Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS NGUYỄN CẢNH NAM

2 GS TSKH LÊ THỊ HOÀI AN

LỜI CAM ĐOAN

Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đạihọc Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Cảnh Nam và

GS TSKH Lê Thị Hoài An

Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từngđược tác giả khác công bố Các đồng tác giả đã đồng ý việc đưa các kết quả công bốchung vào luận án

Thay mặt tập thể hướng dẫn

TS Nguyễn Cảnh Nam

Nghiên cứu sinh

Phạm Thị Hoài

Cô là nguồn động lực to lớn để tác giả có thể vượt qua những khó khăn và trở ngạitrên con đường học tập và nghiên cứu, tự tin bước tiếp trên con đường mình đã chọn.Trong quá trình học tập nói chung và thực hiện luận án này nói riêng, tác giả cũngnhận được sự quan tâm, giúp đỡ, chỉ dẫn tận tình cùng những lời khuyên quý báu của

GS Hoàng Tụy, GS TSKH Lê Dũng Mưu, PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, TS Tạ Anh Sơn, TS Trần Ngọc Thăng, TS Trần ĐứcQuỳnh, TS Lê Quang Thủy, TS Nguyễn Thị Bích Thủy, TS Nguyễn Quang Thuận.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức Cán bộ, Phòng Đàotạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo cùng toàn thể cán bộViện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã giúp đỡ, tạođiều kiện để tác giả vừa có thể hoàn thành công tác và vừa có thời gian học tập, hoànthành chương trình nghiên cứu sinh

Trong quá trình thực hiện luận án tác giả cũng nhận được sự hỗ trợ của Quỹ Pháttriển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) về kinh phí tham gia báo cáotại hội thảo khoa học quốc tế và sự giúp đỡ tài trợ từ dự án của GS TSKH Lê ThịHoài An trong thời gian học tập tại phòng nghiên cứu về khoa học máy tính và ứngdụng, Đại học Lorraine, Cộng Hòa Pháp Ngoài ra tác giả cũng nhận được kinh phítài trợ mua vật tư, dụng cụ, tài liệu từ chương trình học bổng 911 trong nước Tác giảtrân trọng cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Đỗ Đức Thuận, TS Nguyễn PhươngThùy, ThS Nguyễn Hải Sơn, TS Trịnh Ngọc Hải cùng các Thầy Cô và anh chị emđồng nghiệp trong Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng và Xêmina Bài toán cânbằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng và Tinhọc - Đại học Bách khoa Hà Nội, đã dành cho tác giả những cơ hội học tập trao đổichuyên môn cùng những ý kiến đóng góp quý báu giúp cho tác giả hiểu sâu sắc hơn

vấn đề nghiên cứu của mình.

Cuối cùng tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt gửi tới những người thân yêu tronggia đình cùng bạn bè của tác giả - những người đã, đang và sẽ là hậu phương vữngchắc, cho tác giả nguồn cổ vũ và động viên tinh thần lớn lao để tác giả có thể hoànthành công việc, học tập, nghiên cứu nói chung và luận án này nói riêng

MỤC LỤC

1.1 Tối ưu DC 6

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Thuật toán DCA 12

1.2 Tối ưu đơn điệu 13

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 13

1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu 18

Chương 2 THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI TRONG VIỄN THÔNG 25 2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD 25

2.1.1 Mô tả bài toán 26

2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với bài toán (RAP) 29 2.1.3 Thuật toán toàn cục giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD (RAP) 32

2.1.4 Kết quả tính toán thử nghiệm 35

2.2 Thuật toán giải bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến 36

2.2.1 Mô tả bài toán 37

2.2.2 Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương với bài toán (SCEP) 38 2.2.3 Thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận (BRB) giải bài toán (SCEP) 42 2.2.4 Kết quả tính toán thử nghiệm 49

Chương 3 THUẬT TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC 57 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 58

3.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 60

3.2.1 Biểu diễn miền tìm kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời

rạc (MODO) 64

3.2.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) 68

3.2.3 Kết quả tính toán thử nghiệm 69

3.3 Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 77

3.3.1 Mô tả bài toán 78

3.3.2 Thuật toán toàn cục giải bài toán (P ) 79

3.3.3 Kết quả tính toán thử nghiệm 85

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

BB Branch and Bound

Thuật toán nhánh cận

BRB Branch-Reduce-Bound

Thuật toán nhánh-giảm-cận

DC Difference of two Convex functions

Hiệu hai hàm lồi

Thuật toán hiệu hai hàm lồi

DMO Discrete Monotonic Optimization

Tối ưu đơn điệu rời rạc

FDMA Frequency Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo tần số

MO Monotonic Optimization

Tối ưu đơn điệu

OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo tần số trực giaoSCEP Sensor Cover Energy Problem

Bài toán năng lượng phủ cảm biến

TDD Time Division Duplexing

Song công phân chia theo thời gian

TDMA Time Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo thời gian

t.ư tương ứng

v.đ.k với điều kiện

DANH MỤC BẢNG

2.1 Kết quả giải bài toán (RAP) bằng Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 36

2.2 Kết quả áp dụng các Thuật toán 2.4, 2.5, 2.6 cho bài toán (SCEP) 50

2.3 Kết quả áp dụng Thuật toán 2.5 cho bài toán (SCEP) 51

3.1 Dữ liệu của Ví dụ 3.1 [68] 59

3.2 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RA 73

3.3 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RE 74

3.4 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- NEWVERTEX 75

3.5 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1 với các thủ tục cập nhật miền tìm kiếm và các cách quản lí khác nhau 76

3.6 Kết quả tính toán thử nghiệm Thuật toán 3.2 86

3.7 Kết quả so sánh Thuật toán 3.3 và Thuật toán 3.4 87

DANH MỤC HÌNH VẼ

1.1 Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y = f (x) 7

1.2 Minh họa tập chuẩn, đối chuẩn và biên trên, biên dưới tương ứng của chúng 15

1.3 Đa khối với tập đỉnh {u1, u2, u3, u4}, trong đó {u1, u2, u4} là tập đỉnh chính, u3là đỉnh không chính 16

1.4 Đối đa khối với tập đỉnh chính {z1, z2, z3} 16

1.5 Minh họa Mệnh đề 1.9 19

2.1 Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng 27

2.2 Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận (i1, j1) và (i2, j2) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này 28

2.3 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 1 52

2.4 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 2 52

2.5 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 3 52

2.6 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 4 52

2.7 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 5 52

2.8 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 1 52

2.9 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 3 53

2.10 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 4 53

2.11 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 5 53

2.12 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 1 53

2.13 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 2 53

2.14 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 3 53

2.15 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 4 54

2.16 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 5 54

2.17 n=75, m=150 54

2.18 n=125, m=25 54

2.19 n=125, m=250 54

2.20 n=175, m=35 54

2.21 n=175, m=350 55

2.22 n=225, m=45 55

2.23 n=225, m=450 55

2.24 n=500, m=100 55

2.25 n=500, m=1000 55

2.26 n=750, m=150 55

2.27 n=750, m=1000 56

2.28 n=1000, m=500 56

3.1 Minh họa Ví dụ 3.1 [68] 60

3.2 Khởi tạo, N = ∅ và S(N ) = [yI, b) 61

3.3 Bước 1, N = {y1} và S(N ) = [yI, u1) ∪ [yI, u2) 61

3.4 Bước 2, N = {y1, y2} và S(N ) = [yI, u2) ∪ [yI, u12) 62

3.5 Bước 3, N = {y1, y2, y3} và S(N ) = [yI, u12) ∪ [yI, u21) 62

3.6 Bước 4, N = {y1, y2, y3} và S(N ) = [yI, u21) 62

3.7 Minh họa Ví dụ 3.3 67

3.8 Minh họa Ví dụ 3.3 67

3.9 Số phần tử của tập V (Y) nhỏ hơn rất nhiều so với số phần tử của tập Y, YN hay V (convY ) 80

3.10 Minh họa Ví dụ 3.4 82

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tối ưu không lồi và tối ưu toàn cục là những vấn đề quan trọng của lí thuyết tối

ưu với rất nhiều ứng dụng trong thực tế Công trình của GS Hoàng Tụy năm 1964 [1]

về việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán cực tiểu một hàm lõm với ràng buộctuyến tính là xuất phát điểm cho hàng loạt những nghiên cứu về tối ưu không lồi và tối

ưu toàn cục của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước sau này Trải qua hơn nửathế kỷ, những công trình nghiên cứu về vấn đề này vô cùng đa dạng, phong phú cả về

lí thuyết, phương pháp, thuật toán và ứng dụng Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, sựhấp dẫn về mặt toán học cũng như tính phức tạp của bài toán tối ưu không lồi nên chođến nay, việc nghiên cứu giải quyết hiệu quả các bài toán này vẫn mang tính thời sự

và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước (xem Tụy[2] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo)

Khó khăn lớn nhất của bài toán tối ưu không lồi tổng quát chính là sự có mặt củatính không lồi Điểm khác biệt cơ bản so với bài toán tối ưu lồi là không có một đặctrưng cụ thể nào cho nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán tối ưu không lồi Đối với bàitoán tối ưu không lồi liên tục thì nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệmtối ưu toàn cục của bài toán Do đó việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho một bài toántối ưu không lồi, đặc biệt trong trường hợp số chiều lớn là vô cùng khó khăn Một sốphương pháp chung nổi tiếng giải toàn cục bài toán tối ưu không lồi phải kể đến là:phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, phương pháp siêu phẳng cắt Theomột tiếp cận khác, ta có thể giải bài toán tối ưu không lồi bằng cách sử dụng nhữngphương pháp tìm nghiệm tối ưu địa phương Một trong những thuật toán địa phươnghiệu quả được áp dụng cho rất nhiều lớp bài toán tối ưu không lồi, kể cả những bàitoán cỡ lớn, là thuật toán DCA (Difference of two Convex functions Algorithm) (xem

An và Tảo [3] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo)

Theo GS Hoàng Tụy [2], nhiều bài toán tối ưu không lồi có thể được xem xétdưới hai cấu trúc: cấu trúc DC (difference of two convex functions) hoặc cấu trúc DM(difference of two monotonic functions) Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà tachọn cách nhìn nhận phù hợp để có được lời giải hiệu quả Đặc biệt đối với những môhình bài toán cụ thể trong thực tế, việc vận dụng và kết hợp các phương pháp và thuậttoán một cách linh hoạt rất quan trọng vì nó sẽ giúp việc giải quyết vấn đề trở nên

dễ dàng hơn Chẳng hạn, thông thường, việc giải toàn cục các bài toán tối ưu rời rạc

(thuộc lớp bài toán tối ưu không lồi) gặp khó khăn khi sử dụng các thuật toán truyềnthống như: nhánh cận, nhánh cắt, siêu phẳng cắt nhưng sau khi chuyển về một bàitoán tối ưu liên tục, kết hợp với một số kĩ thuật trong tối ưu thì việc giải quyết trở nên

dễ dàng hơn (xem [3, 4] ) Vậy, ngược lại, liệu có thể đưa một bài toán tối ưu khônglồi liên tục về một bài toán tối ưu rời rạc với một lời giải dễ dàng và hiệu quả hơnkhông? Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối ưukhông lồi trong viễn thông, trong đó có vận dụng cả hai cách tiếp cận này

Như đã biết, các phương pháp giải bài toán tối ưu không lồi được ứng dụng rộngrãi để giải quyết rất nhiều bài toán tối ưu một hàm mục tiêu duy nhất theo những điềukiện nhất định Với những bài toán cần tối ưu đồng thời nhiều mục tiêu khác nhau thì

ta cần các công cụ của Quy hoạch đa mục tiêu (hay Tối ưu đa mục tiêu hoặc Tối ưu véc

tơ) Mục đích của bài toán tối ưu đa mục tiêu là tìm cực đại hoặc cực tiểu của đồngthời m ≥ 2 hàm mục tiêu f1, , fm trên một tập khác rỗng X ⊂ Rn Do không giangiá trị Rm không có thứ tự đầy đủ nên trong tối ưu đa mục tiêu, khái niệm nghiệm

hữu hiệu (hay nghiệm Pareto) được sử dụng thay cho khái niệm nghiệm tối ưu thông

thường Việc xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toántối ưu đa mục tiêu là một nhiệm vụ khó khăn, đòi hỏi thời gian và khối lượng tính toánrất lớn vì ngay trong trường hợp bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính, tức bàitoán tối ưu đồng thời m hàm mục tiêu tuyến tính trên một tập lồi đa diện khác rỗngthì tập nghiệm hữu hiệu XE, nói chung, đã là tập không lồi với cấu trúc rất phức tạp

Do đó, khối lượng tính toán để xác định toàn bộ XE tăng rất nhanh khi số chiều củakhông gian quyết định Rn, số hàm mục tiêu m và số ràng buộc biểu diễn tập X tăng(xem Benson [5])

Tuy nhiên, thông thường, rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong thực

tế thường có số hàm mục tiêu m nhỏ hơn rất nhiều thứ nguyên n của không gian quyếtđịnh Rn nên đã có khá nhiều thuật toán được đề xuất để giải bài toán tối ưu đa mụctiêu theo hướng tiếp cận trên không gian ảnh Cụ thể, thay vì xác định một phần hoặctoàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE, các thuật toán này sẽ cho phép xác định một phầnhoặc toàn bộ tập giá trị hữu hiệu YN = f (XE), trong đó f (x) = (f1(x), , fm(x))T

Vì m  n nên cấu trúc của YN đơn giản hơn nhiều so với cấu trúc của XE và tiếpcận trên không gian ảnh, cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán

Bài toán tối ưu đa mục tiêu liên tục đã được nghiên cứu từ lâu theo cách tiếp cậntrên không gian quyết định cũng như không gian ảnh với rất nhiều thuật toán được

đề xuất (xem [6, 7, 8, 9, 10] và danh mục tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, trongkhoảng hơn một thập kỉ trở lại đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc được nghiêncứu bằng nhiều phương pháp khác nhau như: ε-ràng buộc, vô hướng hóa Tchebycheff,

vô hướng hóa tổng có trọng và các phương pháp biến thể khác (xem [11, 12, 13, 14,

15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]) Trong đó, đáng chú ý phải kể đến một sốcông trình như: Przybylski [25], Klamroth và cộng sự [24], D¨achert và Klamroth [13],

D¨achert và cộng sự [23] với các thuật toán hiệu quả được đề xuất Những công trình

này ([13, 23, 24, 25]) sử dụng lược đồ chung (generic method, viết tắt là GM) để tìm

toàn bộ tập điểm giá trị hữu hiệu như sau: các điểm giá trị hữu hiệu được tìm ra saumỗi bước lặp bằng cách sử dụng phép vô hướng hóa; sau bước giải bài toán vô hướnghóa, một phần không gian của tập ảnh sẽ được loại bỏ để tiếp tục tìm kiếm nhữngđiểm giá trị hữu hiệu còn lại Miền ở trong không gian ảnh được sử dụng trong việctìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu được cập nhật sau mỗi bước lặp và được gọi chung làmiền tìm kiếm (the search region) Việc nghiên cứu cấu trúc và cách cập nhật miềntìm kiếm đóng vai trò quan trọng và ảnh hưởng đến tính hiệu quả của phương phápnày (xem [13, 23, 24, 25])

Một bài toán tối ưu không lồi liên quan chặt chẽ với bài toán tối ưu đa mục tiêu là

Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu (hay Bài toán tối ưu trên tập Pareto) Đó là bài toán

tối ưu một hàm số trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu Việcgiải bài toán này giúp ta chọn được một nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một mục tiêunào đó mà không nhất thiết phải xác định toàn bộ XE Điều này có ý nghĩa đặc biệttrong việc lựa chọn các phương án để đưa ra quyết định thích hợp Bài toán tối ưu trêntập Pareto được nghiên cứu lần đầu trong công trình của Philip [26] cho trường hợptuyến tính Hướng nghiên cứu này sau đó thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giảtrong và ngoài nước (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37] và danh mục cáctài liệu tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến naychưa có nghiên cứu nào cho trường hợp bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mụctiêu tựa lõm, đơn điệu tăng và bài toán tối ưu đa mục tiêu tương ứng có tập chấp nhậnđược là tập hữu hạn điểm Thông thường, bài toán tối ưu đa mục tiêu dạng này là môhình toán học của các bài toán thực tế mà số liệu được cho bằng phương pháp thốngkê

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau:

• Mô hình hóa bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDDdưới dạng một bài toán tối ưu rời rạc và đưa bài toán này về một bài toán tối ưu

DC, đề xuất thuật toán toàn cục (nhánh cận kết hợp DCA) để giải

• Nghiên cứu bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến(SCEP) được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [38] Đây là một bài toán tối

ưu (liên tục) không lồi khó với ràng buộc không lồi Astorino và Miglionico[38] đã đề xuất một thuật toán dựa trên tiếp cận địa phương để giải Chúng tôiđưa bài toán (SCEP) về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và xây dựngthuật toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cận để giải Ngoài ra, chúngtôi cũng đề xuất thêm một thuật toán địa phương hiệu quả cho bài toán (SCEP)

• Xuất phát từ ý nghĩa quan trọng của miền tìm kiếm đối với bài toán tối ưu đamục tiêu rời rạc chúng tôi sử dụng khái niệm đa khối (polyblock) nửa mở choviệc biểu diễn miền tìm kiếm Từ đó có được cái nhìn trực quan về miền tìmkiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bên cạnh việc đề xuất một thủ tụcmới cập nhật miền tìm kiếm cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập điểm giátrị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi cũng nghiên cứu

sự ảnh hưởng việc quản lí những bài toán con (chính là những bài toán có đượcnhờ phép vô hướng hóa) được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm đến tính hiệuquả của lược đồ GM Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vấn đề này vẫnchưa được nghiên cứu

• Chúng tôi xét một lớp các bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu(của bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu) là đơn điệu tăng tựa lõm, tập ràng buộc

là tập hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có miền ràng buộc Xbao gồm hữu hạn các điểm cho trước Chúng tôi đề xuất thuật toán toàn cục giảibài toán tối ưu trên tập hữu hiệu này

3 Đối tượng nghiên cứu

• Bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD

• Bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến

• Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc

• Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc

4 Phạm vi nghiên cứu

• Nghiên cứu xây dựng mô hình

• Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải những bài toán quan tâm

• Tính toán thử nghiệm những thuật toán mới và so sánh với những thuật toánkhác

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết quả thu được của đề tài góp một phần nhỏ làm phong phú thêm cho lí thuyếttối ưu nói chung và tối ưu không lồi nói riêng Tính hiệu quả của các thuật toán đềxuất đều được chúng tôi minh họa thông qua việc lập trình chạy thử nghiệm so sánhvới các thuật toán khác cho rất nhiều các ví dụ sinh ngẫu nhiên và các ví dụ có sẵn vớinhiều cỡ bài toán khác nhau Những thuật toán mới đề xuất này có thể được áp dụngvào việc giải quyết những vấn đề tương tự trong thực tiễn một cách hiệu quả

6 Cấu trúc và kết quả của luận án

Nội dung chính của luận án được chia thành ba chương như sau:

Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày một số khái niệm, kết quả và thuật toán

quan trọng của tối ưu DC, tối ưu đơn điệu Các kết quả ở đây có thể xem là sự chuẩn

bị về mặt lý thuyết để giải ba bài toán tối ưu không lồi trong Chương 2 và Chương 3

Chương 2: “Một số thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông”.

Chương này dành để trình bày những kết quả liên quan đến việc nghiên cứu hai bàitoán tối ưu không lồi trong viễn thông là: bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng khôngdây OFDMA/TDD và bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến

Chương 3: “Thuật toán giải một số bài toán trong tối ưu đa mục tiêu rời rạc”.

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu liên quan tới bài toán tìm toàn bộ tậpgiá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc và bài toán tối ưu trên tập hữuhiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc

Các kết quả của luận án đã được công bố trong ba bài báo được nhận đăng ở cáctạp chí Computer & Operations Research, Optimization Letters, Pacific Journal ofOptimization, một bài đăng trong kỉ yếu hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp vàquản lí hệ thống Lần thứ 7, 11-13/10/2017 tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland,Saarbrucken, Đức, và một bài báo đang gửi đăng tại tạp chí 4OR A Quarterly Journal

of Operations Research Các kết quả này đã được tác giả báo cáo tại:

• Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứngdụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 19/11/2015, 17/12/2015,24/03/2016,

• Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, ViệnToán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 17/05/2016,

• Hội nghị Toàn quốc Lần thứ 4 về Ứng dụng toán học, tổ chức tại Đại học kinh

tế quốc dân, Hà Nội, ngày 23-25/12/2015,

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 14, Ba Vì, ngày 21-23/04/2016,

• Hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và quản lí hệ thống Lần thứ 7, 13/10/2017, tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland, Saarbrucken, Đức, (7thInternational Conference on Industrial Engineering and Systems Management,Saarland University of Applied Sciences, Saarbrucken, Germany, date 11-13/10/2017),

11-• Xêmina Khoa học dữ liệu và tối ưu các hệ thống phức tạp, phòng nghiên cứuOpt-Data, Khoa quốc tế, Đại học quốc gia Hà Nội, ngày 04/12/2018

• Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học BáchKhoa Hà Nội, ngày 18/02/2019

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này được dành để nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quanđến tối ưu DC (Mục 1.1) và tối ưu đơn điệu (Mục 1.2) Nội dung chính của chươngnày được tham khảo trong [2, 3, 39, 40, 41, 42, 43]

Mục này sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến bài toán tối

ưu DC và thuật toán DCA

Nếu hàm số f xác định trên một tập C ⊂ Rn thì ta luôn có thể mở rộng nó thànhmột hàm xác định trên toàn không gian Rnbằng cách đặt f (x) = +∞ với mọi x /∈ C

Vì vậy không giảm tính tổng quát trong những phần tiếp theo của Mục 1.1 chúng ta sẽxét hàm f : Rn → R ∪ {−∞, +∞} (tức là một hàm xác định trên toàn không gian)

và quy ước rằng +∞ − (+∞) = +∞

Kí hiệu:

domf = {x ∈ Rn | f (x) < +∞} (miền hữu hiệu của hàmf ),

epif = {(x, t) ∈ Rn × R | f(x) ≤ t} (trên đồ thị của hàmf).

Hàm f được gọi là

(i) chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ Rn;

(ii) nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x0 ∈ Rn, tức là

lim infx→x 0 f (x) ≥ f (x0) với mọi x0 ∈ Rn;

(iii) lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ Rn, λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1+ (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

Ngoài ra f được gọi là lõm nếu −f là hàm lồi; aphin nếu f vừa lồi vừa lõm; f được gọi là lồi chính thường nếu f vừa lồi vừa chính thường Rõ ràng, từ định

nghĩa ta có f lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi Xem minh họa

ở Hình 1.1

epif

y=f(x)

x y

Hình 1.1: Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y = f (x)

Kí hiệu Γ0(Rn) là tập tất cả các hàm nửa liên tục dưới, lồi chính thường trên Rn;h., i và k.k tương ứng là tích vô hướng và chuẩn Euclide trong Rn

(iii) Hàm toàn phương f (x) = 1/2 hx, Qxi + hx, ai + α, trong đó Q là ma trận thựcđối xứng cấp n × n; a ∈ Rn và α ∈ R Nếu Q là ma trận nửa xác định dươngthì f (x) là hàm lồi

(iv) Hàm

θ(x) = max{ i, x − αi, i = 1, , m} + χC(x),với ai ∈ Rn, αi ∈ R, i = 1, , m; C là tập lồi đa diện khác rỗng trong Rn, là

hàm lồi và được gọi là hàm lồi đa diện.

Hàm f∗ xác định bởi

f∗(y) = sup{hx, yi − f (x) | x ∈ Rn}, với y ∈ Rn

được gọi là hàm liên hợp của f.

Hàm bao lồi đóngcủa hàm f , kí hiệu là cof, là một hàm có trên đồ thị là bao lồi

đóng của trên đồ thị của f Hàm được gọi là lồi đóng nếu hàm bao lồi đóng của nó

là chính nó Như vậy nếu f ∈ Γ0(Rn) thì f là hàm lồi đóng và từ [40, Hệ quả 10.1,trang 154] ta suy ra mệnh đề sau

Như vậy, hàm liên hợp của một dạng toàn phương đối xứng xác định dương cũng

là một dạng toàn phương, đối xứng xác định dương Trong trường hợp đặc biệt

Cho ε > 0, véc-tơ p ∈ Rn được gọi là một ε-dưới gradient của hàm chính thường

f tại x0 (x0 ∈ domf ) nếu

Định lí 1.1 ([43, Định lí 2.9, trang 19] và [43, Định lí 2.10, trang 20])

(i) Với ε > 0 bất kì, mỗi hàm lồi chính thường f trên Rn đều có ε-dưới vi phân khác rỗng tại mỗi điểm x0 ∈ domf

(ii) Mọi hàm lồi chính thường f nửa liên tục dưới trên Rn, tức f ∈ Γ0(Rn), có dưới

vi phân không rỗng tại mỗi điểm x0 ∈ int(domf ).

Kí hiệu

dom∂f = {x ∈ Rn | ∂f (x) 6= ∅}

Như vậy, theo Định lí 1.1 nếu f ∈ Γ0(Rn) thì int(domf )⊂ dom∂f

(ii) Dưới vi phân của hàm chỉ χC(·) của một tập lồi C là

∂χC(x) = {p | hp, z − xi ≤ 0 ∀z ∈ C} = NC(x),trong đó NC(x) là nón pháp tuyến của C tại x0

(iii) Dưới vi phân của hàm f (x) = ||x|| là

∂f (x) =

({p ∈ Rn | ||p|| ≤ 1} khi x = 0{p ∈ Rn | ||p|| = 1, hp, xi = ||x||} khi x 6= 0

Chi tiết chứng minh có thể tham khảo [43, trang 22]

(iv) Xét hàm φ(y) = supx∈C hx, yi , với C là tập lồi trong Rn Khi đó p ∈ ∂φ(y0)khi và chỉ khi

φ(y) − φ(y0) ≥ 0 ∀y ∈ Rn

⇔ supx∈C

Trường hợp đặc biệt, dưới vi phân của hàm χ∗C(y) = supx∈Chx, yi , tại y0chính

là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu lồi sau

maxx∈C

0

Bài toán tối ưu DC và đối ngẫu DC

Bài toán tối ưu DC (hay còn gọi là bài toán tối ưu hiệu hai hàm lồi) là một trongnhững lớp bài toán quan trọng của tối ưu không lồi được nghiên cứu mạnh trong hơnnửa thập kỉ gần đây với rất nhiều ứng dụng trong thực tế Theo [3, 43], hầu hết các bàitoán tối ưu không lồi có thể đưa về một bài toán tối ưu DC Bài toán tối ưu DC tổngquát có dạng

α = inf{g1(x) − h1(x) | x ∈ C, u1(x) − u2(x) ≤ 0},

trong đó g1, h1, u1, u2 là các hàm lồi trên tập lồi C ⊂ Rn Tuy nhiên, theo [3], bằngcách sử dụng định lí về hàm phạt chính xác và hàm chỉ χC, bài toán này có thể viếtlại được dưới dạng

α = inf{f (x) = g(x) − h(x) | x ∈ Rn}, (P)

với g, h là các hàm lồi trên Rn Khi g, h thỏa mãn thêm điều kiện nửa liên tục dướitrên Rn (tức g, h ∈ Γ0(Rn)) ta sẽ thu được mối liên hệ giữa bài toán (P) và bài toánđối ngẫu của nó cùng kết quả về điều kiện tối ưu Những nội dung này sẽ được trìnhbày dưới đây, trích từ các tài liệu [3, 44] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo

Hàm f trong bài toán (P) được gọi là hàm DC còn g, h được gọi là các thành phần

DC của f Bài toán (P) được gọi là một bài toán tối ưu DC Nếu g hoặc h là hàm lồi

đa diện thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu DC đa diện Nếu g và h có giá trị

hữu hạn trên Rn thì ta nói f là hàm DC hữu hạn trên Rn

Theo định nghĩa của hàm liên hợp và Mệnh đề 1.1 ta có

β(y) = inf{g(x) − (hx, yi − h∗(y)) | x ∈ Rn}

=

(

h∗(y) − g∗(y) nếu y ∈ domh∗

Như vậy bài toán (P) tương đương với bài toán

α = inf{h∗(y) − g∗(y) | y ∈ domh∗}

Chú ý rằng với quy ước +∞ − (+∞) = +∞ ta có thể viết lại bài toán trên như sau

α = inf{h∗(y) − g∗(y) | y ∈ Rn} (D)Như vậy bài toán (P) và bài toán (D) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng, tức là bài toán(D) là đối ngẫu của bài toán (P) và bài toán (P) là đối ngẫu của bài toán (D) Để tránhtrường hợp tầm thường khi giá trị của α có thể bằng −∞ ta luôn giả thiết

domg ⊂ domh và domh∗ ⊂ domg∗

trong những phần tiếp theo

Điểm x∗được gọi là cực tiểu địa phương của g − h trên Rnnếu g(x∗) − h(x∗) hữuhạn (tức x∗ ∈ domg ∩ domh) và tồn tại một lân cận U của x∗ thỏa mãn

g(x∗) − h(x∗) ≤ g(x) − h(x), ∀x ∈ U (1.1)Với quy ước +∞ − (+∞) = +∞, bất đẳng thức (1.1) tương đương với

g(x∗) − h(x∗) ≤ g(x) − h(x), ∀x ∈ U ∩ domg

Điểm x∗ được gọi là điểm tới hạn của g − h nếu ∂g(x∗) ∩ ∂h(x∗) 6= ∅

Định lí sau cho ta điều kiện cần và đủ của nghiệm tối ưu của bài toán (P) và (D)

và mô tả mối quan hệ giữa hai tập nghiệm của cặp bài toán đối ngẫu này

Định lí 1.2 (Xem [39, Định lí 1 ]) Kí hiệu P và D tương ứng là tập nghiệm của bài

toán (P) và (D) Khi đó

(i) x ∈ P nếu và chỉ nếu ∂εh(x) ⊂ ∂εg(x) với mọi ε > 0;

(ii) y ∈ D nếu và chỉ nếu ∂εg∗(y) ⊂ ∂εh∗(y) với mọi ε > 0;

(iii) S{∂h(x) | x ∈ P} ⊂ D ⊂ domh∗;

(iv) S{∂g∗(y) | y ∈ D} ⊂ P ⊂ domg

Theo khẳng định (iii) và (iv) của Định lí 1.2, việc giải bài toán gốc (P) tươngđương với việc giải bài toán đối ngẫu (D) Như vậy trong nhiều trường hợp, khi bàitoán gốc "khó giải", ta có thể giải bài toán đối ngẫu Khẳng định (i) và (ii) của Định lí1.2 cho phép kiểm tra một điểm cho trước có phải là nghiệm tối ưu toàn cục của bàitoán gốc (P) hay bài toán đối ngẫu (D) hay không Tuy nhiên những điều kiện này rấtkhó để kiểm tra trong thực tế Khi đó chúng ta có thể sử dụng kết quả dưới đây liênquan đến tính tối ưu địa phương

Định lí 1.3 (Xem [45, Định lí 1] hoặc [39, Định lí 2]) Kí hiệu:

P` = {x∗ ∈ X | ∂h(x∗) ⊂ ∂g(x∗)},

D` = {x∗ ∈ X | ∂g∗(x∗) ⊂ ∂h∗(x∗)}

(i) Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của g − h thì x∗ ∈ P`, tức là ∂h(x∗) ⊂ ∂g(x∗)

Ngược lại nếu h thỏa mãn thêm điều kiện là hàm lồi đa diện thì từ ∂h(x∗) ⊂

∂g(x∗) kéo theo x∗ là cực tiểu địa phương của g − h.

(ii) Cho x∗ là điểm tới hạn của g − h và y∗ ∈ ∂g(x∗) ∩ ∂h(x∗) Gọi U là lân cận

của x∗ sao cho U ∩ domg ⊂ dom∂h.

Nếu với mỗi x ∈ U ∩ domg tồn tại y ∈ ∂h(x) sao cho

h∗(y) − g∗(y) ≥ h∗(y∗) − g∗(y∗)

thì x∗ là cực tiểu địa phương của g − h, tức

g(x) − h(x) ≥ g(x∗) − g(x∗), ∀x ∈ U ∩ domg

Hầu hết các bài toán tối ưu DC là không lồi và việc tìm nghiệm tối ưu toàn cụccủa nó đòi hỏi chi phí lớn về thời gian Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta sửdụng các phương pháp tối ưu địa phương để giải sao cho đảm bảo tính hiệu quả cũngnhư chất lượng của nghiệm thu được, đặc biệt khi làm việc với các bài toán cỡ lớn(large-scale) DCA là một trong những thuật toán như vậy Thuật toán DCA được đềxuất lần đầu bởi GS Phạm Đình Tảo năm 1986, sau đó được nghiên cứu phát triển,

mở rộng trong rất nhiều các công trình hợp tác của GS Lê Thị Hoài An và GS PhạmĐình Tảo từ năm 1994 Cho đến nay DCA trở thành một công cụ hữu ích giải quyếtđược nhiều mô hình bài toán trong thực tế và ứng dụng, kể cả những bài toán cỡ lớn(xem [3] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo)

Ý tưởng chính của DCA là xây dựng hai dãy {xk} và {yk} sao cho giá trị tươngứng của hàm mục tiêu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu giảm dần Hơn nữa haiđiểm tụ của hai dãy tương ứng là điểm tới hạn của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.Nói cách khác, trong DCA hai dãy {xk} và {yk} được xây dựng sao cho

(i) Hai dãy {(g − h)(xk)} và {(h∗− g∗)(yk)} là hai dãy giảm

(ii) Mỗi điểm tụ x∗( tương ứng (t.ư.1), y∗) của dãy {xk} (t.ư., {yk}) là điểm tới hạncủa g − h (t.ư., h∗− g∗)

1 Từ đây chữ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

Cụ thể, với điểm xuất phát x0 ∈ domg, các điểm {xk} và {yk} được xác định lần lượtbởi

Khởi tạo: Chọn điểm khởi tạo x0 ∈ domg, số thực  > 0 đủ nhỏ, k := 0, er :=1

Bước 4: Nếu er <  thì dừng thuật toán, kết luận xk+1 là nghiệm thu được bởi

DCA Ngược lại gán k := k + 1 và quay lại Bước 1.

Các kết quả về sự hội tụ và tính chất của thuật toán DCA, có thể xem chi tiết trong[39, Mục 3.1]

Trong mục này, các khái niệm và kết quả cơ bản trong tối ưu đơn điệu và tối ưuđơn điệu rời rạc được nhắc lại cùng thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơnđiệu rời rạc Nội dung chính của mục được tham khảo trong tài liệu [2, 41, 42, 43]

Cho x, y, a, b ∈ Rn Khi đó, x ≤ y (t.ư., x < y) nếu xi ≤ yi(t.ư., xi < yi) với mọi

i = 1, , n Nếu a ≤ b thì hộp [a, b] được xác định bởi

[a, b] = {x ∈ Rn | a ≤ x ≤ b},

hộp nửa mở dưới (a, b]được xác định bởi

(a, b] = {x ∈ Rn | a < x ≤ b}

và hộp nửa mở trên [a, b) được xác định bởi

[a, b) = {x ∈ Rn | a ≤ x < b}

Phép tuyển x ∨ y = uvới ui = max{xi, yi}, i = 1, , n và phép hội v = x ∧ y với

vi = min{xi, yi}, i = 1, , n Với mỗi i = 1, , n, ei

là véc-tơ đơn vị thứ i của Rn.Hàm f : Rn+ → R được gọi là tăng nếu f(x) ≤ f(x0) với 0 ≤ x ≤ x0; tăng chặt

nếu f (x) < f (x0) với 0 ≤ x < x0 Hàm f được gọi là hàm giảm nếu −f là hàm tăng Một hàm được gọi là đơn điệu nếu nó là hàm tăng hoặc hàm giảm.

Ví dụ 1.4 Hàm sản xuất và lợi ích trong kinh tế

mXj=1

cj

nYi=1

(i) λ1f1(x) + λ2f2(x) với λ1, λ2 ∈ R+là hàm tăng

(ii) Hàm max{f1(x), f2(x)} và min{f1(x), f2(x)} cũng là hàm tăng

Tập G ⊂ [a, b] được gọi là chuẩn nếu x ∈ G thì [a, x] ⊂ G Tập H ⊂ [a, b] được gọi là đối chuẩn nếu x ∈ H thì [x, b] ⊂ H Như vậy nếu g(x), h(x) là hàm tăng trên

[a, b] thì G = {x ∈ [a, b]|g(x) ≤ 0} là tập chuẩn và H = {x ∈ [a, b]|h(x) ≥ 0} là tậpđối chuẩn

thường trong Rn+ Nếu G là tập chuẩn thì G ∪ {x ∈ Rn+ | xi = 0} với i ∈ {1, , n}

là tập chuẩn

Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tập chuẩn, đối chuẩn và hàm đơn điệu tăng

Mệnh đề 1.2 (Xem [2, Mệnh đề 11.2, trang 392]

(i) Giả sử g(x) là hàm tăng trên Rn+ và α ∈ R Khi đó tập G = {x ∈ Rn+ | g(x) ≤

α} là chuẩn và đóng nếu g(x) là hàm nửa liên tục dưới Ngược lại, với mọi tập

chuẩn, đóng G ⊂ Rn+ có phần trong khác rỗng luôn tồn tại một hàm tăng, nửa liên tục dưới g : Rn+ → R và α ∈ R sao cho G = {x ∈ Rn

+ | g(x) ≤ α}

(ii) Giả sử h(x) là hàm tăng trên Rn+ và α ∈ R Khi đó tập H = {x ∈ Rn+ |

g(x) ≥ α} là đối chuẩn và đóng nếu h(x) là hàm nửa liên tục trên Ngược lại,

với mọi tập đối chuẩn, đóng H ⊂ Rn+sao cho Rn\ H có phần trong khác rỗng

luôn tồn tại một hàm tăng, nửa liên tục trên h : Rn+ → R và α ∈ R sao cho

H = {x ∈ Rn+ | g(x) ≥ α}

Điểm y ∈ Rn được gọi là điểm biên trên (t.ư., điểm biên dưới) của tập chuẩn

G ⊂ [a, b] (t.ư., đối chuẩn H ⊂ [a, b]) nếu y ∈ clG (t.ư., y ∈ clH) và không tồn tạiđiểm x ∈ G (t.ư., x ∈ H) sao cho x = a + λ(y − a) với λ > 1 (t.ư., λ < 1) Tập tất

cả các điểm biên trên (t.ư., dưới) của G (t.ư., H) được gọi là biên trên (t.ư., biên dưới)

và kí hiệu là ∂+G (t.ư., ∂−H) Xem minh họa ở Hình 1.2

(ii) Giả sử H ⊂ [a, b] là tập đóng, đối chuẩn với b ∈ intH Khi đó với mỗi điểm

z ∈ [a, b] \ H đường thẳng đi qua z và b cắt ∂−H tại một điểm duy nhất ρH(z)

xác định bởi công thức

ρH(z) = b − λ(z − b), λ = max{β | β > 0, b − β(z − b) ∈ G} (1.3)

Bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tập A ⊂ [a, b] được xác định là tập chuẩn (t.ư.,

đối chuẩn) nhỏ nhất chứa A

Giả sử P (t.ư., Q) là bao chuẩn (t.ư., đối chuẩn) của tập hữu hạn T ⊂ [a, b] Khi

đó P (t.ư., Q) được gọi là một đa khối (t.ư., đối đa khối) với tập đỉnh T Từ Mệnh đề

1 trong [41] ta có đa khối P = ∪z∈T[a, z] (t.ư., đối đa khối Q = ∪z∈T[z, b]) Đỉnh

z ∈ T của polyblock P (t.ư., đối đa khối Q) được gọi là đỉnh chính nếu không tồn

tại một đỉnh z0 6= z, sao cho z0 ≥ z (t.ư., z0 ≤ z) Đỉnh không chính là đỉnh thuộc

T và không phải đỉnh chính Đương nhiên một đa khối (t.ư., đối đa khối) được xácđịnh hoàn toàn bởi tập đỉnh chính của nó; hay nói cách khác đa khối (t.ư., đối đa khối)chính là bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tập đỉnh chính của nó Xem minh họa ởHình 1.3, 1.4

Trường hợp P0 = S

z∈T

[a, z) (t.ư., Q0 = S

z∈T(z, b]) thì ta gọi P0 (t.ư., Q0) là đa khối

nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở)với tập đỉnh T Và tương tự, ta có các khái niệm

đỉnh chính và đỉnh không chính của đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở); một

đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) cũng hoàn toàn được xác định nếu biết tậpcác đỉnh chính của nó

(i) Giao của một số hữu hạn các đa khối cũng là một đa khối.

(ii) Giao của một số hữu hạn các đối đa khối cũng là một đối đa khối.

Chứng minh. Giả sử P1 = ∪y∈T1[a, y], P2 = ∪z∈T2[a, z] Khi đó ta có P = P1∩ P2 =

∪y∈T1,z∈T2[a, y ∧ z] Như vậy P là đa khối với tập đỉnh {y ∧ z, y ∈ T1, z ∈ T2} Tương

tự, nếu T1, T2 là các tập đỉnh của các đối đa khối Q1, Q2 thì Q1 ∩ Q2 là một đối đakhối với tập đỉnh {y ∨ z, y ∈ T1, z ∈ T2}

Mệnh đề 1.5 (Xem [41, Mệnh đề 3])

(i) Cực đại của hàm tăng f (x) trên một đa khối đạt được trên một đỉnh chính của

đa khối đó.

(ii) Cực tiểu của hàm tăng f (x) trên một đối đa khối đạt được trên một đỉnh chính của đối đa khối.

Mệnh đề sau tương tự như [41, Bổ đề 4]

đỉnh

ui = b + (xi− bi)ei, i = 1, , n, (1.4)

tức [a, b] \ (x, b] = ∪ni=1[a, ui]

(ii) Nếu a ≤ x ≤ b khi đó tập [a, b] \ [a, x) là một đối đa khối với các đỉnh

vi = a + (xi− ai)ei, i = 1, , n, (1.5)

tức [a, b] \ [a, x) = ∪ni=1[vi, b]

Chú ý 1.2 Các kết quả trong Mệnh đề 1.4 và 1.6 cũng đúng cho trường hợp đa khối

nửa mở và đối đa khối nửa mở

Mệnh đề 1.7 Cho f (x) là một hàm tăng trên [a, b] Khi đó

(i) Mỗi đỉnh chính của đa khối P trong [a, b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán max{f (x)|x ∈ P }.

(ii) Mỗi đỉnh chính của đối đa khối Q trong [a, b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán min{f (x)|x ∈ Q}.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i) Gọi z là một đỉnh chính bất kì của P Do tậpcác đỉnh chính của P là hữu hạn nên tồn tại một quả cầu B(z, ε) tâm z, bán kính εkhông chứa bất kì đỉnh chính nào khác Chú ý rằng, f (x) đạt cực đại trên [a, z] tại znên f (y) ≤ f (z) với mọi y ∈ B(z, ε) ∩ [a, z] = B(z, ε) ∩ P Do đó z là cực đại địaphương của f (x) trên P

Cho f, g, h là các hàm tăng trên [a, b] ⊂ Rn+ Bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc,

kí hiệu là (MO), được phát biểu như sau

max{f (x) | g(x) ≤ 0 ≤ h(x), x ∈ [a, b]} (MO)Giả sử S ⊂ Rs+, với s ≤ n, là một tập rời rạc Khi đó bài toán

max{f (x) | g(x) ≤ 0 ≤ h(x), x ∈ [a, b], (x1, , xs) ∈ S} (DMO)

được gọi là bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc chính tắc.

Chú ý 1.3. (i) Bài toán cực tiểu đơn điệu

max{ ˜f (y) | ˜h(y) ≤ 0 ≤ ˜g(y), y ∈ [a, b]},

có dạng giống như bài toán (MO)

(ii) Bài toán tối ưu đơn điệu tổng quát

max{f (x) | g(x) ≤ 0 ≤ h(x), x ∈ [a, b]},

trong đó f (x) = f+(x) − f−(x) và f+, f−, g, h : Rn+ → R là các hàm tăngcũng đưa được về dạng chính tắc (MO) Chi tiết, xem [2, trang 397]

(iii) Các ý (i) và (ii) cũng đúng cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc

Giả sử f (x), g(x) là các hàm nửa liên tục trên và h(x) là hàm nửa liên tục dưới.Khi đó tập G = {x ∈ [a, b] | g(x) ≤ 0} là tập chuẩn, compact còn H = {x ∈ [a, b] |h(x) ≥ 0} là tập đối chuẩn compact và bài toán (MO) tương đương với bài toán sau

Đặt S∗ = {x ∈ [a, b] | (x1, , xs) ∈ S} Khi đó bài toán (DMO) trở thành

max{f (x) | x ∈ G ∩ H ∩ S∗}

Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối giải bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc

Theo [42, Mệnh đề 7], sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc(MO’) được mô tả trong kết quả sau

Mệnh đề 1.8 Nếu tập G ∩ H 6= ∅ thì bài toán (MO’) có ít nhất một nghiệm thuộc

∂+G ∩ H

Tương tự như mối quan hệ giữa tập lồi compact và đa diện lồi, mối quan hệ giữatập chuẩn compact và đa khối được mô tả bởi Mệnh đề 1.9 và Hệ quả 1.1 sau đây.

Mệnh đề 1.9 (Xem [2, Mệnh đề 11.12, trang 398]) Cho tập G ⊂ [a, b] là tập chuẩn,

compact và z ∈ [a, b] \ G, y = πG(z) Khi đó đa khối P = ∪ni=1[a, ui], với các đỉnh

ui = b + (yi− bi)ei, i = 1, , n

tách chặt z và G, tức là P ⊃ G, z ∈ P \ G.

Hình 1.5: Minh họa Mệnh đề 1.9

Hình 1.5 minh họa hình học của Mệnh đề 1.9 trong R2

Hệ quả 1.1 (Xem [2, Hệ quả 11.1, trang 398]) Mọi tập chuẩn compact là giao của

một họ các đa khối Nói cách khác, mỗi tập chuẩn compact đều có thể được xấp xỉ bởi một đa khối với độ sai khác tùy ý.

Từ những kết quả trên ta thấy rằng bài toán (MO’) có thể được giải bằng cách xấp

xỉ ngoài miền chấp nhận được bởi dãy các đa khối lồng nhau {Pk}k∈N thỏa mãn

[a, b] = P0 ⊃ P1 ⊃ · · · ⊃ G ∩ H, (1.7)

và

max{f (x) | x ∈ Pk} & max{f (x) | x ∈ G ∩ H} khi Pk & G ∩ H

Nội dung của thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối được mô tả chi tiết trong [42, 41] Mộttrong những vấn đề mấu chốt của thuật toán đó là cách xây dựng dãy {Pk}k∈N Quytrình này được mô tả như sau Đặt P0 = [a, b] ⊃ G Giả sử tại bước lặp k ta đã có

Pk ⊃ G với tập đỉnh Tk Đặt Tk0 = Tk∩ H Nếu T0

k = ∅ thì bài toán không chấp nhậnđược và ta dừng thuật toán Ngược lại, lấy zk ∈ argmax{f (x) | x ∈ T0

k} Vì f (x) là

hàm tăng nên f (zk) là giá trị cực đại của f (x) trên Pk ∩ H ⊃ G ∩ H Nếu zk ∈ Gthì dừng thuật toán vì zk ∈ G ∩ H chính là nghiệm tối ưu của bài toán Trường hợpcòn lại, zk ∈ G thì ta tính x/ k = πG(zk) và đặt Pk+1 = ([a, b] \ (xk, b]) ∩ Pk TheoMệnh đề 1.6, [a, b] \ (xk, b] là một đa khối Do đó Pk+1 cũng là một đa khối và thỏamãn G ⊂ Pk+1 ⊂ Pk\ {zk} Tiếp tục lặp lại quá trình trên ta sẽ thiết lập được dãy đakhối {Pk}k∈Nthỏa mãn (1.7).

Cách làm trên khá giống với phương pháp xấp xỉ ngoài cho bài toán cực đại một

hàm lồi trên một tập lồi Vì vậy nó còn được gọi là Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối

(xem [41, 42]) Dãy điểm {xk}k∈Nđược sinh ra trong quá trình xây dựng dãy đa khối{Pk}k∈N ({Pk}k∈N thỏa mãn (1.7)) sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán (MO’), tuynhiên sự hội tụ là khá chậm Để tăng tốc thuật toán, các tác giả của bài báo [41] đềxuất phép cắt giảm hộp để thu gọn miền chấp nhận được và tính cận tốt hơn

Ý tưởng của phép cắt giảm

Giả sử γ ∈ f (G ∩ H) là một giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tại Ta cần kiểmtra xem liệu hộp [p, q] ⊂ [a, b] có khả năng chứa ít nhất một nghiệm tối ưu của bàitoán (MO’) hay không, tức là tập

Chú ý rằng nếu g(q) ≥ 0 thì với mọi x ∈ [p, q] thỏa mãn (1.8) đường thẳng nối x

và q giao với mặt g(.) = 0 tại điểm x0 ∈ [p, q] thỏa mãn

g(x0) = 0 ≤ h(x0), f (x0) ≥ f (x) ≥ γ

Do đó hộp [p0, q0] sẽ chứa tất cả các điểm x ∈ [p, q] thỏa mãn g(x) = 0 ≤ h(x), f (x) ≥

γ, tức là thỏa mãn

g(x) ≤ 0 ≤ hγ(x) = min{g(x), h(x), f (x) − γ} (1.9)Mệnh đề sau cho ta cách xác định [p0, q0] = redγ[p, q]

Mệnh đề 1.10 (Xem [2, Bổ đề 11.1, trang 400])

(i) Nếu g(p) > 0 hoặc hγ(q) < 0 thì không tồn tại x ∈ [p, q] thỏa mãn (1.9).

(ii) Nếu g(p) ≤ 0 thì hộp [p, q0] với q0 = p +Pn

vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp [p, q] thỏa (1.9).

Đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc (DMO), phép γ−cắt giảm có thể được điềuchỉnh phù hợp với tập S Để có thể cắt hộp [p, q] gọn hơn trường hợp bài toán tối ưu

liên tục (MO), ta cần khái niệm S-hiệu chỉnh dưới đây.

Xét hộp [p, q] ⊂ [a, b], x ∈ [p, q] Phép S-hiệu chỉnh dưới của x là điểm

bxcS∗ = ˜x, với ˜xi =

(max{yi|y ∈ S∗∪ {p}, yi ≤ xi}, i = 1, , s,

và phép S-hiệu chỉnh trên của x là điểm

dxeS∗ = ˆx, với ˆxi =

(min{yi|y ∈ S∗∪ {q}, yi ≥ xi}, i = 1, , s,

Dựa trên [41, Mệnh đề 13], đối với bài toán (DMO), hộp [p, q] sau khi được γ−cắtgiảm và S−hiệu chỉnh trở thành redSγ∗[p, q] = [dp0eS∗, bq0cS∗] (tất nhiên, trong trườnghợp redγ[p, q] 6= ∅, nghĩa là g(p) ≤ 0 ≤ hγ(q)) Do đó thuật toán xấp xỉ ngoài đakhối cho bài toán (MO) có thể được mở rộng cho bài toán (DMO) cùng với phép toánγ−cắt giảm và S−hiệu chỉnh Chi tiết thuật toán cùng sự hội tụ của thuật toán (xem[41, Thuật toán 1 và Định lí 15])

Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát và thuật toán nhánh-giảm-cận

Xét bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát

max{f (x) | g(x) − h(x) ≤ 0, x ∈ [a, b] ∩ S∗}, (DDM)

trong đó f (x) = f+(x) − f−(x) và f+, f−, g, h : Rn+ → R là các hàm tăng, S∗ ={x ∈ [a, b] | (x1, , xs) ∈ S} với S là một tập rời rạc trong Rs+ Để áp dụng đượcThuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (DDM) trước hết ta cần đưa nó về dạngchính tắc như bài toán (DMO) Việc này sẽ làm tăng số chiều của biến quyết định,không những vậy, sau mỗi bước lặp số đỉnh của đa khối tăng lên rất nhanh chóng Lí

do là thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối có thể xem như thuật toán nhánh cận với phépchia n (mỗi nút được chia thành n nút con, n là số chiều của biến quyết định) Vì vậycác tác giả của bài báo [41] đã đề xuất một thuật toán có thể giải trực tiếp cho bài toántối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát Đó là thuật toán nhánh-giảm-cận Ba kĩ thuật quantrọng trong thuật toán này là phép chia nhánh, phép cắt giảm và phép tính cận Các kĩthuật này được mô tả chi tiết như dưới đây.

CHIA NHÁNH: Một trong những cách chia hộp phổ biến thường được sử dụngtrong các lược đồ nhánh cận là phép chia đôi Giả sử M = [p, q], xác định

iM ∈ {1, , n} thỏa qiM−piM = maxi∈{1, ,n}(qi−pi); đặt riM = (qiM+piM)/2

và chia M thành hai hộp con

M+ = {x ∈ M |xiM ≥ riM},

M− = {x ∈ M |xiM ≤ riM}

CẮT GIẢM: Giống như phép cắt giảm cho thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối, đốivới bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc thủ tục cắt giảm có hai giai đoạn: γ−cắtgiảm và S−hiệu chỉnh Tức là nếu γ là giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tạithì tính [p0, q0] = redγ[p, q] và sau đó redSγ∗[p, q] = [dp0eS∗, bq0cS∗] Việc tính

p0, q0 cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc đã được cụ thể hóa trong Mệnh đề1.10, đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát (DDM) ta có thể tính trựctiếp p0, q0 thông qua mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.11 (Xem [41, Bổ đề 16]) Giả sử bài toán (DDM) có ít nhất một

nghiệm chấp nhận được x ∈ [p, q] thỏa f (x) ≥ γ Khi đó

h(q) − g(p) ≥ 0, f+(q) − f−(p) ≥ γ (1.14)

Hơn nữa tất cả những điểm x như vậy phải nằm trong hộp [p0, q0] với

p0 = q −

nXi=1

αi(qi− pi)ei, q0 = p0+

nXi=1

với mọi i = 1, , n.

TÍNH CẬN: Với hộp M = [p, q] cho trước, tại mỗi bước lặp cần tính cận trênω(M ) thỏa

ω(M ) ≥ γ(M ) = max{f (x) | g(x) − h(x) ≤ 0, x ∈ M ∩ S∗}

Theo [41] để đảm bảo được tính hội tụ của thuật toán, với mọi dãy hộp {Mkν}ν∈N

thắt dần2 về điểm x∗, điều kiện sau cần được thỏa mãn

limν→+∞ω(Mkν) = f (x∗) (1.18)

Đối với bài toán (DDM), một cách lấy cận trên đơn giản nhất và đảm bảo tínhhội tụ của thuật toán là ω(M ) = f+(q) − f−(p) Tuy nhiên cách này chưa chắc

đã hiệu quả Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cách tính cận phù hợp saocho thuật toán chạy nhanh nhất có thể

Sau đây là chi tiết thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán (DDM) (xem [41, Thuậttoán 2])

Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM)

Khởi tạo:Đặt P1 := {M1}, M1 = [a, b], R1 = ∅ Gọi CBV là giá trị hàm mụctiêu tốt nhất hiện tại Gán k := 1

Bước 1.Với mỗi hộp [p, q] ∈ Pk, nếu h(q) − g(p) < 0 thì loại hộp [p, q] ra khỏitập Pk, ngược lại gán [p, q] := redSγ∗[p, q]

Bước 2.Nếu Pk 6= ∅, với mỗi hộp M ∈ Pk tính cận trên ω(M ) thỏa mãn (1.18)

Ngược lại, chuyển sang Bước 3.

Bước 3.Cập nhật CBV mới và đặt Rk+1 = {B ∈ Rk ∪ Pk|ω(B) ≥ CBV },

Bước 4.Nếu Rk+1 = ∅ thì dừng thuật toán: nếu CBV = −∞ thì bài toán không

có nghiệm chấp nhận được nào, ngược lại ¯x là nghiệm tối ưu của bài toán với

f (¯x) = CBV

Bước 5.Nếu Rk+1 6= ∅ lấy Mk ∈ argmax{ω(M ) | M ∈ Rk+1} Chia Mkthànhhai hộp Mk 1, Mk2 theo quy tắc đã trình bày ở trên Đặt Pk+1 = {Mk1, Mk2} Gán

k := k + 1 và quay lại Bước 1.

Định lí sau đảm bảo sự hội tụ của thuật toán BRB

2 Dãy hộp {M k ν }ν∈N được gọi là thắt dần về điểm x∗ nếu M k 1 ⊃ Mk2 ⊃ · · · ⊃ {x ∗ } và lim

ν→+∞ d(M k ν ) = 0, trong đó d(M k ν ) là cạnh dài nhất của hộp M k ν , ν ∈ N.

Định lí 1.4 (Xem [41, Định lí 17]) Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán

(DDM) dừng sau hữu hạn bước lặp và cho kết quả là: nghiệm tối ưu; hoặc tính không chấp nhận được của bài toán; hoặc (trong trường hợp s < n) thuật toán sinh ra một dãy vô hạn các nghiệm chấp nhận được hội tụ đến nghiệm tối ưu của bài toán.

Kết luận

Chương này đã trình bày một số kết quả cơ bản liên quan đến hai bài toán tiêu biểucủa tối ưu không lồi là tối ưu DC và tối ưu đơn điệu Cụ thể là:

• Với bài toán tối ưu DC, các khái niệm cơ bản quan trọng trong tối ưu nói chung

và tối ưu DC nói riêng như: hàm lồi chính thường, hàm liên hợp và dưới vi phân

đã được nhắc lại cùng một số kết quả liên quan đến điều kiện tối ưu của bài toán

DC và thuật toán DCA

• Với tối ưu đơn điệu, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản như: tập chuẩn,đối chuẩn, đa khối, đối đa khối, đa khối nửa mở, đối đa khối nửa mở, và một

số kết quả liên quan Một số dạng khác nhau của bài toán tối ưu đơn điệu cùngthuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc và thuậttoán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát cũng đượcnhắc lại

kể của toán học nói chung và lí thuyết tối ưu nói riêng Trên thực tế, các bài toán tối

ưu trong xây dựng và điều khiển mạng viễn thông thuộc vào lớp các bài toán tối ưukhông lồi Nhiều bài toán đã được giải quyết một cách trọn vẹn, tuy nhiên vẫn còn rấtnhiều bài toán mở Một thuật toán toàn cục hiệu quả hoặc một phương pháp tối ưu địaphương tốt luôn là đích đến của các nhà mạng Trong chương này chúng tôi trình bàyhai bài toán như vậy và đề xuất thuật toán toàn cục để giải chúng

Trong Mục 2.1, chúng tôi xây dựng mô hình toán học cho bài toán phân bổ tàinguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD và đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cậnkết hợp DCA giải bài toán này

Mục 2.2 xét bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến Xuấtphát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi xây dựng bởi Astorino và Miglionico [38],chúng tôi đưa bài toán này về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và đề xuấtthuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận cải tiến và một thuật toán tìm nghiệm tối ưu địaphương cho bài toán

Kết quả tính toán thử nghiệm cho thấy được sự hiệu quả của các thuật toán đề xuất.Nội dung chính của Mục 2.1 và Mục 2.2 là kết quả tương ứng trong các bài báo[1] và [3] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án

dây OFDMA/TDD

Kĩ thuật truyền phát OFDMA/TDD (Orthogonal Frequency Division MultipleAccess/ Time Division Duplexing) ngày nay được ưa chuộng và ứng dụng rộng rãitrong công nghệ mạng không dây băng thông rộng thế hệ thứ tư như: mạng Wimax(Worldwide Interoperability for Microwave Access) hay LTE (Long Term Evolution).OFDMA là tổ hợp của TDMA và FDMA (trong đó dữ liệu có thể được truyền đồng

thời trong một miền thời gian và miền tần) Với người khai thác mạng viễn thông,việc tận dụng các kênh truyền dữ liệu một cách hiệu quả rất quan trọng vì nguồn tàinguyên vô tuyến là hữu hạn, hơn nữa lại ảnh hưởng tới lợi nhuận thu được Người sửdụng thì quan tâm tới chất lượng dịch vụ (Quality of Service hoặc QoS) sao cho việcliên lạc không bị ngắt hoặc gián đoạn trong bất kì thời điểm nào Bài toán đặt ra chocác nhà cung cấp mạng là làm sao cải tiến, tối đa hóa được thông lượng đường truyềnnhằm nâng cao chất lượng dịch vụ trong khi vẫn đảm bảo lợi nhuận thu được (xem[47, 48]) Để đạt được điều này nhà cung cấp mạng có thể khai thác một chức năngcủa lớp MAC (Media Access Control) của hệ thống mạng OFDMA đó là chức năngphân bổ tài nguyên vô tuyến Theo đó, tài nguyên vô tuyến được phân bổ cho ngườidùng sao cho tối đa được thông lượng đường truyền Một số công trình liên quan đếnvấn đề này được nghiên cứu gần đây (xem [49, 50, 51, 52] ) Trong các công trìnhnày, bài toán tối ưu tài nguyên mới chỉ được xem xét dưới góc độ của người kĩ sư vôtuyến, thực hiện triển khai theo kinh nghiệm cá nhân Một số tiếp cận theo hướngheuristic đã được đề xuất, tuy nhiên chất lượng của nghiệm thu được rất khó để đánhgiá Trong luận án này, chúng tôi bước đầu xây dựng mô hình toán học cho bài toánđược quan tâm - bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD.Tiếp đó chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận toàn cục dựa trên tối ưu DC với kĩ thuậthàm phạt được nhúng trong một sơ đồ nhánh cận để giải bài toán trên Các kết quảthử nghiệm số cho thấy tính hiệu quả của thuật toán đề xuất.

Giả sử trên một mạng không dây OFDMA/TDD có K người dùng, chia sẻ M kênhcon (sub-channel) và N khe thời gian (time slot) Khi người dùng nào đó cần sử dụngdịch vụ, anh ta cần được cấp phát một lượng tài nguyên phù hợp Nếu trong cùng thờiđiểm hoặc tại cùng một khe thời gian có nhiều hơn một người dùng thì có thể xảy ranhững xung đột Xem minh họa ở Hình 2.1

Kí hiệu bijk, 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ K là lượng dữ liệu mà ngườidùng k cần gửi đi nếu anh ta được cung cấp kênh con i tại khe thời gian j Bài toánđặt ra là tìm cách phân bổ tài nguyên vô tuyến cho khung OFDMA/TDD này sao chobăng thông được sử dụng một cách hiệu quả nhất (xem [53]) Tức là tổng lượng dữliệu được truyền đi lớn nhất

Việc truyền dữ liệu phải thỏa mãn hai điều kiện:

• Tại một thời điểm (đặc trưng bởi một khe thời gian) và một kênh con nào đó sẽ

có tối đa một người dùng (điều này để tránh xung đột giữa các người dùng)

• Tài nguyên (dữ liệu) cấp cho các người dùng sẽ có dạng hình chữ nhật (theo tiêuchuẩn IEEE802.16e của mạng WiMAX)

Hình 2.1: Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng

Bằng cách xây dựng các biến nhị phân

xijk ∈ {0, 1} với 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ K (2.1)với quy ước

NXi=1

MXj=1

xijk ≤ 1 ∀i = 1, M , ∀j = 1, N (2.3)

Như đã trình bày ở trên, tiêu chuẩn IEEE802.16e yêu cầu tài nguyên được cấp cho

người dùng k∗, k∗ ∈ {1, , K}, phải có dạng hình chữ nhật Nghĩa là nếu xi 1 j 1 k ∗ =

xi2j2k∗ = 1, i1, i2 ∈ {1, , M }; j1, j2 ∈ {1, , N }; (i1, j1) 6= (i2, j2) (hai ô dữ liệu(i1, j1) và (i2, j2) được cấp cho người dùng k∗) thì toàn bộ các ô dữ liệu trong hìnhchữ nhật nhận (i1, j1) và (i2, j2) làm đỉnh cũng sẽ được cấp cho người dùng k∗, haynói cách khác

xijk∗ = 1, ∀ min{i1, i2} ≤ i ≤ max{i1, i2}, min{j1, j2} ≤ j ≤ max{j1, j2}.Xem minh họa ở Hình 2.2

Hình 2.2: Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận (i1, j1) và

(i 2 , j 2) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này

Chú ý rằng, nếu ta có T + 2 biến nhị phân bao gồm y, z và x1, x2, xT thỏa mãn

T (y + z − 1) ≤

TXi=1

xi ⇔ T (y + z − 1) −

TXi=1

xijk ≤ 0, (2.4)

trong đó,

Ii1i2 = {i | min{i1, i2} ≤ i ≤ max{i1, i2}} ,