Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert tt

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âmđôi một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ

NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 9.46.01.06

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Thành

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường

tại Trường Đại học VinhVào hồi ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin-Thư viện Nguyễn Thúc Hào

thuộc Trường Đại học Vinh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳngđịnh trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phốihội tụ hầu chắc chắn hoặc hội tụ theo xác suất về kỳ vọng của các biếnngẫu nhiên đó Tuy nhiên, nó vẫn luôn là vấn đề thời sự, được nhiều nhàtoán học quan tâm, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê,toán kinh tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác Chính vì vậy,việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ýnghĩa thực tiễn

1.2 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọngkhi nghiên cứu về lý thuyết xác suất Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫunhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau Do đó, chúng

ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biếnngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như:phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết

âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence),

1.3 Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đếnnhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển Một trong những hướngtổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhậngiá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trongcác không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, không gian

Banach, không gian Hilbert,

1.4 Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứngdụng trong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hìnhhồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu, Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận

án của mình là:

“Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhậngiá trị trong không gian Hilbert”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần

tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãnluật mạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm:

- Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âmđôi một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gianHilbert;

- Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội

tụ đầy đủ

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu chủ yếu của luận án là tính phụ thuộc trong lýthuyết xác suất, sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích các kết quả đã đạt được, từ đó phát triển các kỹ thuật,kết quả đó vào những mô hình có các cấu trúc tương tự, hoặc các môhình tổng quát hơn;

- Tổ chức seminar khoa học, tổ chức các buổi trao đổi trong nhómnghiên cứu với các nhà khoa học trong và ngoài nước để thảo luận làmnảy sinh các ý tưởng, kĩ thuật mới.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướngnghiên cứu về luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ đối với các phần tử ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiêncứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất vàThống kê toán học

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

Khái niệm phụ thuộc âm đôi một (pairwise negative dependence),phụ thuộc âm (negative dependence) và khái niệm liên kết âm (negativeassociation) của các biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu từ những năm

1966, 1981, 1983 tương ứng bởi Lehmann, Ebrahimi và Ghosh và bởiJoag-Dev và Proschan

Năm 2000, Shao đã chứng minh được rằng, các bất đẳng thức quantrọng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức Rosenthal,bất đẳng thức Kolmogorov, vẫn còn đúng với các biến ngẫu nhiên liênkết âm Có nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫunhiên liên kết âm Khái niệm liên kết đối với các phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian Hilbert lần đầu tiên được nghiên cứu bởiBurton, Dabrowski và Dehling vào năm 1986

Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhậngiá trị trong không gian Hilbert được nghiên cứu bởi Ko, Kim và Han

cho trường hợp không cùng phân phối và bởi Thành cho trường hợp cùngphân phối Miao đã chứng minh được bất đẳng thức Hajek-Renyi cho cácphần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.Sau đó, Huấn, Quảng và Thuận đã giới thiệu khái niệm các phần tử ngẫunhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị trong không gian Hilbert vànghiên cứu sự hội tụ đầy đủ đối với loại phụ thuộc này Gần đây nhất,Huấn đã hoàn thiện và bổ sung các kết quả trong Tổng có trọng số và môhình hồi quy phi tham số trong trường hợp nhiễu phụ thuộc cũng đượcnghiên cứu bởi Thành và Yin.

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liênquan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong bachương

Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ

sở cho những nghiên cứu tiếp theo của luận án

Chương 2 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về luật sốlớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âmđôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert

Chương 3 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về luật sốlớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theotọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tínhchất cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một,liên kết âm xác định trên không gian xác suất(Ω; F ;P) Tiếp theo, chúngtôi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên kết âm theotọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độcủa các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert Cuốichương, chúng tôi trình bày các khái niệm về hàm biến đổi chính quy,hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng

1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên

iii) phụ thuộc âm, nếu thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (1.1) và (1.2).

Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếuvới mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X1, X2, , Xn} là phụthuộc âm

Năm 1981, Alam và Saxena đã đưa ra một khái niệm phụ thuộc mạnhhơn tính phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một, đó là khái niệm liênkết âm của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.2 Họ các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} được gọi làliên kết âm nếu

Cov f (Xi, i ∈ A), g(Xj, j ∈ B)
≤ 0, (1.3)với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, , n} và với mọihàm không giảm theo tọa độf : R|A| →R, g : R|B| →R sao cho Covarian

ở công thức (1.3) tồn tại, trong đó |A| là kí hiệu lực lượng của tập A

Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được gọi là liên kết âmnếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} làliên kết âm

1.2 Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu

nhiên phụ thuộc âm

Năm 2009, Ko, Kim và Han mở rộng khái niệm liên kết âm cho dãycác phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực, khảly

Định nghĩa 1.2.1 Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1}nhận giá trịtrong H được gọi là liên kết âm nếu mỗi d ≥ 1, dãy các phần tử ngẫunhiên {(hXi, e1i, , hXi, edi), i ≥ 1} nhận giá trị trong Rd là liên kếtâm

Năm 2014, Huấn, Quảng và Thuận đã mở rộng khái niệm của Ko,Kim và Han sang liên kết âm theo tọa độ của dãy các phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian Hilbert như sau.

Định nghĩa 1.2.2 Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1}nhận giá trịtrong H được gọi là liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j ≥ 1, dãy cácbiến ngẫu nhiên {hXi, eji, i ≥ 1} là liên kết âm

Dựa vào ý tưởng của Huấn, Quảng và Thuận, chúng tôi xây dựng kháiniệm phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ củadãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert nhưsau

Định nghĩa 1.2.3 Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} nhận giátrị trong H được gọi là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ) nếu với mỗi j ≥ 1, dãy các biến ngẫu nhiên

{hXi, eji, i ≥ 1} là phụ thuộc âm (tương ứng phụ thuộc âm đôi một)

Tiếp theo, chúng tôi trình bày bất đẳng thức Rademacher - Menshov

và bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.Định lý 1.2.4 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏamãn EkXnk2 < ∞ với mọi n ≥ 1 Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

Định lý 1.2.5 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏamãn EkXnk2 < ∞ với mọi n ≥ 1 và {bn, n ≥ 1} là dãy không giảm cáchằng số dương Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

i) Tồn tại B ≥ A sao cho xpL(x) là hàm tăng trên [B, ∞), x−pL(x) làhàm giảm trên [B, ∞) và lim

Từ Bổ đề 1.3.2, chúng tôi thu được kết quả sau đây:

Bổ đề 1.3.3 Giả sử p > 1, q ∈ R và L(x) là hàm biến đổi chậm khả vi,xác định trên [A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho

x1/αL(xe 1/α) là các hàm tăng trên [A, ∞) Khi đó

E(|X|αLα(|X| + A)) < ∞ khi và chỉ khi X

n≥A α

P(|X| > bn) < ∞ (1.12)

trong đó bn = n1/αL(ne 1/α), n ≥ Aα

Kết luận của chương 1

Trong chương này, luận án đã đạt được những nội dung sau:

- Trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm

và một số tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm;

- Trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên liên kết âm vàmột số tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên liên kết âm;

- Trình bày các khái niệm cơ bản về phần tử ngẫu nhiên liên kết âm,phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gianHilbert và một số tính chất liên quan đến phần tử ngẫu nhiên liên kết

âm, phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong khônggian Hilbert;

- Xây dựng khái niệm mới, đó là khái niệm các phần tử ngẫu nhiênphụ thuộc âm theo tọa độ, các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi mộttheo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert;

- Chứng minh được một số bất đẳng thức cực đại đối với tổng cácphần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ, liên kết âm theotọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert;

- Trình bày một số khái niệm cơ bản và một số tính chất liên quanđến hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm Thiết lập và chứng minhchi tiết một số kết quả về hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm

CHƯƠNG 2

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁCPHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘTTHEO TỌA ĐỘ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luật

số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âmđôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert

2.1 Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

Trong mục này, chúng tôi trình bày luật mạnh số lớn và định lý hội

tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theotọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert Định lý đầu tiên chính làluật mạnh số lớn Rademacher - Menshov cho dãy các phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian Hilbert

Định lý 2.1.1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên kỳvọng 0, nhận giá trị trong H sao cho với mọi k ≥ 0, các phần tử ngẫunhiên {Xi, 2k ≤ i < 2k+1} là phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ Giả sử

{bn, n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số dương thỏa mãn

ký hiệu X(j) là tọa độ thứ j của X, tức là X(j) = hX, eji Khi đó, ta cóthể viết

Hệ quả 2.1.3 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trịtrong H và 1 ≤ p < 2 Khi đó, nếu (2.5) thỏa mãn thì với mọi ε > 0, tacó

Hệ quả 2.1.4 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trịtrong H và 1 ≤ p < 2 Khi đó, nếu (2.5) thỏa mãn thì

1(n log2n)1/p

Định lý sau đây, chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn của dãy các phần

tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong khônggian Hilbert

Định lý 2.2.1 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụthuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong H và {bn, n ≥ 1} là dãycác hằng số dương Với n ≥ 1, k ≥ 1, j ∈ B, đặt

Ynk(j) = −bnIXk(j) < −bn+ Xk(j)I|Xk(j)| ≤ bn+ bnIXk(j) > bn,

Ynk = X

j∈B

Ynk(j)ej

Định lý 2.2.2 Giả sử 0 < p < 2, L(x) là hàm biến đổi chậm, khả vi,xác định trên [A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho

Hệ quả 2.2.3 Giả sử L(x) là hàm biến đổi chậm, khả vi, xác định trên

[A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho thỏa mãn điều kiện (2.11) vàL(x) ≥ K

trên [A, ∞) Giả sử{Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, nhận giá trị trong H thỏa mãn

Kết luận của chương 2

Trong Chương 2 của luận án, một số luật số lớn và định lý dạng Baum

- Katz về sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc

âm đôi một theo tọa độ đã được thiết lập Để chứng minh luật mạnh sốlớn và định lý dạng Baum - Katz về hội tụ đầy đủ, chúng ta thường phải

sử dụng một công cụ rất quan trọng đó là bất đẳng thức cực đại Tuynhiên, đối với các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ,

bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov không còn đúng nữa Thay vào

đó, chúng tôi phải chứng minh bất đẳng thức cực đại dạng Rademacher

- Mensov cho cấu trúc phụ thuộc này Phương pháp chứng minh luật sốlớn sử dụng trong Chương 2 là đánh giá tổng riêng của các phần tử ngẫunhiên trong từng khối dạng [2k, 2k+1), và sau đó áp dụng phương phápdãy con Cách tiếp cận này cho phép chúng tôi xét dãy các phần tử ngẫunhiên chỉ phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ trong từng khối Đối với luậtyếu số lớn, chúng tôi tổng quát hóa kết quả về luật yếu số lớn Feller bằngcách xét dãy hằng số chuẩn hóa bn = nαL(n), trong đó L(n) là hàm biếnđổi chậm Để đạt được kết quả này, chúng tôi cần chứng minh một sốtính chất của hàm biến đổi chậm, thể hiện ở Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9 vàMệnh đề 1.3.10 Ngoài ra, Chương 2 cũng trình bày một số ví dụ minhhọa tính tối ưu của các điều kiện đặt ra trong giả thiết của các định lý(Ví dụ 2.1.9, 2.2.2 và 2.2.3)

CHƯƠNG 3

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁCPHẦN TỬ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘNHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định lý giới hạn dạng luật

số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âmtheo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert

3.1 Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

Định lý sau đây chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng cótrọng số của các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phânphối nhận giá trị trong không gian Hilbert

Định lý 3.1.1 Giả sử 1 ≤ p < 2, αp ≥ 1, {X, Xn, n ≥ 1} là dãy cácphần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối nhận giá trịtrong H và L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞), với A > 0.Trong trường hợp p = 1, ta giả sử rằng L(x) ≥ 1 và là hàm tăng trên

[A, ∞) Đặt bn = nαL(ne α), n ≥ A1/α Giả sử {ani, n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} làmảng các hằng số thỏa mãn

n

X

i=1