Cẩm nang ôn luyện thi đại học, cao đẳng môn toán tập 3, lượng giác

P'!-1- Đài toán quy hoạch tuyến tính tổng quátTim cực trị cực tiểu hoặc cực đại cùa m ột hàm tuvến tính xác định trên tập hợp nghiệm cùa mộỉ hệ thống hỏn hợp các phưcmg trình và bất phươ

Đ Ạ I H Ọ C K IN H T Ế Q U Ố C DÁN

BỘ MÔN ĐIỂU KHIỂN KINH TẾ

GS Trần Túc

BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

T á i bàn

• Tóm tát lý thuyết

• Các thí dụ điển hình

• Các bài tộp tổng hợp kèm hưdng dễn, idi giải

NHÀ XUẢT BẢN KHOA H 0 ( VẢ KỶ THUẬT

H à Nòi - 2004

Lời nói đẩu

Cuốn sách bài íẠp này được hiên soạn iươTíQ líntỉ với G iáo trình Quy hoạch

tuyên ỉính eiảng ciạy (V mrCmii Đại học K inh íế quốc dân Nhằm mục đích giúp người h ọ c c ù n u c ô nhữĩiiỉ k i ế n ihức lý th u y c í và làm q u e n V('fi viộc vận ciựíìi! ciic

k iê n ihức iíy t ro n u n h i ê u lìn h h u ố n e k h á c Iilìau, c á c hài lập dược c h ia Ihành 3 nhỏnì;

♦ Bùi (ập iý ihuyếi với m ục tiêu giúp người học nấni vĩme các khái niệiiì, bièt v ậ n d ụ n e l ố n s hi.tp v à p h á i triể n đỏi c h ú t c á c k iế n thức lý Ihuyêì đ ã h ọ c trong

G\ắo trình.

♦ Bài t ậ p khai t h á c và p h ố i h(ĩp c á c phiRTníi p h á p , phiưi lích sâu c á c đặc thù

c ù a các th u ậ t t o á n , eiui c ấ c hài t o á n c ỏ líiứỉ c h á t l ổ n e h(Tp N h ỏ m n à y đ ỏ n g vai irò

ư ọ n g tâni.

♦ Bài tập rèn lu vện kỹ náne lính toán

Các bài lập chia Iheii các chưttng của G iáo trình Ticp sau cỏ phần bài tập

l ổ n g h ợ p c á c k i è n th ứ c ở c h ư t t n e 1 và II vcTi c á c hài giãi iiKTng ứ n e M ọ i bài lập đõtí

có đáp số, các bài lập khó cố ÍZỢÌ ý, hưc^m dẫn cách giải

Đ ế e i ú p n s ư ờ i h o c h ệ i h ố n e lại k i é n th ứ c irưóc khi giai c á c hìii lập, ớ mỗi

chintníi đéu có phán ỉổnì (ắt nliững khái niỏm ctt bản và ohữne kèì liiẠn quan irọniỉ

ei(Vị ih iệ u chi liõì c á c t h u ậ t t o á n với đ ấ y đủ c á c Ihí dụ m in h hoạ

Q iố n sách này có thc sẽ râì bổ ích cho sinh vicn các tarcĩng đại học kinh lê,

k ỹ ỉ h u ậ t , h ( K v i è n CíU> h(K', n i i h i ê n c ứ u s i i i h v à l ấ l c ả n h ữ i i g ai l ì ì i i ổ n n á m v f m g c á c

p h u e t n g p h a p g u i í c h e n h i n h m o i s o Ur[) b a i l o a n q u y h o ạ c h U i y c n u n h q u e n I h u ọ c

cũng như m uốn thử kha niìng lập tn n h cho những ihuật Uìán lưíTng límg

Mạc dù điì có kinh nuhiệm giảne dạy nhiéu nãm và đà bỏ nhiéu cồng sức lập h(,tp, lựa chon, phàn UrẶì cắc hài tập nhimg chắc chán không thc tránh khói nhữììg ilìiốii sót vc nôi t lu a u và c á u trú c c ù a c u ô n s á c h , lác g ia i n o n u n h ậ n đư ợ c nhưng ý kiến đ ó n ti g ó p q u ý b á u đ c hiùin Ihiộn c u ồ n s á c h n h á m đ á p ứng lôì h(m yêu Ciui cua mọi b ạ n đọc

Tác già xin chân thành cảm im các hạn đổng nghiẹp ớ Bộ m òn Điêu khicn

kinh lố về u h ữ iìe ý k i ê n t r a o đ ổ i x iin e q u a n h c á c ý liả m g xây d im g c á c hài lập

im n u cỊLỉá iriiih c ù n e u i ã n u cìạy nliictỉ n á in , c ũ n ii nỉiư việc k h íc h lộ hicnscụn CUÔII s á c h này

I á c ĩtVả

P'!-1- Đài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

Tim cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) cùa m ột hàm tuvến tính xác định trên tập hợp nghiệm cùa mộỉ hệ thống hỏn hợp các phưcmg trình và bất phương trình tuyến tính Bài toán được mồ lả áưới d ạn s toán học như sau;

Vectơ X thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là môt phương án

- Phương án X thoả m ản rìmg buộc i với dấu " = ", nghĩa là : ^ = b, thi

J - 1

ràng buộc i gọi là "chạt” đối với phưorng án X, hoặc phương án X thoả mãn chật

rìưia buộc i

- Phưcme án X thoả m ãn ràng buộc i với dấu bất đảnẹ thức thực sự, nghĩa là:

^ a,j Xj > ( < ) b, thì ràne buộc i gọi là "lỏng" đối VÍTÌ phirơne án X, hoặc phưcTng

J3i

án X Ihoả mãn lỏng ràng buộc i

Bái tậ p quy h o ạ c h tuyên tinh

3- P h ư ơ n g a n cực b iè n

Mội phưtmg an \hoà niíìn chậl n rũna buộc đòc lậỊ) luvên ĩính uụi la phtnnìiĩ

án cưc hiòn Mộỉ phư(mc án cực hiên ihoâ mãn chặl đúnti n rànu huộc tiụi 1.1 Ị>hưtmii án cực bicn kỉiỏ /ìii SI(\' hiên, llìoả m àn chạt hem n ninu biu">c Goi là phiníiìi:

án cực biên suy hiếỉỉ.

4- Phương án tối ưu

Một phưttne án mà lại đố hàm mục tiêu đạl Irị số cực ticu (cực đạị) gọi la phưưnu án tối im (tốt nhất)

5- Bài toán gỉảì được và khòng giải được

Bài loán CIÌ lì nhfú mộl phưítnu án lối im gọi là bài toán giải được Bài loán

không cỏ phưctne án hoầc cỏ phưưng án nhưng tri số hàm mục liêu không bị chận

dưới (ưẽn) - cũntỉ có neliĩa là eiảm (trưiíi) võ hạn - Irên tập phưitng án gọi là không

Ký hiệu A = la j,„ „ - tiọi là ma trận điéu kiện cùa hài toán;

Aj - vcckT CÔI j cùa ma trận A - gọi là vcclơ điều kiện;

h - vcctit vê phải cùa hệ phưiniii trình ràng bu<X‘

Bài toán chính lác còn ci') ihc viõl dirứi dạng:

Bải to á n qu y h o ạ c h tuyén tính Phương p h á p đo n hlnh

- Mọi bài toán quy hoạch Uiyến tính đéii có thể quy vể bìù toán dạng chính tắc tưưng đương theo nghĩa trị tối iru cùa hàm m ục tiêu trone hai bài toán lù trùne nhau và từ phương án tối ưii cùa bài loán này suy ra phưcĩng án tối ưu cQa bài toán kia

7- C ách đua rtiột bài toán vế dạng chính tắc

- Nếu rìưig buộc i có diing : X ^1) - t* đưa về phưcme trình bằng

c á ch c ộ n g vào v ế trái một biến phụ X,’’ > 0 nghĩa là Ihay bất phương trình bằng :

- Nếu Xj không C(3 ràng bu()c dấu thì đẠl Xj = x ’j - x ” j , Viíi x ’j , x ” j > 0

- Nếu Xj < 0 thi đổi hiến x ’j = - Xj > 0

Thí dụ: Đ ưa bài tòán sau vồ dạng chính tác:

f ( x ) = - 2 x , + X, + 3Xj + 5X4 = > m i n

X| - 3x- + 5 x , - Xj < 1(S 2X| - X, - 2 x , + 2X4 > - 4

4 x , + 3 x + X., + X4 = 9

X, , X, > 0 , X , < 0 .

Các biến phụ sẽ đưiíc đánh sỏ liếp là X5, Đạt x ’3 = - X, > 0,

Xj = x’4 - x ”4; x ’4, x” 4 > 0 ta điR;»c bài toán chính tắc iưiíng đương sau;

Phương án X của hài toán (Jạri2 chính u k là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vcctơ |A | : Xj > OỊ đ(K' lập tuyến lính Vứi eiả thièi hạnti |A | = m ihi mọi phưimg án cực hiốn không suy bicn có đúna m thành phan dưitng, suy biến có ÍI h(7n m thành phán dirttng

Bải tệ p quy h o ạ c h tuyên tinh

9- Cơ s ỏ c ủ a p h ư ơ n g á n c ự c b iẻ n

Gọi m vcctíí ỊA|Ị clôc lâp luycn tính bao hàm hộ Ihóníi các vocl(í lưiừi^

i'me V(ti các Ihành phiin dưíTne cùa phưtmg án cực hièn là cơ sở cùa phưttĩig

án cực hiên ấy Ký hiệu móí cách quy ước cơ sở là J Các đậc tnm ii cùa lìiội cơ

sớ J : 1 J I = m, irona đỏ 1.11 là số phán lử cùa J ; (Aj : J e J Ị độc lập tuyên lính ;

lA ^ : j e ỉ ] |Aj : Xj > OỊ

- Phưc^ie án cực biên khône suy biến chỉ cỏ niộl cơ sở duy nhât, đố U\ cíic

veclơ tương ứng với các llìành phần áiíơng.

- PhưOTe án cực biên suy biến cỏ nlứcu C0 sử khác nhiui, phần chiinc cua

chúng là các vectơ tương ĩmg với các thành phấn dương

Xj (j e J ) gọi là thành phrìiì cơ sở ;

Xk (k ểJ) gọi lù thíưili phấn phi cơ sở, chúng luôn bàng 0

Thành phẩn cơ sỏ của phươns án cực hiên chính là hệ số phân lích VCCUÍ b

qua cơ sở của phiRTnc án cực hiên iy , xác định brjfi Xj = Ay*!**

10- Bài toán dạng chuẩn

Bài loán dụng chính ú c đậc biệt thể hiện ớ : b, > 0 (i mỗi phưtmg

trình có m ột biến với hệ sỏ hằn^ 1 và khôna có mặt ở các phương trình khác Có

ihc mổ tả áướị dạna:

Dẻ thấy bài toán diỊiig chuẩn cho ngay m ột phiRTng án cực bicn V(ti Cir

sở là cư sở đơn vỊ, cụ thể ở đây là = ( b| ,b , b„, , 0, 0, 0 ), với cơ sơ

là I A, , A ; A„,Ị = E

11- S ự tồ n tại phưững án cực biên

- Nếu bìii toán cỏ phiriTiis án và hạne cùa ma trận hô ràng buộc bàng n Ihì bài toán có phương án cực biên

Bàí to á n quy h o ạ c h tuyến tinh Phương p h á p đdn hinh

- Nếu bài loấn dạng chính lác cổ phương án !hì chác chẮn có phương án cực

hiên Vi hạng của m a trận hộ rìưie buộc luôn hiư\z n.

12- S ự tổ n tại phương án tối ưu

- Nếu bài tcián cỏ phiUTna án và trị số hàm m ục liêu bị chặn dưới (trên) trên lập hiTp phirưne án ihì bài loán cỏ phưcmg ấn tối lai (giải được)

- Nếu bùi toán cổ phiRimg án cực biên và giải đưíic Ihì phải cỏ phươna án cực biên lối ưii Do đó nếu bài toán dạng chính tác giải điĩợc thì plìải có phưiTng án

cực biên tối ưii

- Nếu hài toán cố h m mộl phưưnu áỉi lối lai Ihi sẽ có vỏ số phươne án tốiUII, ch^ms h ạ n x" và X* là 2 phif(7ng á n lối im Ihì rnọi v e c lơ X c ó (.iiUìc:

X = a -I- (1 - a ) vơi (ì < a < 1đéu là phươnc án tối mi Tổng quát lìcm nếu x' (i = 1h- k) là các phưcmg án lối ini

ihì X = ^ a , x' vứi a, > í), Vi và X l, cũng là phương án lối mi

13- Tinh hữu hạn của sò' phương án cực biên

- Số phirema án cực hiên của mọi bài loán quy hoạch luyến tính đều hiìiihạn

f(x) = 3xi - 4X; + 3 x , + Xj + 1 lXj - 6Xft => min c ó kết luận gì vồ hài

toán Đậc điểm của tập phương án ?

Đ S : a) Tập phương àn : X, - í - x< - X5 + X|5

X; = - 2 + X4 + 2X5

X3 — 2x< + Xg

10 Bải t ậ p quy h o ạ c h tuyến tính

Vòi m ọi phương án f(x) = n - 3X5 + 2x« nên f(x) giảm vô hạn trên tập phương àn, b à i toàn không g iả i được.

b) V ó i m ọi phương án f(x) = 11 nén m ọi phương án đều tối ưu

1.2- Chứng tỏ bài toán sau giải được:

Ptíi/ơng á n tối uu khi f(x) => min

1.5- Chứng tỏ bài toán sau giải được:

H D: C h ọn tổ hợp tuyến tinh củ a cá c ràng buộc đ ể f(x) > - 3 0

1.6- Chứng lỏ bài toán sau giải đưíỊíc;

2Xi - X, + 4 x , - 5X4 < 10

- X, - 2 x , + X4 > - 1 3 4x, - X, + 3X4 < 8

Chứng tó x" = ( 1, 0 - 1 , 1 ) là phưiTng án cực biên tối iru

H D: C họn tồ hợp tuyến tinh củ a cá c ràng buộc đ ể có f(x) > 2.

1.8- Chứng tỏ bìú toán sau giải đưtK:;

f(x) = X, + ? x , + 4 x j + 8X4 => min

X, - 4x_, + X, > - 3

?x, - 2 x , - 5 x , < 0 5X; + 2 x , + X4 = X

- X, + 6x , - 2X4 < 4

H D: C họn tổ hạp tuyến tinh củ a c ác ràng buộc đ ể có f(x) > 7

1.9- Chu hai loán :

Hãy chỉ ra m ột phương án cực biên Chứng tỏ bìii toán không giải được Néu

c, = - 4 hãy chi ra phưc»ng án tối ini

HD: C họn tổ hợp tuyến tinh của c à c ràng b u ộ c đ ể c ó f(x) > - 29

1.12- Chứna tỏ bài toán :

t\x) = ( c, X ) => max (min)

X < b, ( i = 1- m )

J= 1

> 0 ( j = 1-ỉ-n )eiải được nếu h, > 0 ( Vi ) và tồn tiỊÚ một chì số i sao cho a,j > 0 ( V j )

j_2 _ Bài t ậ p quy h o ạ c h tuyên tinh

HD: D ễ thấy bài toàn c ó phương àn X é t c á c thành phần củ a m ột phương án bất kỳ, ch ún g đều b ị chặn, s u y ra trị s ố f(x) bị chận trén tập phương án.

1.13- V iết bài toán dạng chính tác nhận veclư 0 là phưtTng án Chứng tỏ răng nếu bài toán giải được thì vectơ 0 là phương án tối lai

HD: V ớ i phương án X bất kỳ, vectơ ẢX củng là phương án VẢ > 0, suy ra f(x)

b ị chặn bởi 0.

1.14- C hu bài loán dạng chính tắc, chiímg m inh rằng nếu bài toán có một phưcTng án cực biôn với m ọi thành phấn đéii dương thì nó luôn giải được

HD: S ử dụng đặc điểm củ a phương án cự c biên của b à i toán dạng chinh tắc

su y ra hệ phương trình ràng b u ộ c là hệ Cram er, b à i toàn có m ột phương àn duy nhất.

1.15- C ho bài toán d;mg chính tắc, nghiên cứii tính chất cực biên của một

Hãy chi ra một phirưng án cực biên và tính chất của nó

Bài to á n qu y h o ạ c h tuyến tinh Phưong p h á p dơn hình 13

II - PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

1- Nội dung của phutrng pháp

Xiiàì phát lừ mỏl phơ<mg án cực hiên cùa hùi l(uin dạne chính lác, l'im cach

đ á n h g i á n ó , n ê u c h ư a l ỏi ini thì l i m c á c h c h u y ể n S í m e m ô i p h ư t ĩ n g á n c ự c bi ê n

khác tỡt han Vì số phưcmg án cực hiên là hCai hạn nên sau môt số hữiỉ hạn bước

híìậc sẽ kct luận hài loán không giải được vì trị số hiVn mục liêu không bị chặn (rcn

lập phưímc án hoặc sẽ lìm đưttc phưtíne án cực hiòn tối im

2- ư ớc lượng của các biến

Ch(Ị X là phưtme án cực bión, cơ sở f Gọi là ư<K' iưiíng cùa biên

= A j ‘ C hú ý r ằ n e ư t \ ' [ưítng c ù a c á c biòn ctT s ơ = (ì ( V j e J )

3- Dấu hiệu tòi ưu

Nếu đối \ớ i phưcTne án cực hiên x", cơ sờ cỏa hùi toán dạng chính tác cn í'(x) => m in ( m a x ) m à £ (>) (K V k ihì x" là p h i n m g á n lõi lai

“ Trirìíne hợp nẽne: ncii Aị^ < (>) 0, Vk ể 1, Ilì! x" là phưíTng án lỏi miduy nhái

- N èu đỏi V('n phưtTne a n cực b ic n X s ỡ J,, ih(M niiui đáií hiẹii U"íi ưu UUI

tỏn tại mộl Av = 0 với k Ể-I,, lh'i bài loán có ihc có nhiéu phưtmg án íói mi ngoài

4- Định lý cơ bản (định lý về sự cải tién phương án)

Nếu đối Vtíi phiKtiìg án cực biên x" , cơ sở 1,, cúa hài u>án dạng chính lũc nià

3 > (<) (ì thì có Ihô cái licVi phư(tiìíi án, hoặc t‘im dược iTìỏt tỉây phưttng án trên

đó irỊ sỏ' hàm miic liêu eiàm (liìnu) vò hạn - bài ttxín khỏne giải được - hoãc chiiycn sanc mòi phưíTng án cực biên mơi x ‘ lư(mg đỏi tòt hi'ĩu x‘' : í(x ‘) < {>) t( \

TnrCTng hi,tp bài loán khònc suy bicn (moi phirtmg án cựL' hièn đéii không suy bièn) ihi p h ư ơ n g á n cực biôn x' thực s ự tnt h<ni x '

5- Bảng đơn hình

Cho X là phưiTnc ấn cực biên, cơ sớ 1 Ta thành lập môi hảng ghi các hộ sò

Bàí to á n quy h o ạ c h tuyẻn tinh Phường p h á p dơn hinh 15

phim lích của vectít h và các v o ctơ điều kiện (k = l-rn) qua cơ sớ theo mảu quy định á\ỊỚi đAy Bảng này gọi là bâng đttn hình i'mg với phưcms án cực bién x" ht)i>c

Hàng cuối của hảng gdi là hòne Vĩớc iirtTnu

6- Công thức đổi cơ sở

G iả sử Jj là cơ sở của phương án cực biên X* ihu đưực từ cơ sở Jo của phưcmg

án cực biên x^’ bàng cách đưa veclơ A, vào cơ sở thay cho vectơ Ar, nghĩa là: =[J(, \ (rị I | s | Khi đỏ quíui hệ giữa các hệ số phàn lích của cùng m ôl vectơ Ai, qua cơ sở Jo và Jj được biểu hiện Ihòng qua cổng Ihức đổi cư sỏ lổng quát sau:

X', = — Ci = íỉ)

trong đó VÌI tưímg Tmg là các hệ số phân tích của -qua Jị và J„ Hẹ sỏ phàn lích Xp, gọi lù phán lử tnic cúa phcp biến đổi cơ stV

7- Thuật toán của phuong pháp đơn hình

G iả sứ đ ã biếl phirtTng án cực biên x", cơ sở J„ Lập bảng đ(tn hình Iưitnuimg Thuật toán đinx: thực hiện \hcn cấc bước sau:

/ ) Kicnỉ írtỉ íliíii hitfn íóì irif.

Nêu At, s (>) 0 ,Vk Ể.Í., thi x" là phintrig án lui mi Ncu 3 \ > {<) 0.chuyến sane 2)

16 Bải tậ p quy h o ạ c h tuyến tỉnh

2 ị K ỉ ẽ m ira íí/iỉi kỉỉôỉiíi iỊiái dưỢi i iiíỉ h à i íoáỉì,

Nèu 3 Av; > (<) 0 nìà < 0 Vj e.ỉ„ Ihì bài t(ìán khôn^ ciải dưưc \i In sỏ

h im muc tiêu không bị chiìn Irẽn lập phirơniỉ án Nếu mỗi > (<) 0 đêu cổ Iirtmií

Như Vày Ji - [Jf,\ ( r | | ^ ị s Ị , phần từ trục của phép biến đổi cơ sở là x^,

trong bảng đcm hình nổ nằm (rên hàng vectơ loại ra (Xr) và cột vectơ đưa vào (x,),

tưcmg ứng bằng X, , c, và chuyển sang 4)

4) Biến đổi hản^.

Áp dụng công thức đổi C0 sở tổng quát cho toàn bộ bảng Có thể m ô tả còna

thức này bàng hai m ệnh để sau:

- Để tính hàng vectơ đưa vào (x,) ở bảng mới ta lấy hàng vectơ loại ra (x/) ở

bảng cũ chia cho phần tử Irục (Xrs)

- Dùng hàng vectơ đưa vào ĨTKTÌ tính được ( x j lìưn chuẩn Ihực hiện phép

biến đổi sơ cấp thứ ba trên các hàrm của bảne đ(7n hình biến đổi sao cho mọi phần

từ con iại irèn CỌI veciư dua vuu (X,) đỏu u ỡ iViliiili bunu ()

Kết quả ta thu được bủna hình lìmg với phưiTne án cực biỏn mới x ‘, đối

với x ‘ quay trở lại bước I) và quá trình ỉăp lại sau một số hữii hạn bước hoảc sõ kct

l u ậ n b à i t o á n k h ô n g g i ả i đ ư ợ c v ì t r ị s ố h à m m ụ c t i ê u k h ổ n g b ị c h ạ n h o i Ị i c s ẽ Ỉ1IT1

được phương án cực biên tối ưii

8- C á c chú ý khi thực hiện thuật toán

- Đối với bài toán có l'(x) => max có thể giải trực tiếp bằng thuật toán tiKnìs

ứng, đổng thời cũng có thể chuyển thành bài toán vái g(x) = - f(x) ==> min,

nhưng cần lưu ý là = - g „ „ „

- v ể nguyên tắc có thể đưa bất kỳ vectơ nào ứng với > 0 (Ai; < 0) vào cơ

sở cũng đều cải tiến được phirưng án

- Trường hợp bùi toán suv biến thì 00 có thể bàng 0 Khi 00 bàng 0 vẫn thực

hiộn thuật toán m ội cách bình thường, nghĩa là vectơ íma với 00 vẫn bị loại khỏi cư

sở Tuy nhiên kết quả tính toán trong tntờng hợp này chi cho ta bảng đơn hinh ứng

với một cơ sở khác của cùng một phương án cực biên suy biến Dấu hiệu xuất hiện

phương án cực biên suy biến là 00 đạt tại nhiều chỉ số Khi đó sẽ chọn vectơ loại

khỏi cơ sở trong sô' các vectơ ứng với 00 iheo quy tắc neảu nhiên

9- Tim phương án cực biên

T ừ bài toán dạng chính tắc có b, > 0 xay dimg biũ toán phụ p bằng cách cộng

vào vế trái phương trình ràng buộc i một biến già X* > 0 (i = l^ m ) với hàm mục

tiêu P(x,x*) = ^ X*, => min F là bài toán dạng chuẩn và luôn giải được Giải

i=l

bài tõán bầng phương pháp đơn hình, sau m ột sổ' hữu hạn bước tìm được phuơng án

cực biên tCTi ưu ( X , X * ), ký hiệu P( X , X *), = p„„„

- Nếu p„„„ = 0 thì X là phương án cực biên cùa bài toán đã cho

a) Trong cơ sở cùa phươne án cực biên tối uu ( x , x ‘), không có các vectơ

ứng vói các biến giả X* thì đó cũng là cơ sỏ cùa phưctng án cực biên X Để có bảng

đcm hình tương ứng chi cần tính lại các ước lượng \ Iheo hàiĩi f

b) Trong cơ sở của phương án cực biẻn tíS ưu ( X, X * ) có ít nhát một vectơ

ứng với biến giả X*, T m ờng hợp này để tiếp tục thuật toán, trước hết loại các cột

ứns với Afc(P) < 0, sau đó tính lại các ước lượna \ theo hàm f

10- C á c chú ỷ khi giải bài toán p

thiết (rứiàm để m a trận điều kiện của bài toán p có đủ m vectơ đơn vỊ)

- M ột biến giả đã bị loại khỏi C0 sở thì cột tương ứng khồng cần ưnh ở các

bước tiếp sau

11- C á c thí dụ

* Bài toán dạng chính tắc, biết phưcmg án cực bién x”, cơ sở Jn = E Khi đổ

ma trận hệ số phan tích Irìine vóri ma triỊin điéu kiện của bài toán, vì thế iập ngay

được bàna đơn hình và áp dụng Ihuạt toán Bài toán dạng chuàn thoả mãn điều

IX Bải tậ p quy h o ạ c h tuyến tinh

T h i ilụ I : Giải b ã n a phư(Tn2 ph áp đơn hình:

a X* + (1 - a ) x^, 0 < a < 1 VỚI 0 < a < 1 t h ì X là các phương án tối ưu khỏno

Bải to á n quy h o ạ c h tuyên tinh Phưong p háp đơn hình 19

77// (iụ 2: Giải báng phưitng pháp đưn hình;

20 Bải tậ p quy h o ạ c h tuyên tính

Trong hước 2 bi\n2 1.4, đưa X: vào Qơ sở, 60 = 2, xác định không duy nhất,

ứng \ớ\ X4 và cỏ the loại mỏt trung hai biên này ra khỏi cơ sở ớ đây la Uyậi X,,

iiOm pìúìii l ù U ụ c lìi Ị 4 ] , Siui hxCíu đ o i đvKx: phvK^G á n c ự c h i ê n s u y h i ế n lÁi vni X* =

( (I 2, 12, 0, 0, 0 ) vứi cơ sở là I A ,, A , , A4Ị Mặc dù có A5 = 0 nhưng phưtnie

án tối ưu cùa bài toán vẫn duy n h ít vì khi đưa X5 vào cơ sở thì 00 = 0 Thực hiện

phép bicn đổi cơ sở được b;ìng 1.5 tưcmg ứng với một cơ sở khác - {Aj, A, , A5 Ị -

Bài to á n quy h o ạ c h tuyến tỉnh Phơ0 ng p h á p đ d n hỉnh

** Bài Uìán d ạ n g c h ín h lác, hiếl phưíTne á n c ự c b i ê n c ơ s ở .lo ^ E Đè lập

đirtK' bảng đ(tn hình cẩn biết ma trận hệ sỏ' phân lích Đe tím m a trận hộ số phùntích irước hết ta vijt m a trận điéu kiện m ở rộng A = ỊA| b] , sau đó Ihực hiện cácphép biến đổi sit Citp trẻn các hàng của m a trận A biến đổi sao cho các vcctd cơ sởtrở thành các vectcí á im vị khác nhau, khi đó A sẽ trớ thành m a trận hệ số phân tích

T h i (lụ 4 : Cho bài toán:

G iíỉi: a) x‘‘ e , thoà m ãn mọi ràng buộc, thoả m àn chạt các ràng buộc 2, 3

và 3 ràng buộc dấu: x '\ = x^3= x'*5 = 0 Hộ 5 rỉmg biiục chạt này độc lập tuyến lính

■) 1 Bài t à p quy h o ạ c h tuyến tính

Từ bước 3 của báng 1.6 la có A7 > {) và x,7 < 0, Vj e J , hài toán k h ổ n s eiiii

được vì t(x) giáni vô h:ưi

b) Để thuận tiện chd tính toán trên hìina đáu tiên cìia bảng 1.6 ghi các hộ SŨ cùa hàm h(x) Cuối bưi<c 3 thêm mội hìing ước lưc^ig Ai, tính theo hàm h(x) Tir đáy

l a cỏ p h ư t m g á n t ố i ưu: X* = ( 0 , 1 6 , 8 , {), 10, 0, 0) h * = 44 = 0, /' là

Bài to á n q u y h o ạ c h tuyến tinh Phưdng pháp đơn hinh 23

phưctnu tối ưu và hCai hạn vớì 0 , = 6 nêii làp phưttne án tối mi có dạne:

Bài tậ p quy h o ạ c h tuyên tinh

Khi íiiai hai luán F, irẽn hànc I cùa bànu 1.7 chưa cắn đưa hệ sô cúa các lncn Irnní; hàm Í(X) vud, còn đôi với hàm p a íc liệ sO này bilne 0 Q uá trình giái kéi thúc ớ hưiíc 3, phtnmg án lũ'i ưu ciia bài loán p có F„„„ = 10 > 0 Bài loáĩi dã ch(' khỏim C('> phưcmc án

r i i i (in ổ: Giải bàng phiRmg pháp đim hinli:

Bải to á n quy h o ạ c h tuyến tinh Phưong p h á p đon hlnh 25

C ũng như thí dụ trên, khi giải bài toán p chưa cán ghi hộ số cùa các biến trong hàm l'(x) ở bước 3 mọi biến giả dểii bị loại khỏi cơ sở, ta được phương án cực biôn cỉia hòi toán đã cho, lúc này mới đira các hộ sô’ trong f(x) vào bảng và tínhcác ước lượng theo hàm t'(x), sau đó tiếp lục Ihuật toán ta được |)hirưng án cựcbiỏn tới ưu ở bước cuổi: X* = ( 7, 6, 1, 0 ) , r* = - 22

T h i d ụ 7 G iải b ằ n g phương p h á p đơn hình:

f(x) = 2X | + 4x, + l/2 x , - 3 X 4 min

2 x , + 2X; + 3xj + 3X4 ^ 5 0 4X| + 8X; + 2Xj + ?>x^ = 80

4 X | + 4 X ; + Xj + 2 xj = 4 0

X j> ( ) ( j = 1 -4).

Bìii to án p tirơng img :

P(x, X*) = X®: + X*, => m in2X| + 2x, + 3x, + 3Xj + X,

4X| + 8x, + 2Xj + 3Xj + x * , 4xi + 4 x j + Xj + 2X4

BiíiK 2 c u a h;mu 1.9 ch(i p h ư ( ^ i ỉ án lỏi im cứ a hai l o á n F V('ri = 0, nhiniu

thèm hàng này vào dưới h a n e Aj,(P) Tiếp lục Ihuậl toán giải bài toán xưal phát ùr bước 2 Bước 3 cho phirt^e án lỏi ini X* = ( 0, 7 12, (1 (») và p = 34

12 C á c bài tặp

1.19- Cho bìii toán :

26 Bài t ậ p quy h o ạ c h tuyến tinh

1.20- Phân tích tập hiỵp phưt:me án lối ini của bài toán dạng chính tác khi có

phương án c ự c biên x‘\ cơ sở Jn thí)à mãn đien kiện \ < 0, Vk Ễ Jo và tổn tại một

= 0 Viết biếu thức mổ tả tập phưcíne án lối ini Ironc tím g irườiìíì hựp

HD: X é t hai trường hợp rièng rẽ khi phương án cực b iê n không su y biến và

s u y biến, là phương hữu hạn h oặ c vô hạn N ó i chung lờ i g iả i của b à i toán không duy nhất, nhưng với x° su y biến thì có th ể nó vẫn là phương àn tối ưv duy nhất.

1.21- Chim^ m inh rán^ ủi.- < í), Vk , lù điéu ỉciện cắn và đủ đe phưi^ng án cực biên không suy biến là tòi ini duv nhài Cho một ihí ilii m inh hoạ về sự cấn thiếi của GÌã thiẽì khỏne suy biến

HD: D ùng phản chứng X à y dựng thi dụ phương àn cự c biên su y biến, tối ưu duy nhất nhưng vẫn có m ột \ = 0

1.22- X â v d i m e b m n đ t t n h ì n h c ỡ (3x6) i m g V(TÌ p h ư i T n g á n c ự c b i ê n s u y

biến lối lai nhima vẫn cổ m ội > 0, dùnií Ihuật toán để tìm cơ sở cùa phươne án cực biên ấy thỏa m ãn dấu hiệu tối ini

HD: B ảng p h ả i có cấu trúc sa o cho khi đưa vào c ơ sỏ thì Oo = 0 và qua

m ột bưòc biến đổi thì <0, ^ k iĩJ.

1.23- Xảy dimg bàng đ(Tn h\nh cờ (3x6) m ô tả trườne hợp bài toán khôns giải được vì irị số hàiTi niục tiêu khỏng bị chậíì trên tập phưưng án Viết biểu thức biểu diễn dãy phirctns án Irèn đó f(\) => - co Từ bảne đả xáy dựng có thể tìm được

phương án cực biên tốt hưri không ? Tại sao ?

1.24- Xây dựng bảng điTn hình cỡ (3x6) m ô tả trường hợp bài toán có hai phương án cực biên tối lai, áp dụng thuật toán để có bảng đơn hình ứng với phương

án cực biên tối U\1 thứ hai

1.25- Xây dựng bảne đưn hình cỡ (3x6) m ô tả trường hợp bài toán có rửúều phương án tối ưu và tập phương án tổi iru không giới nội

1.26- Xây dimg bảne đ(7n hình cỡ (3x6) của bài toán phụ m ô tả truờng hợp bài toán xuất phát không có phương án

1.27- X ày dimg bảng đcm hình cỡ (3x6) m ô tả trường hợp bài toán phụ có p„„„ = 0, nhưng vẫn còn hiên eiả trone cư sử Thực hiện một bước tính toán theo thuật toán

G iải bàng phương pháp điTn hình các bài toán tìr 1.28 - 1.156

Đ S : Trị s ố f(x) không bị chặn trên tập phương àn.

Bải to á n qu y h o ạ c h tu y ế n tinh P hư dng p háp đơn hình Ịn_

1.31 l'(x) = - 5x, + 5x, - 9Xj + 3xj min

- 3x, + 2 x , - 5xj > - 1 3

4X| - 3 x , + 8xj < 25X; - 2xj + 2Xj = 4

Đ S (0, 14 6 5), r = 40.

28 _ Bải tậ p quy h o ạ c h tuyến tinh

Bải to á n qu y h o ạ c h tuyến tinh P hư dng p háp đơn hlnh 29

Đ S : Tri s ố f(x) kh ô n g b ị ch ặ n trên tập phương àn Với C4 = 11 bài toàn có

p hư ơ ng ản cự c b iê n tối ưu: X* = (11, 0, 6, 0, 3, 0), r = - 20 và tập phương án tối ưu