MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hàm một BIẾNT11

T đó, ta có đấ ừ ược hướng gi i phả ương trình hàm đã cho... Cách gi i hoàn toàn tả ương t ta đự ược:.

Chuyên đ : ề

M T S PH Ộ Ố ƯƠ NG PHÁP GI I PH Ả ƯƠ NG TRÌNH HÀM M T BI N Ộ Ế

1.3 S d ng phép đ i bi n……… ử ụ ổ ế

2 Phương pháp qui n p toán h c………ạ ọ

3 Phương pháp tìm nghi m riêng………ệ

4 S d ng các tính ch t c a hàm s ………ử ụ ấ ủ ố

4.1 S d ng tính liên t c c a hàm s ………ử ụ ụ ủ ố4.2 S d ng tính đ n đi u c a hàm s ……… ử ụ ơ ệ ủ ố

C K T LU N……… Ế Ậ

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả

A M Đ U Ở Ầ

Phương trình hàm v i m t bi n s là m t chuyên đ quan tr ng thu cớ ộ ế ố ộ ề ọ ộ

chương trình chuyên toán trong các trường THPT chuyên Các bài toán liênquan đ n phế ương trình hàm v i m t bi n s thớ ộ ế ố ường r t khó và ph c t pấ ứ ạ

h n nhi u so v i các phơ ề ớ ương trình hàm nhi u bi n Trong các kì thi h cề ế ọsinh gi i toán qu c gia và Olimpic toán khu v c và qu c t ngày càng xu tỏ ố ự ố ế ấ

hi n m t nhi u Chúng đệ ộ ề ược xem nh là nh ng bài toán khó và r t khó c aư ữ ấ ủ

b c ph thông.ậ ổ

Chuyên đ “M t s phề ộ ố ương pháp gi i phả ương trình hàm m t bi n” trìnhộ ếbày m t s phộ ố ương pháp gi i phả ương trình hàm m t bi n, m t vài d ngộ ế ộ ạtoán đi n hình c a phể ủ ương trình hàm m t bi n mà nghi m c a nó có thộ ế ệ ủ ể

d dàng tìm đễ ược trong l p cac hàm s s c p đã bi t chớ ố ơ ấ ế ở ương trình toán

ph thông.ổ

Tác gi xin chân thành c m n NGND.GS.TSKH Nguy n Văn M u đã t nả ả ơ ễ ậ ậtình giúp đ đ tác gi hoàn thành chuyên đ ỡ ể ả ề

B N I DUNG Ộ

Trong lí thuy t cũng nh th c hành, không có nh ng đ nh lí cũng nh cácế ư ự ữ ị ưthu t toán chung đ gi i phậ ể ả ương trình hàm m t bi n tộ ế ương t nh thu tự ư ậtoán gi i phả ương trình đ i s b c hai B i v y, đ gi i phạ ố ậ ở ậ ể ả ương trình hàm

m t bi n, ta ph i nghiên c u kỹ các tính ch t c a hàm s c n tìm, đ nộ ế ả ứ ấ ủ ố ầ ơ

gi n hóa b ng các phép th bi n, đ t n ph , đ i bi n ho c tìm nghi mả ằ ế ế ặ ẩ ụ ổ ế ặ ệriêng…đ đ a v các phể ư ề ương trình hàm c b n đã bi t cách gi i.ơ ả ế ả

x t

 Thay vào (1.1),suy ra

x

x x



� � v i ớ a�0; 1 ,   n u bi tế ế2

Gi i ả Đ t ặ

, 1

a x a

t x t

Gi s mi n xác đ nh c n tìm c a hàm s là ả ử ề ị ầ ủ ố D f,v i m i ớ ỗ x D� fta xét dãyxác đ nh b i bi u th c ị ở ể ứ

N u dãy ế x n được xác đ nh nh trên tu n hoàn v i chu kì ị ư ầ ớ k,ta sẽ đ a (*) vư ề

h ệ kphương trình v i ớ k n hàm Gi i h phẩ ả ệ ương trình này tìm được f x( ).

Bài toán 1.4 Tìm t t c các hàmấ ả f :� �� th a mãn đi u ki n:ỏ ề ệ

Gi i h trên, v i n ả ệ ớ ẩ f x( ), 1 ta được

1 1

2 2

2 3

3 3

3 1

4 4

1

1 ( ) 2 ( ) 1

1 1 ( ) 2 ( ) 1

1 1 ( ) 2 ( ) 1

1 1 ( ) 2 ( ) 1

1

x

x f x f

x x

x f x f

x x

x f x f

x x

2

f  

Cho x 1t (1.10), suy ra ừ f(1) 2 (0) 1. f 

K t lu nế ậ

khi 1 2

Th l i, ta th y hàm s v a tìm đử ạ ấ ố ừ ược th a mãn đi u ki n bài toán.ỏ ề ệ

Gi i Gi s t n t i hàm s ả ả ử ồ ạ ố f x( )th a mãn yêu c u bài ra.ỏ ầ

Đ t ặ g x( ) : f x( ) f tx( ). D th y ễ ấ g x( )liên t c t i ụ ạ x 0và g(0) 0. Ngoài ra, v iớ

T (1.11) cho ừ n� � ,do t� 0;1 nên t n �0,t2n �0và lim ( ) g(0) 0, 0

Xét x 0. Đ t ặ x 2 ,t suy ra g( 2 ) t k t( ). Khi đó t log 2 x và

a

Đ t ặ

1 2

g x  h x  h

h (log x) khi x 0Hay

h(x) c t�y�khi x 0

1

h ( log x) khi x 0 2

Trong đó h h1 , 2là các hàm tu n hoàn c ng tính tùy ý trên ầ ộ �chu kì là 1

V y ậ

1 ( ) ( )

Ki m tra l i ta th y hàm s th a mãn đ bài.ể ạ ấ ố ỏ ề

2 Ph ươ ng pháp qui n p ạ

- Đ i v i phố ớ ương pháp này ta ch xét nh ng hàm xác đ nh trên ỉ ữ ị �và l y giá ấ

tr trên ị �,sau đó ta m r ng cho trở ộ ường h p hàm c n tìm xác đ nh trênợ ầ ị

,

�� Tuy nhiên, trong vài trường h p ta có th s d ng phợ ể ử ụ ương pháp này trong vi c xác đ nh hàm ệ ị f :��� trong đó hàm f là hàm s liên t c và s ố ụ ử

d ng đ n tính trù m t c a t p ụ ế ậ ủ ậ �.

Bài toán 1.10 Tìm t t c các hàm s ấ ả ố f xác đ nh trên t p h p các s ị ậ ợ ốnguyên không âm �,l y giá tr trên t p h p s đó và th a mãn đi u ki nấ ị ậ ợ ố ỏ ề ệ

n 1n� u n l�

Ki m tra l i, ta th y các hàm s này th a mãn đi u kiên bài toán.ể ạ ấ ố ỏ ề

Bài toán 1.11 (THTT-T7/2000) Xác đ nh hàm s ị ố f :���,liên t c và ụ

th a mãnỏ

2

1) (2x) 2 ( ), , 2) ( ( )) ( ), ,

x x Suy ra f x( )là đ n ánh và liên t c nên nó là hàm đ n đi u th c s ơ ụ ơ ệ ự ự

M t khác, theo gi thi t thì ặ ả ế f(2) 2 (1) f  f(1)nên f x( )là hàm s đ ng bi n ố ồ ếtrên � 

V i ớ x 1 thì f f��2(1)�� f(1)nên f2(1) 1 và f(1) 1. T đó theo qui n p, ta cóừ ạ

Gi i ả Thay x 0 vào (1.16) ta được f(0) 0.

Thay x 0 vào (1.17) ta được f(1)  f 0  1 mà f(0) 0 nên f(1) 1.

( 1) 1

1

1 1 ( )

1

x

f x x

 2

2

1 1 ( ) 1

n

g x � �  mâu thu n vì mi n giá tr c a hàm g là ẫ ề ị ủ  0;1

3 Ph ươ ng pháp tìm nghi m riêng ệ

Tìm nghi m riêng c a phệ ủ ương trình hàm đã cho, nghiên c u các tính ch tứ ấ

c a nghi m riêng đó Hi n nhiên, nghi m c n tìm cũng ph i có nh ng tínhủ ệ ể ệ ầ ả ữ

ch t đó T đó, ta có đấ ừ ược hướng gi i phả ương trình hàm đã cho Trước h tế

nên tìm nghi m riêng trong l p các hàm h ng, hàm s b c nh t, hàm s đaệ ớ ằ ố ậ ấ ố

th c Nói chung, nên tìm các nghi m riêng trong l p các hàm s c p, b tứ ệ ớ ơ ấ ắ

đ u t các hàm đ n gi n nhât Nên chú ý các đ c tr ng c a các hàm s sầ ừ ơ ả ặ ư ủ ố ơ

c p.ấ

Sau khi tìm được nghi m riêng d ng ệ ạ f x0 ( )ta thường xét đ n hàm s phế ố ụ

0 ( ) ( ) ( )

g x  f x  f x và xét phương trình thu được đ i v i ố ớ g x( ).Khi tìm nghi mệriêng nên chú ý đ n m t s nh n xét sauế ộ ố ậ

Cho đa th c ứ P x( )  � x , degP n. Khi đó

1 N u ế P x( ) có nhi u h n ề ơ n nghi m thì ệ P x( ) 0,  ��x hay là P� 0.

2 N u ế   �a ,a 0,sao cho P x a(  )P x( ),  ��x thì P x( )C v i ớ  ��x ,hay

Bài toán 1.14 Cho a là h ng s ằ ố

2 3

x x x x

x t

V i ớ x�1;2;3  Đ t ặ

2 1

x t x

V i ớ t0, đ t ặ t2 ,u suy ra    2u 1   2u hay (u 1) ( ),u trong đó  2u   u .

V y ậ là hàm tu n hoàn chu kì là ầ 1.V y ậ  t  log 2t.

V i ớ t0, đ t ặ t 2 ,u suy ra  2u 1     2u hay (u 1) ( ),u trong đó

g v�ix 1,2,3

x 1

4 S d ng các tính ch t c a hàm s ử ụ ấ ủ ố

4.1 S d ng tính liên t c c a hàm s ử ụ ụ ủ ố

Phương pháp s d ng tính liên t c c a hàm s trong nhi u trử ụ ụ ủ ố ề ường h p tợ ỏ

ii) Ch ng minh dãy ứ  x n h i t v ộ ụ ề b.

2) S d ng tính liên t c c a ử ụ ụ ủ f x( ) ta có f a( ) lim  f x n  f(lim )xn  f b( ). Suy

ra f x( )là hàm h ng.ằ

Đ i v i phố ớ ương trình hàm có kèm theo gi thi t liên t c, trong nhi u ả ế ụ ề

trường h p b ng cách xây d ng m t dãy s và s d ng phợ ằ ự ộ ố ử ụ ương pháp chuy n qua gi i h n ta sẽ thu để ớ ạ ược hàm f x( )

Bài toán 1.16.Tìm t t c các hàm s ấ ả ố f :���liên t c và th a mãn đi uụ ỏ ề

6 1 ( ) ( )

6

1 ( ) ( )

n n n

1 1

f x  x

th a mãn đi u ki n c a bài toán.ỏ ề ệ ủ

Bài toán t ng quát 1.1 ổ Tìm hàm s ố f x( ) xác đ nh,liên t c trên ị ụ �và th aỏmãn đi u ki n ề ệ af x( ) f bx( )cx, đây ở a b c, , ��;0 b 1; a �1.

Cách gi i hoàn toàn tả ương t ta đự ược: ( ) .

n n n

x x

1

n n

n

x x

l l

l



 t đó ta có ừ l 1.

Dãy s ố

T gi thi t ừ ả ế f x( )liên t c, suy ra ụ g x( )liên t c trên ụ � Xét v i m i ớ ỗ xc đ nh, ố ị

t đ ng th c (1.25) chuy n qua gi i h n, ta thu đừ ẳ ứ ể ớ ạ ược g x( ) 0.�

Suy ra

5 ( )

2

f x  x

Th lai, ta th y hàm s ử ấ ố

5 ( ) 2

f x  x

th a mãn đi u ki n bài ỏ ề ệra

Bài toán 1.20 Cho hàm 2

Đ t ặ ( ) (1x  x f x2) ( ) v i ớ x� 1;1  Khi đó, hàm f x( )liên t c trên kho ngụ ả

( 1;1)  và th a mãn (1.26) khi và ch khi ỏ ỉ ( )x liên t c trên kho ng ụ ả ( 1;1) và

1 ( )

 � �  � � v i ớ x�(0;�). Khi đó ( )x liên t c trên kho ngụ ả

 1;1 và th a mãn (1.28) khi và ch ỏ ỉ h x( ) liên t c trên ụ 0;� và th a mãn hỏ ệ

th c ứ

2 ( ) ( ), 0;

D th y các hàm s ễ ấ ố

2 ( ) , ( 1;1), 1

Nh n xét 1.5 ậ i) N u ế f x g x( ), ( )cùng đ n đi u tăng, ho c cùng đ n đi uơ ệ ặ ơ ệ

gi m trên ả �thì f g x( ( )), ( ( ))g f x cũng tăng trên � T đó suy ra, n u ừ ế f là hàmtăng trên � thì f x n( ) cũng là hàm tăng trên �,v i m i ớ ọ n�� *

ii) N u ế f x( )tăng trên �, g x( ) gi m trên ả � thì f g x g f x( ( )), ( ( ))đ n đi u gi mơ ệ ảtrên � T đó suy ra, n u ừ ế f x( )đ n đi u gi m trên ơ ệ ả � thì f2n( )x đ n đi uơ ệtăng, còn f2n1( )x đ n đi u gi m trên ơ ệ ả �

Nh n xét 1.6 ậ Cho g x( )là hàm liên t c trên ụ � N u ế f :��� là hàm đ nơ

Bài toán 1.21 Cho trước n�� * Hàm f : 0;1   � 0;1 liên t c và th a mãn ụ ỏ

 

(0) 0, (1) 1, n( ) , 0;1

f  f  f x x  �x

Ch ng minh r ng ứ ằ f x( )x trên đo n ạ  0;1

f x  f x  x  ��x

Thay xb i ở f x( ) suy ra f x2( ) 2 ( ) f x x.

L i thay ạ xb i ở f x( )l n n a, ta thu đầ ữ ược

3 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2(2 ( ) ) ( )

Thay xb i ở f1( )x suy ra f2( ) 2x  f1( )x x mà f1( ) 2x  x f x( ),nên

V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình đã cho là f x( ) x C, v i ớ Clà m t s th c.ộ ố ự

Bài toán 1.23 Xét t t c các hàm đ n ánh ấ ả ơ f :� �� th a mãn đi u ki n:ỏ ề ệ

+) Ta ch ng minh ứ g là toàn ánh Th t v y v i m i ậ ậ ớ ọ x�� ta có:

Do đó g là m t song ánh hay ộ f x x là m t song ánh.ộ

Bài toán 1.24 Xét t t c các hàm ấ ả f g h, , :� �� sao cho f là đ n ánh và ơ h

+) Ta ch ng minh ứ g x là toàn ánh Th t v y v i m i ậ ậ ớ ọ x�� và do h là m tộsong ánh nên t n t i ồ ạ y�� sao cho

f x h y  f g y �x g y (do f là đ n ánh) T đó suy ra ơ ừ g là m tộtoàn ánh

V y ậ g x  là m t hàm song ánh.ộ

C K T LU N Ế Ậ

V i s n l c h c t p và nghiêm túc c a b n thân cùng v i s góp ý và ớ ự ỗ ự ọ ậ ủ ả ớ ựgiúp đ c a NGND.TSKH Nguy n Văn M u các k t qu chính c a chuyên ỡ ủ ễ ậ ế ả ủ

đ ‘ M t s phề ộ ố ương pháp gi i phả ương trình hàm m t bi n đã độ ế ược trình bày theo h th ng dệ ố ưới đây :

1 Trình bày s d ng phép đ t n ph , phép th và đ i bi nử ụ ặ ẩ ụ ế ổ ế

2 Trình bày phương pháp qui n p toán h cạ ọ

3 Trình bày phương pháp tìm nghi m riêngệ

4 Trình bày s d ng các tính ch t c a hàm sử ụ ấ ủ ố

M i phỗ ương pháp đ u có các ví d ho c các bài toán minh h a cho phề ụ ặ ọ ươngpháp gi i, cho các d ng bài.ả ạ

M t s t n t iộ ố ồ ạ : Phương trình hàm là m t chuyên đ r t r ng, nhi u ộ ề ấ ộ ề

d ng bài nên chuyên đ ch h th ng đạ ề ỉ ệ ố ược m t s phộ ố ương pháp gi i, m t ả ộ

s d ng bài t p ch a tìm ra đố ạ ậ ư ượ ấ ảc t t c các phương pháp gi i toán và ch aả ưtrình bày được nhi u l i gi i khác nhau cho cùng m t bài toán.ề ờ ả ộ

[1] Nguy n Văn M u, 2002, ễ ậ Ph ươ ng trình hàm NXBGD.

[2] Nguy n Văn M u, Nguy n Văn Ti n, 2009, ễ ậ ễ ế M t s chuyên đ b i gi i ộ ố ề ồ ả tích b i d ồ ưỡ ng h c sinh gi i trung h c ph thông ọ ỏ ọ ổ NXBGD

[3] Nguy n Tr ng Tu n, 2005, ễ ọ ấ Bài toán hàm s qua các kì thi Olimpic ố

NXBGD

[4] M t s chuyên đ toán h c h THPT.ộ ố ề ọ ệ

[5] T p chí Toán h c tu i tr ạ ọ ổ ẻ

[6] B J Venkatachala, Function Equations : A Problem Solving Approach, Prím

Books PVT LTD, Bânglore, India