Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán số học trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

L¶ Ph÷ìng Th£o

MËT SÈ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2019

L¶ Ph÷ìng Th£o

MËT SÈ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc

sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ngvi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng Tæi xin ch¥n th nh b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng

i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2018 - 2020) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u côngnh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H£i Pháng, th¡ng n«m 20

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

L¶ Ph÷ìng Th£o

Danh möc h¼nh

1.1 Tam gi¡c Pythagore: BC2 = AB2 + AC2 4

1.2 Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a 8

1.3 Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t 12

1.4 Tam gi¡c Pythagore cì b£n v  c¡c b¡n k½nh r, ra, rb, rc 13

1.5 T½nh ch§t c¡c cevian 19

2.1 Hai nghi»m l  tam gi¡c vuæng vîi m = 1 27

2.2 Hai nghi»m l  tam gi¡c tò vîi m = 2 29

2.3 Tam gi¡c c¤nh tü nhi¶n ngo¤i ti¸p ÷íng trán 31

3.1 Tù gi¡c húu t 42

3.2 Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta 44

3.3 ë d i 2 ÷íng ch²o, chu vi, di»n t½ch tù gi¡c 45

3.4 Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron 47

3.5 Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P 52

3.6 (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba 54

Danh möc b£ng

1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 11

1.2 Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vîi 10 gi¡ trà λ 23

2.1 Ba c¤nh l  c§p sè cëng 33

2.2 B i to¡n P2 = nS vîi n = 31 38

2.3 B i to¡n P2 = nS vîi n = 42 40

Möc löc

1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron 4

1.1.1 C¡c bë ba Pythagore 4

1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron 7

1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra, rb, rc ∈ N 10

1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ 18

2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v  P 24 2.1 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = m.P, m ∈ N 24

2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v  thuªt to¡n Markov 25

2.1.2 Hai tr÷íng hñp tham sè nguy¶n 32

2.2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P2 = nS, n ∈ N 35

2.2.1 Tr÷íng hñp n l  sè nguy¶n tè 36

2.2.2 Tr÷íng hñp n l  hñp sè 38

2.2.3 Tr÷íng hñp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore 39

3 Mët sè v§n · li¶n quan 41 3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v  ÷íng ch²o húu t 41

3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 45

3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 50

Giîi thi»u luªn v«n

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

Nhi·u b i to¡n, kh¡i ni»m trong h¼nh håc li¶n quan ¸n sè håc °c bi»t

câ nhúng b i to¡n ho n to n thuëc l¾nh vüc sè håc nh÷ bë ba Pythagore,tam gi¡c Heron, º gi£i quy¸t nhúng b i to¡n n y th÷íng ph£i gi£iph÷ìng tr¼nh Diophantine, ph÷ìng tr¼nh Pythagore, ph÷ìng tr¼nh Pell, v nhi·u ki¸n thùc s¥u v· sè nguy¶n tè nâi ri¶ng v  sè håc nâi chung · t i

n y tr¼nh b y nhi·u v§n · cõa sè håc ¡p döng v o h¼nh håc, mang l¤inhúng k¸t qu£ s¥u s­c v· b i to¡n h¼nh håc gi£i b¬ng ki¸n thùc sè håc.Möc ½ch cõa · t i l :

- Tr¼nh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m c¡c tam gi¡cHeron trong tr÷íng hñp têng qu¡t N¶u ra c¡c thuªt to¡n t¼m nghi»m cõac¡c b i to¡n °t ra C¡c tr÷íng hñp ri¶ng x¡c ành tam gi¡c Heron: B i

th nh c§p sè cëng, l÷îi nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron,

- Sû döng c¡c ki¸n thùc cõa sè håc nh÷: lþ thuy¸t chia h¸t, sü ph¥n t½chmët sè tü nhi¶n th nh c¡c sè nguy¶n tè, gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine,c¡c lªp luªn sè håc nâi chung, º nghi¶n cùu mët sè tr÷íng hñp ri¶ngquan trång cõa b i to¡n t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n thäa m¢n mët trong

ba i·u ki»n sau

S = mP ; P2 = nS hay R/r = N ∈N

- N¶u ra c¡c b i to¡n li¶n quan v  c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húut, tù gi¡c Brahmagupta; Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ðtr÷íng THCS v  THPT gâp ph¦n  o t¤o håc sinh gi¡i mæn H¼nh håc

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

Düa v o c¡c t i li»u [2], [3], [4], [6] luªn v«n tr¼nh b y mët sè b ito¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v  công l  nhúng b i to¡n khâ hay g°p trongc¡c ký thi håc sinh gi¡i To¡n trong n÷îc v  quèc t¸ Nëi dung luªn v«nchia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron

B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l  b i to¡n sè håc quen thuëc, tuynhi¶n khæng thº khæng nh­c l¤i c¡c k¸t qu£ ¢ câ trong nhi·u cæng tr¼nh.Vi»c l m n y công coi l  bê sung c¡c ki¸n thùc cì b£n ¦u ti¶n cõa b ito¡n °t ra B i to¡n t¼m tam gi¡c Heron d¨n tîi nhi·u tr÷íng hñp ri¶ngthó và v  k¸t thóc ð mët k¸t qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phöthuëc tham sè Ch÷ìng n y bao gçm:

1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron

Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n hai b i to¡n v· t¼m tam gi¡c c¤nh

döng gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine d¤ng °c bi»t d¨n tîi c¡c thuªtto¡n gi£i b i to¡n b¬ng c¡c ph¦n m·m tin håc Ch÷ìng n y bao gçm c¡cmöc sau:

Ch÷ìng 3 Mët sè v§n · li¶n quan

Ch÷ìng 3 x²t b i to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c húu t vîiph÷ìng ph¡p ti¸p cªn t÷ìng tü 2 ch÷ìng 1 v  2 Ph²p düng tù gi¡c húu

t nëi ti¸p ÷íng trán (tù gi¡c Brahmagupta) ÷ñc gi£i quy¸t trån vµn Ð

¥y công tr¼nh b y mët v i b i to¡n h¼nh håc câ nëi dung sè håc ¢ g°ptrong c¡c ký thi håc sinh gi¡i, thi Olympic c¡c n÷îc

Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc chia th nh 3 ph¦n:

3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v  ÷íng ch²o húu t

3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta

3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic

H¼nh 1.1: Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2

tr¼nh n y gåi l  bë ba Pythagore.

Trong sè håc, tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè câ thº ÷ñc xem l  mët bë gen

ho n ch¿nh dòng º x¥y düng to n bë c¡c sè tü nhi¶n Gièng nh÷ méicon ng÷íi câ nhúng °c iºm ri¶ng bi»t do chóng ta câ nhúng bë gen kh¡cnhau, c¡c sè công vªy méi con sè kh¡c nhau sð húu mët bë gen kh¡c nhau.V¼ 12 = 2.2.3 = 22.3 ta câ thº nâi sè 12 câ hai gen sè 2 v  mët gen sè 3,

th¼ ta nâi n câ α1 gen p1, α2 gen p2, , αk gen pk

Ta nh­c l¤i mët t½nh ch§t sè håc, câ thº °t t¶n l  t½nh "t¡ch ÷ñc":n¸u

a.b = A2 (sè ch½nh ph÷ìng), a, b ∈N th¼ a v b ph£i câ d¤ng a = u2·w, b =

v2.w vîi u, v, w ∈ N Câ thº gi£i th½ch nh÷ sau: n¸u sè l÷ñng gen p trong

th¼ z + y = u2w, z − y = v2w v  x = uvw Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

s, z = u2 + v2
s

Ph÷ìng tr¼nh Pythagore câ væ sè nghi»m phö thuëc 3 tham sè Tuy

khæng câ nghi»m nguy¶n kh¡c 0

Vîi c = 1 ta câ bë ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2, z = a2 + b2

do Euclide t¼m ra (kho£ng 300 n«m tr÷îc Cæng nguy¶n) Bë ba n y l v½ dö v· mët bë ba Pythagore cì b£n (c¡c canh t÷ìng ùng cõa chóng l 

a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2 trong â m, n l  nguy¶n tè còngnhau, ch¿ câ mæt sè l´) Ta câ c¡c t½nh ch§t sau cõa bë ba Pythagore cìb£n (a, b, c) (xem trong [1]):

bë ba Pythagore cì b£n m  c¤nh huy·n (ho°c c¤nh gâc vuæng) l  ch½nhph÷ìng Têng cõa c¤nh huy·n v  c¤nh gâc vuæng ch®n cõa bë ba Pythagore

cì b£n luæn l  sè ch½nh ph÷ìng

(iii) Di»n t½ch



S = ab2

(v) Trong 4 sè a, b, a + b, b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 7; trong 4

sè a + c, b + c, c − a, c − b câ óng mët sè chia h¸t cho 8 (cho 9); trong 6

sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 11.1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron

Câ mët sè c¡ch x¡c ành kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron" Trong · t i n y

ta chån c¡ch x¡c ành sau:

v  di»n t½ch S cõa nâ l  c¡c sè tü nhi¶n

Heron câ thº cho k¸t qu£ c¤nh v  di»n t½ch l  sè húu t, b¬ng c¡ch nh¥nt§t c£ vîi bëi sè chung nhä nh§t cõa m¨u ta v¨n ÷ñc nghi»m tü nhi¶n

tam gi¡c Heron (nguy¶n) v  ng÷ñc l¤i Vi»c t¼m c¡c cæng thùc cho tam gi¡cHeron cì b£n b¬ng h¼nh håc thu¦n tóy g°p nhi·u khâ kh«n Tuy nhi¶nb¬ng c¡ch sû döng "lþ thuy¸t sè" ta khæng nhúng tr¡nh ÷ñc nhúng khâkh«n â m  cán t¼m ÷ñc c¡c cæng thùc biºu di¹n ìn gi£n

Tam gi¡c Heron ÷ñc °t theo t¶n cõa nh  to¡n håc Hy L¤p "Heron ofAlexandria" v¼ nâ câ li¶n quan ¸n cæng thùc t½nh di»n t½ch

Mët v½ dö cho mët tam gi¡c Heron khæng ph£i l  tam gi¡c vuæng l 

b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l  3, 4, 5 dåc theo c¤nh câ

ë d i b¬ng 4 Ph÷ìng ph¡p têng qu¡t cho c¡ch l m n y ÷ñc minh håa

ð h¼nh 1.2: L§y mët tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh l  mët bë ba Pythagore

a, b, c (c l  sè lîn nh§t); mët tam gi¡c kh¡c câ ë d i ba c¤nh l  mët bë

câ ë d i l  a º ÷ñc mët tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l  c¡c sè tü nhi¶n

c, e, b + d, v  câ di»n t½ch l  mët sè húu t: S = 1

2(b + d) · a (mët nûac¤nh ¡y nh¥n vîi chi·u cao) Mët c¥u häi thó và °t ra l  li»u t§t c£ c¡c

H¼nh 1.2: Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a

tam gi¡c Heron ·u câ thº ÷ñc t¤o ra b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c vuæng(vîi ë d i c¡c c¤nh l  c¡c sè tü nhi¶n (bë ba Pythagore)) nh÷ tr¼nh b y

ð tr¶n khæng? C¥u tr£ líi l  khæng N¸u ta l§y mët tam gi¡c Heron vîi

ë d i ba c¤nh l  0, 5; 0, 5 v  0, 6 th¼ rã r ng nâ khæng thº ÷ñc gh²p tøhai tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh ·u tü nhi¶n Ho°c mët v½ dö kh¡c t÷íngminh hìn, l  l§y mët tam gi¡c vîi ë d i c¡c c¤nh 5, 29, 30 vîi di»n t½ch

72, th¼ s³ khæng câ ÷íng cao n o cõa nâ l  mët sè tü nhi¶n

T½nh ch§t 1.1.2 Câ thº chia mët tam gi¡c Heron th nh hai tam gi¡cvuæng m  ë d i c¡c c¤nh cõa chóng t¤o th nh nhúng bë ba Pythagore húu

t¿ (3 c¤nh l  c¡c sè húu t thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Pythagore).

l  lîn nh§t, khi â ÷íng vuæng gâc h¤ tø ¿nh èi di»n xuèng c¤nh n y

(b + d) + (b − d) l  húu t¿ Hay 2b l  húu t¿ Suy ra b húu t¿ v  d công ph£i

l  sè húu t¿

T½nh ch§t 1.1.3 B i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron t÷ìng ÷ìng vîi b i

ho n th nh Sau ¥y ta x²t mët sè b i to¡n t¼m tam gi¡c Heron k±m theomët sè i·u ki»n °c bi»t.

hñp tr¡i l¤i tam gi¡c ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch ÷ñc, tùc l  ½t nh§t 1 ÷íngcao l  sè tü nhi¶n Ti¸p theo ta kþ hi»u t¥m c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v 

Di»n t½ch TG Chu vi TG ë d i b + d ë d i e ë d i c

H¼nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t

r, ra, rb, rc l¦n l÷ñt l  b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v  c¡c ÷íng trán b ngti¸p cõa tam gi¡c

Gi£i ¦y õ v  ÷a ra thuªt to¡n t¼m h¸t c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG

l  cæng vi»c khæng ìn gi£n Chóng tæi ch¿ døng l¤i ð vi»c ÷a ra k¸t luªnt÷íng minh trong mët sè tr÷íng hñp cö thº

2(a + b + c) ∈ N v  di»n t½ch S =

1

ùng Trong méi bë ba Pythagore cì b£n b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v  3b¡n k½nh cõa ba ÷íng trán b ng ti¸p l  sè tü nhi¶n, h¼nh 1.4 Ng÷ñc l¤i

th¼ d¹ th§y ba sè a,b,c l  sè tü nhi¶n v¼

a = r + ra = rc − rb ∈ N

b = r + rb = rc − ra ∈ N

H¼nh 1.4: Tam gi¡c Pythagore cì b£n v  c¡c b¡n k½nh r, r a , rb, rc

c = ra+ rb = rc − r ∈ N

M»nh · 1.1 Måi tam gi¡c Pythagore cì b£n ·u l  nghi»m cõa b i to¡n

HG



Ta câ k¸t qu£ têng qu¡t sau:

−c2 ≡ m2(mod4), nh÷ vªy c = 2d, m = 2n vîi d, n ∈ N n o â thäa

(d, n) = 1 Tø â suy ra: S = dn v  ra = rb = S

hñp tam gi¡c Heron vîi c¡c c¤nh lªp th nh c§p sè cëng th÷íng ÷ñc x²tv¼ k¸t qu£ công thu ÷ñc mët lîp c¡c tam gi¡c Heron °c bi»t

M»nh · 1.3 Khi 3 c¤nh tam gi¡c Heron l  c§p sè cëng, b i to¡n HG câ

â, b2 ≡ 3m2(mod4), nh÷ vªy b = 2e, m = 2n vîi e, n ∈ N n o â thäa(e, n) = 1 Tø â suy ra: S = 3en v  rb = S

e = 2, d = 1, tùc l  (a, b, c) = (3, 4, 5) N¸u n = 2 th¼ 12 = (e + d)(e − d).V¼ (e, d) = 1 n¶n khæng thº câ (e + d, e − d) = (6, 2) Ch¿ cán l¤i kh£ n«ng

(e + d, e − d) = (12, 1) ho°c b¬ng (4, 3), khæng thº cho d ∈ N.

Vîi tam gi¡c Heron cì b£n (khæng l  tam gi¡c Pythagore) câ thº câ t§tc£ r, ra, rb, rc ∈ N Ch¯ng h¤n (a, b, c) = (7, 15, 20) th¼ (S, r, ra, rb,rc) =

(42, 2, 3, 7, 42) Chó þ r¬ng vîi tam gi¡c n y, ha = 2S

t½ch ÷ñc Ta s³ ch¿ ra b i to¡n HG câ væ sè nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc:

M»nh · 1.4 ( xem [1], [3]) Câ mët hå c¡c tam gi¡c Heron (khæng l tam gi¡c Pythagore) cì b£n v  ph¥n t½ch ÷ñc l  nghi»m cõa b i to¡n HG

gi¡c l  nhån nh÷ vªy khæng l  tam gi¡c Pythagore Vîi gi£ thi¸t â,

M»nh · 1.5 Câ mët hå c¡c tam gi¡c Heron (khæng l  tam gi¡c Pythagore)

cì b£n v  khæng ph¥n t½ch ÷ñc l  nghi»m cõa b i to¡n HG

Chùng minh Vîi n > 1, gi£ sû

a = 25n2 + 5n − 5 = 5 5n2 + n − 1

b = 25n3 + 20n2 − 7n + 3 = (5n + 3) 5n2 − 4n + 1

c = 25n3 + 20n2 − 2n − 4 = (5n − 2) 5n2 + 6n + 2

÷íng trán b ng ti¸p l  c¡c sè tü nhi¶n

Mët sè b i to¡n mð:

B i to¡n 1.1 B i to¡n HG câ thº câ væ sè nghi»m l  c¡c tam gi¡c nhånhay khæng? Chùng minh

B i to¡n 1.2 Thuªt to¡n x¡c ành t§t c£ c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG?

ti¸p trong c¡c gâc A,B,C Düa v o k¸t qu£ (1.4) v  (1.5) ta thû x¡c ànhtåa ë c¡c t¥m cõa 4 ÷íng trán

a) èi vîi hå c¡c tam gi¡c Heron ph¥n t½ch ÷ñc theo k¸t qu£ (1.4):

Rã r ng 4 t¥m c¡c ÷íng trán ·u l  c¡c iºm nguy¶n Gi¡ trà ¦u

n = 2 cho ta tam gi¡c ABC v  c¡c t¥m ÷íng trán:

Rã r ng 4 t¥m c¡c ÷íng trán ·u l  c¡c iºm nguy¶n Gi¡ trà ¦u

n = 2 cho ta tam gi¡c ABC v  c¡c t¥m ÷íng trán:

A = (156, 65), B = (−84, −63), C = (0, 0)

I = (4, −7), Ia = (−91, −52), Ib = (147, 84), Ic = (1092, −1911)

Tâm l¤i, ta câ k¸t qu£:

M»nh · 1.6 Câ væ sè c¡c tam gi¡c HG (cì b£n, khæng l  Pythagore)

Chùng minh M»nh · ÷ñc chùng minh theo c¡c t½nh to¡n ð tr¶n

B i to¡n 1.3 Câ hay khæng væ sè c¡c tam gi¡c Heron cì b£n ·u l  tamgi¡c nhån m  r, ra, rb, rc ∈ N?

B i to¡n 1.4 Chùng minh r¬ng câ væ sè c¡c tam gi¡c Heron cì b£n vîi

i·u ki»n r, ra, rb, rc ∈/ N.

1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ

iºm thuëc c¤nh èi di»n l  Cevian Ch¯ng h¤n trung tuy¸n cõa tam gi¡c

l  mët cevian, o¤n th£ng nèi ¿nh ¸n ti¸p iºm cõa c¤nh èi di»n vîi

÷íng trán nëi ti¸p l  cevian Gergone

hai tam gi¡c câ ÷íng cao chung th¼ di»n t½ch cõa chóng theo thù tü, t

M»nh · tr¶n câ mët h» qu£ quan trång dòng cho ph¦n ti¸p theo.

AM

2(s − a)

s − c = λ l  mët sè húu t T§t nhi¶n i·u n y cán óng ngay

M»nh · tr¼nh b y sau ¥y cho ph²p biºu di¹n c¡c c¤nh cõa tam gi¡c

a, b, c v· c¡c sè tü nhi¶n v  £m b£o U CLN (a, b, c) = 1

t hay l  khæng i·u â s³ ÷ñc gi£i th½ch rã r ng hìn khi ta câ h» qu£

Nh÷ng 2 ¯ng thùc â k²o theo



nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y, ta ph£i tr£ l¤i c¡c c¤nh tü nhi¶n b¬ng c¡ch

i·u â phö thuëc v o sè c¡c c¡ch l§y c¤nha, b, c Ch¯ng h¤n,(17, 21, 10)

vîi λ = 1, m = 4, n = 1 nh÷ ð v½ dö tr¶n công câ thº nhªn ÷ñc tø

λ = 3

7, m = 12, n = 7 ho°c khi λ = 6

7, m = 12, n = 7.Ti¸p theo ta câ mët sè tr÷íng hñp ri¶ng quan trång ÷ñc coi l  c¡c h»qu£ cõa m»nh · 1.8

n2), m2 + n2), m, n ∈ N, (m, n) = 1, khi l§y λ = 2

, b = 4(m2 −4n2), c = 2 m2 + 4n2
Tam gi¡c ABC c¥n ¿nh B

H» qu£ 1.3.4 Mæ t£ trong m»nh · 1.8 l  tªp hñp ¦y õ c¡c tam gi¡cHeron

0 < λ ≤ 2 Tr÷îc ti¶n ta cè ành λ l  mët sè húu t Khi â m»nh · 1.8

0 < λ ≤ 2 th¼ ÷ñc k¸t qu£ mong muèn

3/5 2(25m 2 + 9n2) 13(5m2− 6n 2 ) 15(m2+ 4n2) 130m2 390mn(5m2− 6n 2 ) 4/5 25m 2 + 16n 2 7(5m 2 − 8n 2 ) 10(m 2 + 4n 2 ) 70m 2 140mn(5m 2 − 8n 2 )

B£ng 1.2: Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vîi 10 gi¡ trà λ

H» qu£ 1.3.5 (B i to¡n Hoppe) Tam gi¡c Heron câ c¤nh t¤o th nh c§p

26n2



26n2

 

m2 − 2m

26n2n2



218η2 2m2 + 24n2

26n2 m2 + 4n2
= m

218n2 12n2 + 3m2

m, n ∈ N, (m, n) = 1, c¡c c¤nh lªp th nh mët c§p sè cëng

Ch÷ìng 1 ¢ tr¼nh b y hai b i to¡n v· tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡cHeron Rã r ng ¥y l  c¡c b i to¡n sè håc trong h¼nh håc ÷ñc gi£i quy¸tnhí c¡c ki¸n thùc v· sè håc c¡c sè tü nhi¶n K¸t qu£ nêi bªt l  thu ÷ñc

þ t÷ðng â ch÷ìng sau ta s³ nâi v· tam gi¡c c¤nh nguy¶n câ th¶m c¡c r ngbuëc º t¼m ra nhúng cæng thùc v  thuªt to¡n °c tr÷ng

Ch֓ng 2

Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v  P

Ch÷ìng n y d nh º tr¼nh b y c¡c thuªt to¡n t¼m tam gi¡c c¤nh tü

håc khi gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine Nëi dung ch÷ìng n y tham kh£otrong [1], [2] vîi sü têng hñp v  tr¼nh b y chi ti¸t hìn

2.1 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = m.P, m ∈ N

B i to¡n °t ra l  h¢y t¼m t§t c£ c¡c tam gi¡c c¤nh tü nhi¶n m  di»n

giîi thi»u v  ngay lªp tùc ÷ñc nhi·u ng÷íi chó þ Lþ do l  líi gi£i b i to¡n

ho n to n ìn gi£n trong tr÷íng hñp tam gi¡c vuæng, cán trong tr÷íng hñptêng qu¡t th¼ qu¡ phùc t¤p: trong suèt 20 n«m b i to¡n khæng câ líi gi£i

l  nghi»m cõa b i to¡n

2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v  thuªt to¡n Markov

A Sì l÷ñc thuªt to¡n Goehl

(a) Tr÷íng hñp tam gi¡c vuæng Líi gi£i cõa Goehl trong tr÷íng hñp

kh¯ng ành k¸t qu£ cõa Goehl l