Một số ứng dụng của định lí Viét

Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET

Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chương trình đại sốlớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú, đặcbiệt là các bài toán liên quan đến định lý Viet Tuy nhiên phân phối chương trìnhcho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số họcsinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viet

và ứng dụng của định lí này Chuyên đề “Một số ứng dụng của định lý Viet” sẽ

giúp các em học sinh nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyếtđược các bài tập một cách thành thạo

I – Cơ sở của lý thuyết

1 Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn

b) Nếu  = 0 thì (*) có nghiệm kép:

a

b x

x

2

2 1

a

b x

x S

2 1

2 1

(Viet)

II Một số ứng dụng của định lí viét

Dạng 1: Ứng dụng của định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

x1 1; 2 

2 Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x

b 0

)3)(

2(

523

12

n

x

m (Với m2; m 3, x là ẩn) (2)

c (m -3)x2 - (m +1)x - 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)Hướng dẫn:

a ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhưng có a.c =  15

< 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 x2 áp dụng hệ thức Viét

53

Vậy phương trình có 2 nghiệm là:  3 và 5

b Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c 1 2 1 3 (2 2 )( 5 3)0

m m

;

1 2

1

c ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:

a - b + c = m - 3 + m + 1 - 2m + 2 = 0 Nên x1 1; x2 2m 2mà không thấy được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai

Vì vậy ta cần xét m - 3 = 0; m - 3 0, rồi nhẩm nghiệm

Giải:

+ Nếu m -3 = 0 m = 3 thì phương trình (3) trở thành -4x - 4 = 0  x = -1+ Nếu m -3 0  m 3 phương trình (3) có a - b + c = 0, nên có 2 nghiệm

3

22

+ Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt) Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm

VD2: Nhẩm nghiệm của phương trình 5 3 2 5 1 0

Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =

Hướng dẫn: Phương trình trên có dạng x4 5x2 (x +1) - 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)

Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta được:

Sau đó giải tiếp tìm được x

Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

I Phương pháp giải

Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình

ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1

x2 nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình

II Một số ví dụ

VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 =

0 Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3

36

2 1

2 1

c x x

x x

3 1

3 2

2 1 2 1

3 2 1

3

x x

x x x x x

3

.3

12

 2

2

12

918

c

Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ;

P = x1 x2 Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức

VD2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm

lớn và nhỏ của phương trình bậc hai : x2 - 0

16

514

21416

áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =

4

85 và P = x1 x2 =

1621

85.16

8416

85

= 16

64.4

1

= 1VD3:

a Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 2 1

1

2 1

x x

a x x

2 1

2 2 1

2 2

2 1

2 1

4 2

4 1

4 x x  x x  x x a  



 a a

x x  x x x x  a a x

x

2 1 2 1

3 2 1

3 2

3 1

; x1 x2 = 1

3

55

3714

Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết

ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéoléo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính được giá trị của biểuthức

* ở VD7 sau không có mặt S4P3nhưng vội vằng bình phương 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế x1  2 bởi x1 1như trên với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phương trình a 2 0

18

418

18

88364105

12

88)12(3)25(25

12

2

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

4 2 1

3x x x x

2 1

2 1 1

2

2

313

5

12x  x  x x   x   x

= 4 4 1

2

316

2 1

32

31

1



* Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế

1 cách hợp lý ( thường thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách được giá trị của biểu thức đó

VD2: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình 2 1 0

3

4 3

x x

b x x

Do đó x1  x3 .x2 x4x1x2  x1x4  x2x3  x3x4

= 1 + x1x4  x2x3  1 = x1x4  x2x3

và x2  x3 .x1 x4x1x2 x2x4  x1x3  x3x4

= 1 + x2x4  x1x3  1 = x2x4  x1x3

 M = x1x4  x2x3 .x2x4  x1x3

3 2 1 4 3

2 2 4 3

2 1

2 4 2

2 1

2 4

2 4

b,c là hai nghiệm của phương trình : 2 2 0





qx x

b,c là hai nghiệm của phương trình : 2 2 0





qx

x nên theo định lý Viét ta có :

bc

q c b

2 1

3 2 2

2 1

2 2

1 2

x x

x x

11

x x

2 1





 x

x x

x

2 1 2

2 1

2 2 2 1

2

4

x x x x

x x x x

A= 5x1  3x25x2  3x1

B=

2 1

2 1

2 1

2 2 1

Dạng 3: Ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số v và V có tổng v + V = S và tích u.v =p thì v và V là nghiệm của phương trình 2 0

đó thông qua tích giải phương trình bậc hai

VD1: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b2 ( a,b0 cho trước)

Hướng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0x;y2a)

Theo giả thiết ta có x+y= 2a

x.y= b2

Do đó x,y là nghiệm của phương trình

0

2 2 2

X   

2 2

2 2

b a

a

y

b a

2 2

b a a y

b a a x

Nếu a=b  =0 (1) có nghiệm kép là x1 x2 a Khi đó hình chữ nhật là vuông cạnh a

Nếu ab  0  (1) vô nghiệm khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu bài

Giải phương trình này ta được x1 3;x2 2 Vậy a= 3 và b = 2 hoặc a= 2 và b= 3

)( 2

ab

ab b

( 2

ab

b

a

 a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10

* Nếu a+b = 7 và ab = 10  a,b là 2 nghiệm của phương trình

0107

2 2

x

zx yz xy

z y x

Nhận xét : Để

giải hệ phương trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm được x+y và xy sau đó đưa

về phương trình bậc 2 đã biết cách giải

x

xy y x

5

2

y x y x

xy y x

y x S

5

2 S S

P S

5

S S

P S

P S S

P S

)1(23

P S P

S

Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình

023

2 2

x

zx yz xy

z y x

276

)2(7

)1(6

z x y

zx yz xy

z y x

)2(7

)1(6)

(

z x y

zx yz xy

y z x

Từ (1) và (3) theo định lí Viét  y và x+z là các nghiệm của phương trình

096

)5(

)4(3

z x

z x y

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet  x và z là các nghiệm của phương trình

023

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1)

Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phương trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã đưa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ là y và ta giải được hệ nhờ định lí Viet

c x

x1 2 

S =

a

b x

x1  2 Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét

1.phương trình có 2 nghiệm dương 

S P

2.Phương trình có 2 nghiệm âm 

S P

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Cách 1: Có P 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S P

Thì hai nghiệm đều dương

Cách 2: Trước hết phải có   0khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không

âm nếu :

0



S ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S=0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S0,P0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

VD1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?

045

2

m

m m

4

92

5 2

m m

45

5

m m

m m

b Hai nghiệm cùng dấu phên biệt

c Hai nghiệm âm phân biệt

Hướng dẫn:

a PT đã cho có một nghiệm khi và chỉ khi

2

11

2

1 00

a Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

b Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ

Hướng dẫn:

HS đã biết điều kiện để phơng trình dạng ax 2 + bx + c = 0 (a0) có hai nghiệm trái dấu là

S < 0 Tuy nhiên ở đây còn liên quan đến GTTĐ của các nghiệm, vì vậy ta phải

có thêm ĐK về tích các nghiệm nũa.

a PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn khi và chỉ khi

1 41

2 44

0 2( 2)

04

m

a

m m

m m

Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn

TH2: Nếu m - 4 0  m 4 phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phương trình có một nghiệm dương

i) PT có 2 nghiệm trái dấu Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0

00

4

m

m m

b

m a

Hướng dẫn:

Ta xét các khả năng xảy ra:

i) Khi m + 1 = 0 m = -1, PT đã cho có dạng -2x - 2 = 0  x = -1 < 0

Vậy m = -1 không phải là giá trị cần tìm

ii) Khi m  -1 PT đã cho là phương trình bậc hai

Cách 1: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có một nghiệm dương, tức là:

1

m m

Không có giá trị của m thoả mãn

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m  2

Cách 2: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P = 0 hay – 1 < m < 1

+ Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1

+ Hoặc PT có 2 nghiệm cùng dương, tức là:

1

m m

1

m m

Bài tập áp dụng

BT1: Cho phương trình x2 -2(m + 1)x + m2 - 4m + 5 = 0

a Tìm m để phương trình có nghiệm

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

BT2: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 3)x + m - 4 = 0 Tìm m để phương có hai nghiệm

a Trái dấu

b Hai nghiệm dương

c Hai nghiệm âm

BT3: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m + 4 = 0 Tìm m để phương trình

a Có đúng một nghiệm dương

b Có đúng một nghiệm không dương

Dạng 5: Ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với

một số cho trước

I Phương pháp giải

ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh nghiệm với một số cho trước.

Để giải các bài tập kiểu này ta thường thực hiện các bước sau:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra được biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức

B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận

Ta có: 1 2 1 2

2 (1)2

VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình x2 + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m

44

m m

m

m m

Bằng cách: Đặt t = x – m  x = t + m PT đã cho viết được dưới dạng là

(t + m)2 + t + 2m = 0  t 2 + (2m+1)t + m2 + 2m = 0 (*)

VD3:Cho phương trình m 4.x2  2m 2xm 10 Tìm m để phương trình

có 2 nghiệm x1; x2thoả mãn : x10 x 2 và x 1 x2

Hướng dẫn: Vì x10 nên x1 x1do vậy x 1 x2   x 1 x2 hay Sx1 x20

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2thoả mãn điều kiện bài toán khi

s p

22

041

0142

04

2

m m m m

m m

m m

4104

m m m

m

 2m4

Vậy giá trị cần tìm của m là: 2m4

VD4: Cho hai phương trình bậc hai:

Ba Lan 1950)

Hướng dẫn : Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x 1 x2 và x 3 x4 Theo yêu cầucủa đề bài ta phải có : x1x3x2x4 hoặc x3x1x4x2 Dễ dàng trong trường hợp nào ta cũng có

2

3 x x x x x x x x x x x

a Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.

b Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

02

1

 +

7210

1

 =

7210

72107210



x1x2

P

7210

1



7210

Như vậy với bài toán lập phương trình bậc hai khi đã biết trước hai nghiệm của

nó ta chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm là S2 4P

 VD2: Cho phương trình 2 0

2 1 2 1

2 1

x x

1

2 1 2 1

2 1 2 1

x x x x

p q

Với S2 4P

 thì y1, y2là hai nghiệm của phương trình

01

1

p q y q

Vì p2 4q

 ( do phương trình (1) có hai nghiệm nên 0

1

1

41

22

p q q

p q

2 2 1 1 2 1 2

2 1 2 1

x x x x

 1 2

2 1

5

4.2

x x

x x

8

2 2

2 2

 x x a x x a





 a X X

VD4: Biết rằng x1; là nghiệm của phương trình 2 0





 px q

x Còn x2; là nghiệm của phương trình 2 1 1 0

q q

2 1

2

p p

p q p

p x

x S

P= x1.x2=  

 2 1

2 1 1

q q

p p qq





Với các giá trị của p , q S2 4P thì x1, x2 là

)(

1

2 1 1

1

1 1

p p qp x p p

q q p

p x

c 3  2 và

23

1



2 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình 3x2 5x 60 Không tính x1, x2

hãy lập phương trình bậc hai ẩn y mà nghiệm là

1

x x

3.Cho phương trình x2  2mx10 , có 2 nghiệm x1, x2hãy tìm 1 phương trình

bậc hai có hai nghiệm là:

1 1 1

3

x x

X   ;

2 2 2

3

x x

5 Gọi p, q là hai nghiệm của phương trình bậc hai 3 2 7 4 0





 x

x Không giảiphương trình hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là:

g Lớn hơn nghiệm của PT đã cho một lượng bằng n

h Gấp n lần nghiệm của PT đã cho

BT7 Gọi x1, x2 là nghiệm của PT x2 - 7x + 3 = 0

a Lập PT bậc hai có 2 nghiệm 2x1- x2 và 2x2 - x1

b Tính giá trị của A = 2x1  x2  2x2  x1

(Đề thi tuyển sinh vào trường THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001)

BT8 Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1, x2 sao cho:

1

1)1)(

1

(

04)(

2

1

m m x

x

x x

[3] Vũ Việt Yên – Triệu Khuê : Hướng dẫn ôn luyện thi môn Toán tập II –