Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàn số ở lớp 11 trung học phổ thông

v nLỜI CẢM ƠN Đề tài "Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT" là một nội dung trong chương trình dạy h

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LƯƠNG THANH HOA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LƯƠNG THANH HOA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Thị Trinh

THÁI NGUYÊN - 2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Lương Thanh Hoa, học viên cao học chuyên ngành: Lý luận

và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên, khóa học 2017 - 2019 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là côngtrình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa

học của TS Đỗ Thị Trinh.

Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quảtrình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực,chưa từng được ai công bố trước đây

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Lương Thanh Hoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

LỜI CẢM ƠN

Đề tài "Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học

tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT" là một nội

dung trong chương trình dạy học bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông, và làkết quả của một quá trình nghiên cứu của bản thân tác giả sau một thời gian họctập và nghiên cứu chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ mônToán Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân, trong quátrình tiến hành nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận được sự động viên,giúp đỡ, sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, PhòngSau đại học Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và các thầy cô đã trực tiếpgiảng dạy, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Thị Trinh - Côgiáo đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu vàhoàn thiện bản luận văn này

Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý, chỉdẫn và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả Lương Thanh Hoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ iv

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH v

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc của luận văn 3

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lý luận 4

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH 4

1.1.2 Cơ sở lý luận 8

1.2 Cơ sở thực tiễn 30

1.2.1 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối chương trình môn Toán ở trường THPT 30

1.2.2 Mục tiêu của dạy học Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT 31

1.2.3 Khảo sát thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở trường phổ thông 32

1.2.4 Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 35

1.2.5 Khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp phải trong học tập nội dung giới hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT 36

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT 49

2.1 Định hướng xây dựng một số biện pháp sư phạm khắc phục khó khăn của HS trong học tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 49

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục khó khăn và sai lầm trong học tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 50

2.2.1 Biện pháp 1: Hình thành biểu tượng các khái niệm trừu tượng trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán 51

2.2.2 Biện pháp 2: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ trong dạy học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của hàm số nhằm mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi khái niệm trừu tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí 57

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho HS kỹ năng tìm lời giải theo quy trình của Polya 61

2.2.4 Biện pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho mỗi nội dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái niệm trừu tượng 67

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 83

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84

3.1 Mục đích, yêu cầu và nội dung thực nghiệm sư phạm 85

3.1.1 Mục đích, yêu cầu 85

3.1.2 Nội dung và đối tượng thực nghiệm 85

3.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 85

3.2.1 Giáo án thực nghiệm (Phụ lục 2) 85

3.2.2.Tiến trình thực nghiệm 85

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 87

3.3.1 Đánh giá định tính 87

3.3.2 Đánh giá định lượng 87

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 89

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH

Bảng 3.1 87Hình 3.1 Biểu đồ tỉ lệ điểm kiểm tra sau thực nghiệm 88

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những mục tiêu của giáo dục mà Đảng ta đã đặt ra trong Nghịquyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 là “Phát triển giáo dục và đàotạo, nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quátrình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diên năng lực

và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáodục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Để đạt mụctiêu giáo dục như trên, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổimới căn bản về phương pháp giáo dục

Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạyhọc không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho HS có tưduy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tinvào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với những thayđổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực

Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas (1986) đã viết:

“Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, là trung tâm của

Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác” Trong nội dung Giải tích lớp 11, vai trò của hai chủ đề chính là Giới hạn

và Đạo hàm được nêu rất rõ trong SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao):

“Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích Có thể nói: Không có

giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến giới hạn” Khi HS tiếp thu các tri thức của Giới hạn và Đạo hàm đã

xảy ra quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã biết Đại số

đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi học về Giải tích, kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”,

“biến thiên” Giải tích lớp 11 đóng vai trò hết sức quan trọng trong toán học

phổ thông bởi lẽ: Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để

xây dựng các khái niệm đạo hàm, vi phân và tích phân Đó là những nội dung bao trùm chương trình Giải tích ở THPT.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng, nhiều HS khi học nội dung Giới hạn vàtính liên tục của hàm số đã gặp khó khăn trong việc hiểu được bản chất của cáckhái niệm Ngay cả GV có kinh nghiệm cũng gặp không ít những khó khăntrong việc truyền thụ các tri thức này cho HS, khi dạy về các chủ đề Giới hạn,tính liên tục của hàm số Thông thường, GV dạy định nghĩa một cách thoángqua rồi tập trung vào luyện các bài tập Hậu quả là rất nhiều HS phổ thông saukhi tốt nghiệp vẫn không hiểu được bản chất, nội hàm của các khái niệm vềGiới hạn và tính liên tục của hàm số Do đó, làm thế nào để có thể giúp HShiểu rõ bản chất của mỗi khái niệm là một nhu cầu của thực tiễn

Từ những lí do trên đây, với mong muốn góp phần giúp cho HS và GVkhắc phục khó khăn, nâng cao hiệu quả học tập chương trình Giải tích lớp 11,

chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT”

3 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được các biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh tronghọc tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số thì có thể hạn chế sai lầm,phát triển năng lực giải toán và góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toáncho HS ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH

- Nghiên cứu lý luận về dạy học có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu nội dung chương trình Giải tích 11

- Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tínhliên tục của hàm số trong chương trình Giải tích 11 THPT hiện nay

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục một số khó khăn mà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

HS gặp phải trong học tập nội dung này

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thựchiện một số biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn

5 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích

11 THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay

- Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học mônToán; các tài liệu có liên quan đến dạy và học nội dung Giới hạn, tính liên tụccủa hàm trong chương trình môn Giải tích ở trường phổ thông

+ Phương pháp quan sát điều tra

Quan sát, thăm dò thực trạng để tìm hiểu những sai lầm thường gặp ở HSkhi giải toán nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số và điều tra theo cáchình thức: Dạy thử nghiệm, dự giờ, phỏng vấn trực tiếp và các biện pháp khác

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giákết quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trongthực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luậnvăn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong họctập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH

Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho HS

là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục Để đáp ứng được những yêu cầumới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trướcnguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệđang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản vềphương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nướcphát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước

ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chấtlượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạnmới, phục vụ các yêu cầu đa dạng của nền Kinh tế - Xã hội Sự phát triển vớitốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiềuthành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng vànhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục Trong bối cảnh hội nhập giao lưu,

HS được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt củacuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùnglứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là HS THPT) Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục -Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổchức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã đượcxác định trong các tài liệu sau:

- Nghị quyết số 29 - NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8khóa XI [17] đưa ra quan điểm chỉ đạo định hướng đổi mới căn bản, toàn diệnGiáo dục và đào tạo: “Phát triển giáo dục đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạonhân lực, bồi dưỡng nhân tài Nhấn mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v nkiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học điđôi với hành,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

lý luận gắn liền với thực tiễn; giáo dục trong nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

- Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp Giáo dục - Phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặcđiểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹnăng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềmvui hứng thú cho HS” Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phươngpháp dạy học hiện nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đạitrên Thế giới), trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳngđịnh, không còn là vấn đề để tranh luận nữa là giúp cho HS học tập một cáchtích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Đó là hướng tới họctập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho HS được suy nghĩ nhiều hơn,thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nộidung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống Đây chính là tiêu chí,thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học Trên tinh thần đó, việcdạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị cho HS, những kiến thứccần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn còn ở chỗ dần dần hình thành

và rèn luyện cho HS tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để

HS có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt độngthực tiễn sau này

Chương trình giáo dục phổ thông bao gồm chương trình tổng thể (khungchương trình) và 27 chương trình môn học, hoạt động giáo dục

Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo, chương trình giáo dục phổ thông mới đãquán triệt đầy đủ, nghiêm túc các quan điểm và tinh thần đổi mới căn bản, toàndiện giáo dục và đào tạo nêu tại các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội và Quyếtđịnh của Thủ tướng Chính phủ, thể hiện quyết tâm đổi mới của ngành Giáo dục

Về mục tiêu đổi mới, Chương trình giáo dục phổ thông mới thực hiện yêucầu của Nghị quyết 29 và Nghị quyết 88 [18]: “Chuyển mạnh quá trình giáodục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chấtngười học”

Nếu như chương trình hiện hành và các chương trình giáo dục phổthông trước đây trả lời cho câu hỏi: “Học xong chương trình, học sinh biếtđược những gì?” thì Chương trình giáo dục phổ thông mới tập trung trả lờicho câu hỏi: “Học xong chương trình, học sinh làm được những gì?”

Trong Chương trình giáo dục phổ thông mới, tổng thời lượng học tập củahọc sinh phổ thông và thời lượng học tập dành cho mỗi cấp học, lớp học, mônhọc, hoạt động giáo dục được xác định trên cơ sở kế thừa Chương trình giáodục phổ thông hiện hành và tham khảo tỉ lệ thời lượng phân bổ cho các mônhọc, hoạt động giáo dục ở chương trình giáo dục phổ thông của nước ngoài.Theo đó, tổng thời lượng học tập theo Chương trình giáo dục phổthông mới cụ thể: Tổng thời lượng học tập ở cả 3 cấp học là 8.172 giờ (60phút/giờ), trong đó:

- Thời lượng học tập ở cấp tiểu học: 2.817,5 giờ

- Thời lượng học tập ở cấp trung học cơ sở: 3.070,5 giờ

- Thời lượng học tập ở cấp trung học phổ thông: 2.284 giờ

Trong khi theo chương trình hiện hành, học sinhtiểu học học 2.353 giờ.Chương trình mới là chương trình học 2 buổi/ngày (9 buổi/tuần), tính trungbình học sinh học 1,8 giờ/lớp/buổi học; có điều kiện tổ chức các hoạt động vuichơi, giải trí nhiều hơn Chương trình hiện hành là chương trình học 1buổi/ngày (5 buổi/tuần), tính trung bình học sinh học 2,7 giờ/lớp/buổi học

Ở trung học cơ sở, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, họcsinh học 3.124 giờ Như vậy, thời lượng học ở trung học cơ sở giảm 53,5 giờ

Ở trung học phổ thông, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành,học sinh Ban cơ bản học 2.546 giờ; học sinh Ban A, Ban C học 2.599 giờ Nhưvậy, thời lượng học ở trung học phổ thông giảm mạnh, từ 262 giờ đến 315 giờ.Chủ đề “Giới hạn” ở trường phổ thông được trình bày trong chương trìnhlớp 11 (cơ bản) gồm 14 tiết, phân bố như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Bảng 1.1: Phân phối chương trình của chương “Giới hạn”

Chương IV: Giới hạn (14 tiết)

Giới hạn của dãy số

Trong đó trình bày các nội dung chính như sau:

- Giới hạn của dãy số:

Giới hạn hữu hạn của dãy số (dãy số có giới hạn là 0, dãy số có giới hạn là

số a), một vài giới hạn đặc biệt, định lí về giới hạn hữu hạn, tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

Một số định lí cơ bản: định lí về sự liên tục của các hàm đa thức và phânthức, định lí về tính liên tục của tổng hiệu tích thương của hai hàm số tại mộtđiểm, định lí về tính duy nhất nghiệm của hàm số trên một khoảng

1.1.2 Cơ sở lý luận

1.1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

- Khái niệm chướng ngại

Khái niệm chướng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đưa vào trongcuốn “Sự hình thành trí tuệ khoa học” (Bachelard,1977) [12]

Để hiểu rõ khái niệm chướng ngại, điều quan trọng là phải phân biệt hai từ

dường như đồng nghĩa trong từ điển, đó là khó khăn và chướng ngại

(Bouazzaoui, 1988) Khi một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thểcần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về

một số kiến thức Toán học có liên quan Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn

đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang

xét hay của những quan niệm hiện hành Ta nói có một chướng ngại nếu vấn đề

chỉ được giải quyết sau khi đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quanđiểm lí thuyết

Ta có thể phân biệt chướng ngại tánh được với chướng ngại không tránhđược:

+ Chướng ngại tránh được (còn gọi là chướng ngại sư phạm) liên hệ với sựchuyển hóa sư phạm của tri thức Đó là một kiểu chướng ngại cần được đặc biệtchú ý, bởi vì no nảy sinh do những biện pháp sai lầm về mặt sư phạm Nó cóthể tránh được nếu ta thực hiện những biện pháp chuyển hóa sư phạm hợp lí.+ Chướng ngại không tránh đợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của đốitượng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm Tuy không tránh được nhưngchúng có thể được xóa bỏ ở những thời điểm thích hợp bằng cách tổ chức chongười học hoạt động trong những tình huống thích hợp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

- Khó khăn của HS trong học tập:

 Khái niệm khó khăn tâm lý

Trong từ điển Anh - Việt thì từ “Hardship” hoặc từ “Difficulty” đều đượcdùng để chỉ sự khó khăn, sự gay go, sự khắc nghiệt đòi hỏi nhiều nỗ lực đểkhắc phục

Tuy nhiên, thông thường người ta hay dùng từ “shock” để chỉ sự khókhăn, sự sốc, sự choáng váng trước một môi trường mới

Từ điển Pháp - Việt thì “Difficulté” chỉ sự khó khăn, sự việc gây trở ngại.Theo “Từ điển tiếng Việt căn bản” thì khó khăn nghĩa là sự trở ngại hoặc

[11].

Trong cuộc sống hàng ngày, với bất kỳ hoạt động nào mà con người thamgia không phải bao giờ cũng đạt được những mục tiêu như đã đề ra Bởi tronghoạt động, con người có thể gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại, thiếu thốn cả vềmặt vật chất lẫn tinh thân Đặc biệt, trước một môi trường sống mới, một hoạtđộng mới, con người chịu ảnh hưởng của các yếu tố tâm lý, sức khỏe, vật chất của bản thân cũng như những điều kiện, áp lực từ môi trường bên ngoài làmcho con người không có điều kiện thích ứng một cách kịp thời, có thể bịchoáng, bị sốc Chính những yếu tố này làm cho hoạt động trí tuệ bị lệch hướnghoặc không thể tiếp tục được nữa, kết quả không được như mong muốn Nhữngkhó khăn, đặc biệt là khó khăn tâm lý làm xuất hiện biểu hiện tâm lí tiêu cực,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v ngây ra sự choáng váng, chán nản, mệt mỏi làm ảnh hướng xấu đến tâm thế vàchất lượng,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

hiệu quả công việc, đôi khi gây cho con người sự nhụt trí không thể vượt quađược, có thể ảnh hưởng đến nét nhân cách

Khó khăn tâm lý xuất hiện do nhiều yếu tố khác nhau: Những yếu tố bênngoài (yếu tố khách quan) và yếu tố bên trong (yếu tố chủ quan)

Những yếu tố bên ngoài được kể đến như là những điều kiện của hoạtđộng, đó là môi trường gia đình, nhà trường, xã hội Những yếu tố này ảnhhướng gián tiếp đến hoạt động của con người Tuy nhiên, trong một số trườnghợp nào đó, nó có vị trí hết sức quan trọng đến quá trình và kết quả hoạt độngtâm lý của chủ thể hoạt động

Những yếu tố bên trong là: những yếu tố xuất phát từ bản thân mỗi chủthế khi tiến hành hoạt động như là: sự thiếu hiểu biết, vốn kinh nghiệm còn hạnchế, những thói quen, hành vi không còn phù hợp với môi trường mới, sự chủquan, việc thực hiện các thao tác không phù hợp với đối tượng, sức khỏe đây

là những yếu tố ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình và kết quả của hoạt động chủthể [11]

 Khái niệm khó khăn tâm lý trong hoạt động học tập

Học tập là hoạt động đặc thù của con người giúp con người giúp con ngườihình thành và phát triển tâm lí nhân cách Trong quá trình học tập, không phảibao giờ người học cũng tiến hành hoạt động trong những điều kiện thuận lợi vàgiúp họ dễ dàng mang lại kết quả cao Ngược lại, đôi khi tại một thời điểm hoặcmột giai đoạn nào đó hoặc cả cuộc đời của mình, người học chật vật, gian khổvới sự nỗ lực rất cao nhưng kết quả học tập vẫn không như mong đợi Đặc biệt,khi đến môi trường học tập mới mẻ, xa lạ, người học dù ở lứa tuổi nào cũng gặpkhó khăn và chưa thể thích ứng ngay được Bởi họ thường quen với suy nghĩhành động của môi trường cũ Mặt khác, môi trường mưới ấy đôi khi có nhữngyếu tố cản trở sự cố gắng, nỗ lực của học sinh Điều này gây ra ở HS tâm lý lolắng, sợ hãi đối với việc học, xấu hổ với cha mẹ, thầy cô, bạn bè Khó khăn tâm

lý đã cản trở đến quá trình và kết quả của hoạt động học tập, ảnh hưởng tiêu cực

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

đến việc hình thành và phát triển những phẩm chất tâm lý cá nhân Chúng tôicho rằng, khó khăn tâm lý trong học tập là một hiện tượng tâm lý phức tạp cầnđược nghiên cứu và được định nghĩa như sau: “Khó khăn tâm lý trong hoạtđộng học tập là những thiếu thốn, những biểu hiện tâm lý tiêu cực và nhữngthói quen làm ảnh hưởng xấu (làm cản trở) đến quá trình và kết quả học tập”[11]

1.1.2.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm

a Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ởtrường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắccho HS một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học cho

HS, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức

đã học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho HS dần đạt đượcnhững yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng chotrước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thểhiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệmcho trước

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt độnggiải toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệmvới những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm,các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau vớimọi khái niệm Chẳng hạn, khái niệm về “hướng của véctơ” không được nêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quandựa vào kinh nghiệm sống của HS Nhưng với các khái niệm “hàm số”, “hàm

số chẵn”, “hàm số lẻ”, thì lại yêu cầu HS phải phát biểu được định nghĩa mộtcách chính xác và vận dụng được khi giải toán [10]

c Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duydẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô

tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc

về khái niệm đó hay không

Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:

- Con đường qui nạp

- Con đường suy diễn

- Con đường kiến thiết

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên

 Con đường qui nạp

Theo con đường này, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (như vật thật,

mô hình, hình vẽ,…) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái

quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những

trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sựhiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình

Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể,trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, cònnhững thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi

Qui trình tiếp cận một khái niệm theo con đường qui nạp:

- GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng củamột đối tượng nào đó

- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung củacác đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượngkhông có đủ các đặc điểm đã nêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

- GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và đặcđiểm đặc trưng của khái niệm

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt độngtích cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họnâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên con đường nàyđòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực hiện

Con đường này nên thực hiện khi:

- Trình độ nhận thức HS còn thấp

- Vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện:chưa phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suydiễn

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cầnhình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp [10]

Ví dụ 1.1 Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như

sau: Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n

+ Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên

có tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng?

+ GV hướng dẫn HS nhận xét: Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1),(2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của dãy (5)

Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm

mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà HS đã biết

Qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đường suy diễn:

- Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một

số đặc điểm mà ta quan tâm

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nóbằng một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộphận trong khái niệm tổng quát đó

- Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa

Con đường này nên thực hiện khi:

- Trình độ nhận thức của HS đã khá hơn

- Vốn kiến thức đã nhiều lên

- Phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Ví dụ 1.2 Có thể hình thành khái niệm giới hạn của một tổng cho HS theo

con đường suy diễn bằng cách dựa vào giới hạn hữu hạn của hàm số đã đượchọc

trước đó như sau:

Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể đểchứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại.

Ví dụ 1.3 Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Cho khoảng K

chứa điểm x0 và hàm số y  f  x xác định trên K

Con đường thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làmđiểm xuất phát cho con đường suy diễn

Con đường kiến thiết

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn Yếu tốsuy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng mộthay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thểhiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ,

đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ranhư sau:

Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần

được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từnội bộ toán học hay từ thực tiễn

Bước 2: Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới

những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

Bước 3: Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2.

Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi gợi hoạt động tự giác, tíchcực của HS và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hìnhthành khái niệm Bởi con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suydiễn nên quy luật biện chứng “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ

tư duy trừu tượng đến thực tiễn” được tuân thủ triệt để Điều đó kích thích sựphát triển tư duy biện chứng cho HS

d Hoạt động củng cố khái niệm

Để củng cố khái niệm cho HS, GV cần cho HS luyện tập những hoạt động:Nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặcbiệt hóa khai niệm, vận dụng khái niệm,

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình họcmôn toán là HS học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biếtđược một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn địnhnghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn địnhnghĩa Vì vậy, cần phải cho HS tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thểhiện” để tránh và khắc phục tình trạng này [10]

Ví dụ 1.4 Sau khi học xong khái niệm hàm số liên tục, HS làm bài tập sau:

Bài tập 1:

Hàm số f (x ) có đồ thị như hình bên không liên

tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

ïì x 2

-ï 3x +

2 khi x ¹ 1

Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số f (x)= ïí

cả các bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:

- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi phátbiểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau

- Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩamột cách tường minh hay ẩn tàng [10]

Ví dụ 1.5 Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy

số theo các cách như sau:

càng dần tới 0 khi n càng lớn.

thể làm cho u n

lớn

sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ

Cá ch 3 : Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây

được thoả mãn: Với mọi số dương  nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm

Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá

Để củng cố khái niệm, GV có thể thực hiện nhiều hoạt động khác nữa, trước hết là:

- Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho

HS Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếptuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyểnđộng, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số, Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa

- Đặc biệt hoá, ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt với một gócvuông để được hình chữ nhật

- Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữanhững khái niệm, ví dụ như khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn là mộttrường hợp riêng của khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, khái niệm đạohàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảysinh trong Toán học và đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm

mà còn là mục đích sâu xa của việc học khái niệm [10]

Ví dụ 1.6 Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở rộng

ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái niệmgiới hạn một phía

Ví dụ 1.7 Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm:

Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy

Giới hạn của hàm số

Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS thấy rõ không phảidãy số nào, hàm số cũng có giới hạn

hàm số này không có giới

hạn khi x 1

Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho HS vận dụng nó vàonhững bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứngminh Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phầnphát triển năng lực giải toán

Trong các hoạt động trên thì hoạt động "nhận dạng và thể hiện" khái niệm

có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực khôngchỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thànhkhái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu đểchống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập

e Trình tự truyền thụ một khái niệm mới

Trình tự truyền thụ một khái niệm mới thường bao gồm các hoạt động sau:

- Dẫn HS vào khái niệm: giúp HS tiếp cận khái niệm, có thể thực hiệnđược bằng cách thông qua một ví dụ hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn,

- Hình thành khái niệm: giúp HS có được khái niệm, có thể thực hiệnđược bằng cách khái quát hóa,

- Củng cố khái niệm: Thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngônngữ Khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

- Bước đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

- Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

1.1.2.2 Dạy học định lý toán học

a Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý

Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bảncủa môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khảnăng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tưtưởng, phẩm chất và đạo đức

Việc dạy học các định lý toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:

- HS nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết cácvấn đề trong thực tiễn

- HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứngminh định lý là yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vựcToán học

- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểuchứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suynghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.

b Hai con đường dạy học định lý

Trong việc dạy học định lý toán học, người ta phân biệt hai con đường: con

có đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suyđoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con đường

có khâu suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước

Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ sau:

Tạo động cơ

Phát hiện định lí Suy luận lôgic dẫntới định lí

Các bước dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán:

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thựctiễn hoặc trong nội bộ Toán học

- Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thứcmang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa,khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến xét mối liên

hệ và phụ thuộc

- Chứng minh định lí dựa vào việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho HSthực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứngminh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng Tùy theo yêucầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một

số định lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông

- Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khigợi động cơ

- Củng cố định lí

Con đường có khâu suy đoán có các ưu điểm, nhược điểm sau:

Ưu điểm:

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh vàphát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn

- HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán vàchứng minh

- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp,trừu tượng hóa, khái quát hóa

- Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, pháthiện định lí mà HS có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức

độ nhất định Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.

 Con đường suy diễn bao gồm: tạo động cơ; suy luận logic dẫn tới định

lý; phát biểu định lý; củng cố định lý

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thựctiễn hoặc trong nội bộ Toán học