Tính chất Minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ÁNH

TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA

MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ÁNH

TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA

MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi xin cam đoan mọi sựgiúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin tríchdẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019

Lời cảm ơnLuận văn được hoàn thành vào tháng 04/2018 dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Nguyễn Văn Hoàng Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơnsâu sắc tới thầy, những bài học quý giá từ trang giấy và cả những bài học trongcuộc sống thầy dạy giúp tôi tự tin hơn và trưởng thành hơn nhiều.

Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái nguyên đã tạođiều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học Thái Nguyên

và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành và tâm huyết,xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổi seminar và các lớp học ngoàichương trình

Tôi xin cảm ơn tất cả các anh, em và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôinhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn

Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo điềukiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Mục lục

1.1 Môđun Noether và môđun Artin 3

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 5

1.3 Môđun Ext và môđun Tor 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.5 Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul 10

Chương 2 Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương 12 2.1 Điều kiện cho tính chất minimax của môđun 13

2.2 Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor 18

2.3 Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax 22

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Mở đầu

Năm 1986, H Zoschinger (trong [6], [7]) đã giới thiệu một lớp môđunminimax khá thú vị: Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại mộtmôđun con hữu hạn sinhN củaM sao choM/N làR-môđun Artin; cũng trong[6], ông đã đưa ra một số điều kiện tương đương với tính chất minimax Các kháiniệm môđun a-minimax và môđun a-cominimax đưa ra bởi R Naghipour vàcác đồng nghiệp ở bài báo [1] là một sự khái quát hóa của các môđun minimax

và môđun a-cofinite Một R-môđun M là a-minimax nếu chiều Goldie a-tươngquan của bất kỳ môđun thương củaM là hữu hạn Nhắc lại rằng mộtR-môđun

M được gọi là có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) nếu M không chứamột tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không của M, hay nói cáchkhác, bao nội xạ E(M ) của M phân tích được thành một tổng trực tiếp củahữu hạn các môđun con không phân tích được Ngoài ra, một R-môđun M

được coi là có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn nếu chiều Goldie của môđuncon a-xoắn Γa(M ) là hữu hạn Ta đã biết rằng nếu M là môđun a-xoắn, thì

M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax Ngoài ra, ta nói rằng một Rmôđun M là a-cominimax nếu giá của M chứa trong V (a) và ExtiR(R/a, M )

-là môđun a-minimax với mọi i ≥ 0 Năm 2015, M Sedghi-L Abdi (trong bàibáo [10]) đã chứng minh được rằng nếu ExtiR(R/a, M ) là a-minimax với mọi

i ≥ 0 thì M/anM là a-minimax với mọi n ≥ 0 Và khá nhiều áp dụng của kếtquả này được nghiên cứu đưa ra Một trong số đó là chứng minh được sự tươngđương giữa tính a-minimax của các R-môđun ExtiR(R/a, M ), TorRi (R/a, M )

và Hi(x1, , xt; M ) với mọi i ≥ 0 với x1, , xt là hệ sinh của iđêan a Sửdụng kết quả đó, họ đã chỉ ra rằng nếu b ⊇ a sao cho M là b-minimax và

cd(b, M ) = 1, thì các R-môđun ExtjR(L, Hai(M )) là b-minimax với mọi i ≥ 0

và mọi j ≥ 0 (trong đó L là R-môđun hữu hạn sinh có giá nằm trong V (b))

Do đó Hai(M )/bnHai(M ) là b-minimax với mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và trình bày chứng minh chi tiếtlại các kết quả trong bài báo [10] M Sedghi and L Abdi (2015), Minimaxnessproperties of extension functors of local cohomology modules, Inter Electronic

J of Albegra, Vol 17, 94-104; và một phần bài báo [1] Azami J., Naghipour

R and Vakili B (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for

a - minimax modules, Proc Amer Math Soc 137, 439-448 Các bài này nói

về môđun minimax đối với một iđêan cho trước Luận văn có bố cục gồm haichương Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết về tập Ass,tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul.Chương 2 dành để trình bày kết quả chính của luận văn về tính chất minimaxcho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể, Mục 2.1trình bày về một số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldietương quan, sau đó trình bày một số bổ đề phụ trợ dẫn đến một kết quả chính

ở mục này về điều kiện cho tính chất minimax của môđun (xem Định lý 2.1.9).Mục 2.2 dành để trình bày một áp dụng hiệu quả của định lý chính ở mụctrước, cụ thể ta sẽ chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 về sự tương đương khikhảo sát tính chất a-minimax của các môđun ExtiR(R/a, M ), Tor(R/a, M ) vàmôđun đối đồng điều Koszul Hi(x1, , xt; M ) với mọi i ≥ 0 Tiếp đến tatrình bày một kết quả mở rộng nữa cho kết quả vừa nêu, cụ thể ta thu đượcĐịnh lý 2.2.2 Mục cuối cùng trình bày kết quả nghiên cứu về sự thay đổi củatính chất a-cominimax của môđun khi ta chuyển vành cơ sở, cụ thể ta chứngminh chi tiết về nguyên lý chuyển vành cơ sở đối với tính chất minimax (xemĐịnh lý 2.3.2) Sau đó ta trình bày nhiều hệ quả áp dụng của tính chất này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Ở chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether có đơn vị.Các kiến thức ở chương này được trình bày dựa vào các cuốn sách [9], [2], [12]

1.1 Môđun Noether và môđun Artin

Môđun Noether là một trong những lớp môđun cơ bản nhất của Đại sốgiao hoán Sau đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của nó

Bổ đề 1.1.1 Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun Khi đócác mệnh đề sau tương đương

i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh

ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ ⊆ Ni ⊆ là dãy cácmôđun con của M, thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n;

iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần

tử tối đại

Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđunM thỏa mãn một trong các điều kiện tươngđương ở Bổ đề 1.1.1 gọi là môđun Noether Một vành giao hoán R được gọi là

vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.

Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập con khác rỗng các môđun con của M luôn cóphần tử cực tiểu

Định nghĩa 1.1.5 Một R-môđunM thỏa mãn một trong các điều kiện tươngđương ở Bổ đề 1.1.4 gọi là môđun Artin Một vành giao hoán R được gọi làvành Artin nếu nó là R-môđun Artin

Ta xét một số tính chất của môđun Artin

Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

0 → M0 → M → M ” → 0

Khi đó M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M0 và M ” là các R-môđun Artin

ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R là một R-môđun Artin.iii) Mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R-môđun và p ∈ Spec R Khi đó p được gọi

là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho

(0 :R x) = p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là

Ass M hoặc AssRM

Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V (a) là tập được xác định bởi

V (a) = {p ∈ Spec R |a ⊆ p}

Sau đây là một vài tính chất của tập Ass

Mệnh đề 1.2.2 Cho M là R-môđun, N là môđun con của M, p ∈ Spec R,

và a là một iđêan của R Khi đó ta có

i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a)

ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N

iii) p ∈ Ass M nếu và chỉ nếu R/p đẳng cấu với môđun con nào đó của M.Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R-môđun Tập giá của M, kí hiệu là

SuppRM hoặc Supp M, được xác định bởi

SuppRM = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0}

Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun 0 → M0 → M → M ” → 0 Khi đó

Supp M = Supp M0∪ Supp M ”

ii) Ass M ⊆ Supp M ⊆ V (Ann M ) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vànhNoether thì Supp M = V (Ann M ) và Ass M là tập hữu hạn.

1.3 Môđun Ext và môđun Tor

Định nghĩa 1.3.1 i) Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàncấu f:M → N và mỗi đồng cấu g: P → N, luôn tồn tại đồng cấu h : P → M

trong đó Pi là các R-môđun xạ ảnh với mọi i ≥ 0

Định nghĩa 1.3.2 i) Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơncấu f : N → M và đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu h : M → E

trong đó Ei là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0

Định nghĩa 1.3.3 i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một

R-môđun không tầm thường M nếuM ⊆ E và với mỗi môđun con khác không

Lưu ý rằng một R-môđun nội xạ E luôn biểu diễn được thành tổng trựctiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được (xem [9, Định lý 18.5]).Định nghĩa 1.3.4 Cho N là R-môđun Xét hàm tử phản biến, khớp trái

Hom(−, N ) Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M

−→ Hom(P1, N ) f

∗ 1

−→ Hom(P2, N ) f

∗ 2

−→

Khi đó ExtiR(M, N ) = Ker fi∗/ Im fi−1∗ được gọi là môđun mở rộng thứ i của

M và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M

Ta xét một số tính chất của môđun Ext

Mệnh đề 1.3.5 Cho M, N là các R-môđun Khi đó

i) Ext0R(M, N ) ∼= Hom(M, N )

ii) Nếu M, N là hữu hạn sinh thì ExtiR(M, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.iv) Cho dãy khớp ngắn 0 → N0 → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài

0 → Hom(N00, M ) → Hom(N, M ) → Hom(N0, M ) → Ext1R(N00, M ) →

→ Ext1R(N, M ) → Ext1R(N0, M ) → Ext2R(N00, M ) →

trong đó ExtnR(N0, M ) → Extn+1R (N ”, M ) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.v) Cho dãy khớp ngắn 0 → N0 → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài

0 → Hom(M, N0) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1R(M, N ”) →

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M, N ”) → Ext2R(M, N0) →

trong đó ExtnR(M, N ”) → Extn+1R (M, N0) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.Định nghĩa 1.3.6 Cho N là R-môđun Xét hàm tử phản biến, khớp phải

− ⊗R N Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M

−→ P2 ⊗R N f

∗ 1

−→ P1 ⊗R N f

∗ 0

−→ P0 ⊗R N → 0

Khi đó TorRi (M, N ) = Ker fi−1∗ / Im fi∗ được gọi là môđun xoắn thứ i của M

và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M.Mệnh đề 1.3.7 Cho M là một R-môđun Khi đó

i) ToriR(M, N ) = M ⊗R N

ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N0 → N → N00 → 0 các R-môđun Khi đó ta códãy khớp dài

→ TorRi (M, N0) → TorRi (M, N ) → TorRi (M, N00) → TorRi−1(M, N0)

→ TorRi−1(M, N ) → TorRi−1(M, N00) →

→ TorR1(M, N0) → TorR1(M, N ) → TorR1 (M, N00)

→ M ⊗R N0 → M ⊗R N → M ⊗R N00 → 0

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.4.1 Cho a là iđêan của R, và M là một R-môđun Khi

đó môđun con a-xoắn của M, kí hiệu Γa(M ), được xác định bởi Γa(M ) =

n≥1(0 :M an) Cho h : M → N là đồng cấu các R-môđun, khi đó ta có đồngcấu cảm sinh Γa(h) : Γa(M ) → Γa(N ), m 7→ h(m) Khi đó Γa(−) là một hàm

tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trùcác R-môđun Hàm tử Γa(−) gọi là hàm tử a-xoắn

Sau đây là một số tính chất của Γa(M )

Mệnh đề 1.4.2 i) Γ0(M ) = M và ΓR(M ) = 0

ii) Nếu a ⊆b thì Γb(M ) ⊆ Γa(M )

iii) Γa+b(M ) = Γa(M ) ∩ Γb(M )

iv) AssR(Γa(M )) = AssR(M ) ∩ V (a) với M là R-môđun Noether

v) Nếu R là Noether thì AssR(M/Γa(M )) = AssR(M ) \ V (a)

Định nghĩa 1.4.3 Cho M là R-môđun, khi đó tồn tại giải nội xạ của M códạng

ii) Nếu 0 → M0 → M → M ” → 0 là dãy khớp ngắn khi đó với mọi n ≥ 0

luôn tồn tại đồng cấu nối Hai(M ”) → Hai+1(M0) sao cho dãy sau là khớp

0 → Γa(M0) → Γa(M ) → Γa(M ”) → Ha1(M0) → Ha1(M )

→ Ha1(M ”) → Ha2(M0) →

1.5 Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức căn bản về phức Koszul (theo [2,5.2] và [12, Mục 1.6]) Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a

là iđêan của R và M là R−môđun

Chú ý 1.5.1 Cho dãyx = x1, , xn các phần tử của R LấyRn làR−môđun

tự do có cơ sở {e1, , en} Phức Koszul của R ứng với dãy x, kí hiệu là

K•(x1, , xn; R) (hoặc K•(x; R)) được xác định như sau:

(ii) Với một R−môđun M ta kí hiệu Hi(x1, , xn; M ) hoặc Hi(x; M ) (với

i = 0, , n) là môđun đối đồng điều của đối phức

Hom(K•(x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1(x; R),M ) → Hom(Ki(x; R), M )

→ Hom(Ki+1(x; R), M ) →

Ta gọi Hi(x; M ) là môđun đối đồng điều Koszul thứ i của M đối với dãy x

(iii) Với một R−môđun M ta kí hiệu Hi(x1, , xn; M ) hoặc Hi(x; M ) (với

i = 0, , n) là môđun đồng điều của phức

(ii) Cho đối phức các đồng cấu môđun

T : → Ti−1 d−−→ Ti−1 i d−→ Ti i+1 d−−→ i+1

Với mỗi i ta kí hiệu Zi = Ker(di) và Bi = Im(di−1) và gọi chúng lần lượt

là môđun đối bờ thứ i và môđun đối xích thứ i của đối phức T Môđun

Hi = Zi/Bi gọi là môđun đối đồng điều thứ i của phức T

Chương 2

Tính chất minimax cho môđun mở

rộng của môđun đối đồng điều địa

phương

Trong suốt chương này, R sẽ luôn giả thiết là vành giao hoán Noether

có đơn vị khác không, và a là một iđêan của R

Chương này nhằm trình bày lại một cách chi tiết lại những kết quả nghiêncứu về môđun minimax đối với một iđêan a của một vành giao hoán Noether

R; đó là các kết quả chủ yếu được tham khảo từ hai bài báo [10] M Sedghiand L Abdi (2015), “Minimaxness properties of extension functors of localcohomology modules”, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104; và bàibáo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), "Finiteness properties oflocal cohomology modules for a - minimax modules", Proc Amer Math Soc

137, 439-448

2.1 Điều kiện cho tính chất minimax của môđun

Mục đích của phần này là để chứng minh nếu a là một iđêan của vànhgiao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun

M/aM là a-minimax với mọi n ∈N (xem Định lý 2.1.9) Ngoài ra một số ứng

dụng của kết quả này cũng được đưa ra xem xét

Trước hết ta nhắc lại các khái niệm chiều Goldie

Định nghĩa 2.1.1 (Xem [1]) Cho M là một R-môđun Chiều Goldie của M,

kí hiệu Gdim M, được định nghĩa là lực lượng của tập các môđun con khôngphân tích được của bao nội xạ E(M )xuất hiện trong một phân tích của E(M )

thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được

Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với

p, kí hiệu làµ0(p, M ), được xác định bởiµ0(p, M ) = dimk(p)(HomRp(k(p), Mp))

Ta biết rằng µ0(p, M ) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ AssRM Ta cũng dễ thấy

Gdim M = P

p∈Ass R M µ0(p, M ).Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều Goldie a-tương đối của M

Định nghĩa 2.1.2 (tham khảo trong [1], [3]) Cho a là iđêan của R và M làmột R-môđun Chiều Goldie a-tương quan của M, kí hiệu GdimaM, được xácđịnh bởi công thức

GdimaM = X

p∈V (a)

µ0(p, M )

H Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau

Định nghĩa 2.1.3 (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimaxnếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđunArtin

Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu vàchỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong[6], [7]) Từ đó dẫn đến khái niệm môđun minimax đối với một iđêan a nhưsau.

Định nghĩa 2.1.4 (xem [1]) Cho a là một iđêan của R Một R-môđun M

được gọi là a-minimax (hoặc minimax đối với iđêan a) nếu chiều Goldie a-tươngquan của mọi môđun thương của M là hữu hạn, tức là Gdima(M/N ) < ∞

với mọi môđun con N của M

Chú ý 2.1.5 Cho a là iđêan của R và M là R-môđun

(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax

(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem[3, Bổ đề 2.6])

(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax

(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là minimax Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax

b-Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau

Bổ đề 2.1.6 ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R Cho 0 → M0 → M →

M00 → 0 là dãy khớp của các R-môđun Khi đó M là a-minimax nếu và chỉnếu M0, M00 là a-minimax

Chứng minh Ta có thể giả thiết rằngM0 là môđun con củaM vàM00 = M/M0.Nếu M là a-minimax thì từ định nghĩa ta thấy rằng cả M0 và M/M0 là a-minimax Bây giờ giả sử M0 và M/M0 là a-minimax Lấy N là môđun con của