Phương pháp giải phương trình bậc cao dành cho học sinh bậc trung học cơ sở

Đây là kinh nghiệm giải phương trình bậc cao dành cho học sinh trung học cơ sở. Nội dung tài liệu gồm một số phương pháp Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình Bài tập tự luyện Rất hữu ích cho học sinh giỏi. Có thể dùng để ôn thi THPT( cấp 3)

I Đại c ơng về ph ơng trình

1 Khái niệm về ph ơng trình - nghiên cứu của ph ơng trình

Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x)

Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của

x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau

Biến x đợc gọi là ẩn số

Giá trị tìm đợc của ẩn số gọi là nghiệm của phơng trình

Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng trình

2 Điều kiện xác định của ph ơng trình

Điều kiện xác định của một phơng trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa

Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ

3 Hai ph ơng trình t ơng đ ơng

Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm

II Ph ơng trình bậc cao

1 Định nghĩa

Ta gọi phơng trình Đại số bậc n (n 3) ẩn x trên trờng số thực là các

ph-ơng trình đợc đa về dạng:

anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0= 0 (1)

Trong đó n  N*; a1, a2 an  R;an  0

2 Ph ơng pháp chung để giải ph ơng trình bậc cao

Quy về phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai

III Những kiến thức bổ trợ để giải ph ơng trình bậc cao

1 Ph ơng trình bậc nhất một ẩn số

Dạng tổng quát ax+b = 0; trong đó a, b là các hằng số; a0.

Nghiệm là x = -b/a

* Nhận xét: Giải phơng trình mx+n = 0, phơng trình đã cho cha chắc đã

là phơng trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trờng hợp

+ Nếu m  0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = -n/m

+ Nếu m= 0 thì phơng trình có dạng 0x = n

+ Nếu n = 0 thì phơng trình vô số nghiệm

+ Nếu n  0 thì phơng trình vô nghiệm.

2 Ph ơng trình bậc hai một ẩn

* Dạng tổng quát: ax 2 + bx+c = 0, trong đó a, b, c  R,a  0

Cách giải:

* Dùng công thức nghiệm:

=b2 - 4ac '=b'2 - ac

+  <0, PT vô nghiệm + ' <0, PT vô nghiệm

+  = 0, PT có nghiệm kép + ' = 0, PT có nghiệm kép

x1 = x2 =-b/2a x1 = x2 =-b'/a

+  > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt + ' > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt 1,2

b

x

2a

  

x

a

  



* Dùng định lý Vi-et

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì

S = x1 + x2 = -b/a

P = x1.x2 = c/a

* Phân tích vế trái thành tích:

3 Ph ơng trình tích

Phơng trình tích là phơng trình có dạng:

F(x) G(x) H(x) = 0

Cách giải:

F(x) G(x) H(x) = 0

F(x) 0 G(x) 0

H(x) 0





 













4 Các định lý

Định lý 1: Trên trờng số thực, mọi phơng trình bậc n luôn phân tích đợc

thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai

Định lý 2: Nếu phơng trình P(x) có nghiệm x=a thì P(x)  (x-a)

Định lý 3:

+ Nếu phơng trình P(x) = 0 có tổng các hệ số bằng 0 thì x=1 là một nghiệm của phơng trình

+ Nếu phơng trình P(x) =0 có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x=-1 là nghiệm của phơng trình

Định lý về bất đẳng thức:

(1) A  B  A B  Dấu "=" xẩy ra khi AB  0

(2) A  B  A B  Dấu "=" xẩy ra khi AB  0

(3) A  A Dấu "=" xẩy ra khi A 0

IV Một số ph ơng pháp th ờng dùng để giải ph ơng trình bậc cao

1 Ph ơng pháp 1 : Đa về phơng trình tích.

a Định nghĩa : Phơng trình tích là phơng trình có dạng.

F(x) G(x) H(x) = 0 (1)

b Cách giải:

PT vô nghiệm

F(x) G(x) H(x) = 0

F(x) 0 G(x) 0

H(x) 0





















Để đa phơng trình (1) về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau:

* Cách 1:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm nhiều hạng tử

- Thêm (bớt) các hạng tử

- Phơng pháp hệ số bất định

- Phơng pháp xét giá trị riêng

- Phơng pháp đổi biến

- Phối hợp nhiều phơng pháp

Cách 2: Nhẩm nghiệm.

Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x)  (x-a) từ đó hạ bậc của phơng trình Hạ bậc phơng trình có thể dùng các cách sau:

+ Chia đa thức P(x) cho (x - a)

+ Dùng lợc đồ Hoocne để tìm các hệ số

c Các ví dụ:

Ví dụ 1:

Giải phơng trình: x7 - 27x4 = 0 (1.1)

Giải: Phơng trình (1.1)  x4 (x3 - 27) = 0

4

3 3

x 0

x 3

x 27

x 27 0



    

     





   



Tập nghiệm của phơng trình (1.1) là S={0;3}

Ví dụ 2:

Giải phơng trình: x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= 0 (1.2)

Giải: Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phơng

đúng rồi sử dụng công thức A2 - B2 = (A - B).(A + B) để biến vế trái thành tích

x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= 0  (x2 + 2x)2 - (x-1)2 =0

 (x2 + x+ 1) (x2 +3x-1) = 0

2

2

x x 1 0

3 13 3 13

x 3x 1 0 x ; x



    

      



    

Tập nghiệm của phơng trình (1.2) là S= 3 13 3 13

;

2 2

    





Ví dụ 3:

2

PT vô nghiệm

Giải phơng trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1.3)

Giải: Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai x2 + pq+q và x2 + rx + s; Trong đó p, q, r, s là các số nguyên cha xác

định, khi đó:

x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (x2 + pq + q) (x2 + rx + s)

Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ sau:

p q 4

s p qr 10

ps qr 37

qs 14

 



   





 



 



Giải hệ phơng trình này ta đợc p =-5; q=2; s= -7; r=1 do đó phơng trình

đã cho trở thành: (x2 - 5x + 2) (x2 + x -7) = 0

2

5 17 5 17

x ; x

x 5x 2 0 2 2

x x 7 0 1 29 1 29

x ; x



   





      







Tập nghiệm của phơng trình (1.3)

; ; ;

       





Ví dụ 4: Giải phơng trình: x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 (1.4)

Giải: Phơng trình (1.4) <=> (x2 + 1)2 - x(x2 + 1) = 0

<=> (x2 + 1)2 (x2-x + 1) = 0 Cả hai thừa số ở phía trái đều dơng nên tập nghiệm của phơng trình (1.4)

là S = 

Ví dụ 5:

Giải phơng trình: (x2 - 4)2 = 8x + 1 (1.5)

Giải: Phơng trình (1.5) <=> (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x1

<=> (x2 - 4)2 - (4x + 1)2 = 0

<=> (x2 + 4x + 5) (x2 - 4x + 3) = 0 2

2

x 4x 5 0

x 1; x 3

x 4x 3 0

    

  

 

   



Tập nghiệm của phơng trình (1.5) là S{1;3}

Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12x3 - 3x2 - 7x + 8 = 0 (1.6)

Giải: Ta thấy x=-1 là nghiệm của phơng trình (1.6)

=> phơng trình (1.6) <=> (x+1) (12x2 - 15x+8) = 0

2

x 1

x 1 0

15 129 15 129 12x 15x 8 0 x ; x

24 24





 







Tập nghiệm của phơng trình (1.6) là S = 15 129 15 129

1; ;

24 24

   



2 Ph ơng pháp 2 : Đặt ẩn phụ

Phơng pháp này đợc dùng với các dạng phơng trình sau:

2.1 Ph ơng trình trùng ph ơng:

a Định nghĩa: Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng

ax4 + bx2 + c = 0 (a0) (2.1)

b Cách giải:

+ B ớc 1 : Đặt x2 = y (y0)

=> (2.1) <=> ay2 + by + c = 0 (2.2)

B

ớc 2 : Biện luận phơng trình (2.2) qua các trờng hợp của=b2-4ac

- Trờng hợp 1: <0 => (2.2) vô nghiệm => (2.1) vô nghiệm

- Trờng hợp 2: =0 => (2.2) có nghiệm kép y0=-b/2a

=> Nếu y0 <0 => (2.1) vô nghiệm

Nếu y0 =0 => (2.1) có một nghiệm x=0 Nếu y0 >0 => (2.1) có hai nghiệm

x1 = y ; x0 2  y0

- Trờng hợp 3: >0 => (2.2) có hai nghiệm phân biệt

y ; y

2a 2a

     

(Không mất tính tổng quát ta giả sử y1 < y2)

- Nếu y1 < y2 < 0 => (2.1) vô nghiệm

- Nếu y1 < y2 = 0 => (2.1) có một nghiệm x=0

- Nếu y1 <0< y2 => (2.1) có hai nghiệm x1 = y ; x2 2  y2

- Nếu 0=y1 < y2 => (2.1) có 3 nghiệm x1 = 0; x2 = y ; x2 3  y2

- Nếu 0<y1 < y2 => (2.1) có 4 nghiệm x1 = y ; x1 2  y ; x2 3  y ; x2 4  y2

c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 - 5x2 + 6 = 0 (2.1.1)

Giải: Đặt x2 = y  0 thì (2.1.1) <=> y2 - 5x + 6 = 0 => y1 = 2; y2 = 3 Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1= 2; x2  2

Với y2 = 3 => x2 = 3 => x3 = 3; x4  3

Tập nghiệm của phơng trình (2.1.1) là S=  2;  2; 3;  3

Ví dụ 2: Giải phơng trình 2x4 + 7x2 + 3 = 0 (2.1.2)

Giải: Đặt x2 = y  0 thì (2.1.2) <=> 2y2 + 7y + 3 = 0

=> y1 -1/2 (loại); y2 -3 (loại)

Phơng trình (2.1.2) vô nghiệm

Tập nghiệm của phơng trình (2.1.2) là: S = 

Ví dụ 3: Giải phơng trình 3x4- 5x2 - 2 = 0 (2.1.3)

Giải: Đặt x2 = y  0 thì (2.1.3) <=> 3y2 - 5y - 2= 0

=> y1 = 2; y2 -1/3 (loại)

Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1 = 2; x2  2

Tập nghiệm của phơng trình (2.1.3) là S= 2;  2

2.2 Ph ơng trình đối xứng bậc chẵn

a Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc chẵn là phơng trình có dạng:

a0x2n + a1x2n-1 + an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1 + + a1x+a0 = 0 (2.2)

b Cách giải:

Nếu x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.2) thì ta chia cả hai vế của phơng trình (2.2) cho x2 0

(2.2) <=> a0x2n + a1x2n-1 + an-1x1 + anx0 + an+1x-1 + + a1x-(n-1)+a0x-n = 0

<=> a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1)+ +an = 0

Đặt y = x + x-1 => ta đa phơng trình (2.2) về phơng trình bậc 2 với ẩn y

c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (2.2.1) Giải: x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (2.2.1), chia hai vế của phơng trình (2.2.1) cho x2 rồi nhóm lại ta có:

(2.2.1) <=> 2(x2 + 1/x2) + 3(x+1/x) - 16 = 0

Đặt: y = x + 1/x ta đợc phơng trình bậc hai

2y2 + 3y - 20 = 0 => y1 = 5/2; => y2 = -4

Với y1 = 5/2 => x+1/x = 5/2 <=> 2x2 - 5x + 2 = 0

=> x1 = 2; x2 = 1/2

Với y2 = -4 => x+1/x = -4 <=> x2 + 4x + 1 = 0

=> x3 = -2+ 3; x4 = -2- 3

Tập nghiệm của phơng trình (2.2.1) là: S= {2;1/2;-2+ 3;-2- 3}

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (2.2.2)

Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.2.2), chia 2 vế của

ph-ơng trình (2.2.2) cho x2 rồi nhóm lại ta có:

(2.2.2) <=> (x2 + 1/x2) - 3(x+1/x)+4 = 0

Đặt x+1/x = y ta đợc phơng trình bậc hai

y2 - 3y + 2 = 0

=> y1 = 1 ; y1 = 2

Với y1 = 1 => x + 1/x =1 <=> x2 - x + 1 = 0 phơng trình vô nghiệm

Với y2 = 2 => x + 1/x =2 <=> x2 - 2x + 1 = 0 => x = 1

Tập nghiệm của phơng trình (2.2.2) là: S = {1}

2.3 Ph ơng trình đối xứng bậc lẻ

a Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc lẻ là phơng trình có dạng.

a0x2n+1 + a1x2n + an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 + + a1x+a0 = 0 (2.3)

b Cách giải: Phơng trình này luôn có nghiệm x=-1, Do đó ta chia cả hai vế

của phơng trình (2.3) cho (x+1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn

c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 (2.3.1)

Giải: Ta thấy x =-1 là một nghiệm của (2.3.1)

Hạ bậc (2.3.1) <=> (x+1) (2x2 + 5x+2) = 0

<=> (x+1) (x+2).(2x+1) = 0

x 1 0 x 1

x 2 0 x 2

2x 1 0 x 1/ 2

  

    

    

Tập nghiệm của phơng trình (2.3.1) là S = {1;-2;-1/2}

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x7-2x6+3x5 - x4 - x3 + 3x2 -2x +1 = 0(2.3.2) Giải: Ta thấy x=-1 là một nghiệm của phơng trình (2.3.2)

Dùng sơ đồ Hooc nơ để hạ bậc của phơng trình

(2.3.2) <=> (x+1)(x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0

Ta giải phơng trình: (x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0 (*)

(Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn)

Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình (*), ta chia cả 2 vế của (*) cho x3  0 ta đợc:

x3 - 3x2 + 6x - 7 + 6/x - 3/x2 + 1/x3 = 0

<=> (x3 + 1/x3) =3(x2 +1/x2) +6(x+1/x)-7=0 (**)

Đặt: x+1/x = t phơng trình (**) <=> t3 - 3t2 + 3t - 1 = 0

<=> (t-1)3 = 0

=> t =1

=> x+1/x = 1 <=> x2 - x + 1 = 0 Phơng trình này vô nghiệm

x+1=0 => x = -1

Tập nghiệm của phơng trình (2.3.2) là: S = {-1}

2.4 Ph ơng trình phản th ơng

a Ph ơng trình phản th ơng là ph ơng trình có dạng :

ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 (2.4)

(Hoặc: ax4 -bx3 + cx2 - bx + a = 0 (2.4*)

b Cách giải:

x= 0 không là nghiệm của (2.4), chia cả hai vế của (2.4) cho x2 ta có: (2.4) <=> ax2 + bx+c - b/x + a/x2 = 0

<=> a(x2 + 1/x2) + b(x-1/x) + c = 0

Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: ay2 + by + c + 2a = 0 giải phơng trình này ta đợc nghiệm y0, giải phơng trình: x-1/x = y0 ta đợc nghiệm của phơng trình (2.4)

Giải tơng tự đối với phơng trình (2.4*)

c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 7x3 + 8x2 + 7x+ 1 = 0 (2.4.1)

Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.4.1), chia cả hai vế của phơng trình (2.4.1) cho x2 ta có: x2 - 7x + 8 + 7/x+ 1/x2 = 0

<=> (x2 + 1/x2 )- 7(x - 1/x)+ 8 = 0

Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: y2 - 7y + 10 = 0

=> y1 = 5; y2 = 2

Với y1 = 5 => x - 1/x = 5 <=> x2 - 5x - 1 = 0

5 29 5 29

x ; x

Với y2 = 2 => x-1/x = 2 => x2 - 2x - 1 0

=> x3 = 1 + 2; x4 = 1- 2

Tập nghiệm của phơng trình (2.4.1) là:

; ;1 2;1 2

2 2

 

  

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x+ 6 = 0 (2.4.2)

Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.4.2), chia cả hai vế của phơng trình (2.4.2) cho x2 ta có: 6x2 + 7x -36 - 7/x+ 6/x2 = 0

<=> 6(x2 + 1/x2 )+ 7(x - 1/x)-36 = 0

Đặt: x-1/x = y phơng trình trở thành:

6(y2 +2)+ 7y -36 = 0

6y2 + 7y - 24 = 0

=> y1 = 3/2; y2 = -8/3

Với y1 = 3/2 => x - 1/x = 3/2 <=> 2x2 - 3x - 2 = 0=> x1 = 2; x2 = -1/2 Với y = -8/3 => x - 1/x = -8/3 <=> 3x2 + 8x - 3 = 0=> x3 = 1/3; x4 = -3 Tập nghiệm của phơng trình (2.4.2) là: S = {2; -1/2; 1/3; 3}

2.5 Ph ơng trình hồi quy

a Định nghĩa:

Phơng trình hồi quy là phơng trình có dạng:

ax4 + bx3 + cx2  dx+ e = 0 (2.5) trong đó: e/a = (d/b)2 = t2

b Cách giải:

x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.5), chia cả hai vế của phơng trình (2.5) cho x2 thì (2.5) <=> ax2 + bx + c  d/x+ e/x 2 = 0

<=> (ax2 + e/x2) + (bxd/x)+ c = 0

<=> a(x2 + t2x-2) + b(xtx -1)+ c = 0

Đặt: xtx -1 = y khi đó (2.5*) <=> ay2 + by+ c  2at = 0 giải phơng trình này ta đợc nghiệm y0, giải xtx -1 = y0 ta đợc nghiệm của phơng trình (2.5)

c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 3x+1 = 0 (2.5.1)

Giải:

x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.5.1), chia cả hai vế của phơng trình (2.5.1) cho x2 thì (2.5.1) <=> x2 - 3x + +3/x +1/x2 = 0

<=> (x2 + 1/x2) - 3 (x-1/x) = 0

Đặt: x-1/x = t ta có phơng trình: t2 - 3t + 2 = o => t1 = 1; t2 = 2

Với t1 = 1 => x-1/x = 1<=> x2- x-1= 0 => x1 = 1 5 2 1 5

; x



Với t2= 2=> x-1/x = 2=> x2- 2x-1= 0 => x3 =1  2; x4   1 2

Tập nghiệm của phơng trình (2.5.1) là:

; ;1 2;1 2

2 2

 

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 (2.5.2)

Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.5.2) chia hai vế của phơng trình (2.5.2) cho x2 0 ta đợc:

x2 + 3x - 14 - 6/x + 4/x2 = 0

Đặt: x-2/x = t => x2 + 4/x2 = t2 + 4

Phơng trình (2.5.2) trở thành: t2 + 3t - 10 = 0 => t1 = 2; t2 = -5

Với t1 = 2 => x-2/x = 2 <=> x2 -2x - 2 = 0 => x1 = 1  3; x2   1 3

Với t2 = -5 => x-2/x = -5 <=> x2 +5x - 2 = 0

=> x3 = 5 33 4 5 33

; x

   



Tập nghiệm của phơng trình (2.5.2) là:

1 3;1 3; ;

2 2

     

 

2.6 Ph ơng trình có dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (2.6)

a Cách giải:

Đặt y = x+a b a b

x y

  

Khi đó:

a b

x a y

2

a b

x b y

2





  







   



Phơng trình (2.6) có dạng:

y

2



 )4 + ( a b

y 2



 )4 = c <=> 2y4 + 12(a b

2



)2 y2 + 2(a b

2



)4 - c=0

Đây là phơng trình trùng phơng ta đã biết cách giải

b Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình (x+2)4 + (x+8)4 = 272 (2.6.1)

Giải: Đặt y=x+2 8

2



= x+5 => x=y-5 (2.6.1) <=> (y-3)4 + (y+3)4 = 272

<=> 2y4 + 108y2 + 162 = 272

<=> 2y4 + 108y2 - 110 = 0

<=> y4 + 54y2 - 55 = 0 (2.6.1')

Đặt: y2 = z 0 phơng trình (2.6.1') có dạng:

Z2 + 54z - 55 = 0 => z1 = 1; z2 = -55 (loại)

Với z1 = 1 =>y1 = 1; y2 = -1

y1 = 1 =>x1 = -4

y2 = -1 =>x2 = -6

Tập nghiệm của phơng trình (2.6.1) là: S{-4;-6}

Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16 (2.6.2)

Đặt: y = x+( 6) ( 8)

2

  

= x-7 => x=y+7 (2.6.2) => (y+1)4 + (y-1)4 = 16

<=> 2y4 + 12y2 + 2 = 16

<=> y4 + 6y2 - 7 = 0

Đặt: y2 = z 0 phơng trình có dạng: z 2 + 6z - 7 = 0 => z1 = 1; z2 =-7 (loại) Với z1 = 1 => y1 = 1; y2 = -1

=> x1 = 8; x2 = 6 vậy tập nghiệm của phơng trình (2.6.2) là: S= {8;6}

2.7 Ph ơng trình : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7) trong đó ad =bc

a Cách giải:

Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2

<=> [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 (2.7.1')

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.7.1'), chia cả hai vế của phơng trình (2.7.1') cho x2