Phương pháp lặp song song tìm điểm bất động chung của các toán tử bregman không giãn mạch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN HOÀI TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TOÁN TỬ BREGMAN KHÔNG GIÃN MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng M

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HOÀI TRANG

PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TOÁN TỬ

BREGMAN KHÔNG GIÃN MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2019

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người đãtận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi

có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Nhân dịp này tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và các đồngnghiệp của trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân đã luôn độngviện, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn này

ii

Mục lục

1.1 Không gian Banach phản xạ 3

1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh 4

1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet 4

1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman 6

1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 12

1.2.4 Phép chiếu Bregman 15

1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 17

1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 2 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh 21 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 21

2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp 26

2.3 Ứng dụng 28

2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi 28

2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại 29

2.3.3 Bài toán cân bằng 29

iii

2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn

điệu mạnh 312.3.5 Bất đẳng thức biến phân 32

Một số ký hiệu và viết tắt

X không gian Banach

X∗ không gian đối ngẫu của X

R tập hợp các số thực

R+ tập các số thực không âm

int M phần trong của tập hợp M

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

ˆ

F (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

5 f gradient của hàm f

M bao đóng của tập hợp M

projfC phép chiếu Bregman lên C

Df(x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y

Mở đầu

Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đóphải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co củaBanach (1922) Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và khônggian khác nhau Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựctoán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạohàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,

đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó

T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó đượcgọi là một điểm bất động của T Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việcgiải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thíchhợp Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong

X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = ychính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với

x ∈ X Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất độngcủa một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làmtoán trong và ngoài nước

Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiêncứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ kiểukhông giãn trong không gian Hilbert hay Banach Một trong những khó khăn khinghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động và các bài toán liên quan khác (chẳng

1

hạn bài toán tìm không điểm) trong không gian Banach là ta phải sử dụng đếnánh xạ đối ngẫu của không gian Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh

xạ đối ngẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính Do

đó việc tìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệutrong không gian Banach là “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta đã

sử dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường vàthay thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux.Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của tác giả TuyenT.M trong bài báo [26] về hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung củamột họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh, cùng với một số ứng dụngcho việc giải các bài toán liên quan khác trong không gian Banach phản xạ.Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banachphản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử Bregman khônggiãn mạnh

Chương 2 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữuhạn toán tử Bregman không giãn mạnh

Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kếtquả của Tuyen T.M trong tài liệu [26] về các phương pháp chiếu lai ghép vàphương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán

tử Bregman không giãn mạnh trong không gian Banach phản xạ Ngoài ra, một

số ứng dụng của các định lý chính cho việc giải một số lớp bài toán liên quankhác cũng được giới thiệu ở chương này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bảncủa không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếuBregman và toán tử Bregman không giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến một sốphương pháp tìm điểm bất động của toán tử Bregman không giãn mạnh Nộidung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 17, 20, 24, 27]

1.1 Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banachphản xạ

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ,nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của X, đều tồn tạiphần tử x thuộc X sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ X∗.Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗, xi để chỉ giá trịcủa phiếm hàm x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X

Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X là một không gian Banach Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương:

i) X là không gian phản xạ

3

ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu.

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trongkhông gian tuyến tính định chuẩn

Mệnh đề 1.1.4 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian khônggian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ C saocho xn * x, nhưng x /∈ C Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X∗ táchngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i Do đó, trong bấtđẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1.5 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng

1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn

mạnh

1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet

Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm

số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với mỗi x ∈

int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f0(x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trêntồn tại đều trên tập {y ∈ X : kyk = 1} Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đềutrên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1.Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tửgradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì fliên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpôyếu* trên int domf (xem [9])

iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M ,với mọi x ∈ X

Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều

Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều,thì f liên tục đều trên X

Chứng minh Lấy bất kỳ u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi

Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho

Vậy f liên tục đều trên X

1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman

Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới

Ví dụ 1.2.6 Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi

Mệnh đề 1.2.7 Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàmlồi trên D Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cụccủa f trên D

ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.Chứng minh i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0không là điểm cực tiểu toàn cục Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1) < f (x0)

Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận Ucủa x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x),với mọi x ∈ D ∩ U Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0+ t(x1− x0) ∈ D ∩ U , do

đó ta nhận được

f (x0) ≤ f (xt) = f [tx1+ (1 − t)x0] ≤ tf (x1) + (1 − t)f (x0)

Suy ra f (x0) ≤ f (x1), mâu thuẫn với f (x1) < f (x0) Vậy x0 là một điểm cựctiểu của f trên D

ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 6= x2 Khi đó

Định nghĩa 1.2.13 Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm

f : X −→ (−∞, +∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãnhai điều kiện sau:

L1) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteauxtrên int domf và dom5f = int domf ;

L2) Phần trong int domf∗ của miễn hữu hiệu của f∗ khác rỗng, f∗ khả viGâteaux trên int domf∗ và dom5f∗ = int domf∗

Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f∗ (xem [9]) Do đó, từ các điều kiện L1) và

là một không gian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = 1

pkxkp, 1 < p < +∞ làhàm Legendre Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ.Mệnh đề 1.2.14 (xem [19], Mệnh đề 2.1) Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả viFréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì 5f liên tục đều trênmỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X∗

Chứng minh Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn{xn}, {yn} và số dương ε sao cho kxn − ynk → 0, nhưng

h5f (xn) − 5f (yn), wni ≥ 2ε,

trong đó {wn} là một dãy trong X thỏa mãn kwnk = 1 với mọi n Vì f khả viFréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho

f (yn+ twn) − f (yn) − th5f (yn), wni ≤ εt,với mọi t ∈ (0, δ) Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có

h5f (xn), (yn+ twn) − xni ≤ f (yn+ twn) − f (xn),với mọi n ≥ 1

Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman.Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux Hàm Df :domf × int domf −→ [0, +∞) xác định bởi

Df(y, x) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi, (1.1)được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2])

Nhận xét 1.2.15 i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩathông thường, vì nó không có tính đối xứng.

ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df(·, x) là hàm lồi chặt và

5Df(·, x)(y) = 5f (y) − 5f (x)

iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức bađiểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f ,

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = h5f (z) − 5f (y), x − yi, (1.2)

và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f ,

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x)

+ Df(ω, z) = h5f (z) − 5f (x), y − ωi

(1.3)

Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = f (x) − f (y) − h5f (y), x − yi

+ f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi

− [f (x) − f (z) − h5f (z), x − zi]

= h5f (z) − 5f (y), x − yi,suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh

Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x) + Df(ω, z) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi

− [f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi]

− [f (w) − f (x) − h5f (x), w − xi]+ f (w) − f (z) − h5f (z), w − zi

= h5f (z) − 5f (x), y − ωi,suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh

1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn

Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux Khi đó, f đượcgọi là:

a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nótại x, vf : int domf × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định bởi

vf(x, t) = inf{Df(y, x) : y ∈ domf, ky − xk = t},

là dương với mọi t > 0;

b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ;

c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf(B, t) là dương với mọi tậpcon bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn củahàm f trên tập B là hàm vf : int dom f × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác địnhbởi

vf(B, t) = inf{vf(x, t) : x ∈ B ∩ int domf }

Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dướiđây

Mệnh đề 1.2.16 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8) Cho f là một hàm lồi, chính thường,nửa liên tục dưới Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây:

i) Miền hữu hiệu của vf(x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf(x)) hoặc [0, τf(x)]với τf(x) ∈ [0, +∞);

ii) Nếu c ∈ [1, +∞) và t ≥ 0, thì vf(x, ct) ≥ cvf(x, t);

iii) Hàm vf(x, ·) là cộng tính trên, tức là với mọi s, t ∈ [0, +∞) thì ta có

vf(x, s + t) ≥ vf(x, s) + vf(x, t);

iv) Hàm vf(x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu

f là hàm lồi hoàn toàn tại x

Tiếp theo, luận văn đề cập đến một số tính chất quan trọng dưới đây.

Mệnh đề 1.2.17 (xem [20], Bổ đề 3.1) Cho f : X −→ R là một hàm khả viGâteaux và lồi hoàn toàn Nếu x0 ∈ X và dãy {Df(xn, x0)} bị chặn, thì dãy {xn}cũng bị chặn

Chứng minh Vì dãy {Df(xn, x0)} bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho Df(xn, x0) ≤

M với mọi n ≥ 1 Từ định nghĩa của modul của tính lồi hoàn toàn vf(x, t) ta có

vf(x0, kxn − x0k) ≤ Df(xn, x0) ≤ M (1.4)Suy ra dãy {vf(x0, kxn − x0k)} cũng bị chặn bởi M Vì f là hàm lồi hoàn toànnên theo Mệnh đề 1.2.16 iv) vf(x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, +∞).Suy ra vf(x, 1) > 0 với mọi x ∈ X

Bây giờ, giả sử ngược lại rằng dãy {xn} không bị chặn Khi đó, tồn tại một dãycon {xnk} ⊂ {xn} sao cho limk→+∞kxnkk = +∞ Do đó limk→+∞kxnk − x0k =+∞ Từ Mệnh đề 1.2.16 ii), ta có

vf(x0, kxnk − x0k) ≥ kxnk − x0kvf(x, 1) → +∞,suy ra dãy {vf(x0, kxnk − x0k)} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.4) Vậy dãy{xn} bị chặn

Mệnh đề 1.2.18 (xem [23], Mệnh đề 2.2) Nếu x ∈ domf , thì các khẳng địnhdưới đây là tương đương:

i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x;

ii) Với bất kỳ dãy {yn} ⊂ domf,

Nhận xét 1.2.19 Hàm f là lồi hoàn toàn trên mỗi tập con bị chặn C ⊂ X nếu

và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C

Mệnh đề 1.2.20 (xem [11], Bổ đề 2.1.2) Hàm f : X −→ (−∞, +∞] là mộthàm lồi và C ⊂ int dom f Khi đó các khẳng định sau là tương đương

i) f là ổn định dãy trên C;

ii) Với mọi dãy {xn} và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãnlimn→+∞Df(yn, xn) = 0 thì limn→+∞kxn− ynk = 0

Chứng minh i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn}

và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãn limn→+∞Df(yn, xn) = 0nhưng kxn− ynk 9 0 Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk} ⊂ {xn}

và {ynk} ⊂ {yn} thỏa mãn kxnk − ynkk ≥ α với mọi k ≥ 1 Đặt E = {xn}, khi

đó E là tập bị chặn Do đó

Df(ynk, xnk) ≥ vf(xnk, kxnk − ynkk) ≥ vf(xnk, , α) ≥ inf

x∈Evf(x, α),suy ra infx∈Evf(x, α) = 0, điều này mâu thuẫn với f là hàm lồi hoàn toàn (Nhậnxét 1.2.19)

ii)⇒i) Giả sử ngược lại rằng tồn tại một tập bị chặn E ⊂ C sao cho infx∈Evf(x, t) =

0 với t là một số thực dương nào đó Theo tính chất của cận dưới đúng, tồn tạidãy {xn} ⊂ E sao cho

1

n > vf(xn, t) = inf{Df(y, xn) : ky − xnk = t}

Suy ra tồn tại dãy {yn} ⊂ E sao cho kyn− xnk = t và Df(yn, xn) < 1/n với mọi

n ≥ 1 Do đó limn→+∞Df(yn, xn) = 0 Từ tính bị chặn của dãy {xn} và giả thiết

ta nhận được

0 < t = lim

n→+∞kxn − ynk = 0,đây là điều vô lý Vậy infx∈Evf(x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E trong C vàmọi số thực dương t, hay f là ổn định dãy trên C

1.2.4 Phép chiếu Bregman

Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux Phép chiếuBregman của x ∈ int domf lên tập con lồi, đóng và khác rỗng C ⊂ domf làvéctơ duy nhất projfC(x) ∈ C thỏa mãn

Df(projfC(x), x) = inf{Df(y, x) : y ∈ C} (1.5)Mệnh đề 1.2.21 Toán tử chiếu projfC : int dom f −→ C được cho bởi (1.5) làhoàn toàn xác định

Chứng minh Lấy x ∈ int dom f Đặt

vf(x, 1)kyn − xk ≤ vf(x, kyn − xk),điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của {vf(x, kyn − xk)} (xem (1.6)) TheoMệnh đề 1.1.3, tồn tại dãy con {ynk} của dãy {yn} sao cho ynk * y∗ Vì C làtập lồi, đóng nên C là tập đóng yếu (xem Mệnh đề 1.1.4) và do đó y∗ ∈ C Hàm

Df(·, x) là nửa liên tục dưới và lồi, do đó nó là nửa liên tục dưới trên int dom f

Vì vậy, ta có

Df(y∗, x) ≤ lim inf

k→+∞ Df(ynk, x) = α ≤ Df(y∗, x),suy ra Df(y∗, x) = α, tức là tồn tại ít nhất một phần tử y∗ ∈ C sao cho

α = Df(y∗, x) Vì Df(·, x) là hàm lồi chặt nên theo Mệnh đề 1.2.7, suy ra tínhduy nhất của y∗ Vậy phép chiếu Bregman projfC : int dom f −→ C là hoàn toànxác định

Nhận xét 1.2.22 i) Nếu X là một không gian Banach trơn và lồi chặt và

f (x) = kxk2 với mọi x ∈ X, thì 5f (x) = 2J x với mọi x ∈ X, trong đó

J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X vào 2X∗, và do đó Df(x, y) trở thànhφ(x, y) = kxk2− 2hx, Jyi + kyk2, với mọi x, y ∈ E, đây là hàm Lyapunovđược xây dựng bởi Albert trong [5] và phép chiếu Bregman projfC(x) trởthành phép chiếu tổng quát ΠC(x) được xác định bởi

φ(ΠC(x), x) = min

y∈C φ(y, x)

ii) Nếu X = H là một không gian Hilbert, thì J là ánh xạ đồng nhất và do đóphép chiếu Bregman projfC(x) trở thành phép chiếu mêtric từ H lên C.Tính chất đặc trưng của phép chiếu Bregman được cho bởi mệnh đề dưới đây.Mệnh đề 1.2.23 (xem [12], Hệ quả 4.4) Giả sử f khả vi Gâteaux và lồi hoàntoàn trên int domf Cho x ∈ int domf và cho C ⊂ int domf là một tập khácrỗng, lồi và đóng Nếu x ∈ C, thì các khẳng định dưới đây là tương đương:i) x = projfC(x);

ii) x là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân

0 ≥ Df(x, x) − Df(zt, x)