SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chúng ta đã biết, bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm là những bài toán chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông.. Giữ

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1

IV ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG 1

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 1

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

PHẦN II NỘI DUNG 4

I DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 4

II DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 7

PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 11

I - KẾT LUẬN 11

II - KIẾN NGHỊ 11

PHẦN I MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đã biết, bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm là những bài toán chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà

ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp

Giữa phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ Tuy vậy không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng nếu biết ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải thì bài toán trở nên đơn giản Trong quá trình giảng dạy, khi cung cấp cho học sinh mảng kiến thức này tôi thấy các em rất hứng thú và tự tin không thấy ngại khi gặp những bài toán khó về viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt

phẳng và tìm điểm Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích"

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Trang bị cho học sinh lớp 12 về một phương pháp giải bài toán về phương

trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Các dạng toán giải về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm nằm trong chương trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

IV ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG

- Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh khối 12

- Ôn thi đại học

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa chương trình cơ bản và nâng cao lớp 12

2 Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2018

3 Các số báo của toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2018

4 Sách tham khảo hình giải tích của Phan Huy Khải

5 Sách tham khảo hình giải tích của Trần Phương

6 Sách tham khảo hình giải tích của Nguyễn Văn Dũng

7 http://www.mathvn.com

8 http://forum.mathscope.org

9 http://www.vietmaths.com

10 http://boxmath.vn

11 http://diendantoanhoc.net

12 http://laisac.page.tl

13 http://k2pi.net

14 http://violet.vn/main

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp chung của dạng bài tập này

− Với các bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng

và tìm điểm, ta sử dụng các mối liên hệ của đề bài và lập hàm số để giải

− Sử dụng các công thức:

 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2

cos

.

u u

u u

  trong đó

1 , 2

u u lần lượt là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng

 Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sin .

.

n u

u u

 

trong đó n u, lần lượt là hai vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương của đường thẳng và mặt phẳng

 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2

cos

.

n n

n n

  trong đó

1 , 2

n n lần lượt là hai vecto pháp tuyến của hai mặt thẳng

 Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

  2  2 2

B A B A B A

AB = x -x + y -y + z -z

 Khoảng cách từ điểm M0x y z0 ; 0 ; 0 đến mặt phẳng () có phương trình AxBy Cz  D 0 là:   0 0 0

Ax +By +Cz +D

d M ,(α) =

A +B +C

 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u là: d(M ,Δ)=1

M M ,u

0 1 u

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm 0

M , có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ’ đi qua điểm '

0

M , có vectơ chỉ phương u' là:

'

0 0

u,u' M M d( ,Δ')=

u,u'



 Công thức tính diện tích tam giác : SABC=1 AB,AC

2  

 Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D'= AB,AD AA'  

 Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD=1 AB,AC AD

6  

Chú ý :

Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0 ,

2





  

PHẦN II NỘI DUNG

I DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Ví dụ 1:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng : 1 2

d     Lập phương trình

mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới () là lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng () chứa d có vecto pháp tuyến:

n A B C A B C  có dạng: A x(   1) ByC z(  2)  0

Ta có : d  ( ) u n d.      0 B 2A 2C

Khi đó:

2

d A

− Trường hợp 1: Nếu C = 0

( ,( )) 9

5

d A  

− Trường hợp 2: Nếu C  0 Đặt t A

C



2 2

( 1)

t

 

Xét hàm số ( ) (2 1)2

t

f t





  Ta có f t'( )   0 t 1 ;

2 ( 1) 0; (1)

9

lim ( ) 1

5

t f t

 

Lập bảng biến thiên suy ra: ( ) 2

5

Maxf t  tại t =1

Vậy Maxd(A,( ))  3 2 khi A 1

C 

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2: yêu cầu bài toán tương đương AC và 4

B  C Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x 4y  z 3 0

Nhận xét :

− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:

Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A tới ()

bằng a ( a là hằng số )

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 1 2

:

 Q x: 2y2z 3 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho

góc giữa hai mặt phẳng (Q) và (P) nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng () chứa d có vecto pháp tuyến :

n A B C A B C  có dạng: A x(   1) B y(   2) Cz 0

Ta có: d  ( ) u n d.      0 C A 2B

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là ,(0 )

2



   =>

2

c

os

− Trường hợp 1: Nếu B = 0

( ) 2

2

cos   (1)

− Trường hợp 2: Nếu B  0 Đặt t A

B



2 2

( 2) ( )

t c

 

os

Xét hàm số ( ) (2 2)2

t

f t





=> ( ) 5

6

Maxf t  tại t =1 hay 1

2

A

B  Vậy

0;

2

30 6

M

 

 

 



ax cos (2)

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => min 30

6

  cos  với 1

2

A

B 

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + 2y + 5z + 3 = 0

Nhận xét:

− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:

Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng bằng  (  là giá trị của một góc xác định )

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn khi xác định góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho đường thẳng : 1 2

:

(Q): x + 2y +2z – 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho

góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng () chứa d có vecto pháp tuyến:

n A B C A B C  có dạng: A x(   1) B y(   2) Cz 0

Ta có: d  ( ) u n d.      0 C A 2B

Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là: , (0 )

2



=>

2

− Trường hợp 1: Nếu B = 0

( ) 2 2

3

 

− Trường hợp 2: Nếu B  0 Đặt t A

B



2 2

1 (4 3)

( )

t



 

 

sin

Xét hàm số ( ) (42 3)2

t

f t





=> ( ) 25

7

Maxf t  tại t = - 7 hay A 7

B   Vậy

0;

2

5 3 sin

9

M

 

 

 



ax

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => m 5 3

9

 ax  sin   với A 7

B  

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - 9 = 0

Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau:

Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng bằng  (  là giá trị của một góc xác định )

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

II DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( ) :P x 3y  z 1 0 Và các điểm A(1;0;0);B(0; 2;3)  Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u a b c a( ; ; ), 2b2c2  0

d  ( )P u n d. P     0 c a 2b

AB( 1;2; 3)   ; u d,AB    ( 2a 7 ; 2b a 2 ; 2b ab)

=>

( , )

d

d

d B d

u

− Trường hợp 1: Nếu b = 0

d B d( , )  6

− Trường hợp 2: Nếu b  0 Đặt t a

b



2 2

2 2

( )

f t



=> 6 d B d( , )  14

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => 6 d B d( , )  14

+) Min d B d( ( , ))  6  b 0 chọn a =1 => c= 1

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:

1 0

y

z t

 



 



 



+) Max ( ( , ))d B d  14   a b chọn b = -1 => a =1 , c =-1

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:

1

y t

z t

  



 



 



Nhận xét :

− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau :

Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một

khoảng bằng a ( a là hằng số )

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn khi vẽ hình xác định khoảng cách

Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt

phẳng ( ) : 2Q x   y z 3 0,đồng thời d tạo với đường thẳng ' 1 1

:



một góc lớn nhất, nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u a b c a( ; ; ), 2b2c2  0

d/ /( )P u n d. Q    0 c 2ab; ' (1; 2; 2)

d

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là ,(0 )

2



  

=>

2

c

os

− Trường hợp 1: Nếu b = 0

( ) 1 5

3

cos  

− Trường hợp 2: Nếu b  0 Đặt t a

b



2 2

t

 

2 2

(5 4) ( )

t

f t





=> 0 ( ) 5 3

9

c 

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 =>0 ( ) 5 3

9

c 

+) Min c( os ( ))  0 => 900 4

5

m

a b

 ax   

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1 1 2

x  y  z

+) ( ( )) 5 3

9

Max osc   => min 1

5

a b

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1 1 2

x y z



Nhận xét :

− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau :

Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng

( )Q ,đồng thời d tạo với đường thẳng '

d một góc thỏa mãn một điều kiện nào đấy

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 2)  và cắt đường thẳng

:

 sao cho

1 Khoảng cách từ B(2;1;1) là lớn nhất, nhỏ nhất

2 Khoảng cách giữa d và : 1 2

x y z

 là lớn nhất

Hướng dẫn giải:

1 dd' M M( 1 2 ; ;2   t t t t), R

=> vecto chỉ phương của d : u d  AM(2t 1;t  1; t)

AB(2;2; 1)  ; AB u; d   (1 t;1; 4 2 )  t

=>

2 2

d

d

u

 

Xét hàm số

2 2

( )

f t



  =>

1 ( ) (0) 18; ( ) (2)

11

Maxf t  f  Maxf t  f 

=> 1 ( , ) 18

11 d B d 

11

Min d B d   t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:

3

1 3

2 2

x t





   



  



+) Max ( ( , ))d B d  18  t 0

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1

2

x t

 



   



  



2 dd' M M( 1 2 ; ;2   t t t t), R

=> vecto chỉ phương của d : u d  AM(2t 1;t  1; t)

Từ phương trình  => u  (2; 2;1)  và N  (5;0;0) 

AN(5;1; 2)  ; u u; d   (t 1; 4t 1;6 )t

=>

2 2

,

d

d

u u





Xét hàm số

2 2

(2 ) ( )

t

f t





  =>

( ) ( )

Maxf t  f 

=> max ( ( , ))d  d  26

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:

29

1 41

2 4





   



  



Nhận xét :

− Có thể mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho

trước

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng

:

 sao cho góc giữa đường thẳng d và

:

x y z

 là lớn nhất, nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

=> vecto chỉ phương của d : u d  AM(2t 2;t   2; 1 t)

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là ,(0 )

2



  

=>

2 2

3 6 14 9 3

t

 

os

Xét hàm số ( ) 2 2

t

f t



=> ( ) ( 9) 9

Maxf t  f   ;Min tf ( )  f(0)  0

+) Min c( os ( ))  0 => max  900  t 0

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1 1

x  y z



+) ( ( )) 2 5

5

Max osc   => min 9

7

t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1 1

x  y z

Nhận xét :

− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:

Có thể mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho

trước

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I - KẾT LUẬN

- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng trong việc giải phương trình và bất phương trình

- Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau

- Khi nghiên cứu viết và thực hiện đề tài tôi có tham khảo các tài liệu luyện thi đại học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo và đề thi đại học của các năm trước đây

- Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp

II - KIẾN NGHỊ

- Như trên đã trình bày thì phương trình, hệ phương trình, BPT, HBPT, GTLN&GTNN của biểu thức, có mối liện hệ mật thiết với hàm số Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số

để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Đặc biệt, đạo hàm là một công cụ hữu ích, sắc bén

- Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải các dạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình học toán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp