Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert

- Thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên và tổng không ngẫunhiên của các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trịtrong không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 9.46.01.06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS LÊ VĂN THÀNH

NGHỆ AN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khiđưa vào luận án Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực

và chưa từng được ai công bố trước đó

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hiền

Tác giả xin cảm ơn ThS Vũ Thị Ngọc Ánh và TS Võ Thị Hồng Vân vềnhững thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luậnán.

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm

và góp ý của GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS NguyễnTrung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Dương Xuân Giáp, PGS.TS PhanĐức Thành, PGS.TS Trần Xuân Sinh cùng các nhà khoa học và các đồngnghiệp trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng Tác giả xinchân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và PhòngĐào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điềukiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, các nghiên cứusinh, các thành viên trong nhóm seminar do PGS.TS Lê Văn Thành chủtrì về những góp ý, thảo luận bổ ích

Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơnchân thành và sâu sắc về sự động viên, chia sẻ đã dành cho tác giả trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và công tác

Nguyễn Thị Thanh Hiền

MỤC LỤC

1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm 111.2 Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 161.3 Hàm biến đổi chậm 23Chương 2 Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần

tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá

2.1 Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ 322.2 Luật yếu số lớn 43Chương 3 Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần

tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong

3.1 Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ 573.2 Luật yếu số lớn 71

Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 80

MỘT SỐ KÝ HIỆUTHƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N Tập hợp các số nguyên dương

(Ω, F ,P) Không gian xác suất đầy đủ

H Không gian Hilbert thực, khả ly

B(H) σ- đại số Borel của H

B Tập các chỉ số của hệ cơ sở trực chuẩn của H

log x Logarit cơ số 2 của số thực dương x

ln x Logarit tự nhiên của số thực dương x

a+ max{a, 0}, trong đó a ∈ R

EX Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hoặc phần tử ngẫu nhiên XVar(X) Phương sai của biến ngẫu nhiên X

Cov(X, Y ) Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y

I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A

h.c.c Hầu chắc chắn

Xn → XP Xn hội tụ theo xác suất đến X

Xn → XL2 Xn hội tụ theo trung bình cấp 2 đến X

|A| Lực lượng của tập hợp A

X(j) Tọa độ thứ j của phần tử ngẫu nhiên X

h·, ·i Tích vô hướng trong H

k.k Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trong H

kXk Chuẩn của phần tử ngẫu nhiên X

[x] Phần nguyên của số thực x

X = Yd Các phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối

lim inf An Giới hạn dưới của dãy các biến cố {An}

lim sup An Giới hạn trên của dãy các biến cố {An}

N (0, 1) Phân phối chuẩn tắc

N (µ, σ2) Phân phối chuẩn với các tham số µ, σ2

f (n) ∼ g(n) lim

n→∞

f (n)g(n) = 1, trong đó f (n)vàg(n)là các hàm số dương

tr i Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn

tr i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích

tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác Chính vì vậy, việc nghiêncứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.1.2 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọngkhi nghiên cứu về lý thuyết xác suất Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫunhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau Do đó, chúng

ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biếnngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như:phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết

âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence), Nhữngthông tin về phân phối, các đặc trưng, dáng điệu, của tổng các biến ngẫunhiên phụ thuộc (khi số các biến ngẫu nhiên đủ lớn) có rất nhiều ứng dụngtrong thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, toán tài chính,điều khiển tối ưu, Tùy vào từng cấu trúc phụ thuộc khác nhau mà chúng

ta cần có những kỹ thuật, công cụ khác nhau để giải quyết các bài toán vớicác cấu trúc phụ thuộc tương ứng

1.3 Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫnđến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển Một trong nhữnghướng tổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiênnhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị

trong các không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, khônggian Banach, không gian Hilbert, Khi nghiên cứu về luật số lớn và cácđịnh lý giới hạn, đã có rất nhiều tác giả thu được những kết quả tốt như:Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, NguyễnVăn Quảng, Nguyễn Trần Thuận,

1.4 Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụngtrong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hình hồi quyphi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu, Bài toán đánhgiá bình phương tối thiểu của mô hình hồi quy bội ngẫu nhiên được khởixướng trong bài báo năm 1978 bởi các tác giả Lai, Robbins và Wei [31]

Kể từ đó đến nay, mô hình này được kế thừa và tiếp tục phát triển trongcác mô hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn như Breton, Musiela xét choquá trình nửa martingale [8] và gần đây là công trình của Arie Preminger

và Giuseppe Storti xét cho quá trình nhiễu có xác suất đuôi rất lớn [2] Bàitoán mô hình hồi quy phi tham số cũng được đưa về tổng có trọng số cácbiến ngẫu nhiên

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:

“Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giátrị trong không gian Hilbert”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần tửngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãn luậtmạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ Cụ thể, chúng tôi nghiêncứu các nội dung sau:

- Nghiên cứu các bất đẳng thức và các tính chất liên quan đối với tổngcác phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert;

- Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi mộttheo tọa độ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian

- Thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên và tổng không ngẫunhiên của các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trịtrong không gian Hilbert;

- Thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert;

- Tìm các ví dụ và phản ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết;

- Nghiên cứu và đề xuất các điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ đốivới tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trongkhông gian Hilbert

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm:

- Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôimột đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert;

- Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội tụđầy đủ

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu chủ yếu của luận án là tính phụ thuộc trong lýthuyết xác suất, sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích các kết quả đã đạt được, từ đó phát triển các kỹ thuật, kếtquả đó vào những mô hình có các cấu trúc tương tự, hoặc các mô hình tổngquát hơn;

- Tổ chức seminar khoa học, tổ chức các buổi trao đổi trong nhóm nghiêncứu với các nhà khoa học trong và ngoài nước để thảo luận làm nảy sinhcác ý tưởng, kĩ thuật mới

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên

cứu về luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhậngiá trị trong không gian Hilbert.

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiêncứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và Thống

Khái niệm phụ thuộc âm đôi một (pairwise negative dependence), phụthuộc âm (negative dependence) và khái niệm liên kết âm (negative associa-tion) của các biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu từ những năm 1966, 1981,

1983 tương ứng bởi Lehmann [33], Ebrahimi và Ghosh [17] và bởi Joag-Dev

và Proschan [29] Trong [29], Joag-Dev và Proschan đã chỉ ra rằng, nhiềuphân phối quan trọng trong thống kê như phân phối đa thức, phân phốinhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn tương quan

âm, mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại, có tính chất liên kết âm Joag-Dev

và Proschan [29] cũng chứng minh được nhiều tính chất quan trọng của cácbiến ngẫu nhiên liên kết âm Từ đó đến nay, khái niệm liên kết âm được sựquan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kêtoán học Các ứng dụng của sự phụ thuộc âm và liên kết âm trong vật lý,

toán học, cũng như các hướng phát triển của nó đã được nghiên cứu và đềxuất bởi Pemantle [45], Borcea, Br¨andén và Liggett [10],

Năm 2000, Shao [51] đã chứng minh được rằng, các bất đẳng thức quantrọng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức Rosenthal, bấtđẳng thức Kolmogorov, vẫn còn đúng với các biến ngẫu nhiên liên kết âm

Có nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫu nhiên liênkết âm Khái niệm liên kết đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian Hilbert lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Burton, Dabrowski

và Dehling [11] vào năm 1986 Trong công trình đó, Burton, Dabrowski vàDehling đã nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm và sự xấp xỉ mạnh.Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giátrị trong không gian Hilbert được nghiên cứu bởi Ko, Kim và Han [30] chotrường hợp không cùng phân phối và bởi Thành [59] cho trường hợp cùngphân phối Miao [38] đã chứng minh được bất đẳng thức Hajek-Renyi chocác phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.Sau đó, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã giới thiệu khái niệm các phần tửngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị trong không gian Hilbert

và nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ đối với loại phụ thuộc này Gần đây nhất,Huấn [27] đã hoàn thiện và bổ sung các kết quả trong [26] Tổng có trọng

số và mô hình hồi quy phi tham số trong trường hợp nhiễu phụ thuộc cũngđược nghiên cứu bởi Thành và Yin [60] Tuy nhiên, các định lý giới hạnkhác như luật yếu số lớn, sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số, của cácphần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert vẫnchưa được quan tâm nghiên cứu Đặc biệt, mặc dù khái niệm liên kết âmcủa các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert đã đượcgiới thiệu và nghiên cứu từ năm 2009, nhưng sự mở rộng tương tự cho kháiniệm phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một vẫn chưa được đề cập Đây

là các vấn đề mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong luận án này

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần một số kí hiệu thường dùng trong luận án; mở đầu; kếtluận chung và kiến nghị; danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận

án và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong

ba chương

Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sởcho những nghiên cứu tiếp theo của luận án Mục 1.1 trình bày một số kháiniệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âmđôi một Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục 1.2, chúng tôi trình bàykhái niệm phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trongkhông gian Hilbert và một số kiến thức liên quan Đặc biệt trong mục này,chúng tôi đưa ra khái niệm các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa

độ và các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giátrị trong không gian Hilbert Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh một sốkết quả về bất đẳng thức cực đại đối với phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âmđôi một theo tọa độ và phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Cuốichương, ở Mục 1.3, chúng tôi trình bày khái niệm về hàm biến đổi chínhquy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng Trong mục này, chúngtôi đã thiết lập và chứng minh các bổ đề cần thiết dùng để chứng minh cáckết quả nghiên cứu của các chương sau Các kết quả chính của Chương 1

là Định lý 1.2.10, Định lý 1.2.11, Định lý 1.2.12, Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9

và Mệnh đề 1.3.10

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tử ngẫu nhiênphụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày các kết quả về luật mạnh số lớn và sựhội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theotọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert Chúng tôi cũng đưa ra đượcmột ví dụ chứng tỏ rằng, dãy {Xn, n ≥ 1} thỏa mãn các điều kiện củaĐịnh lý 2.1.1 nên luật mạnh số lớn (2.1.3) thỏa mãn Tuy nhiên, nó khôngthỏa mãn điều kiện trong Định lý 1A của Móricz và Taylor [43] nên chúng

ta không thể áp dụng định lý này để nhận được sự hội tụ đầy đủ tươngứng Trong Mục 2.2, chúng tôi trình bày các kết quả về luật yếu số lớn củadãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trịtrong không gian Hilbert và đưa ra hai ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.1.Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.5, Định lý2.2.1 và Định lý 2.2.4.

Chương 3 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tửngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng

số và luật mạnh số lớn của dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa

độ nhận giá trị trong không gian Hilbert Một số kết quả của phần nàynghiên cứu về tổng có trọng số dạng

n

P

i=1

aniXi, trong đó {ani, n ≥ 1, i ≥ 1}

là mảng các hằng số, {Xi, i ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết

âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert Dạng tổng có trọng

số này có ứng dụng trong một số mô hình thống kê như mô hình hồi quyphi tham số, mô hình ước lượng bình phương tối thiểu, Cuối cùng, Mục3.2 trình bày các kết quả nghiên cứu về luật yếu số lớn đối với các phần tửngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert Các kết quảchính của Chương 3 là Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.6 và Định lý 3.2.1

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Hội nghị toàn quốclần thứ 5 “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đạihọc Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015); Hội nghị Toán học Miền Trung -Tây Nguyên lần thứ 2 (Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017); Hội thảo khoa học

“Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay”(Đại học Vinh, 19/09/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê vàToán ứng dụng, Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh (từ năm

2015 đến năm 2019) Phần lớn các kết quả này đã được công bố trên cáctạp chí Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics vàJournal of Theoretical Probability

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về phụ thuộc âm,phụ thuộc âm đôi một, liên kết âm của các biến ngẫu nhiên xác định trênkhông gian xác suất (Ω, F ,P) và một số tính chất của dãy các biến ngẫunhiên thỏa mãn các cấu trúc phụ thuộc này để làm công cụ nghiên cứu chocác chương sau Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm liên kết âm theotọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độcủa các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert Trongchương này, chúng tôi đã chứng minh được một số bất đẳng thức cực đạicho dãy các phần tử ngẫu nhiên như: bất đẳng thức Hájek - Rényi, bấtđẳng thức Rademacher - Menshov, Các bất đẳng thức này đóng vai trò

“chìa khóa” trong việc thiết lập luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ và một sốđịnh lý giới hạn khác cho dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theotọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gianHilbert Phương pháp chứng minh các bất đẳng thức này dựa vào đẳngthức Parseval trong không gian Hilbert và các bất đẳng thức đã có đối vớicác biến ngẫu nhiên liên kết âm (hoặc phụ thuộc âm đôi một) nhận giátrị thực Cuối chương, chúng tôi trình bày các khái niệm về hàm biến đổichính quy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng

Các khái niệm và tính chất trong chương này chủ yếu được tham khảo

từ các tài liệu [1], [4], [17], [23], [26], [29] và [33]

1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm

Năm 1966, Lehmann [33] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc âm như sau.Định nghĩa 1.1.1 ([33]) Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụthuộc âm nếu với mọi x, y ∈ R ta có

P(X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P(X ≤ x)P(Y ≤ y) (1.1.1)Nhận xét 1.1.2 i) Định nghĩa trên có thể phát biểu tương đương nhưsau: Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi

x, y ∈ R ta có

P(X > x, Y > y) ≤ P(X > x)P(Y > y) (1.1.2)

ii) Trong (1.1.1) chúng ta có thể thay thế điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởiđiều kiện (X < x, Y < y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điềukiện (X < x, Y ≤ y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều kiện

Định nghĩa 1.1.3 ([33]) Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được gọi

là phụ thuộc âm đôi một nếu với mọi i 6= j ta có Xi và Xj phụ thuộc âm.Năm 1981, Ebrahimi và Ghosh [17] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc

âm cho n biến ngẫu nhiên như sau

Định nghĩa 1.1.4 ([17]) Họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, , Xn} đượcgọi là

i) phụ thuộc âm dưới, nếu với mọi x1, x2, , xn ∈ R, ta có

P(X1 ≤ x1, , Xn ≤ xn) ≤ P(X1 ≤ x1) P(Xn ≤ xn), (1.1.3)

ii) phụ thuộc âm trên, nếu với mọi x1, x2, , xn ∈ R, ta có

P(X1 > x1, , Xn > xn) ≤ P(X1 > x1) P(Xn > xn), (1.1.4)

iii) phụ thuộc âm, nếu thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (1.1.3) và (1.1.4)

Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếuvới mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X1, X2, , Xn} là phụthuộc âm

Nhận xét 1.1.5 i) Với n > 2 thì điều kiện (1.1.3) và (1.1.4) là khôngtương đương Ta có thể xét ví dụ sau đây

Giả sửX1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên nhận các giá trị (0,1,1), (1,0,1),(1,1,0), (0,0,0) với xác suất tương ứng bằng 1

Xét không gian xác suất (Ω, F ,P), với Ω = {1, 2, 3, 4} và P(A) = |A|

Bổ đề 1.1.7 ([17]) Nếu {X1, X2, , Xn} là họ các biến ngẫu nhiên phụthuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) và f1, f2, , fn là các hàmcùng giảm hoặc cùng tăng thì {f1(X1), f2(X2), , fn(Xn)} là họ các biếnngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một).

Từ Bổ đề 1.1.7, ta dễ dàng thu được các hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1.8 Giả sử X vàY là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Khi đó:

i) Nếu X và Y khả tích thì X −EX và Y −EY là hai biến ngẫu nhiên phụthuộc âm;

ii) X+ và Y+ là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm;

iii) X− và Y− là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm

Hệ quả 1.1.9 Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và a, b, c, d

là các số thực thỏa mãn a < b, c < d Đặt

X1 = aI(X < a) + XI(a ≤ X ≤ b) + bI(X > b),

Y1 = cI(Y < c) + YI(c ≤ Y ≤ d) + dI(Y > d)

Khi đó, X1 và Y1 là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm

Năm 2006, Li, Rosalsky và Volodin [34] đã thu được kết quả sau

Bổ đề 1.1.10 ([34]) Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Định lý 1.1.11 ([34]) Giả sử {Fn, n ≥ 1} là một dãy các hàm phân phốicho trước Khi đó, tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một

{Xn, n ≥ 1} sao cho Fn là hàm phân phối của Xn với mọi n ≥ 1 Hơn

nữa, nếu {Fn, n ≥ 1} là dãy các hàm liên tục thì tồn tại dãy các biến ngẫunhiên phụ thuộc âm đôi một {Xn, n ≥ 1} sao cho {Xn, n ≥ k} không làdãy các biến ngẫu nhiên độc lập với mọi k ≥ 1.

Năm 1981, Alam và Saxena [1] đã đưa ra một khái niệm phụ thuộc mạnhhơn tính phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một, đó là khái niệm liên kết

âm của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.12 ([1]) Họ các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} đượcgọi là liên kết âm nếu

Cov f (Xi, i ∈ A), g(Xj, j ∈ B)
≤ 0, (1.1.5)với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, , n}và với mọi hàmkhông giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho Covarian ở

công thức (1.1.5) tồn tại, trong đó |A| là kí hiệu lực lượng của tập A

Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được gọi là liên kết âm nếuvới mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} là liên kếtâm

Nhận xét 1.1.13 i) Rõ ràng (1.1.5) luôn đúng nếu họ các biến ngẫu nhiên

{X1, , Xn} độc lập và khi đó dấu đẳng thức xảy ra Vì vậy, ta có thểphát biểu rằng một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập là tập các biếnngẫu nhiên liên kết âm

ii) Có nhiều họ các biến ngẫu nhiên thỏa mãn tính liên kết âm, ví dụ như

(X1, , Xn) là vector ngẫu nhiên phân phối chuẩn n-chiều và tương quan

âm thì {X1, , Xn} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm

iii) Một tập hợp con của tập các biến ngẫu nhiên liên kết âm là tập cácbiến ngẫu nhiên liên kết âm

Năm 1983, Joag-Dev và Proschan [29] đã chỉ ra rằng, trong trường hợp

n = 2, khái niệm phụ thuộc âm và liên kết âm là đồng nhất

Mệnh đề 1.1.14 ([29]) Hai biến ngẫu nhiên X1, X2 là liên kết âm khi vàchỉ khi chúng phụ thuộc âm

Đồng thời, cũng trong tài liệu [29], Joag-Dev và Proschan đã đưa ra một

số tính chất quan trọng về biến ngẫu nhiên liên kết âm như sau

Mệnh đề 1.1.15 ([29]) Giả sử {X1, X2, , Xn} là dãy các biến ngẫunhiên liên kết âm, A1, A2, , Am là các tập con rời nhau của tập {1, 2, , n}

và {fi : R|Ai | → R, 1 ≤ i ≤ m} là dãy các hàm số không âm, không giảmtheo từng tọa độ Khi đó, ta có

Từ Mệnh đề 1.1.15 ta suy ra hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1.16 Nếu X1, X2, , Xn (n ≥ 2) là các biến ngẫu nhiên không

âm, liên kết âm thì

E(X1X2 Xn) ≤ EX1EX2 .EXn

Mệnh đề 1.1.17 ([29]) Giả sử {X1, X2, , Xn} là dãy các biến ngẫunhiên liên kết âm, A1, A2 là các tập con rời nhau của tập {1, 2, , n} vàvới mọi x1, x2, , xn ∈ R Khi đó, ta có

P(Xi ≤ xi, i = 1, n) ≤ P(Xi ≤ xi, i ∈ A1)P(Xi ≤ xi, i ∈ A2)

và

P(Xi > xi, i = 1, n) ≤ P(Xi > xi, i ∈ A1)P(Xi > xi, i ∈ A2)

Nhận xét 1.1.18 Từ Mệnh đề 1.1.17 ta thấy rằng, nếu X1, X2, , Xn làcác biến ngẫu nhiên liên kết âm thì X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiênphụ thuộc âm Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng Chúng ta

có thể tham khảo phản ví dụ trong [29]

Kết hợp Nhận xét 1.1.18 và Bổ đề 1.1.10, ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 1.1.19 Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên liên kết âm,khả tích cấp 2 thì

Mệnh đề sau trình bày một kết quả tương tự như Bổ đề 1.1.7.

Mệnh đề 1.1.20 ([29]) Giả sử {Xi, i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiênliên kết âm, {Ai, i ≥ 1} là dãy các tập con rời nhau của tập {1, 2, } và

{fi : R|Ai | → R, i ≥ 1} là dãy các hàm không giảm theo tọa độ Khi đó,

{fi(Xj, j ∈ Ai), i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm

Cuối mục này, chúng tôi trình bày một số bổ đề cơ bản thường dùngtrong luận án Sau đây là bổ đề Borel-Cantelli dạng tổng quát Chúng ta

có thể tham khảo cách chứng minh trong [47]

Bổ đề 1.1.21 ([47]) Cho không gian xác suất (Ω, F ,P) và {An, n ≥ 1}

là dãy các biến cố Khi đó

Năm 2001, Zhang [62] đã phát biểu khái niệm liên kết âm cho các phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd như sau

Định nghĩa 1.2.1 ([62]) Họ các phần tử ngẫu nhiên {X1, X2, , Xn}

nhận giá trị trong Rd được gọi là liên kết âm nếu công thức (1.1.5) thỏamãn với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, , n} và với mọihàm thực không giảm theo tọa độ f trên R|A|d và g trên R|B|d

Họ vô hạn các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} nhận giá trị trong Rdđược gọi là liên kết âm nếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các phần tử ngẫunhiên {X1, X2, , Xn} là liên kết âm

Trong toàn bộ luận án, chúng tôi ký hiệu H là không gian Hilbert thực,khả ly với hệ cơ sở trực chuẩn {ej, j ∈ B}, tích vô hướng h·, ·i và chuẩn

k · k Ký hiệu K được hiểu là hằng số dương và không nhất thiết giống nhautrong mỗi lần xuất hiện

Ko, Kim và Han [30] tiếp tục mở rộng khái niệm liên kết âm cho dãy cácphần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực, khả ly.Định nghĩa 1.2.2 ([30]) Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} nhậngiá trị trong H được gọi là liên kết âm nếu mỗi d ≥ 1, dãy các phần tửngẫu nhiên {(hXi, e1i, , hXi, edi), i ≥ 1} nhận giá trị trong Rd là liên kếtâm

Năm 2014, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã mở rộng khái niệm của Ko,Kim và Han [30] sang liên kết âm theo tọa độ của dãy các phần tử ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert như sau

Định nghĩa 1.2.3 ([26]) Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} nhậngiá trị trong H được gọi là liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j ≥ 1, dãycác biến ngẫu nhiên {hXi, eji, i ≥ 1} là liên kết âm

Nhận xét 1.2.4 Một dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giátrị trong không gian Hilbert thì liên kết âm theo tọa độ Tuy nhiên, điềungược lại nói chung không đúng Chúng ta có thể tham khảo phản ví dụtrong [26]

Dựa vào ý tưởng của Huấn, Quảng và Thuận [26], chúng tôi xây dựngkhái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độcủa dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert nhưsau.

Định nghĩa 1.2.5 Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} nhận giátrị trong H được gọi là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ ) nếu với mỗi j ≥ 1, dãy các biến ngẫu nhiên

{hXi, eji, i ≥ 1} là phụ thuộc âm (tương ứng phụ thuộc âm đôi một).Một dãy các phần tử ngẫu nhiên{Xn, n ≥ 1} nhận giá trị trong H đượcgọi là phụ thuộc âm theo tọa độ và theo khối (tương ứng phụ thuộc âm đôimột theo tọa độ và theo khối) nếu với mọi k ≥ 0, các phần tử ngẫu nhiên

{Xi, 2k ≤ i < 2k+1} là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ) Khái niệm này là một sự mở rộng của khái niệmđộc lập theo khối Khái niệm độc lập theo khối, m-phụ thuộc theo khối và

sự hội tụ hầu chắc chắn đối với dãy các biến ngẫu nhiên dưới cấu trúc phụthuộc này có thể xem trong Móricz [41], Quảng và Thành [49], Stadtm¨uller

và Thành [54], Rosalsky và Thành [50], Thành [57, 58]

Chú ý 1.2.6 Khi chúng ta nói dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} làliên kết âm theo tọa độ (phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi mộttheo tọa độ), chúng ta hiểu rằng dãy các phần tử ngẫu nhiên này là liênkết âm theo tọa độ (phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theotọa độ) tương ứng với hệ cơ sở trực chuẩn {ej, j ∈ B} của H

Năm 2012, Miao [38] đã khái quát bất đẳng thức Kolmogorov như sau

Bổ đề 1.2.7 ([38]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiênliên kết âm, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn EkXnk2 < ∞ vớimọi n ≥ 1 và {bn, n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số dương Khi đó,với mọi ε > 0, ta có

Hơn nữa, với mọi m < n, ta có

Bổ đề 1.2.8 ([26]) Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liênkết âm theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và EkXnk2 < ∞, n ≥ 1.Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

Bổ đề 1.2.9 ([42]) Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhậngiá trị trong H thỏa mãn điều kiện

Tiếp theo, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức Rademacher - Menshov

và bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert

Định lý 1.2.10 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn

EkXnk2 < ∞ với mọi n ≥ 1 Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

Hơn nữa, với mọi 1 ≤ m ≤ n, ta có

Vậy bất đẳng thức (1.2.9) được chứng minh.

Bằng kỹ thuật chứng minh tương tự như Hájek và Rényi [21], chúng tôicũng thu được bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng các phần tử ngẫunhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert nhưsau

Định lý 1.2.12 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết

âm theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn EkXnk2 < ∞

với mọi n ≥ 1 và {bn, n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số dương Khi

Hơn nữa, với mọi 1 ≤ m ≤ n,

ρ

Một hàm biến đổi chính quy với chỉ số biến đổi chính quy ρ = 0 được gọi

là hàm biến đổi chậm

Chúng ta có thể chỉ ra một số ví dụ về hàm biến đổi chính quy, như: xρ,

xρlog x, xρlog log x, xρ log x

log log x, .

Chú ý 1.3.2 Trong [53, Trang 2], Seneta đã chứng minh được rằng R(·)

là hàm biến đổi chính quy, với chỉ số biến đổi chính quy ρ khi và chỉ khi nóviết dưới dạng

trong đó L(·) là hàm biến đổi chậm

Về hàm biến đổi chính quy và vai trò quan trọng của chúng trong xácsuất chúng ta có thể tham khảo Seneta [53], Bingham, Goldie và Teugels[6] và bài báo gần đây của Jessen và Mikosch [28]

Định lý sau đây (có thể xem trong [6, Định lý 1.3.1]) là một kết quả cơbản trong lý thuyết hàm biến đổi chậm Định lý này được gọi là định lýbiểu diễn

Định lý 1.3.3 ([6]) Một hàm L(·) đo được, dương xác định trên [A, ∞),với A > 0, là hàm biến đổi chậm khi và chỉ khi tồn tại B ≥ A sao cho

L(x) = c(x) exp

Z x B

(u)duu



với mọi x ≥ B, trong đó c(·) là hàm đo được, bị chặn, dương, xác định trên

[B, ∞) thỏa mãn lim

x→∞c(x) = c ∈ (0, ∞) và (·) là hàm liên tục, xác địnhtrên [B, ∞) thỏa mãn lim

x→∞(x) = 0.Seneta [52] (có thể xem thêm ở [6, Bổ đề 1.3.2]) đã chứng minh được rằngnếu L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞) với A > 0, thì tồn tại

B ≥ Asao cho L(x)bị chặn trên mỗi khoảng đóng hữu hạn[a, b] ⊂ [B, ∞).Giả sử L(·) là hàm biến đổi chậm Khi đó, theo [6, Định lý 1.5.13], tồntại duy nhất hàm biến đổi chậm eL(·) thỏa mãn

lim

x→∞L(x)L xL(x)e
= 1 và lim

x→∞L(x)L xe L(x)e
= 1 (1.3.3)Hàm eL được gọi là hàm liên hợp Bruijn của L và L,Le
được gọi là cặpliên hợp (hoặc cặp liên hợp biến đổi chậm) (xem [6, trang 29]) Cũng theo[6, Mệnh đề 1.5.14], nếu L,Le
là cặp liên hợp thì với a, b, α > 0, ta có

L(ax),L(bx)e
, aL(x), a−1L(x)e
,  L(xα)
1/α, L(xe α)
1/αđều là các cặpliên hợp Bojani´c và Seneta [9] (hoặc xem Định lý 2.3.3 và Hệ quả 2.3.4 trong[6]) đã chứng minh được rằng nếu L(·) là hàm biến đổi chậm thỏa mãn

lim

x→∞



L(λ0x)L(x) − 1

Kể từ đây trở về sau, đối với hàm biến đổi chậm L(·) xác định trên

[A, ∞) với A > 0, chúng tôi ký hiệu liên hợp Bruijn của L(·) là eL(·).Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử eL(·) cũng xác định trên

[A, ∞), đồng thời cả L(x) và eL(x) đều bị chặn trên các khoảng đóng hữuhạn Bổ đề sau đây được suy ra từ Định lý 1.5.12 và Mệnh đề 1.5.15 trong[6]

Bổ đề 1.3.4 ([6]) Cho α, β > 0 và L(·) là hàm biến đổi chậm Đặt

có thể xem Galambos và Seneta [19, trang 111]

Bổ đề 1.3.5 ([19]) Với bất kỳ hàm biến đổi chậm L(·) xác định trên

[A, ∞), với A > 0, đều tồn tại hàm biến đổi chậm khả vi L1(·) xác địnhtrên [B, ∞), với B ≥ A, sao cho

i) Tồn tại B ≥ A sao cho xpL(x) là hàm tăng trên [B, ∞), x−pL(x) làhàm giảm trên [B, ∞) và lim

Chứng minh i) Đặt f (x) = xpL(x), x ≥ A Ta có lim

x→∞f (x) = ∞.Mặt khác, với x ≥ A, ta có

f0(x) = pxp−1L(x) + xpL0(x) = xp−1L(x)



p + xL

0(x)L(x)



Do (1.3.7) nên tồn tại số B ≥ A sao cho

xL0(x)L(x)

c(x)c(x + λ)exp



−

Z x+λ x

(u)duu

... VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁCPHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘTTHEO TỌA ĐỘ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN< /p>

HILBERT

Nội dung chương kết luật số lớn hội

tụ đầy đủ dãy phần. .. class="page_container" data-page="40">

Định lý hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần< /p>

tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị khônggian Hilbert Cho X phần tử ngẫu nhiên H Với j ∈ B, ký hiệu

X(j)...

- Xây dựng khái niệm mới, khái niệm phần tử ngẫu nhiên ph? ?thuộc âm theo tọa độ, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theotọa độ nhận giá trị không gian Hilbert;