ôn thi học sinh giỏi Vật lý 12

Trong quá trình giảng về phần động họcchất điểm, có nhiều bài toán hay và khó về xác định các đại lượng động học như tính vận tốc,gia tốc, xác định bán kính cong của quỹ đạo.... Khi đó v

Chuyên đề: HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

A PHẦN MỞ ĐẦU

Trong chương trình vật lý lớp 10 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia bàitập về động học chất điểm là một trong những nội dụng quan trọng là kiến thức nền không thểthiếu trong đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Trong quá trình giảng về phần động họcchất điểm, có nhiều bài toán hay và khó về xác định các đại lượng động học như tính vận tốc,gia tốc, xác định bán kính cong của quỹ đạo

Để làm rõ nhiều vấn đề trong phần động học chất điểm trong quá trình bồi dưỡng học

sinh giỏi , tôi chọn viết chuyên đề “Hệ thống bài tập về động học chất điểm” để giảng dạy

khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 chuyên lý và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia

Nội dung chuyên đề gồm:

+ Cơ sở lý thuyết

+ Hệ thống bài tập mẫu

+ Hệ thống bài tập luyện tập

1 Toạ độ cong : Trên quĩ đạo tuỳ ý chọn một điểm O làm gốc ( hệ qui chiếu ) và một chiều

dương ( + ) tuỳ ý Khi đó vị trí chất điểm M trên quĩ đạo được xác định duy nhất bằng khoảngcách OM = s theo quĩ đạo, s được gọi là toạ độ cong Trường hợp chất điểm chuyển động trênquĩ đạo thẳng , vị trí chất điểm M được xác định theo toạ độ thẳng x = OM Khi chất điểm Mchuyển động s , x là hàm của thời gian Ta có :

s = f (t) , x = f (t) ( 1 – 1)

Biểu thức ( 1- 1) là phương trình chuyển động của chất điểm Trong hệ đơn vị SI đơn vị chiềudài là mét ( m )

2 Toạ độ Descartes : Gắn vào hệ qui chiếu O một hệ toạ độ vuông góc OXYZ Khi đó vị trí

của chất điểm M trong không gian được xác định bỡi ba toạ độ x,y,z

có ngọn tại chất điểm M Vectơ toạ độ r được khai triển trong hệ toạ độ OXYZ như sau :

4 Toạ độ góc : Trường hợp chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo tròn bán r Vị trí của chất

điểm M có thể được xác định bằng góc quay  Với  = (

5 Vectơ dịch chuyển vi phân : Trên quĩ đạo lấy một đoạn ds rất ngắn xem như thẳng Trên

Trong khoảng thời gian dt = t2 – t1 rất nhỏ, ta có độ biến thiên hay gia số của vectơ toạ độ



r :







( 1 – 8 )Vận tốc trung bình không phản ảnh được mức độ nhanh chậm của chất điểm M tại từng thời điểm Trong hệ đơn vị SI đơn vị của vận tốc là ( m/ s)

2 Vận tốc đại số : Vận tốc đại số v được định nghĩa bằng đạo hàm toạ độ cong s hay toạ độ

thẳng x theo thời gian :

Nếu v  0 chất diểm M chuyển động theo chiều âm (-) của quĩ đạo

3 Vectơ vận tốc v : Vectơ vận tốc v là đại lượng vật lí đặc trưng cho mức độ nhanh chậm vàphương chiều chuyển động của chất điểm M tại từng thời điểm , có phương trùng với phương tiếp tuyến với quĩ đạo có chiều cùng chiều chuyển động của chất điểm, được định nghĩa :

dt

ds v







( 1 – 11 )Theo (1-7) ta có :

dt

dr v

dy i dt

dx v

( 1 – 13 )

Trong đó dt

dz dt

dy dt

dx

, ,

là vận tốc của hình chiếu của chất điểm M trên ba trục OXYZ Mặt khác vectơ vận tốc



v lên ba trục toạ độ OXYZ

Từ (1-13) và (1-14) suy ra :

dy v dt

r d dt

 được gọi là vận tốc góc có đơn vị là rad/s

 Vậy vận tốc góc bằng đạo hàm toạ độ góc  theo thời gian

Người ta biểu diễn vận tốc góc  bằng vectơ vận tốc góc  có phương nằm trên trục quĩ đạo tròn , có chiều xác định theo qui tắc bàn tay phải : đặt bàn tay phải theo chiều chuyển động , lòng bàn tay hướng vào tâm , chiều ngón cái dang ra là chiều của

III Vectơ gia tốc :

1 Vectơ gia tốc : Vectơ gia tốc







( 1 – 20 )Vậy vectơ gia tốc

y d i dt

x d

a 22 22 22

( 1 – 22 )

2 2

2 2

2

,,

dt

z d dt

y d dt

x d

là các gia tốc của hình chiếu của chất điểm M trên OXYZ Vectơ gia tốc

2 2

2

,,

dt

z d a dt

y d a dt

x d

z y

x a a a

 nếu chất điểm M chuyển động nhanh dần

 Ngược chiều với

Theo (1-19) và (1-20) ta có :

dt

r d x r x dt

d r x dt

d dt

v d a

Chuyển động nhanh dần Chuyển động chậm dần

a Vectơ gia tốc tiếp tuyến a t:

Thành phần at được gọi là gia tốc tiếp tuyến vì có phương nằm theo phương tiếp tuyến với quĩ đạo

 Cùng chiều với



v nếu chuyển động nhanh dần

 Ngược chiều với

d dt

a t 

( 1 – 34 )

b Vectơ gia tốc pháp tuyến a n : Thành phần an được gọi là gia tốc pháp tuyến vì có

phương vuông góc với quĩ đạo

 Có chiều hướng về bề lõm quĩ đạo

Đạo hàm theo thời gian ta được :

dt

r d dt

OO d dt

r d

v là vận tốc của chất điểm M đối với hệ O,





V là vận tốc của hệ O, đối hệ O Đạo hàm (1-38) ta được :

v d dt

V d dt

v d

Lấy tích phân :  

t v

v

adt dv

o 0

Ta được : vatv o ( 1 – 40 )

2 Phương trình chuyển động :

Theo (1 – 34 ) ta có :

t x

)(

0 0

Nếu độ lớn vận tốc v tăng chất điểm chuyển động nhanh dần đều

Nếu độ lớn vận tốc v giảm chất điểm chuyển động chậm dần đều

VI Chuyển động trong trọng trường đều

v d

Tại thời điểm t = 0 vận tốc hình chiếu của chất điểm trên OY bằng voy = vosin , tại thời điểm tvận tốc hình chiếu của chất điểmtrên OY bằng vy

Lấy tích phân :   

t v

r d

x

dt v

dx

0 0

)dt vosin

gt

y dy

1

( 1 – 48 )Qũi đạo của chất điểm là một parabol có đỉnh ở S

Tại đỉnh S thành phần vận tốc vy = 0 , từ ( 1 - 44 ) ta suy ra khoảng thời gian ts chất điểm tới đỉnh S :

S A

2sin2

2





( 1 – 52 )Suy ra để có độ xa lớn nhất , góc ném  = 450

x

M

ay ax

VII Bán kính cong của quỹ đạo

Xét một đường cong trong mặt phẳng xOy Một chất điểm M chuyển động trên đườngcong ấy Gọi v là tốc độ của M,  là góc mà tiếp tuyến với quĩ đạo tại M làm với trục Ox  ’

là đạo hàm của  theo thời gian; an là gia tốc của M theo phương vuông góc tiếp tuyến tại M

thì bán kính cong của quĩ đạo tại M là:

ds dt

d dt = '

v



@ Công thức (1) thường dùng trong trường hợp đã có pt x(t) và y(t)

@ Công thức (2) thường dùng trong trường hợp có pt y(x)

C HỆ THỐNG BÀI TẬP MẪU

Bài 1:

Một điểm có phương trình chuyển động: x=acost và y=bsint (với a, b,  là những hằng

số và a>b)

1/ Quĩ đạo của vật có dạng đường gì?

2/ Tìm gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến tại thời điểm t?

3/ Tìm bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm t và ở các điểm (a; 0) và (0; b)?

dy dt

dx dt =

cos( )sin( )

x y

Một chất điểm M chuyển động trong mặt phẳng thẳng

đứng và chịu tác dụng của lực đàn hồi tỉ lệ thuận với



) và có vận tốc vo như hình vẽ

2/ Tính bán kính chính khúc và gia tốc hướng tâm của

chất điểm ở thời điểm t=3k

)'' = g

ur

- k2rr

(*)+ Chiếu (*) lên Ox được: x'' + k2x =0 (1)

Với điều kiện: x(0)= a ; x'(0) = 0 � x = acoskt

+ Chiếu (*) lên Oy được: y'' +k2y=-g (2)

Nghiệm của phương trình (2) là: y = y1 + y2

Với y1 là nghiệm riêng ( hằng số) của phương trình (2): y'' +k2y=-g

Giả sử y1=A, thay vào (2) được: y1=- 2

g

k Còn y2 là nghiệm tổng quát của phương trình: y'' +k2y= 0 � y2 = Bcos(kt+)

Vậy ta có: y = Bcos(kt+) - 2

g k

Với điều kiện ban đầu: y(0) = - 2

k cos(kt- 2



) - 2

g k

Vậy phương trình chuyển động của chất điểm là: 2

cos sin

x

a +

2 2 2

o

g y k v k

bk.cos(kt)ak.sin(kt)

Một chất điểm m trượt không vận tốc đầu từ điểm A

trên một parabol nhẵn có phương trình y2=ax Biết

+ Theo định luật II Niuton: mg

ur

+Nuur = mar � mgcos - N = maht � N = mgcos

-2

mv R



(5)Thay (1) (5) vào (2) rồi cho N=0 được: 4y3+3a2y-2a2yo = 0

Bài 4:

Một sợi dây nhẹ, trơn, không dãn xuyên qua một hạt

cườm nhỏ khối lượng m Một đầu sợi dây buộc vào

điểm cố định A, đầu kia buộc vào một vòng nhỏ

không khối lượng, vòng này có thể trượt không ma

sát trên một thanh ngang cứng và nhẵn (hình vẽ) Tại

thời điểm ban đầu người ta giữ hạt cườm ở đầu dây

sao cho sợi dây thẳng và không có lực căng rồi thả

tay

1/ Quĩ đạo hạt cườm là đường gì?

2/ Hãy tìm vận tốc hạt cườm ở thời điểm sợi dây bị

đứt, biết lực căng cực đại mà sợi dây chịu được là To

Cho chiều dài sợi dây là L, khoảng cách từ A đến

thanh cứng là h

Lời giải

* Xét chuyển động của vòng, vòng có khối lượng mV=0 nên các lực tác dụng cân bằng nhau: + = 0

sợi dây từ vật đến vòng luôn thẳng đứng

* Xét tại thời điểm t: hạt cườm ở vị trí M

+ AM2 = AN2 + NM2

(L-y)2 = (h-y)2 + x2 y = - + (*)

Vậy quĩ đạo hạt cườm là một parabol (A là tiêu điểm, C là đỉnh)

* Xét chuyển động của hạt cườm Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

+ Giả sử ở thời điểm t hạt cườm có vận tốc v và đang ở vị trí M (x,y) Các lực tác dụng vào hạtcườm như hình vẽ, trong đó T=T' Áp dụng định luật II Niuton cho hạt cườm xét theo phương

vuông góc với quĩ đạo tại M ta có: 2Tcos -mgcos = m

Hai quả cầu nhỏ giống nhau được nối với nhau bằng sợi dây nhẹ

không giãn dài L nằm trên mặt ngang nhẵn Một trong hai quả

được truyền vận tốc vo hướng thẳng đứng lên trên Hỏi độ lớn

của vận tốc đầu đó cần thỏa mãn điều kiện gì để sợi dây căng

còn quả dưới không bị bứt lên khỏi mặt ngang Hãy tìm điều

kiện lực căng dây trở thành nhỏ nhất khi dây ở vị trí thẳng đứng

trước khi quả cầu ở dưới bứt lên khỏi mặt ngang?

Lời giải

Cách 1

* Các ngoại lực chỉ tác dụng lên hệ theo phương thẳng đứng, vì

vậy khối tâm hệ không dịch chuyển theo phương ngang

+ Xét quả 1 ở vị trí M sao cho sợi dây tạo với phương ngang góc

Theo định luật II Niuton cho quả trên: T+mg = m

2 1

v

R (2)

* Tìm R

X

Bán kính chính khúc tại I là: R =

2

y

v a

cos.' ; yG'' = L2cos.''- L2sin.'2

Tại vị trí dây thẳng đứng =2: N - 2mg = maG = m.yG'' = - mL2 '2 (1)Tại vị trí dây thẳng đứng thì vG=yG'=0 � vận tốc mỗi quả cầu bằng nhau và bằng: v= 2 '

L

.Theo bảo toàn năng lượng ta lại có:

Lời giải

Độ cao cực đại của viên đá là: H=

Vận tốc vật ở độ cao h= thoả mãn: mvo2 = mv2 + mgh v = vo

Thành phần gia tốc theo phương bán kính quĩ đạo tại đó thì

vuông góc với và do đó bằng: g.cos

Vậy bán kính cong tại đó là: R=

Gia tốc của con muỗi ở vị trí đó là: a = = =

Bài 7:

Một thân cây hình trụ nằm trên mặt đất có tiết diện ngang hình tròn bán kính R Một con bọchét cố gắng nhảy qua thân cây Tìm tốc độ nhảy tối thiểu của bọ chét để nó có thể nhảy quathân cây Giả sử bọ chét đủ thông minh để chọn vị trí và góc nhảy tối ưu Gia tốc trọng trường

là g, bỏ qua sức cản không khí

Lời giải

Quỹ đạo của bọ chét là đường paraboℓ

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Mốc thời gian lúc bọ chét ở đỉnh paraboℓ

Đỉnh paraboℓ ở độ cao h so với tâm O khối trụ Vận tốc theo phương ngang là u

- Các phương trình tọa độ của bọ chét theo thời gian là:

x = ut; y = h -

2

gt2

- Khoảng cách từ O đến bọ chét là S, với S2 = x2 + y2

- Để vượt qua được thân cây thì S  R

- Xét tại giới hạn S = R

2 2

gh u

g 2

- Vận tốc ban đầu của bọ chét: 2 2 2  2 2  

= -mgkvr (k là hệ số tỉ lệ và k>0)

1/ Hãy tìm phương trình quĩ đạo và giới hạn tầm xa của viên đạn?

2/ Xác định bán kính cong của quĩ đạo? Rmin?

+ Tương tự, xét theo phương Oy:

Lúc lên y’>0 nên F Cy = -kgy’

Lúc xuống y’<0, F Cy > nên vẫn có F Cy = -kgy’

Vậy: y’’ = -g-kgy’

=

1( sinv o )

k gk

k gk

 

(1-egkt) -

t

k (2)+ Từ (1) và (2) suy ra phương trình quĩ đạo của vật là:



Vậy quĩ đạo của vật có đường tiệm cận đứng: x=

cos

o v gk



Sau thời gian đủ lớn, vật coi như

rơi thẳng đứng với vận tốc giới hạn: v=limt v y

gkt o

là bán kính định vị chất điểm tính từ O Ở thời điểm đầu chất điểm ở Mo (a;0)

và có vuuro

song song với trục Oy

1/ Xác định qũi đạo của chất điểm?

2/ Xác định bán kính cong của quĩ đạo?

3/ Xác định bán kính cong tại thời điểm t=4s nếu vo=2m/s; k=1(s)-1; a=2m

x = .

kt kt o

Một dây đàn hồi được giữ chặt ở điểm A vòng qua một

vòng nhẫn cố định O Ở đầu cuối tự do của dây có buộc vật

khối lượng m Chiều dài của dây lúc không giãn bằng

l=OA Để kéo dây giãn 1cm cần một lực bằng k2m (N) Sau

khi kéo dây giãn ra theo đường thẳng đứng dài gấp đôi

người ta truyền vận tốc vo nằm ngang như hình vẽ

1/ Hãy xác định quĩ đạo của quả cầu, xem như sức căng tỉ lệ

với độ giãn dài của nó

2/ Xác định bán kính cong của quĩ đạo?

3/ Xét tại thời điểm t=6k

X

Y

ax ay

Tại t=0: x=0; vxmax = vo: � A=

o v

k ;  = - 2

Vậy: x =

o v

k sin(kt) (1)+ Hoàn toàn tương tự ta có: - k2my – mg = may � y’’ + k2y = - g (2)

Nghiệm của phương trình (2) là: y = y1 + y2

Với y1 là nghiệm riêng ( hằng số) của phương trình (2): y'' + k2y = -g

Giả sử y1=A, thay vào (2) được: y1=- 2

g

k Còn y2 là nghiệm tổng quát của phương trình: y'' +k2y= 0 � y2 = Bcos(kt+)

Vậy ta có: y = Bcos(kt+) - 2

g k

Với điều kiện ban đầu: y(0) = l ; y'(0) = 0 �

x sin kt k

o

x v k

� �

� �

2 2 2

g y k g l k

k 2/ Xét tại thời điểm t vật ở M, tiếp tuyến quĩ đạo tại M hợp

với Ox góc  như hình vẽ

Ta có: tan=

dy dx

38

Bài 11: Một cơ hệ như hình vẽ, vật B có dạng một nửa

bán trụ bán kính R bắt đầu dịch chuyển với gia tốc không

đổi ao theo phương ngang đối với mặt đất, còn vật nhỏ A

nối với điểm C bằng sợi dây không dãn, được nâng lên

theo mặt trụ của vật B ngay sau khi B dịch chuyển Giả sử

tại thời điểm ban đầu, vật A nằm yên trên sàn (h=0)

1/ Hãy tính tốc độ dài trung bình của vật A khi nó lên đến đỉnh bán trụ?

2/ Tìm bán kính cong của quĩ đạo tại vị trí bán kính nối vật với tâm trụ tạo góc  / 4 với

phương ngang, cho ao=0,4m/s2; R=2m;

Lời giải

Lúc đầu góc bán trụ trùng với gốc O

Xét tại thời điểm t vật nhỏ ở vị trí góc như hình vẽ thì bán trụ

đã dịch chuyển được quãng đường bằng R

Tìm phương trình đường cong của một sợi

dây đàn hồi AB, nhưng không co giãn, có

khối lượng phân bố đều với mật độ  và hai

đầu dây treo vào hai điểm mà khoảng cách

giữa hai điểm treo ngắn hơn chiều dài l của

dây (hình vẽ) Khi cân bằng, sợi dây nằm

trong mặt phẳng thẳng đứng

Tìm bán kính cong của nhất của sợi dây?

Lời giải

+ Xét đoạn dây chiều dài dl, khối lượng dm = ρdl.

+ Lực kéo căng dây tăng dần về phía hai điểm treo Do đó ở đoạn dây dl, khi đầu dưới chịu lực

thì đầu trên của nó chịu lực

+ Dây cân bằng, do đó (1)

- Từ phương trình thứ nhất, suy ra FX = const

- Từ phương trình thứ hai suy ra:

gdm y

x

dFY = ρgdl = ρg (2)

- Vì urF

tiếp tuyến quĩ đạo, giá của Fur

tạo với Ox góc  : tan = (3)

1

11

Một hạt cườm nhỏ có khối lượng m được xuyên qua một sợi dây (sợi

dây mảnh, cứng) và có thể di chuyển không ma sát dọc theo sợi dây

Sợi dây có hình elip và mặt phẳng của sợi dây nằm trong mặt phẳng

thẳng đứng Biết trục lớn của elip có phương thẳng đứng và bán trục

lớn bằng a, trục nhỏ có phương nằm ngang và bán trục nhỏ bằng b

(hình vẽ) Vận tốc chuyển động của hạt cườm ở điểm cao nhất là v

Tìm lực do vòng dây tác dụng lên hạt cườm trong các trường hợp sau

a) Hạt cườm ở vị trí cao nhất (vị trí A)

- Áp dụng định luật II Niu – tơn, ta có: P N maur uur  r  *

- Chiếu phương trình (*) lên trục Oy:

Khi y đóng vai trò giống như vật tốc của vật dao động điều hòa với phương trình x

- Điều kiện ban đầu:

b

B

C D

x

O a -a

-b

b

   

2 2

a t

x

a a v

+ Vỡ hạt cườm chuyển động khụng ma sỏt dọc theo sợi dõy, do đú tại điểm cao nhất phản lực

do sợi dõy tỏc dụng lờn hạt cườm cú phương thẳng đứng Áp dụng định luật II Niu – tơn:

thỡ N0,Nuur hướng ngược chiều dương của Oy.

1b.Tại điểm thấp nhất Vận tốc của hạt cườm tỡm từ định luật bảo toàn năng lượng Ta cú:

2 2 2

y = 3sin2t (m) Trong đó t là thời gian có đơn vị là giây (s)

a Tính tốc độ v của vật tại thời điểm t

b Tìm hớng và độ lớn của vectơ gia tốc