Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

Trong hệ cộng hưởng vòng quang học cũng có nhiều ứng dụngtrong cá thiết bị quang tử như: chọn lọc bước sóng [11], trạng thái hỗn loạn đượcứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ vàbả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -

NGUYỄN DUY CƯỜNG

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGHỆ AN - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -

NGUYỄN DUY CƯỜNG

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

Chuyên ngành: QUANG HỌC

Mãsố: 9440110

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS.TS Đinh Xuân Khoa

2 GS.TSKH Marek Trippenbach

NGHỆ AN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan nội dung của luận án này làcông trình nghiê cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS Đinh Xuân Khoa và GS.TSKH.Marek Trippenbach Các kết quả trong luận án làtrung thực và được công bố trêncác tạp chí chuyên ngành ở trong nước và quốc tế

Tác giả

Nguyễn Duy Cường

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TS Đinh Xuân KhoavàGS.TSKH Marek Trippenbach lànhững Thầy đã định hướng nghiê cứu, cungcấp cá tài liệu quan trọng, nhiều lần thảo luận góp ývàtận tình chỉ dẫn cho tôitrong suốt thời gian nghiê cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quýThầy giáo GS.TSKH Cao Long Vân,

TS Bùi Đình Thuận, TS Nguyễn Việt Hưng vàcá Thầy côgiáo Ngành Vật lýthuộc Viện Sư phạm Tự nhiê cùng nhóm Nghiên cứu sinh chuyên ngành Quanghọc đã giúp đỡ, nhiệt tình giảng dạy cá kiến thức chuyên ngành, chỉ dẫn cá kỹnăng nghiên cứu, cónhiều đóng góp ýkiến quýbáu vàgiải đáp các thắc mắc vềmặt khoa học trong quátrình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Viện Sư phạm Tự nhiên,Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợinhất, tận tình hướng dẫn vàgiúp đỡ kịp thời cá thủ tục hành chính trong thời giantôi học tập vànghiê cứu

Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Công nghiệpVinh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian cho tôi trong việc học tập và nghiêcứu trong những năm qua

Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, người thân vàbạn bè đã quan tâm động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận án này

Trân trọng cảm ơn!

Tác giả luận án

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

TỔNG QUAN 1

1 Lýdo chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiê cứu 4

3 Đối tượng vàphạm vi nghiê cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Bố cục của luận án 6

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN 7

1.1 Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý 7

1.2 Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học 9

1.2.1 Hiệu ứng phi tuyến Kerr 9

1.2.2 Hiện tượng hấp thụ hai photon 12

1.2.3 Phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học 13

1.3 Solitons vàlời giải solitons 14

1.4 Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến 16 1.4.1 Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến 17

1.4.2 Phương pháp Split - Step Fourier (SSF) 19

1.5 Một số phương pháp dùng để xét tính chất ổn định của cá trạng thái 23

1.5.1 Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn 23

1.5.2 Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov - Kolokolov (V-K) 27

1.6 Sự phávỡ đối xứng tự phát 28

1.6.1 Khái niệm về sự phávỡ đối xứng tự phát 28

1.6.2 Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn 29

1.6.3 Trạng thái hỗn loạn vàmột số kịch bản dẫn đến hỗn loạn 31

1.7 Kết luận chương 1 34

Chương 2 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN 36

2.1 Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép 36

2.1.1 Mô hình và phương trình mô tả hệ 36

2.1.2 Hệ nghiê cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tính kép 39

2.1.3 Hệ nghiê cứu với phi tuyến tự phân kỳ vàthế tuyến tính kép 46

2.2 Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến tính 48

2.2.1 Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu 48

2.2.2 Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các trạng thái 49

2.3 Kết luận chương 2 53

Chương 3 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT 54

3.1 Môhình nghiê cứu vàhệ phương trình mô tả 54

3.2 Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng quang 57

3.2.1 Trạng thái dừng vàsự phávỡ đối xứng 58

3.2.2 Trạng thái dao động 63

3.2.3 Trạng thái hỗn loạn 65

3.3 Sự phávỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép 68

3.3.1 Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ 69

3.3.2 Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phávỡ đối xứng của hệ 77

3.3.3 Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phávỡ đối xứng của hệ 83

3.4 Kết luận chương 3 85

KẾT LUẬN CHUNG 87

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH

DÙNG TRONG LUẬN ÁN

SSB Spontaneous Symmetry Breaking Sự phávỡ đối xứng tự phát

NLSE Nonlinear Schrödinger Equation Phương trình Schrödinger

phi tuyến

-Einstein

Vakhitov vàKolokolov

Split - Step Fourier

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

1.1 Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) 10

tự điều biến pha và (b) điều biến pha chéo [33]

1.2 Lan truyền của cá solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc 15

nhất và(b) soliton bậc bốn

Step bậc hai

Phổ ổn định tuyến tính của cá trạng thái solitons của phương

1.4 trình Schrödinger phi tuyến (1.84) với hằng số lan truyền = 26

1, tương ứng với ba trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c).

Hình (a) là đường cong công suất trạng thái solitons (1.85); (b,

1.5 c) làphổ ổn định tuyến tính của trạng thái solitons tại hai giá 27

trị = 1 và = 3 tương ứng với các điểm tròn ở hình (a).

1.6 Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng 28

1.7 Sự rẽ nhánh trên tới hạn của cá trạng thái solitons trong mô 30

theo tọa độ không gian

Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) vàbất đối xứng phải (b)

(các đường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét

2.2 đứt) Các tham số: độ rộng của hàm thế Gauss kép là = 0.5, 38

công suất xung là = 2, trường hợp này làphi tuyến tự hội tụ

= −1.

Các trạng thái solitons của hệ vàthế Gauss kép lần lượt tương

2.3 ứng các đường màu xanh và màu đỏ nét đứt: (a) trạng thái 39

soliton đối xứng, (b) trạng thái soliton bất đối xứng

2.4 Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng 40

số lan truyền , vàcông suất xung

Hình (a) làcông xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền;

hình (b) làtiến triển trong không gian trạng thái soliton đối

2.5 xứng với = 0.5, = 0.5; hình (c), (d) lần lượt làtiến triển 41

trạng thái soliton đối xứng vàtrạng thái soliton đối xứng khi

= 2, = 0.5.

Hình (a), (b), (c) tương ứng làhình dạng solitons của cá trạng

2.6 thái ứng với các điểm A, B, C (hoặc D) Các hình (a1), (b1), (c1) 43

tương ứng làphổ trị riêng của cá mode nhiễu loạn khi tiến triển

cá solitons ứng với (a), (b), (c) trong không gian thực

Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng

2.7 được tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và 44

công suất xung ứng với trường hợp độ rộng của thế Gauss

kép = 0.2.

Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng

2.8 được tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và 44

công suất của xung vào ứng với trường hợp độ rộng của thế

Gauss kép = 1.0.

Hình (a) công suất xung vào ngưỡngnhư là hàm của độ

2.9 rộng (đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền 45

ngưỡngnhư là hàm của độ rộng (đường cong chấm tròn)

Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong

2.10 trường hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tính Gauss 46

kép = 1.0.

Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng

2.11 khác nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất =2 47

và hình (b) tương ứng với a =1.0, công suất =2.

Tiến triển trong không gian thực cá trạng thái solitons, hình

2.12 (a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung =2, 47

hình (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung

=2

Các loại trạng thái solitons: hình (a) làtrạng thái đối xứng,

2.13 hình (b) trạng thái phản đối xứng vàhình (c) trạng thái không 50

đối xứng của hệ trong trường hợp hệ số liên kết = 1 vàhằng

số lan truyền = 4.

Hình (a) miêu tả công suất xung và hình (b) miêu tả năng

2.14 lượng của cá trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối 51

xứng theo hằng số lan truyền

Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng  được định nghĩa theo

2.15 biểu thức (2.25) theo hằng số lan truyền vàtổng công suất 52

Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với

3.1 sự có mặt của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên 55

kết tuyến tính với nhau [31]

3.2 Một số loại trạng thái cuối cùng của hệ khi liên kết giữa hai 58

vòng là hằng số, tham số mất mát cố định Γ = 1 [31].

3.3 Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với cá 59

tham số: = 3, Γ = 1, 0 = 2, = 1.

Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các

3.4 tham số = 3, = 1 và = 1, với cường độ liên kết khác 60

nhau là 0 = 1, 0 = 2, 0 = 3 Hình (a) là kết quả tính toán

của luận án, (b) là kết quả của công trình [48]

Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm

3.5 sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số 61

Γ = 1, 0 = 1.5, = 0.01 và = 0.55 [50, 51].

Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các

3.6 hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham 61

số Γ = 1, 0 = 1.5, = 0.01 và = 1.1 [50, 51].

Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm

3.7 sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số 62

Γ = 1, 0 = 1.5, = 0.01 và = 0.60 [50, 51].

3.8 Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số, 63

cá tham số Γ = 1, = 1.5 và = 1.75 [31].

Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số.

Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo

3.9 thời gian [31], (b) làbiến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là 64

tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của cá

hàm sóng Các tham số của hệ Γ = 1, = 1 và = 1.25.

Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng

3.10 quang học của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với cá 65

tham số: = 3, Γ = 1, = 1; hình (a) ứng với cường độ liên

kết 0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết 0 = 5 [48].

Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên

3.11 kết hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) làkết quả của 66

[31]), khi cá tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, = 2 và = 2.

Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô

3.12 tả kịch bản dẫn đến hỗn loạn Hình (a) ứng với hằng số liên kết 67

∈ [1.74,1.82], hình (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu

đỏ ứng với ∈ [1.790,1.810] [52].

Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của

3.13 cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường 70

độ liên kết 0 = 0.9, 0 = 0.95, 0 = 1.0 và 0 = 1.1.

cường độ liên kết 0 = 2.598, 0 = 2.6 và 0 = 2.61.

Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt

tương ứng với các tham số cường độ liên kết 0 = 2.84, 0 =

3.15

3.19 và 0 = 3.20; hình (a 1 -b 1 ) một trạng thái hỗn loạn, (a 2 -b 2 ) 73trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3) trạng thái dao động

cá giátrị khác nhau của cường độ liên kết

3.18 Sơ đồ rẽ nhánh môtả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng 76

cường độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng = 1.

3.19 Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các 77tham số cố định Γ = 1, 0 = 2.85, = 0.01 và thay đổi.

Mô đun của cá hàm sóng trong hai vòng quang học hình (a)

3.20 khi tham số khuếch đại ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối 78xứng vàhình (b) khi tham số khuếch đại ≃ 2.22 mô tả trạng

thái không đối xứng

Tổng công suất của hệ môtả trạng thái dao động, trạng thái

3.21 hỗn loạn của hệ, hình (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng 79với tham số khuếch đại = 2.42, hình (a 2 -b 2 ) biểu diễn trạng

thái hỗn loạn ứng với tham số khuếch đại ≈ 2.62.

Mô đun của các hàm sóng, hình (a) và(b) lần lượt môtả trạng

3.22 thái phản đối xứng vàtrạng thái bất đối xứng ứng với cá tham 80

số khuếch đại là = 3.06 và = 3.65.

3.23 Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực 81học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 0 = 12,75, = 1.

Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả cá trạng

3.24 thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số vàtrạng thái 82hỗn loạn Các hình (a), (b), (c) và(d) lần lượt tương ứng với

cá tham số = 0.16, = 2.65, = 4.75 và = 5.03.

Giản đồ rẽ nhánh của quátrình biến đổi trạng thái của hệ khi

3.25

cố định cá tham số = 3, 0 = 2.85, = 0.01, tham số mất 83

mát phi tuyến Γ thay đổi.

Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi

tuyến Γ thay đổi.

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

3.1 Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên 69

kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp = 0.01.

3.2 Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên 74

kết khi độ rộng hàm liên kết rộng = 1.

3.3 Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số 77

khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết hẹp = 0.01.

3.4 Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số 81

khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết rộng

SSB trong quang học cónhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử Hiệuứng chuyển đổi năng lượng quang giữa cá kênh cóthể được sử dụng làm cơ sởcho việc thiết kế cá thiết bị chuyển mạch toàn quang [4, 5] vàcá ứng dụng khác,chẳng hạn như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phân chia bướcsóng [7], cổng logic [8] vàtruyền dẫn lưỡng ổn định [9] Bộ ghép hai sợi quangphi tuyến dùng để né solitons hiệu quả bằng cách tạo độ tán sắc khác nhau tronghai sợi [10] Trong hệ cộng hưởng vòng quang học cũng có nhiều ứng dụngtrong cá thiết bị quang tử như: chọn lọc bước sóng [11], trạng thái hỗn loạn đượcứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ vàbảo mật thông tin [12, 13], pháttín hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực học dao động hỗn loạncực nhanh của laser giải quyết triệt để bài toán giả định ứng dụng vào trítuệ nhâtạo (AI) [14].

Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, SSB đã và đang được cá nhàkhoahọc trên thế giới quan tâm nghiê cứu [6-25] Đặc biệt là nhóm của B A

Malomed đã nghiên cứu rất chi tiết kể từ hơn hai thập kỷ qua SSB được nghiê cứutrong nhiều hệ quang học khác nhau cả trong lýthuyết vàthực nghiệm Đối vớitrong ống dẫn sóng màchủ yếu trong môi trường Kerr tự hội tụ [2], ảnh hưởng củahiệu ứng SSB lên solitons quang học không gian đã được chứng minh bằng thựcnghiệm trong ống dẫn sóng phẳng phi tuyến [15] Nghiên cứu giải tích của SSB cho

cá mode solitons được thực hiện trong cá môhình lõi kép cótính chất phi tuyến Kerr[16], vàcá ống dẫn sóng quang học phi tuyến bậc ba - năm

[17] Hiệu ứng SSB trong quang học cóthể xảy ra trong cấu trúc cósự phân bốđối xứng của chiết suất với phi tuyến tự hội tụ, hệ được môtả bởi phương trìnhSchrödinger phi tuyến (nonlinear Schrödinger equation - NLSE) cóthêm thànhphần thế tuyến tính [18] Trong cá sợi quang học lõi kép ghép tuyến tính vớinhau cũng có SSB, đó là thành phần trọng yếu trong chuyển mạch toàn quangđiều khiển công suất, với hiệu ứng phi tuyến Kerr [19] SSB của trạng thái sóngliên tục [20] vàsự hình thành cá solitons bất đối xứng trong cá sợi quang lõi kép[21] cũng được nghiê cứu chi tiết về mặt lýthuyết Gần đây SSB trong ống dẫnquang với sự cạnh tranh của phi tuyến bậc ba - năm và thế tuyến tính đối xứngchẵn lẻ thời gian được nghiê cứu [22] Qua đó cho thấy, SSB với sự cómặt củathế tuyến tính không ngừng quan tâm nghiê cứu vàứng dụng bằng cách xem xétvới cá loại thế tuyến tính mới

Hầu hết những nghiê cứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được thựchiện trong cá hệ quang học cóhệ số phi tuyến làhằng số Một cách khác để thựchiện phávỡ đối xứng tự phát trong hệ quang học đó là môi trường phi tuyến biếnđiệu Năm 2008 lần đầu tiên SSB được nghiê cứu trong hệ với phi tuyến biếnđiệu dạng kép tương đương như thế phi tuyến kép dạng hàm hai delta đượcnghiê cứu [23] và được mở rộng trong trường hợp hai chiều [24], gần đây vàonăm 2017 phi tuyến biến điệu dạng hàm mũ cũng được nghiê cứu cósố đỉnh tăngdần từ hai đến năm đỉnh [25] Như vậy, chúng ta cóthể nghiê cứu SSB trong hệmới với việc thay đổi dạng phi tuyến biến điệu

Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vòng quang SSBtrong hệ này gây ra sự biến đổi trạng thái của hệ, trong đó có dẫn tới trạng thái

hỗn loạn Đây là trạng thái đã có nhiều ứng dụng và được nhiều quan tâm nghiêcứu hiện nay Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz là người đầutiên phát biểu khái niệm hỗn loạn Theo đó, hỗn loạn được hiểu làsự mất trật tự,lộn xộn Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phòng thínghiệmbởi Gioggia and Abraham [26] Những năm 1990 hỗn loạn laser được nghiê cứu

để ứng dụng vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đến năm 2000 ứngdụng trở thành hiện thực Sau đó hỗn loạn laser không ngừng được nghiê cứuứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác như trong các mạch tích hợp quang tử đối vớithông tin quang [28] như kỹ thuật phát số ngẫu nhiên “0”, “1”

[29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin [30] vàgần đây vào năm

2017 nhóm của Marek Trippenbach đã đề xuất một hệ cộng hưởng mới gồm haivòng quang học kích thước cỡ micro mét liên kết tuyến tính với nhau,

động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái vàhiện tượng thú vị hứa hẹnnhiều ứng dụng trong tương lai [31]

Qua tìm hiểu SSB trong cá hệ quang học chúng tôi nhận thấy cómột số hệchưa được nghiê cứu một cách đầy đủ hoặc cóthể mở rộng nghiê cứu thêm Việcnghiê cứu SSB trong cá hệ quang học khác nhau một cách đầy đủ, hệ thống làrấtcần thiết, sẽ giúp định hướng trong thực nghiệm vàứng dụng Đặc biệt, trạng tháihỗn loạn của SSB hứa hẹn cónhiều ứng dụng trong cuộc cách mạng 4.0 Vìvậy

chúng tôi chọn “Nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến” làm đề tài luận án của mình góp phần vào hệ thống lýthuyết về

SSB của một số hệ quang học

Động lực học của một hệ vật lý nói chung được môtả bằng các phương trình

vi phân Trong đề tài này, chúng tôi nghiê cứu cá hệ quang học đóng (hệ bảotoàn) vàmở (hệ không bảo toàn) được môtả bằng các phương trình vi phân đạohàm riêng phi tuyến kiểu Schrödinger Các môi trường phi tuyến kiểu Kerr là mộtvídụ điển hình của các phương trình kiểu này Khó khăn chung trong mọi bài toánphi tuyến làvề mặt toán học của chúng Các phương trình vi phân phi tuyếnkhógiải hơn nhiều so với các phương trình tuyến tính Chỉ các phương trình viphân tuyến tính mới cho ta những lời giải giải tích chính xác qua việc dùng phé

biến đổi Fourier nổi tiếng “phân lời giải thành cá sóng phẳng” Phương pháp giải tích chỉ cóthể đưa ra trong một số rất ít cá bài toán phi tuyến vàkhông thể có phương pháp giải chung cho tất cả các bài toán được Chẳng hạn, phương trình Schrödinger phi tuyến cóthể giải bằng phương pháp tán xạ ngược nhưng không

áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng Để giải quyết vấn đề, người ta đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác nhau Phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số cùng với việc phát minh ra

cá máy tính thế hệ ba cósức tính toán khổng lồ Chúng đã được sử dụng trong rất nhiều bài toán thực tế khác nhau vàhiệu quả trong bài toán lan truyền xung và xét tính chất ổn định của cá trạng thái Mục đích quan trọng của đề tài này làtìm hiểu vàvận dụng một số phương pháp số để nghiê cứu SSB vàxét tính chất ổn định củatrạng thái trong một số hệ quang học đóng và mở Chúng tôi sử dụng ngôn ngữ thông dụng của cá tính toán bằng số làngôn ngữ Matlab để viết chương trình cho máy tính Những kết quả này không chỉ mang tính lýthuyết mà cónhiều hướng ứng dụng to lớn trong kỹ thuật vàcông nghệ như ứng dụng cá solitons vào truyền thông Các hệ quang học phi tuyến trở nên “phòng thí nghiệm” cho cá nghiê cứu giải tích vàsố đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến hiện nay

2 Mục tiêu nghiên cứu

2.1 Mục tiêu tổng quát

- Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá

vỡ đối xứng tự phát (SSB) trong hệ ống dẫn sóng với sự cómặt của phi tuyến Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, hệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính vàphi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta (hai hệ này có Hamiltonian không đổi theo thời gian - gọi tắt làhệ bảo toàn)

- Nghiên cứu ảnh hưởng của cá tham số điều khiển như cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên SSB vàquátrình động lực học của hệ hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tính với

sự có mặt của khuếch đại tuyến tính và mất mát phi tuyến (hệ này cóHamiltonian thay đổi theo thời gian - gọi tắt làhệ không bảo toàn)

- Thiết lập sơ đồ, giản đồ rẽ nhánh về SSB vàchuyển đổi giữa cá trạng tháitrên, xác định kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn của hệ không bảo toàn.

3 Đối tượng vàphạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiê cứu làcá hệ quang học cóphi tuyến kiểu Kerr vàhệ cộnghưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự cómặt của khuếch đạituyến tính vàmất mát phi tuyến

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiê cứu làcá hệ quang học được xét trong trường hợp một

chiều vàphi tuyến kiểu Kerr

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết: Sử dụng phương pháp tách biến để giải hệphương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai; Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov -Kolokolov (V-K) để xác định tính chất ổn định của cá trạng thái solitons

- Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìm lời giải solitons trongmôi trường quang học phi tuyến Kerr Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của

cá mode nhiễu loạn và phương pháp Split - Step Fourier (SSF) tiến triển solitonsdưới ảnh hưởng của nhiễu loạn để xác định tính chất ổn định của solitons Đồngthời sử dụng phương pháp SSF để tìm trạng thái cuối cùng trong hệ cộng hưởngvòng quang

áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến, solitons vàcá loại solitonscũng được trình bày Cuối cùng làkhái quát về khái niệm sự phávỡ đối xứng,giản đồ rẽ nhánh, ýnghĩa của giản đồ rẽ nhánh, trạng thái hỗn loạn vàmột số kịchbản dẫn tới hỗn loạn.

Chương 2 Sự phávỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học phi tuyến bảo toàn

Chương 2 chúng tôi nghiê cứu sự phávỡ đối xứng trong hai hệ quang học đólà: hệ thứ nhất làống dẫn sóng cóphi tuyến Kerr đồng nhất vàthế tuyến tính códạng hàm Gauss kép, hệ thứ hai làhệ hai ống dẫn sóng song song có phi tuyếnKerr không đồng nhất vàliên kết tuyến tính Bằng cá phương pháp khác nhauchúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá vỡ đốixứng tự phát, đồng thời xét tính chất ổn định của cá trạng thái solitons của hai hệbảo toàn trên

Chương 3 Sự phávỡ đối xứng tự phát trong hệ hai vòng cộng hưởng quang kích thước cỡ micro mét

Chương này chúng tôi nghiên cứu SSB vàquátrình biến đổi trạng thái của

hệ hai vòng cộng hưởng quang liên kết tuyến tính với nhau Bằng phương phápSSF với kỹ thuật tiến triển theo thời gian với ảnh hưởng của nhiễu loạn, chúngtôi đi xác định được cá vùng tham số tồn tại SSB vàcác loại trạng thái khácnhau, đồng thời xem xét kịch bản dẫn tới hỗn loạn

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

Mục tiêu chính của chương này làtìm hiểu vàtrình bày các phương pháptính toán áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến vàxét tính chất ổnđịnh của cá trạng thái Đồng thời chúng tôi tìm hiểu cá khái niệm cơ bản liênquan đến sự phávỡ đối xứng sẽ áp dụng để nghiê cứu trong Chương 2 vàChương 3

1.1 Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý

Hầu hết cá hiện tượng vật lý trong thực tế được mô tả bởi các phương trìnhđạo hàm riêng Phương trình cóchứa các đạo hàm riêng của hàm hai hoặc nhiềubiến được gọi là phương trình đạo hàm riêng Tùy theo cách phân chia màphương trình đạo hàm riêng được chia làm cá loại khác nhau Nếu phân chia theomức độ phi tuyến chúng ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và phươngtrình đạo hàm riêng phi tuyến Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phươngtrình được viết ở dạng chung như sau [32]:

ở đây làmột toán tử tuyến tính, nghĩa làthõa mãn tính chất sau:

( ⃗ ⃗ + ⃗) = ⃗ ⃗ + ⃗,

(1.2)

, làcá hằng số, ⃗ ⃗ và ⃗ làcá hàm riêng Ngược lại, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

là phương trình không tuyến tính nghĩa là không thõa mãn tính chất trên.

Nếu phân chia theo sự phụ thuộc vào thời gian, chúng ta cóphương trìnhbiến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi

là phương trình dừng Trong tình huống này người ta thường kíhiệu biến thờigian là , cá biến còn lại làbiến không gian

7

Trong nghiê cứu vật lý, bước đầu tiên chúng ta thường thực hiện đó là toánhọc hóa cá hiện tượng vật lý Dưới đây làmột số phương trình đạo hàm riêngmôtả cá hệ vật lýmà chúng ta thường gặp đó là:

 Phương trình Poisson: ∆ = Phương trình này thường xuất hiện khi nghiê cứu thế tĩnh điện, từ trường tĩnh, thủy động lực học, thế hấp dẫn, truyền nhiệt dừng Đặc biệt, khi = 0 thì phương trình Poisson trở thành phương trình Laplace;

 Phương trinh D’ Alember: ∆ = 1 2 , môtả quátrình lan truyền sóng

như: sóng đi điện từ, các sóng đàn hồi;

 Các phương trình Maxwell mô tả cá hiện tượng điện từ;

 Phương trình Klein-Gordon: ∆ − 1222 − 0 = 0, môtả chuyển động của vi hạt trong trường hợp tương đối tính.

 Phương trình Sine-Gordon − = được ứng dụng trong hình học vi phân, trong vật lý(miêu tả trong nhiều bối cảnh lan truyền sóng trên một đường thẳng, không địa phương trong tinh thể, từ trường hóa,…),

 Trong vật lýsiêu dẫn, Ginzburg-Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng luận

về chuyển pha siêu dẫn (1951) Giả thuyết của Ginzburg-Landau là trạng thái siêu dẫn trật tự hơn trạng thái thường như vậy từ lý thuyết

chuyển pha có thể diễn tả được bằng một thông số trật tự ( ), phương trìnhnày códạng:

8

như trong cơ học lượng tử, trong quang học, trong vật chất ngưng tụ,….có dạngnhư sau:

Một số hệ quang học phi tuyến được môtả bởi dạng phương trình Schrödingerphi tuyến (1.4) sẽ là đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong đề tài này, điển hìnhlàphi tuyến kiểu Kerr

1.2 Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một

số hệ quang học

1.2.1 Hiệu ứng phi tuyến Kerr

Phi tuyến kiểu Kerr làhiện tượng phi tuyến liên quan đến phân cực phituyến bậc ba của cường độ điện trường [33] Dưới tác dụng của trường ánh sángmạnh, chiết suất hiệu dụng của môi trường phụ thuộc vào cường độ trường ánhsáng theo hệ thức[33]:

9

ánh sáng khác thìhiệu ứng được gọi là điều biến pha chéo như được môtả trên Hình 1.1.

Hình 1.1 Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) tự điều

biến pha và (b) điều biến pha chéo [33]

Thành phần phân cực phi tuyến ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm ánh sáng tần số códạng:

( ) = 3 (3)( )| ( )|2 ( ), (1.9)

0

trong đó 0 = 8.85 × 10 −12 / là độ điện thẩm của chân không.

Độ lớn véctơ phân cực toàn phần của môi trường đối xứng tâm được cho bởi:

So sánh (1.15) với (1.18) cho thấy hệ số phi tuyến 2 ℎ

trong điều biến pha chéolớn gấp hai lần hệ số phi tuyến 2 trong tự điều biến pha Do đó, trường ánh sáng mạnh ảnh hưởng lên chiết suất hiệu dụng của trường ánh sáng dò có cùng tần số sẽ lớn gấp hai lần so với ảnh hưởng lên chính ánh sáng đó.Mặt khác, sự thay đổi của chiết suất hiệu dụng theo cường độ trường ánh sáng

có thể được biểu diễn bởi hệ thức sau đây [33]:

1.2.2 Hiện tượng hấp thụ hai photon

Hấp thụ hai photon (Two photon absorption - TPA) được định nghĩa là sựhấp thụ đồng thời của hai photon, có cùng năng lượng hoặc năng lượng khácnhau, dẫn đến sự kích thích lên trạng thái điện tử cao hơn Mặc dùhiện tượngnày đã được dự đoán trong lýthuyết vào năm 1931 bởi Maria Göppert - Mayer[34] vàquan sát bằng thực nghiệm năm 1961 [35] VìTPA làmột quátrình phituyến bậc ba, trong đó sự hấp thụ trực tiếp tỷ lệ với bình phương cường độ ánhsáng tới, vìvậy một nguồn sáng mạnh như laser là cần thiết Ở cường độ ánhsáng cao, xác suất hấp thụ của hai vànhiều photon cùng một lúc tăng lên Chúng

ta hãy xem xét sự lan truyền ánh sáng thông qua một mẫu có độ dày Nếu làcường độ ánh sáng trước một mẫu, thìsau mẫu cường độ là[36],

12

1.2.3 Phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học

Phương trình Schrödinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng tửmôtả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lýtheo thời gian, thay thếcho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển ErwinSchrödinger là người đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926 và có dạng:

hàm bao biến thiên chậm Phương trình hàm bao trong môi trường phi tuyến

Kerr được miêu tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến códạng chuẩn hóa[37]:

Khi chùm ánh sáng lan truyền trong môi trường ống dẫn sóng kép có phituyến Kerr và có chiết suất thay đổi theo không gian dạng kép, chiết suất thayđổi đó được xem như tạo thành một thế kép bẫy ánh sáng Phương trình đãchuẩn hóa trong trường hợp đó có dạng [38]:

[31] Ánh sáng định xứ trong hệ cộng hưởng hai vòng quang học đó được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger sau đây:

1.3 Solitons vàlời giải solitons

Solitons đã được quan sát trước đó vàvào năm 1895 G De Vries đã môtả nólần đầu tiên trong phương trình Korteweg de Vries (KdV) Sau này vào nhữngnăm sáu mươi của thế kỷ trước, phương trình KdV được xem xét kỹ hơn vàlớpcác sóng cô đơn (solitary wave) được tập trung sự chúý “Sóng cô đơn” nghĩa là

sự tiến triển của nó được môtả như là chuyển động của một hình dạng “cứng”không biến đổi [39] Do lúc đó các nhà vật lý có tiềm vọng làdùng chúng đểmôhình hóa cá hạt cơ bản, nên đã đưa ra tên gọi làsolitons [1] Thực ra solitons làtrường hợp riêng của các sóng cô đơn [32], song trong quang học hai thuật ngữđược hiểu nghĩa là trạng thái giống nhau Solitons cómột tính chất rất đặc biệt đó

là khi chúng ta cho hai solitons tương tác với nhau, trong một thời gian ngắnchập làm một sau đó lại tách ra thành những hình dáng vàvận tốc ban đầu củachúng Kruskal đãgiải thích xuất phát điểm của tên gọi “solitons”, nghĩa là nóxem như các hạt vật chất Kể từ đó solitons đã được quan sát trong nhiều lĩnh vựcvật lý khác nhau Đặc biệt trong quang học solittons hứa hẹn có nhiều ứng dụngtrong viễn thông, vìchúng cóthể lan truyền trong quãng đường dài màkhông bịméo Chính vìvậy solitons vàứng dụng của nó đã và đang được cá nhàkhoa họctrên thế giới quan tâm nghiê cứu mạnh mẽ

Lời giải solitons lần đầu tiên cũng được đưa ra năm 1895 sau khi G DeVries dẫn ra phương trình KdV từ phương trình cơ bản của thủy động học [39].Lời giải solitons cũng đã được tìm thấy trong phương trình Schrödinger phituyến (1.27) bằng phương pháp tán xạ ngược (Inverse scattering method - ISM ).Lớp nghiệm đặc biệt đó được gọi làcá nghiệm solitons Bằng phương pháp ISM

cá solitons bậc nhất vàbậc hai thu được như sau [40]:

Hình 1.2 Lan truyền của cá solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc nhất và(b)

soliton bậc bốn [39]

Tùy thuộc vào tính chất của môi trường mà tác động của cá hiệu ứng tán sắc vàhiệu ứng tự biến điệu pha cóthể triệt tiêu lẫn nhau khi xung lan truyền trong môi trường tán sắc phi tuyến Khi đó hiện tượng mở rộng xung do hiện tượng tán sắc vàhiện tượng tự dịch chuyển tần số cân bằng Kết quả làhình dạng xung không thay đổi vàta cósolitons thời gian [40] Khi ( ′′( 0)) trong (1.27) bằng +1 (tức là ′′( 0) dương đó là tán sắc thường) ứng với solitons sáng (bright solitons), còn khi ( ′′( 0 )) mang dấu -1 ( ′′( 0 ) âm đó

là tán sắc dị thường) ứng với solitons tối (dark solitons) Một loại solitons khác liên quan đến cá hiệu ứng không gian được gọi làsolitons không gian Nếu môi trường cóchiết suất phi tuyến 2 > 0 vàhai hiệu ứng gồm: tự hội tụ làm nhọn xung vàsự mở rộng xung do hiệu ứng nhiễu xạ bùtrừ lẫn nhau thì hình dạng (hay phân bố cường độ theo tiết diện ngang) của xung lan truyền trong môi trường sẽ không thay đổi và được gọi làsolitons không gian [41] Đối với môi trường cóhệ số chiết suất phi tuyến 2 < 0, không bao giờ chúng ta thu được solitons không gian Bởi vì khi đó ngoài sự phân kỳ do nhiễu xạ, chùm tia còn bị phân kìdo

sự kết hợp giữa phân bố không gian của chùm tia vàsự phụ thuộc của chiết suất vào cường

độ của trường ngoài Có nghĩa là trong quá trình lan truyền chùm tia luôn bị phân kỳ.

1.4 Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến

Đối với các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính việc giải dễ dàng hơnphương trình phi tuyến Chúng ta có thể giải chúng bằng các phương pháp giảitích như: phương pháp tách biến, phép biến đổi tích phân (tức là biến đổi cáctoán tử vi tích phân sang không gian ảnh để dễ tính toán hơn) đặc biệt là phépbiến đổi Fourier truyền thống chuyển chúng thành các phương trình đại số trongkhông gian Fourier [32] Đối với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến việc giảichúng khó khăn hơn nhiều, bậc càng cao thì càng khó hơn Phương pháp giảitích chỉ có thể đưa ra được trong một số rất ít các bài toán phi tuyến và khôngthể có phương pháp giải tích chung cho tất cả các bài toán được Chẳng hạn,phương trình Schrödinger phi tuyến có thể giải bằng phương pháp tán xạ ngượcnhưng không áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng

16

hay phương trình phương trình Schrödinger phi tuyến có thêm thế tuyến tính.Điều đó lại càng khó hơn khi chúng ta xét hệ phương trình Schrödinger phituyến (sẽ được nghiên cứu trong Chương 3) Để giải quyết vấn đề trên người ta

đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác nhau Nhưngphương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số Sau đây chúng tôi sẽ trình bàychi tiết một số phương pháp số có thể áp dụng để tính toán và sẽ được dùngtrong luận án này

1.4.1 Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến

Để tìm trạng thái solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến chúng tacónhiều cách khác nhau như: phương pháp Petviashvili, phương pháp Squared-Operator Iteration, phương pháp Newton Conjugate-Gradient, phương phápAccelerated Imaginary-Time Evolution (phương pháp thời gian ảo) [42] Mỗiphương pháp có những ưu điểm riêng đối với từng hệ vật lýkhác nhau Trong đềtài này, chúng tôi sử dụng phương pháp thời gian ảo, cho thấy sự hội tụ nhanhcủa nó Cụ thể phương pháp này được trình bày như sau Chúng ta xét mộtphương trình nhiều chiều sau đây [42]:

Trạng thái solitons của phương trình (1.34) códạng:

Trong phương pháp thời gian ảo gốc người ta tích phân số phương trình sau đây

= 00 (1.38) Phương trình (1.38) thu được bằng cách thay “ ” bằng “– ” trong phương trình (1.34) (chính vìvậy nên được gọi làthời gian ảo), và sau đó chuẩn hóa cá nghiệm sau mỗi bước của thời gian tích phân để cố định công suất Công suất của trạng thái dừng ( ) được định nghĩa như sau:

00

Thuật toán gốc thìmáy tính tính toán rất chậm, bởi vìthời gian tích phân củaphương trình vi phân (1.38) phải rất nhỏ để thuật toán Euler hội tụ Một ý tưởng

đó là sử dụng phương pháp ngầm định bước thời gian để tích phân theo thời gian

ảo của phương trình (1.38) Trong ý tưởng tăng tốc độ đó, thay vì tiến triển theophương trình thời gian ảo ở trên chúng ta thêm vào một số hạng phía trước nhưsau:

=

Ở đây, được định nghĩa ở (1.39) vẫn giữ cố định Lưu ý rằng biểu thức (1.46) ởtrên cho khác với biểu thức (1.42) Để thuật toán của phương pháp thời gian ảohội tụ nhanh chúng ta cần chọn hợp lý, thông thường códạng:

ở đây làhằng số dương tùy chọn sao cho hợp lý

Sai số của thuật toán được kiểm tra bằng độ lệch sau:

1.4.2 Phương pháp Split - Step Fourier (SSF)

Phương pháp SSF là phương pháp tiến triển trạng thái dưới ảnh hưởng củanhiễu loạn nhỏ Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp này cho cả haimục đích, cụ thể sử dụng để kiểm tra tính ổn định của trạng thái dừng ở Chương

2 vàtìm trạng thái cuối cùng (thời gian đủ dài) trong hệ quang học ở Chương 3.Sau đây, chúng tôi trình bày chi tiết về phương pháp này Chúng ta xét phươngtrình Schrödinger phi tuyến códạng sau [37]:

19

hiệu ứng tuyến tính vàphi tuyến cóthể tác dụng độc lập Cụ thể hơn nữa, sự lan truyền từ đến + được chia thành hai bước ℎ Trong bước thứ nhất chỉ cóhiệu ứng phi tuyến tác động, và ̂ = 0 ở trong phương trình (1.49) Trong bước thứ hai, chỉ có hiệu ứng tuyến tính tác động và ̂ = 0 trong phương trình (1.49) Tính toán chúng ta được:

( + ℎ, ) = (ℎ + ℎ ) ( , ).

⃗

Lũy thừa (ℎ ) cóthể được tính trong miền không gian Fourier qua sử dụng

biến đổi sau:

(ℎ ) ( , ) = [ℎ (− )] ( , ),

ở đây, làkýhiệu của toán tử biến đổi Fourier, (− ) thu được từ phương

trình (1.49) bằng cách thay ⁄ bằng – và là tần số trong miền không gian Fourier (− ) trở thành một hàm số trong không gian tần số, chứ không phải làtoán tử nữa Đây là lý

do mà thuật toán Split - Step Fourier nhanh hơn thuật toán Finite - Difference.

20

Từ (1.56) cóthể thấy nếu nhỏ thì lũy thừa bậc cao của nósẽ nhỏ hơn rất nhiều so với lũy thừa ℎ bậc nhất vàtrong phé gần đúng bậc nhất chúng ta bỏ các lũy thừa bậc cao đi Kết quả thu đượ c:

(ℎ + ℎ ) ≈ (ℎ ) (ℎ ).

Áp dụng công thức này vào tích phân của phương trình (1.52) thìchúng ta sẽ suy

ra được phương trình gần đúng sau:

( + ℎ, ) ≈ (ℎ ) (ℎ ) ( , ),

Chúng ta cóthể áp dụng công thức Baker-Campbell-Hausdorff để tăng độchính xác cao hơn biểu thức (1.57)

Quátrình lan truyền xung qua bước nhỏ ℎ cóthể được phân tích như sau:

Trong nửa bước đầu, hiệu ứng tuyến tính tác dụng Quátrình này chúng ta xem như ( , ) đã biết Đến vị trí + ℎ thìhiệu ứng phi tuyến sẽ tác dụng Nửa bước sau từ + ℎ thìhiệu ứng tuyến tính lại tác dụng Sự môtả cóvẻ phức tạp nhưng gần thực

tế hơn và chính xác hơn.

Trên đây là cơ sở phương pháp gần đúng để giải gần đúng phương trình đạohàm riêng phi tuyến (1.49) môtả lan truyền của cá xung ánh sáng Nguyên tắccủa nólàchia nhỏ quãng đường lan truyền thành nhiều bước nhỏ, trên mỗi bướclại sử dụng gần đúng về tác dụng độc lập của cá hiệu ứng Nócótên gọi làphương pháp Split - Step Các công thức gần đúng ở trên vẫn mang tính chấtlýthuyết và chưa thể áp dụng để giải trên máy tính được Muốn giải được trênmáy tính chúng ta cần sử dụng phé biến đổi Fourier vàbiến đổi Fourier ngược.Chính vìsự kết hợp cả phương pháp Split - Step vàcá phé biến đổi Fourier nên

được gọi là phương pháp Split - Step Fourier.

 Phương pháp Split - Step Fourier áp dụng cho hệ phương trình

Schrödinger

Bây giờ chúng ta vận dụng phương pháp SSF cho hệ phương trình (1.30) Hệ phương trình (1.30) viết dưới dạng ma trận như sau:

22

0 1

1.5 Một số phương pháp dùng để xét tính chất ổn định của các trạng thái

Tính chất ổn định của solitons rất quan trọng trong việc ứng dụng vào khoahọc vàcông nghệ như lan truyền thông tin đường dài Vìvậy, nghiê cứu tính chất

ổn định của solitons làcần thiết Ngoài phương pháp tiến triển trực tiếp trạng tháidừng ở trên sử dụng thuật toán Split - Step Fourier, chúng ta cóthể sử dụng haiphương pháp: phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn, tiêuchuẩn ổn định (V-K), được trình bày chi tiết sau đây

1.5.1 Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn

Theo phương pháp này, chúng ta đưa vào trạng thái dừng cá mode nhiễuloạn cótốc độ nhiễu loạn , sau đó thay thế vào phương trình ban đầu, dẫn raphương trình trị riêng bằng cách tuyến tính hóa Sử dụng phần mềm matlab đểtìm phổ trị riêng của các mode nhiễu loạn Để hiểu rõ phương pháp này chúngtôi xét ví dụ đã được nghiên cứu trong tài liệu [42]

Xét phương trình NLS tổng quát:

(1.66)

23

hóa cho nhiễu loạn ̃:

ở đây, = + làtrị riêng của mode chuẩn hóa này

Thế (1.70) vào phương trình tuyến tính hóa (1.69), chúng ta sẽ tìm được cá mode chuẩn hóa xác định bởi bài toán trị riêng tuyến tính sau đây:

24

=− + (| | 2 , )+[| | 2 + 1 ( 2 + ∗

2 )] | |2(| | 2 , ) (1.78)

2

2

Để tìm trị riêng của toán tử chúng tôi sử dụng các cách sau đây:

- Sử dụng phương pháp số thời gian ảo để tìm trạng thái dừng của hệ, kết hợp với phương pháp Fourier Collocation để tìm trị riêng của toán tử

- Sử dụng phương pháp số thời gian ảo để tìm trạng thái dừng của hệ, kết hợp với phương pháp Finite - Difference để tìm trị riêng của toán tử

Theo phương pháp này nếu như phần thực của tốc độ nhiễu loạn khác không thìtrạng thái không

ổn định, phần thực của tốc độ nhiễu loạn bằng không thìtrạng thái ổn định Vậy phương pháp Fourier Collocation như thế nào? Trong miền một chiều, chúng ta bắt đầu cắt ngắn trục vôhạn thành hữu hạn [− 2 , 2], làchiều dài đoạn ta xét Trong khoảng ta xét, chúng tôi khai triển hàm riêng códạng = [ , ] , cũng như hàm 0,1và2thành chuỗi Fourier:

ở đây 0 = 2 ⁄ Thếnhững khai triển này vào bài toán trịriêng (1.75) và

cân bằng cá hệ số của cùng mode Fourier, hệ trị riêng đối với cá hệ số { , } sẽ thu được như sau:

Hình 1.4 Phổ ổn định tuyến tính của cá trạng thái solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến

(1.84) với hằng số lan truyền = 1, tương ứng với ba trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c) [42].

26