS có thể tiếp tục

ý tưởng của BT1.2, chọn các chữ số trước, sau đó hoán vị các chữ số để tạo thành số thỏa mãn; cách thứ hai là thực hiện chọn các phần tử của tập hợp A xếp vào bảy vị trí để được một số thỏa mãn yêu cầu

Lời giải của bài toán như sau:

Lời giải 1 Chọn hai chữ số khác nhau {a, b}, a < b, trong năm chữ số

Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này, ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữa bài toán đã cho và bài toán đã biết Tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên

ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau Tìm kiếm giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác

Ví dụ 2 Cho phương trình x 1x 2 x 3 x 4 12

a) Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình sao cho x i đôi một khác nhau

b) Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình

c) Tìm số các nghiệm nguyên không âm của phương trình

Hướng dẫn và lời giải

a) Nhận xét Vì số 12 là số khá nhỏ nên có thể nghĩ đến liệt kê các bộ bốn số

đôi một khác nhau và có tổng là 12 Việc liệt kê này chắc chắn không quá nhiều trường hợp vì chỉ kể ra những bộ số x , 1 x , 2 x , 3 x có giá trị tăng dần 4

+ Nếu x12 thì x2 3, x34, x45 không thỏa mãn

Như vậy lời giải phần a) như sau:

Chỉ có các bộ số nguyên dương sau đây đôi một khác nhau và có tổng bằng 12:

(1, 2, 3, 6) (1, 2, 4, 5) Mỗi hoán vị của một bộ số trên là một nghiệm của phương trình ban đầu, do

đó số nghiệm thỏa mãn là: 2.4! = 48

b) Nhận xét Tiếp tục ý tưởng phần a, học sinh có thể nghĩ đến việc liệt kê các

nghiệm thỏa mãn, tuy nhiên khi giả thiết bỏ đi điều kiện “các số xi phân biệt” thì công việc khó khăn hơn rất nhiều, vì trong bốn nghiệm đó có thể có hoặc không có các nghiệm nhận cùng một giá trị Khi đó phải hình dung bài toán

theo một cách khác như sau: coi 12 là 12 đơn vị, và phân chia 12 đơn vị này vào 4 ô x , 1 x , 2 x , 3 x sao cho ô nào cũng có ít nhất một đơn vị 4

Lời giải phần b) như sau:

Xét 12 ký hiệu “x” dưới đây:

x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x giữa chúng có 11 khoảng cách mà ta ký hiệu là dấu “_”

Viết xen vào khoảng cách giữa chúng 3 dấu phân chia “|”, chẳng hạn:

x _ x _ x | x _ x _ x _ x | x _ x | x _ x _ x tức là có x = 3, 1 x = 4, 2 x = 2, 3 x = 3 thỏa mãn yêu cầu 4

Vậy mỗi nghiệm của phương trình có được bằng cách chọn 3 trong 11 khoảng cách để phân chia, do đó số nghiệm nguyên dương là 3

11

C = 165

c) Nhận xét Học sinh có thể nhận thấy khi giả thiết thay đổi từ “dương” sang

“không âm” thì các nghiệm có thể bằng 0, điều đó nghĩa là chọn theo kiểu của phần b) không sử dụng được, vì khi chọn khoảng cách “_” làm dấu phân chia

“|” thì giữa chúng thế nào cũng có ít nhất một đơn vị “x” Muốn xảy ra các nghiệm bằng 0 thì phải chọn được trường hợp mà hai dấu phân chia “|” kề nhau, giữa chúng không có đơn vị nào Từ đó thay đổi cách thức chọn của phần b) ta có:

Lời giải phần c) như sau:

Xét 15 vị trí gồm 12 đơn vị “x” và 3 dấu phân chia “|”:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Chọn từ 15 vị trí đó ra 3 vị trí để làm dấu phân chia “|” (12 vị trí còn lại là dấu

“x”), chẳng hạn:

x x | x x x x x x | | x x x x tức là có x = 2, 1 x = 6, 2 x = 0, 3 x = 4 thỏa mãn yêu cầu 4

Vậy mỗi nghiệm của phương trình có được bằng cách chọn 3 vị trí trong 15 vị trí để phân chia, do đó số nghiệm nguyên không âm là 3

15

C = 455

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đề xuất nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được những phương án lạ, đặc sắc Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

Các hoạt động trí tuệ trong môn toán có thể kể đến như: dự đoán, bác

bỏ, lật ngược vấn đề, các thao tác tư duy toán học Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học kĩ năng

Ví dụ 3 Xét bài toán sau: Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách vào 4 ngăn

kéo?

Nhận xét Bài toán được phát biểu khá đơn giản, tuy nhiên nếu không

xem xét hết các tình huống thì dễ dẫn đến lời giải gây tranh cãi Gọi các quyển sách là 1, 2, 3, 4, 5, 6; các ngăn kéo là A, B, C, D Một số cách xếp có thể xảy ra là:

Ngăn A Ngăn B Ngăn C Ngăn D

BT3.1: Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào 4 ngăn kéo khác

nhau?

Hướng dẫn và lời giải Trong bài toán này các cách xếp sách kể trên là

khác nhau Vì các ngăn kéo khác nhau nên mỗi quyển sách có 4 cách xếp Do các quyển sách khác nhau nên áp dụng quy tắc nhân suy ra có 4 = 4096 cách 6xếp

BT3.2: Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách giống nhau vào 4 ngăn kéo khác

nhau?

Hướng dẫn và lời giải Vì các quyển sách giống nhau nên cách (a) và

(b) ở trên được coi là một cách, còn cách (b) và (c) là hai cách khác nhau do ngăn kéo khác nhau Đây là bài toán liên quan đến tổ hợp lặp, số cách xếp là

số nghiệm nguyên không âm (A, B, C, D) của phương trình A + B + C + D =

Hướng dẫn và lời giải Vì các quyển sách giống nhau, ngăn kéo giống

nhau nên các cách xếp (a), (b), (c) ở trên là một, chỉ cách (d) là khác các cách còn lại Số cách xếp của BT này là số nghiệm nguyên không âm viết theo thứ

tự không giảm của phương trình A + B + C + D = 6 Có thể kể ra tất cả các nghiệm đó như sau:

(0, 0, 0, 6) (0, 0, 3, 3) (0, 2, 2, 2)

(0, 0, 1, 5) (0, 1, 1, 4) (1, 1, 1, 3)

(0, 0, 2, 4) (0, 1, 2, 3) (1, 1, 2, 2)

Vậy có 9 cách xếp thỏa mãn yêu cầu

BT3.4: Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào 4 ngăn kéo giống

nhau?

Hướng dẫn và lời giải Vì các ngăn kéo giống nhau nên các cách xếp b

và c được coi là một cách, tuy nhiên cách xếp a và b được coi là hai cách khác