Chuyên đề GIẢI một số bài TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN đồ l04

- Tìm kiếm những ví dụ mà trong đó thể hiện được tác dụng của phương pháp giảnđồ trong việc giải các bài toán va chạm.. Định luật bảo toàn động lượng: - Động lượng của 1 vật: p mvr  r -

Chuyên đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ

A Phần mở đầu:

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, cơ học là một phân môn quantrọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật Lý cho học sinh Trong đó, cơ họcchất điểm là chuyên đề ở đầu, mang ý nghĩa nền tảng để tiếp tục xây dựng những kháiniệm và các định luật cho các phần như cơ học vật rắn hay các chuyên đề về điện Cácbài toán trong cơ học chất điểm rất phong phú, đa dạng, dễ tưởng tượng và có nhiều ýnghĩa thực tiễn

Trong số đó, các bài toán về va chạm là một bài toán quan trọng, có mật độ xuấthiện tương đối nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Các bài toán này là các bàitoán ứng dụng triệt để các định luật bảo toàn, chúng không khó về mặt bản chất hiệntượng mà thường gây khó khăn cho học sinh về việc tính toán Việc tồn tại nhiều biến số(đặc biệt là sau khi trải qua các quá trình phức tạp để tạo chuyển động ban đầu) dễ dẫnđến những hệ phương trình rất nhiều ẩn và tham số, trong đó có cả phương trình bậc nhất,

cả phương trình bậc hai, điều này sẽ gây không ít tâm lý tiêu cực và gây khó khăn choviệc làm bài của học sinh nếu học sinh vẫn tôn trọng cách làm đại số

Tuy vậy khi sử dụng đến phương pháp hình học (hay có thể gọi là giản đồ) thì ta cóthể dựa vào các tính chất hình học và các quan hệ trong hình học đã được chứng minhbằng toán sơ cấp (học sinh đã được học và chứng minh từ cấp 2 hoặc đầu cấp 3) để giảmnhẹ khối lượng tính toán đi rất nhiều Từ đó đem lại các kết quả đẹp, đem lại các tính chấtthú vị được tìm ra nhờ các tính chất hình học Hoặc ta có thể sử dụng giản đồ như mộtcông cụ trực quan để quan sát và nhận định mối quan hệ giữa các đại lượng Chính vì vậy

tôi chọn làm chủ đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ.

2 Mục đích của đề tài:

- Triển khai phương pháp giản đồ trong việc giải các bài toán va chạm

- Tìm kiếm những ví dụ mà trong đó thể hiện được tác dụng của phương pháp giản

đồ trong việc giải các bài toán va chạm

- Tạo ra tài liệu tham khảo cơ bản nhất dành cho các độc giả bắt đầu tìm hiểu bàitoán va chạm

B Nội dung:

I Phần lý thuyết

1 Các khái niệm cơ bản và các định luật bảo toàn:

a Hệ vật, nội lực và ngoại lực:

- Hệ vật là hệ gồm 2 hay nhiều vật, thường tác dụng với nhau

- Những lực tương tác của các vật trong hệ với nhau là nội lực, lực các vật ở ngoàitác dụng lên hệ là ngoại lực

- Hệ được coi là cô lập nếu như không có ngoại lực tác dụng lên hệ hoặc các ngoạilực tác dụng lên hệ cân bằng với nhau

- Hệ được coi là kín khi không có vật chất đi vào hoặc đi ra khỏi hệ

b Động lượng Định luật bảo toàn động lượng:

- Động lượng của 1 vật: p mvr  r

- Định lý biến thiên động lượng:  pr F tr , độ biến thiên động lượng của một vậttrong khoảng thời gian Δt bằng xung lượng của tổng các lực tác dụng lên vật trongt bằng xung lượng của tổng các lực tác dụng lên vật trongkhoảng thời gian đó

- Định luật II Newton dạng tổng quát:

dp F dt





r r

- Định luật bảo toàn động lượng: Tổng vecto động lượng của một hệ cô lập và kín làmột đại lượng bảo toàn

c Động năng, thế năng, định luật bảo toàn cơ năng:

- Động năng của một vật:

2

1 W 2

- Định lý biến thiên động năng: Độ biến thiên động năng của một vật bằng côngtoàn phần của các lực tác dụng lên vật

- Lực thế: lực mà công do nó thực hiện trên một vật không phụ thuộc vào dạngđường đi mà chỉ phụ thuộc vào các vị trí đầu và cuối của đường đi.

- Thế năng: là một dạng năng lượng gắn với lực thế Khi một hệ vật tương tác vớinhau bằng một lực thế thì hệ vật dự trữ một thế năng Khác với động năng, thế năng cónhiều loại ứng với nhiều loại lực thế khác nhau (thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi)

- Cơ năng: lực thế thực hiện công làm tăng động năng của hệ lên bao nhiêu thì đồngthời cũng làm giảm thế năng của hệ đi bấy nhiêu

- Định luật bảo toàn cơ năng: Nếu chỉ có lực thế tác dụng giữa các vật trong một hệkín và cô lập thì động năng của các vật trong hệ có thể chuyển hóa thành thế năng vàngược lại, nhưng cơ năng của hệ thì được bảo toàn

- Thế năng của vật tại VTCB có giá trị cực tiểu (VTCB bền) hoặc cực đại (VTCBkhông bền)

2 Va chạm:

a Cơ chế của sự va chạm:

Thí nghiệm chứng tỏ khi hai vật va chạm nhau chúng bị biến dạng nhỏ, bị dẹt đi vàkhi đó chúng có cùng vận tốc Sau đó chúng lấy lại hình dạng ban đầu và xảy ra sự nhảylùi xa nhau Như vậy va chạm bao gồm hai pha, pha nén và pha dãn

Thời gian va chạm tuy không bằng 0 nhưng luôn rất nhỏ so với thời gian phân tíchhiện tượng Do đó có thể coi sự va chạm xảy ra một chỗ trong không gian Ngoài ra sựbiến thiên vận tốc của hai vật lớn vì chúng tác dụng vào nhau những lực rất lớn

Ở đây ta được áp dụng được định luật bảo toàn động lượng vì trong thời gian vachạm, các ngoại lực rất nhỏ so với nội lực (lực va chạm), khi đó ta có thể coi hệ va chạm

là hệ cô lập

b Giới hạn của đề tài:

Trong đề tài này tôi xét các va chạm trực diện mà không xét đến sự quay của các vậtđược kích thích do xung lực không đi qua khối tâm vật Bên cạnh đó tôi cũng không xétcác bài toán về lực ma sát xuất hiện trên bề mặt giữa các vật trong quá trình va chạm, từ

đó dẫn đến việc không xét sự quay bất thường xảy ra trong quá trình va chạm Hoặc nếu

có thì hiệu ứng của chúng được coi là rất nhỏ, không ảnh hưởng đến kết quả của bài toán

c Các kiểu va chạm

- Va chạm đàn hồi:

Những va chạm trong đó động năng của hệ được bảo toàn được gọi là va chạm đànhồi Vì vậy va chạm đàn hồi tuân theo các định luật về bảo toàn động năng và độnglượng Sử dụng các hệ phương trình này để giải bài toán va chạm

a Hình giải tích trong không gian 2 chiều:

* Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A x y A, A, B x y B, B, C x y C, C và D x y D, D

Vecto u (u  0) là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song songhoặc trùng với đường thẳng d.

Vecto n (n  0) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông gócvới đường thẳng d

Đường thẳng ax by c  0 có một vecto pháp tuyến là n a b , 



.Hai đường thẳng song song có cùng vecto chỉ phương (vecto pháp tuyến)

Hai đường thẳng vuông góc có vecto pháp tuyến của đường thẳng này là vecto chỉphương của đường thẳng kia

Nếu u, n lần lượt là vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng d thì

u n  

- Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax by c  0 (a2b2 0)

- Đường thẳng đi qua M(x0,y0) và nhận n a b ,  là vecto pháp tuyến có dạng:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0,y0):

x0 a x x   0  y0 b y y   0 0

* Góc và khoảng cách:

Góc giữa hai vecto v và w được tính theo công thức:  

.cos ,

b Hình giải tích không gian 3 chiều:

Hệ trục tọa độ Descartes Oxy gồ 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với

Bên cạnh đó một mặt phẳng được xác định bởi cặp vecto chỉ phương u và w sẽ cóvecto pháp tuyến là n u w  .

II Bài tập mẫu:

Bài 1: Một vật m1 chuyển động thẳng đều với vận tốc v01 va chạm trực diện với mộtchất điểm khối lượng m2 chuyển động cùng phương với vận tốc v02 Tính tốc độ của mỗivật sau va chạm nếu:

a Va chạm giữa chúng là đàn hồi

b Va chạm giữa chúng là mềm

c Năng lượng của hệ sau va chạm bằng ε so với trước khi va chạm

Bài giải:

* Phương pháp các định luật bảo toàn:

Gọi vận tốc sau chạm của chúng lần lượt là v’1 và v’2

a Do các vật va chạm đàn hồi, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng và địnhluật bảo toàn năng lượng, ta lập được hệ phương trình:

m

v v m

m m v m v v

m m

m m v m v v

m v m v v

v m

Trong đó các thông số vận tốc ban đầu của mỗi vật sẽ được biểu diễn bằng điểm M0

Gọi N là giao điểm của M1M0 với Ox, ta thấy rằng:

Do γ là góc ngoài của tam giác M1ON nên ta có:   OM N 1

Do tam giác OM1M0 cân tại O, xét biểu thức:

y

xO

M0

M

N

Đến đây ta nhận thấy phương trình định luật bảo toàn động lượng tương ứng với

một đường thẳng d1 đi qua M0, và có hệ số góc là α thỏa mãn

1 2

Do sau va chạm vận tốc hai vật bằng nhau nên điểm M1 biểu diễn tốc độ của hai vật

ngay sau va chạm nằm trên đường thẳng d2 biểu diễn v1v2 hay

2 1

M1

y

Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:

Từ đó ta thiết lập giản đồ theo các quy tắc ở phần a và b với một số đặc điểm:

- Đường tròn biểu diễn động năng của hệ ngay sau va chạm đồng tâm O và có bánkính bằng  lần so với đường trong động năng của hệ ngay trước va chạm

- Các giao điểm của d1 với đường tròn là M2 và M3 lần lượt là nghiệm cần tìm củabài toán

Đến đây ta nhận thấy điều kiện để bài toán có nghiệm là cần có giao điểm củađường tròn động năng sau va chạm với d1, khi đó

y

d1

d2M

2

M3

1 3

1 3

cossin

M M

* Bình luận:

- Qua bài tập trên chúng ta nhận thấy rằng một bài toán va chạm trực diện hoàn toàn

có thể được giải bằng phương pháp giản đồ, bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác(phần b) hoặc các tính chất hình học đặc biệt (phần c) Dĩ nhiên cách làm ở phần b cũngdùng được để giải phần c và ngược lại Nhưng trong khuôn khổ chuyên đề tôi không giảichi tiết mà để lại làm bài giải luyện tập

- Đặc điểm của phương pháp này là có sử dụng biến phụ và các công thức biến đổiđơn giản, sử dụng các mối liên hệ hình học đơn giản, thích hợp để xem xét tương quancác loại tương tác, xu hướng biến đổi các đại lượng khi thay đổi các thông số khác Bêncạnh đó các phép tính toán trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn, các phương trình phải giải

ở bậc nhỏ hơn và độ phức tạp các tính toán giảm đi nhiều

- Dựa vào các tính chất hình học, ta còn có thể tìm được một số tính chất thú vịtrong va chạm Ví dụ như va chạm mềm là va chạm mà năng lượng bị hao hụt nhiều nhấttrong quá trình va chạm, hay theo như tính đối xứng của hệ nếu hai vật có khối lượngbằng nhau

Bài 2: Ở một góc tường, trên một mặt bàn nằm ngang, nhẵn, dọc theo một đường

thẳng người ta bố trí 2 vật có khối lượng lần lượt là m1 và m2 (vật m2 sát tường hơn) Banđầu vật m2 đứng yên, vật m1 chuyển động đến va chạm đàn hồi trực diện với vật m2 Hỏi

với tỉ số nào của

1 2

m

m thì trong hệ chỉ xảy ra đúng 3 va chạm

Bài giải:

Để đơn giản ta chọn chiều dương của chuyển động là chiều từ m1 đến m2

Ta dễ nhận thấy vận tốc các vật quyết định khả năng va chạm tiếp theo của chúng

m1 m2

Điều kiện để chúng không va chạm nữa là: 0 v 1 v2.

Ta xét các giai đoạn của vật giữa các lần va chạm

Chọn hệ trục tọa độ có các trục biểu diễn các đại lượng:

M0

M1α

Khi này điểm M2 đối xứng với M1 qua trục Ox.

- Giai đoạn 3: Sau khi va chạm với tường, vật m1 lại va chạm với vật m2, khi đóphương trình định luật bảo toàn động lượng của hệ có hệ số góc giống như phương trìnhđịnh luật bảo toàn động lượng của hệ trong quá trình va chạm lần đầu

Sử dụng điều kiện để các vật không va chạm nhau nữa ta cần tìm điều kiện để cho

M3 nằm ở trong cung nhỏ AB, trong đó B là điểm đối xứng M0 qua O và A là điểm trênđường tròn biểu diễn v1 = v2 như hình vẽ:

Đến đây theo các tính chất hình học ta dễ dàng chứng minh được:

- OA  M0M1

- M M 0 1 M M 0 2 M M 1 3

xO

M0

M1

α

M2

y

x

OM

0

M1

α

M2

M3

AαB

Do M2 và M3 đối xứng nhau OA nên ta thu được điều kiện để hệ không va chạmnữa là:

1

13

m m m

Phương pháp này sẽ chứng minh tác dụng của nó khi ta thay đổi điều kiện ban đầuhoặc tăng số lần va chạm Cách làm này cũng có thể được dùng để đếm số lần va chạmkhi cho trước

Bài 3: Một chất điểm khối lượng m1 đang bay với vận tốc v01 thì va chạm đàn hồivới một nêm khối lượng m2 đang di chuyển không ma sát trên một mặt bàn ngang với vậntốc v02 Biết góc nghiêng của nêm là α Tính vận tốc của chúng sau va chạm

Chọn chiều nghiêng của nêm là chiều dương trục Ox (x tăng thì độ cao nêm giảm)

và chiều thẳng đứng hướng lên là chiều dương trục Oy Ta có:

Đến đây ta thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz (x, y này không giống với x,y khi chọn

hệ tọa độ để chiếu các phương trình chuyển động) trong đó các thành phần tương ứng là:

1 1

1 1

2 2

x y

m k

m



và l cot, các số k và l lúc này đều là hằng số

Ta thu được hệ phương trình:

Gọi H là trung điểm của M0M’ ta dễ chứng minh OM M0 ' cân tại O tên OH

OH M M

t x l lt y k kt z

x ly kz t

12

Bên cạnh đó bài toán này ngoài việc nghiệm đúng lại trường hợp 1 chiều, ta có thể

mở rộng ra để giải rất nhiều bài toán khác:

- Bài toán 1 vật khối lượng m va chạm đàn hồi với một bán cầu có thể chuyển độngkhông ma sát

- Bài toán 1 quả bi-a đi theo đường đối xứng giữa 2 quả bi-a giống nhau và va chạmvới chúng (bằng cách sử dụng phép đối xứng gương)

- Bài toán va chạm của 3 vật (có thể gặp một hệ con lắc Newton tổng quát)

- …

III Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một viên đạn khối lượng m1 bay ngang, đập vào mặt nghiêng của một chiếcnêm Nêm có khối lượng m2 ban đầu đứng yên trên một mặt phẳng ngang nhẵn Sau vachạm đàn hồi đạn nảy lên theo phương thẳng đứng còn nêm chuyển động theo phương cũcủa m1 Tính độ cao cực đại (từ vị trí va chạm) mà viên đạn lên được

* Gợi ý: Bài này có thể sử dụng cách làm như bài tập mẫu 3, trong đó đã xác địnhđược các điểm biểu diễn trạng thái của hệ trước và sau va chạm Từ đó ta viết phươngtrình và tìm được vận tốc theo phương thẳng đứng của viên đạn sau va chạm

Đáp số:

2 12

m m m v h

Hãy tìm tỉ số khối lượng các quả cầu

* Gợi ý: Bài này ta hoàn toàn xác định trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ Ta

sử dụng phép cộng góc để hoàn thành bài này

Đáp số:

1 2

13

m

m 

Bài tập 3: Hai quả bóng đàn hồi, khối lượng m1 và m2, quả 1

được đặt trên đỉnh quả 2 (với một khe hở nhỏ giữa chúng) Thả

cho chúng rơi từ độ cao h xuống sàn

m1m2

h

a Hỏi tỉ số

1 2

13

m

m  ; b 9hBài 4: Một khối bán cầu tâm O, khối lượng m, được đặt sao cho mặt phẳng của khốinằm trên một mặt phẳng nằm ngang Một vật nhỏ khối lượng m bay theo phương ngangvới vận tốc u tới va chạm với bán cầu tại điểm A sao cho bán kính OA hợp với phươngngang một góc α Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi Bỏ qua mọi ma sát Hãy xác địnhtheo m, u và α

a Vận tốc của khối bán cầu sau va chạm

b Độ lớn xung lượng của lực do sàn tác dụng lên bán cầu trong thời gian va chạm

* Gợi ý: Bài toán này có thể áp dụng bài tập mẫu 3 nếu ta coi “mặt nêm” ở bài tậpmẫu 3 là mặt phẳng tiếp tuyến với bán cầu tại điểm va chạm

Đáp số: a

2 2

O2O3 Hãy xác định vận tốc của 3 quả bóng sau va chạm đàn hồi

α

* Gợi ý: Bài toán này có thể giải bằng thực hiện phép đối xứng gương của bài 4 Hệvật này đối xứng qua đường trung trực đường nối tâm của quả 2 và quả 3.

Bài 6: Một quả cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính r, lúc đầu được giữ đứngyên và không quay, tâm quả cầu ở độ cao nào đó so với mặt sàn nằm ngang Trên sàn cómột vật hình nêm, khối lượng M, mặt nêm nghiêng góc α so với phương ngang Thả choquả cầu rơi tự do xuống Biết ngay trước khi va chạm vào mặt nêm, tâm quả cầu có vậntốc v0 Coi quả cầu và nêm là các vật rắn tuyệt đối Bỏ qua tác dụng của trọng lực trongkhoảng thời gian va chạm Sau va chạm, nêm chỉ dịch chuyển tịnh tiến trên mặt sàn Bỏqua mọi ma sát Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi

a Tìm tốc độ dịch chuyển của nêm ngay sau va chạm

b Với α bằng bao nhiêu thì động năng thu được của nêm ngay sau va chạm là lớnnhất? Tìm biểu thức động năng đó

c Xác định xung lượng của lực mà mặt sàn tác dụng lên nêm trong quá trình vachạm

sin 2 sin

d

m v W

Bài 7: n quả bóng (Estonia)

n + 1 quả bóng đàn hồi được thả rơi sao cho chúng luôn ở trên đỉnh của nhau vàcách nhau những khe rất nhỏ Quả bóng dưới cùng có khối lượng m0, quả ngay trên nó có

m3

m2m1

d