Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hệ tọa độ OXY

● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1, 2, 3 đồng quy: Ta tìm giao điểm của hai trong ba đường trên, sau đó tìm điều kiện để điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại.. CÁC YẾU TỐ

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

a x b y c

a x b y c

● Nếu hệ có một nghiệm x y0; 0 thì 1 cắt 2 tại điểm M0x y0; 0

● Nếu hệ có vô số nghiệm thì 1 trùng với 2

● Nếu hệ vô nghiệm thì 1 và 2 không có điểm chung, hay 1 song song với 2

● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1, 2, 3 đồng quy: Ta tìm giao điểm của hai trong

ba đường trên, sau đó tìm điều kiện để điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại

2.1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (không chứa tham số)

 đi qua điểm B2; 8  và có một vec tơ chỉ phương là u8   2; 4

Ta thấy u u cùng phương và điểm 7, 8 B2; 8  thuộc đường thẳng d Vậy 7 d7 d8

2 3

x t d

Cho hai đường thẳng 1: 3x  y 3 0, 2:x  y 2 0 và điểm M(0; 2)

a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt 1 và 2 lần lượt tại A và B sao cho B là

trung điểm của đoạn thẳng AM

Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là u2; 3 

Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ u2; 3  làm vectơ pháp tuyến nên

2.1.3 Bài tập luyện tâp:

A Song song B Trùng nhau

C Vuông góc nhau D Cắt nhau

A Song song B Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau

C Trùng nhau D Vuông góc với nhau

Lời giải Chọn B

 nên hai đường thẳng cắt nhau

Mặt khác 6.3    2  2 0 nên hai đường thẳng không vuông góc

A Hai đường thẳng song song với nhau

B Hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc

C Hai đường thẳng vuông góc nhau

D Hai đường thẳng trùng nhau

x y

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

  Vậy toạ độ giao điểm là 5; 2 

Ta có: AB  1; 2và CD  2; 4 cùng phương nên AB và CD không có giao điểm

phương trình đường thẳng  d đi qua giao điểm của  d , 1  d2 và song song với  d3

A 24x32y530 B 24x32y530

Tọa độ giao điểm M của  d và 1  d2 là nghiệm của hệ

x y

Tham số t ứng với giao điểm của d và d là nghiệm của phương trình

2 1 2 t    3 t 8 0 t1 Khi đó 3

2

x y

Đường thẳng d có 1 vectơ pháp tuyến là n1; 2 

Đường thẳng  đi qua điểm M1; 1  và  song song với d nên  nhận n1; 2 làm vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng  là x 1 2 y 1 0  x 2y 3 0

 có một vectơ chỉ phương u 3;1

Vì đường thẳng d vuông góc với  nên d có véctơ pháp tuyến n u  3;1

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3x 1 y  6 0 3x  y 3 0

A d và 1 d vuông góc với nhau 2

B d và 1 d song song với nhau 2

C d và 1 d trùng nhau với nhau 2

D d và 1 d cắt nhau và không vuông góc với nhau 2

Lời giải Chọn A

Vậy d và 1 d vuông góc với nhau 2

thẳng AB và CD

A A 1; 2 B B3; 2  C 0; 1  D 5; 5 

Lời giải Chọn A

 2; 2

AB  và CD  5;0

Phương trình tổng quát của AB và CD lần lượt là x  y 3 0 và y 2 0

 Toạ độ giao điểm của AB và CD là nghiệm hệ 3 0 1

A Song song B Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau

C Trùng nhau D Vuông góc với nhau

Lời giải Chọn A

2

11

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình

d x y  , d2: 5x2y 1 0 và d3:mx2m1y9m130 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm

2 2

vuông góc với nhau

a a Theo đề MOx6a12   0 a 2 Vậy a–2 là giá trị cần tìm

thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

x m t d

Dạng tổng quát của đường thẳng d x: 2y  m 2 0

Đường thẳng d và đoạn thẳng AB có điểm chung

B CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng

chứa cạnh đối diện gọi là đường cao

Tính chất: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm điểm này gọi là trực tâm

Đường trung tuyến của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến trung điểm của

cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến

Tính chất: i) Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trọng

tâm

ii) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , A là điểm đối xứng với A quaG Khi

đó GBA C là hình bình hành

Đường trung trực của tam giác: đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực

của tam giác

Tính chất: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh

của tam giác

Đường phân giác của tam giác: tia phân giác của góc của tam giác gọi là đường phân giác

của góc đó Trong tam giác có ba đường phân giác

Tính chất: i) Ba đường phân giác của tam giác đồng qui tại một điểm, điểm đó cách đều ba

cạnh của tam giác

ii) Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

iii) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân

  là trung điểm đoạn AC

Phương trình các đường cao AH BK, lần lượt là 2x  y 2 0 và 3x 4y 13  0 Xác định tọa

độ các đỉnh của tam giác ABC

Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x 3y 6

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 4 3 6  0;2

  là trung điểm AC suy ra C3; 2  

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x 2y  1 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 1  3;1

Gọi BH BM, lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 3 12 0  

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x 2y 10  0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0  

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M 2;0 là trung điểm của AB

Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x 2y  3 0 và

6x  y 4 0 Viết phương trình đường thẳng AC

Gọi AH AN, lần lượt là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn 7 2 3 0  

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x 6y  9 0

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 7 2 3 0 0; 3

Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C  3; 1

Khi đó ta có phương trình đường thẳng AC: 3x 4y  5 0.

Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình 2x y 3

Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ 2 3  

-Suy ra C, viết phương trình BC Tìm I

-Viết phương trình AI AC, , suy ra A.

Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình  :x  y 3 0

Tọa độ giao điểm N BH  là nghiệm của hệ 3 0 8 1;

  và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt

là x2y 1 0, x3y 1 0 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

Câu 1 Cho tam giác ABC với A2; 1 , B 4;5 , C3; 2 Phương trình tổng quát của đường

cao đi qua điểm A của tam giác ABC là

A 3x7y 1 0 B  3x 7y 13 0

C 7x3y 13 0 D 7x3y 11 0

Lời giải Chọn D

 7; 3  7;3

BC      n  7;3 là một véc tơ pháp tuyến của đường cao qua A

Vậy phương trình tổng quát của đường cao qua A là 7 x3y 11 0

Câu 2 Trong mpOxy , cho tam giác  ABC với A 2;6 , B 3; 4 và C 5;1 Tìm tọa độ trực

tâm H của tam giác ABC

x y

A 7x y 0 B x7y 2 0 C x7y 2 0 D 7x  y 2 0

Lời giải Chọn C

x y

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là u 1;7

Đường cao CH vuông góc với cạnh AB nên nhận u làm vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình tổng quát của đường cao CH là x 2 7 y 0 0

H A

C

B

x y

Đường cao AH của ABC qua A2;7 và nhận CB 2;9 làm VTPT nên có phương trình: 2x 2 9 y7 0 2x9y590

Đường cao BH của ABC qua B 3;5 và nhận AC 3; 11  làm VTPT nên có phương trình là 3x 3 11y  5 0 3x11y460

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 2 9 59 0

x y

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 4; 1, hai đường cao BH và CK có

phương trình lần lượt là 2x  y 3 0 và 3x2y 6 0 Viết phương trình đường thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC

A

+ BH có véctơ pháp tuyến n BH 2; 1  CK có véctơ pháp tuyến n CK  3; 2

+ Đường thẳng AB vuông góc CK nên nhận n CK  3; 2 làm véctơ chỉ phương, vì thế

AB có véctơ pháp tuyến n AB 2; 3  Mặt khác AB đi qua A 4; 1 nên có phương trình:

2 x 4 3 y 1 0 2x3y 5 0

+ Đường thẳng AC vuông góc BH nên nhận n BH 2; 1  làm véctơ chỉ phương, vì thế

AC có véctơ pháp tuyến n AC  1; 2 Mặt khác AC đi qua A 4; 1 nên có phương trình:

Câu 8 Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d x: 4y 2 0,

cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH x:   y 3 0và trung điểm của cạnh AClà M(1;1) Tìm tọa độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC

B

C

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đỉnh A 2;1 , gọi m là

đường cao qua đỉnh B có phương trình là x3y 7 0 và n là đường trung tuyến qua

C H

E