XAC SUAT LUYEN THI CAO HOC KINH TE 247 BQ

Gồmcác nội dung như sau: Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và các công thức tính xác suất 10 tiết 1.1.. Khái niệm phép thử , các loại biến cố, xác suất của biến cố.. Các công thức cơ bản côn

Trang 1

www.luyenthi247.com Ths Cao Văn On: 0945.060.462

PHẦN: XÁC SUẤT

Tài liệu được biên soạn dựa trên đề cương ÔN THI CAO HỌC KINH TẾ của các Trường Gồmcác nội dung như sau:

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và các công thức tính xác suất (10 tiết)

1.1 Khái niệm phép thử , các loại biến cố, xác suất của biến cố

1.2 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

1.3 Các lọai biến cố

1.4 Sự liên hệ giữa các biến cố Các công thức cơ bản (công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes)

Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất (8 tiết)

2.1 Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

2.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

2 3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

2.4 Hàm của đại lượng ngẫn nhiên

Chương III: Một số phân phối xác suất thông dụng (6 tiết)

3.1 Phân phối nhị thức;

3.2 Phân phối Poisson ;

3.3 Phân phối siêu bội;

3.4 Phân phối chuẩn;

Chương V: Mẫu ngẫu nhiên (4 tiết)

5.1 Khái niệm tổng thể và mẫu;

5.2 Mô hình xác suất của tổng thể và mẫu

5.3 Phân phối xác suất của các tham số đặc trưng mẫu

5.4 Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu

5.5 Mẫu ngẫu nhiên hai chiều

www.luyenthi247.com

Trang 2

Số cách chọn mua đôi giày của người đó là: 2 + 3 =5 (cách)

(Có hai phương án chọn cỡ 39 hoặc 40 do gặp từ hoặc ta áp dụng quy tắc cộng)

II Quy tắc nhân (VÀ)

Nếu một công việc cần thực hiện gồm có A1; A2;….; Ak giai đoạn, trong đó giai đoạn Ai có nicách thực hiện (i=1,…,k) thì số cách thực hiện công việc là:

k

n

n C

n k k





www.luyenthi247.com

Trang 3

Ví dụ: Một đề thi gồm 3 câu hỏi, lấy trong 25 câu hỏi cho trước Hỏi có bao nhiêu cách lập

A

! ( )!

k

n

n A

n k





Ví dụ: Một buổi họp có 12 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn một chủ tọa và 1 thư ký?

Số cách chọn một chủ tọa và 1 thư ký là một chỉnh hợp chập 2 của 12 phân tử (sửdụng chỉnh hợp vì có sự khác biệt giữa chọn một chủ tọa và thư ký)

Bài 2: Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa Hỏi có bao nhiêu cách xếp

Trang 4

e) A, B ở cùng một toa, ngoài ra không có ai khác?

Giải:

a) 8 người cùng một toa, vậy số cách xếp là C101  10 (cách)

b) 8 người ở 8 toa khác nhau

Gọi ni (i=1…10) là số cách xếp của người thứ i

Bài 3: Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc, trong đó có 3 chai kém chất lượng Hộp thứ hai có 5 chai

thuốc, trong đó có 2 chai kém chất lượng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chai Hỏi có bao nhiêu cách:

a) Lấy được 2 chai thuốc

b) Lấy được 2 chai thuốc chất lượng tốt

c) Lấy được một chai tốt và một chai kém chất lượng

Bài 4: Một lớp học có 20 Nam và 30 Nữ, cần lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 Nam

Trang 5

a Có bao nhiêu cách thực hiện việc này?

b Có bao nhiêu cách thực hiện, biết rằng ai đã tham gia hát thì không được múa?

c Hai sinh viên Nam

Do chọn 4 sinh viên mà 2 sinh viên là nam

Số cách chọn là: C C302 202 82650

d Có ít nhất một sinh viên là Nam

Số cách chọn có ít nhất một sinh viên Nam trong 4 sinh viên là:

Trang 6

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và các công thức tính xác suất

I Khái niệm phép thử , các loại biến cố, xác suất của biến cố

II Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

III Các lọai biến cố

IV Sự liên hệ giữa các biến cố Các công thức cơ bản (công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes)

I Phép thử, biến cố, các loại biến cố

- Phép thử: là hành động chúng ta thực hiện một thí nghiệm nào đó

- Không gian mẫu (): là tập hợp chứa mọi trường hợp của phép thử

- Biến cố: là kết quả của phép thử

- Biến cố ngẫu nhiên (BCNN): là biến cố có thể xảy ra nhưng cũng có thể không xảy ra khi thực

hiện phép thử

- Biến cố chắc chắn (ký hiệu là ): là biến cố chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử

- Biến cố không thể (ký hiệu là ): là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử

II Quan hệ giữa các biến cố

1 Biến cố tổng

Tổng của 2 biến cố A, B ký hiệu là ABhoặc A+B, Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có

ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra

Ví dụ: Xét phép thử quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào 1 bia (mỗi xạ thủ chỉ bắn 1 viên đạn).Gọi A là BC xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, B là BC xạ thủ thứ 2 bắn trúng bia, C là biến cốbia trúng đạn Rõ ràng C xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra

www.luyenthi247.com

Trang 7

Vậy C=A.B

3 Hai Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong mộtphép thử Tức là BC này xảy ra thì biến cố còn lại không bao giờ xảy ra

Nghĩa là: A   B 

4 Hai Biến cố đối lập

A và B được gọi là 2 BC đối lập, khi và chỉ khi

Trang 8

- Với biến cố A  B A B: được phát biểu là “ có ít nhất một sản phẩm không tốt” hay có không quá 1 sản phẩm tốt

- Tổng quát lên với A B C   A B C: được phát biểu là “có không quá 2 sản phẩm tốt”

7 Sơ đồ Venn cực kỳ quan trọng

L là biến cố SV đậu Lý

a Gọi A là biến cố SV đậu ít nhất một môn

Cách 1: A T   L (vì biến cố tổng xảy ra khi có ít nhất một biến cố xảy ra tức là có ít nhất SV đậu một môn)

.

A B A B A B .

www.luyenthi247.com

Trang 9

III Công thức tính xác suất bằng định nghĩa

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

( ) ( )

* Phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa

- B1: Gọi tên phép thử, tìm số cách thực hiện phép thử

Trang 10

( )

n A  C

=>

3 8 3 10

2 Công thức nhân xác suất

3 Công thức xác suất có điều kiện

4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

5 Công thức Bernoulli

www.luyenthi247.com

Trang 11

* Phương pháp tính xác suất bằng công thức (Đây là phương pháp cực kỳ hay nếu anh/chị hiểu rõ

phương pháp này và làm theo đúng như các bước trình bày trong phương pháp thì mọi bài toán xác suất sẽ trở nên đơn giản)

- B1: Gọi tên biến cố thành phần

-B2: Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, viết phép toán biến cố cần tìm xác suất theo biến cố thành phần

- B3: Phân tích mối quan hệ giữa các biến cố thành phần tham gia vào phép toán: Xung khắc haykhông xung khắc, độc lập hay phụ thuộc, có tạo thành hệ đầy đủ hay không

- B4: Chọn công thức tính xác suất phù hợp với các mối quan hệ đó và tính xác suất của biến cốthành phần

-B5: Cuối cùng tính xác suất của biến cố ban đầu

1 Công thức cộng xác suất

TH1: Nếu A, B là 2 biến cố xung khắc (xem lại định nghĩa 2 biến cố xung khắc có thể hiểu nôm

na là cái này xảy ra thì cái kia không bao giờ xảy ra)

=>P A B (  )  P A ( )  P B ( )

-Nếu A, B, C là 3 biến cố xung khắc từng đôi một

=>P A B C (   )  P A ( )  P B ( )  P C ( )

Bài tập vận dụng: Một lô hàng có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt từ lô

hàng đó ra 2 sản phẩm theo phương thức không hoàn lại, tính xác suất lấy được:

Trang 12

www.luyenthi247.com Mr On: 0945.060.462

=>n A( )C62

=>

2 6 2 10

( ) 1( )

Trang 13

- Nếu A, B, C là 3 biến cố không xung khắc thì:

P A B C    P A  P B  P C  P A B  P AC  P BC  P A B C

Bài tập vận dụng: Một lớp học có 100 SV, có 60 SV giỏi Toán, 70 SV giỏi Anh Văn, 40 SV giỏi

cả 2 môn Toán và Anh Văn Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của lớp, Tìm xác suất để:

a Chọn được 1 SV giỏi ít nhất một môn?

b Chọn được một SV chỉ giỏi toán?

b Gọi B là biến cố chọn được SV chỉ giỏi toán (chỉ giỏi toán tức là không giỏi lý hay B = TL)

Áp dụng công thức sơ đồ Venn (trang 8) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 60 40 0.2

100 100

P B P TL P T P T L   

2 Công thức nhân xác suất

TH1: Các biến cố độc lập với nhau

www.luyenthi247.com

Trang 14

Gọi B1 là biến cố người thứ nhất bị bệnh

B2 là biến cố người thứ hai bị bệnh

Trang 15

Cách 1: C  B B1 2B B1 2B B1 2

Các biến cố tham gia vào tích độc lập với nhau

Các biến cố tham gia vào tổng xung khắc với nhau

Các biến cố tham gia vào tổng thì xung khắc

Các biến cố tham gia vào tích thì độc lập

Bài tập 2: Có 2 lô hàng mỗi lô chứa 15 SP, trong đó lô I gồm 10 SP tốt, 5 SP xấu, Lô II gồm 8 SP

tốt, 7 SP xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 2 sản phẩm, tính xác suất trong 4 SP chọn ra có 2 SP tốt và 2 SP xấu?

www.luyenthi247.com

Trang 16

Giải

- Gọi Ailà biến cố chọn được i sản phẩm tốt từ lô I (i=0, 1,2)

- Gọi Bjlà biến cố chọn được j sản phẩm tốt từ lô II (j=0,1,2)

Gọi C là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra từ 2 lô hàng

Ta có: C  A B2. 0  A B1. 1  A B0. 2

- Các biến cố tham gia vào tổng thì xung khắc

- Các biến cố tham gia vào tích thì độc lập

TH2: Các biến cố phụ thuộc vào nhau

- Hai biến cố A, B được gọi là phụ thuộc vào nhau khi khả năng xảy ra của biến cố này phụ thuộc và khả năng xảy ra của biến cố kia và ngược lại

Định lý: Nếu A, B là 2 biến cố phụ thuộc vào nhau ta có:

B được đọc như sau “xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra”

*Chú ý quan trọng: Nếu A, B là 2 biến cố phụ thuộc vào nhau, ta nên vẽ cây xác suất để tính xác suất là dễ nhất

Bài tập vận dụng: Một người tham gia đấu thầu 2 dự án, khả năng trúng thầu dự án I là 0.6,

nếu trúng thầu dự án I thì khả năng trúng thầu dự án II tăng lên thành 0.6 Còn nếu không

trúng thầu dự án I thì khả năng trúng thầu dự án II là 0.2 Tìm xác suất để người đó: www.luyenthi247.com

Trang 17

- Gọi D1 là biến cố người đó trúng thầu dự án I

- Gọi D2 là biến cố người đó trúng thầu dự án II

a Gọi A là biến cố người đó trúng thầu cả 2 dự án

Ta có: A  D D 1 2

Mà 2 biến cố D1, D2 phụ thuộc vào nhau (vì khả năng trúng thầu dự án 2 phụ thuộc vào khả năng trúng thầu dự án 1)

2 ( ) ( 1 2) ( 1) ( ) 0.6 0.6 0.36

Các biến cố tham gia vào tổng thì xung khắc

Các biến cố tham gia vào tích thì phụ thuộc

- Các biến cố tham gia vào tổng thì xung khắc

- Các biến cố tham gia vào tích thì phụ thuộc vào nhau

Trang 18

Khi chúng ta vẽ cây xác suất thì bài toán được giải quyết rất nhanh

Bài tập 2: Một SV thi 2 môn, xác suất SV này đậu môn thứ nhất là 80%, nếu đậu môn thứ nhất

thì xác suất đậu môn thứ 2 là 60% Nếu không đậu môn thứ nhất, thì xác suất đậu môn thứ 2 là 30% Hãy tính xác suất:

a SV đậu cả 2 môn (Đs 0.48)

b SV chỉ đậu môn thứ 2 (Đs 0.06)

c SV đậu ít nhất một môn (Đs 0.86)

d SV không đậu cả 2 môn (Đs 0.14)

Gợi ý: làm cả 2 cách dùng công thức và vẽ cây xác suất

3 Công thức tính xác suất có điều kiện

( )

( ) ( )

( )

P A B A

P

P A B B

Trang 19

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Một hộp có 7 bi đỏ và 6 bi trắng, lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi không hoàn lại (từ là

mỗi lần chỉ lấy 1 bi) Tính xác suất:

a Lấy được bi trắng ở lần đầu

b Lấy được bi trắng ở lần 2 biết lần 1 đã lấy được bi trắng

Giải

a Gọi A là biến cố lấy được bi trắng lần đầu (chú ý mỗi lần chỉ lấy 1 viên)

1 6 1 13

6( )

b Gọi B là biến cố lấy được bi trắng ở lần 2, mà lần đầu đã lấy được bi trắng

theo đề bài thì biến cố A đã xảy ra

13 12 1 6 1 13

a Có 2 sinh viên làm được bài?

b Nếu có 2 sinh viên làm được bài, Tìm xác suất SV A không làm được bài?

Giải

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố SV A, SV B, SV C làm được bài

a Gọi D là biến cố có 2 sinh viên làm được bài

Ta có: D  A B C  A B C  A B C

- Các biến cố tham gia vào tổng xung khắc

- Các biến cố tham gia vào tích độc lập

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P D P A P B P C P A P B P C P A P B P C

www.luyenthi247.com

Trang 20

= 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2 0,7 0,6 = 0,452

b Theo đề bài biến cố D đã xảy ra

vậy xác suất để SV A không làm được bài, khi có 2 sinh viên làm được bài là:

Bài tập 3: Ba người thợ săn cùng bắn vào 1 con thú, với khả năng bắn trúng tương ứng là 0,4;

0,5; 0,7 Kết quả con thú bị trúng 1 viên đạn Vậy phải xẻ thịt con thú để chia cho 3 người theo tỳ

lệ như thế nào là công bằng?

Giải

- Gọi N1, N2, N3 lần lượt là biến cố người thứ 1, người thứ 2, người thứ 3 bắn trúng

Gọi A là biến cố con thú bị trúng 1 viên đạn

Ta tính được P (A)=0.36

Theo đề bài biến cố A đã xảy ra, ta lần lượt tính: (Làm tương tự như câu b bài toán 2)

1 1

6 1 2

4 7 3

12

N P

A N P

A



4 Công thức xác suất đầy đủ, Công thức Bayes

4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Nếu hệ các biến cố A A1, 2, ,A là hệ đầy đủ, và B là biến cố có liên quan tới hệ đó thì xác suất n

để biến cố B xảy ra được tính theo công thức:

Trang 21

( ) ( ) ( )

a Tính xác suất SV đó mua phải cây bút xấu?

b Giả sử SV đã mua được cây viết xấu, Tính xác suất cây viết xấu do phân xưởng I sản xuất?

Giải

a Gọi A là biến cố SV mua phải cây bút xấu

Gọi xi là biến cố SV mua phải bút bi do phân xưởng i sản xuất ( i = 1, 2, 3)

Theo đề bài 3 biến cố x x x1, 2, 3, tạo thành hệ đầy đủ

b Theo đề bài thì biến cố A đã xảy ra

Ta cần tìm xác suất SV mua phải cây viết xấu do phân xưởng I sản xuất, tức là:

Ta tìm P ( x1 )

A

1

1 1

Trang 22

Dãy n phép thử được gọi là phép thử Bernoulli nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A và A xảy ra

2 Dãy phép thử độc lập với nhau

3 Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử luôn cố định, tức là P(A)=p

=>q=P(A)=1-P(A)=1-p

* Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong dãy n phép thử Bernoulli là

 ,  n k k n k

P k A  C p q  (q=1-p)

Lưu ý: Trong dãy n phép thử Bernoulli, số m sao cho P(m, A) lớn nhất được gọi là số có khả

năng nhất Ta có công thức tìm m như sau:

a Gọi A là biến cố bắn trúng 3 lần trong 5 lần bắn

(Vì thực hiện phép thử 5 lần độc lập với nhau, mà xác suất bắn trúng 1 lần là cố định 0,8 do đó xác suất bắn trúng 3 lần trong 5 lần bắn là dãy phép thử Bernoulli)

www.luyenthi247.com

Trang 23

=>P A ( )  C530,8 0, 23 2  0, 2048

b Gọi B là biến cố bắn trật 3 lần trong 5 lần bắn

=>P B ( )  C530, 2 0,83 2  0, 0512

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT RẤT HAY

(Đây là phương pháp giúp anh/chị chọn công thức tính xác suất phù hợp, giúp chúng ta nhận dạng rất nhanh bài toán phải sử dụng công thức xác suất nào như công thức tính xs bằng định nghĩa, công thức cộng xs, công thức nhân xs, công thức xs có điều kiện, công thức xác đầy đủ, Bayes, hay công thức xác suất Bernoulli…)

1 Nếu biến cố là kết quả của 1 hành động thì xác suất của nó được tính bằng công thức xác suất

Trang 24

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I BÀI 1: Có 3 cửa hàng 1, 2, 3, cùng kinh doanh sản phẩm A Tỉ lệ SP A trong 3 cửa hàng 1, 2, 3,

lần lượt là 70%, 75%, 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua 1 SP

a Tính xác suất để khách hàng mua được SP loại A?

b Giả sử đã mua được SP loại A Theo bạn khả năng người khách hàng ấy đã chọn mua sản phẩm loại A ở của hàng nào là cao nhất?

Giải

Gọi C C C1, 2, 3lần lượt là biến cố khách hàng chọn mua sản phẩm A ở cửa hàng thứ 1, 2, 3 Ta thấy các biến cố C C C1, 2, 3tạo thành hệ đầy đủ (vì xác suất chọn mua ở mỗi cửa hàng là như nhau và là 1

3 do đó tổng xác suất của 3 biến cố C C C1, 2, 3 là 1)

a Gọi A là biến cố khách hàng mua được SP loại A

b Theo đề bài thì biến cố A đã xảy ra, ta cần tìm xác suất:

Theo công thức Bayes ta có:

-

1

1 1

1.0, 7

3( ) 0, 65 39

1.0, 75( ) ( )

53

( ) 0, 65 13

A

P C P

C C

1( ) ( ) 0,5

103

( ) 0, 65 39

A

P C P

C C

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,29 MB