chuyên đề TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, lớn NHẤT của một BIỂU THỨC

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A.. Kiến thức Định nghĩa 1... 3.1 Bất đăng thức có tính chất sau.

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC

A Kiến thức

Định nghĩa

1 Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…) � M ( M là hằng số)

- Tồn tại x y0 ; ; 0 sao cho f x y( , ) 0 0 M

2 Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…) � m ( m là hằng số)

- Tồn tại x y0 ; ; 0 sao cho f x y( , ) 0 0 m

B.Bài tập

Dạng I.

I.1 Biểu thức dạng f(x) = 2

.

a x b x c ( a,b,c là hằng số, a� 0 )

PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn

a, Tìm GTLN

Biến đổi hàm số y = f(x) =  2

( ) n

y M

 Do đó ymax M � g x( ) 0 

b Tìm GTNN

Biến đổi hàm số y = f(x) =  2

( ) k

m h x k Z� 

y m

 Do đó ymin m�h x( ) 0 

c, Tam Thức bậc hai

2

4a

    �   �   � �

Nếu a> 0, GTNN của f(x) là  2 

4a 4a

 

2a

b

x 

� và không có GTLN

Nếu a < 0, GTLN của f(x) là  2 4a 

4a

 

2a

b

x 

� và không có GTNN

Ví dụ 1a Tìm GTNN của tam thức f(x) = 2

5x  2x 1 

b.Tìm GTLN của tam thức f(x) =  3x 2  x 2

Giải

a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + 1 = 5 2 2

1 5

�  � 

2

2 1 1

5 5 5

� � � � ��

 �  � � � � � 

� � � �

 � �   � �

Vì với mọi x, x�R thì

2 1 0 5

x

�  � �

� � nên ta có:

2

f x  ��x �� �

� � với mọi x, x�R

Vậy f(x) có giá trị nhỏ nhất là 4

5khi

2 1 5

x

�  �

� �= 0 => x = 1

5

Kl: f(x) đạt GTNN là 4

5khi x = 1

5

b/ f(x) = - 3x 2 + x – 2

2

2

1

3

1 1 1

3 6 6

1 23 3

6 12

x

  �  �

� � � � ��

  �  � � � � � 

� � � �

� �

  � �

� �

Vì

2

1

6

x

�  �

� ��0 với mọi x, x�R nên

2

1 23 23 3

6 12 12

x

 � � � 

 f(x) � 23

12

 với mọi x, x�R

Vậy f(x) 23

12

 khi

2

 � � �   � 

f(x) cĩ giá trị nhỏ nhất là 23

12

 khi 1

6

x

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a/ P x( ) 3  x2  x 7 b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3

Bài 2: Tìm GTLN của:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8 Bài 3: Tìm GTLN của

a/ P(x) = 3x25 3  x2 b/ Q(x) = x – x2

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a/ P x( ) 3  x2  x 7 b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3

Bài 2: Tìm GTLN của:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8

Bài 3: Tìm GTLN của

a/ P(x) = 2 2

3x 5 3  x b/ Q(x) = x – x2

I.2 Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta cĩ thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)

Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36  -36

minA = -36  y = 0  x2 – 7x + 6 = 0  x1 = 1, x2 = 6

Ví dụ 3: Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x)= (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)

cĩ GTNN? Tìm GTNN đĩ

Giải P(x) = (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)

= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3)

=x2  5x 6 x2  5x 6

Ta cĩ hai cách giải quyết

Cách 1:

Ta cĩ P(x)  2   2 

�   ��   �  2 2

5 36

Vì x2 + 5x �0, với mọi x, x�R nên P(x) � -36

P(x) đạt GTNN là – 36 với x2 + 5x = 0  x = 0 hoặc x = - 5

Cách 2:

Xét biểu thưc đối của P(x) là – P(x) :

P(x) = -x2  5x 6 x2  5x 6

= x2  5x 6  x2 5x 6

Nếu đặt X = x2  5x 6; Y =  x2 5x 6

Thì ta có X + Y = - 12 không đổi

Vậy tích X.Y lớn nhất khi X = Y

=> - P(x) lớn nhất khi:  x2 5x 6 = x2  5x 6 2x2 + 10 = 0  x = 0 hoặc x = - 5 Vậy P(x) đạt GTNN là 36 khi x = 0 hoặc x = - 5

II Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của A = 6 5 9 2

2

x

x 

Giải : A = 2

9 5 6

2

x

x  =

5 6 9

2

2  



x

x = (3 12)2 4



Ta thấy (3x – 1)2  0 nên (3x – 1) 2 +4  4 do đó (3 11)2 4





1

theo tính chất a

 b thì

a

1



b

1

với a, b cùng dấu) Do đó (3  1)22 4



x 

4

2



 A 

-2 1

minA =

-2

1

 3x – 1 = 0  x =

3

1

BT tự luyện:

1 Tìm GTLN của BT : 2 1

A



HD giải:

 2 2

2 Tìm GTLN của BT : 2 1

A



b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương của nhị thức

Ví dụ 5: Tìm GTNN của A =

1 2

6 8 3 2

2









x x

x

Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =

1 2

) 4 4 ( ) 2 4 2

(

2

2 2















x x

x x x

x

= 2 + 2

2 ) 1 (

) 2 (





x

x

 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A = 2

2 8 ( 1 ) 6 )

1 (

3

y

y

= 3 - 2y + 2

1

y = ( 1y -1)2 + 2 minA = 2  y = 1  x – 1 = 1  x = 2

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTNN và GTLN của bt: P 2 2 1

1

x





 

2, Tìm GTNN của bt : B x2 2x2 2006

x

 



3, Tìm GTNN và GTLN của bt: C 2 2

5 7

x



 

4, Tìm GTNN của bt : a, D 22 2 2

2 3

 



  b,

2 2

2 1 E

2 4 9

 



 

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ 6: Tìm GTNN và GTLN của A =

1

4 3

2





x x

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A =

1

1 4

4

2

2 2











x

x x

1

) 2 ( 2

2





x

x - 1  -1 minA = -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A =

1

1 4 4 4 4

2

2 2











x

x x

1

) 1 2 ( 2

2





x

Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN của P(x) = 2 22 2 3

2

 

 

b/ Tìm GTLN của Q(x) =3 22 17

4

x x



 .

Giải:

a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) về dạng: P(x)= 2 - 2

1 2

x  x

P(x) đạt GTNN khi 2

1 2

x  x đạt GTLN

Xét biểu thức

x   x x  x � � � �� � � �   ��x ��

� � � � � �

Vì

2 1 2

x

�  �

� ��0 với mọi x, x�R nên x2  x 2 �3

4 với mọi x, x�R Suy ra 2

1

2

x  x đạt GTLN khi x =

1

2 và GTLN là

4



Vậy P(x) đạt GTNN là : 2 4 2

3 3

 

Kết quả: 1 2

2 3

P � �� �

� �

b/ Ta cĩ: Q(x) =3 22 17

4

x x



 = 3 + 2

5 4

x  ; Q(x) lớn nhất khi 2

5 4

x  lớn nhất.

2

5 4

x  lớn nhất khi x2 + 4 đạt GTNN.

Vì x2 + 4 �4, với mọi x, x�R nên x2 + 4 đạt GTLN là 4 khi x = 0

Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN là 3 + 5 41

4  4

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTLN của bt: a, A 2

2

x x



 b,  

2 3 2

B

2

x x





3, Tìm GTNN của bt: a, C x2 4x 4

x

 

 Với x > 0; b, D x5 32

x



 Với x > 0

4, Tìm GTNN của bt: a, 2

3

2

E x

x

  với x > 0; b, F x321

x Với x > 0

6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:  

2 2 17

2 1

Q

x

 



 Với x > 0

7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R 6 34

3

x

 



 Với x > 0

8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S x3 2000

x



 Với x > 0

9, Với giá trị dương nào của x thì biểu thức sau đạt GTNN:

a/ P x( ) 2x2 3

x



1 9

x

Q x

x





III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

Ví dụ 8: Tìm GTNN của x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1  x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)  0  x2 - 2xy + y2  0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )  1  x2 + y2 

2 1

minA =

2

1

khi và chỉ khi x = y =

2 1

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x Thay y = x – 1 vào A

A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -

2

1

)2 +

2

1



2 1

minA =

2

1

khi và chỉ khi x = y =

2 1

Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa về một biến mới

Đặt x =

2

1

+ a thì y =

2

1

- a Biểu thị x2 + y2 ta được :

x2 + y 2 = (

2

1

+ a)2 + (

2

1

- a)2 =

2

1

+2 a2 

2 1

minA =

2

1

 a = 0  x = y =

2

1

Ví dụ 9: Tìm Min A = a2 ab b    2 3a 3b 2014

Cách 1 Ta có: A= a2  2a   1 b2 2b  1 ab a b    1 2011

= a  2a   1 b 2b  1 ab a b    1 2011   2 1    

= a 1   b 1 a b    1 b 1 2011

  2  2   

= a 1   b 1  a 1 b  1 2011

 2    1  12 3 12

3 1 1

= a 1 + 2011

b

 Min A = 2011 khi

1

1 2

1 0

b

a b b



�   

�

�  

� Cách 2:



     

2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022 = a 1 1 2 4022

      

Min 2A = 4022 khi

a 1 0

2 0

a b

 

�

�   �  

�

�   

�

=> Min A = 2011

Bài tập luyện tập

Tìm GTNN của

a) A=a 2  5b2  4ab 2b ( Gợi ý 5   2 2

A = a - 2b  b 1  )4

b) B = x 2 y2   xy 3x 3y 2029 ( Gợi ý   2  2 2

B = x-y  y 3  x 3  2011 )

c) C x2  4y2  9z2  4x 12y 24z ( Gợi ý 30   2  2 2

C = x+2  2y 3  3z 4  )1

d) D= 20x 2  18y2  24xy 4x 12y 2016 ( Gợi ý   2  2 

D= 4x-3y  2x 1  3y  2 2011 )

IV Các chú ý khi tìm bài toán cực trị :

1- Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ 9 : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2

= 2y2 +2  2  minA = 2  y = 0  x = 2

2- Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị

chẳng hạn :

-A lớn nhất  A nhỏ nhất

1

B lớn nhất  B nhỏ nhất với B > 0

Ví dụ 10: Tìm GTLN của

4

2 2

1 ( 1)

x A x







Chú ý rằng A>0 nên A lớn nhất khi 1

A nhỏ nhất và ngược lại

1

A = ( 24 1)2 4 42 2 1 1 24 2

     

1

A  1

min1

A = 1 khi x = 0 Do đó maxA =1 khi x = 0

3/ Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất đẳng thức đã biết.

3.1 Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a,b,c,d > 0 thì a.c > b.d

b) a > b và c >0 thì a.c > b.c

c) a > b và c<0 thì a.c < b.c

d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn

e ) A  B � A+B

3.2 Bất đẳng thức Cauchy

- Với a� 0,b� 0 thì

2

a b

ab

 �

hay a b � 2 ab

- a>0 ; b>0 thì 1 a b2



3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki

Cho hai cặp số (a a1 ; 2 ; b b1 ; 2 ta có  2  2 2  2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Dấu ’’=’’ xảy ra khi 1 2

1 2

Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần của bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = 2 và b = 3 ta có ( 2x + 3y )2  ( 22 + 32 ).52  ( 2x + 3y )2  13.13.4

 2x + 3y  26 Vậy max A = 26

 {

Thay y = 3

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4  x2 = 16  x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y  0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y  0 Vậy max A 26  x =4 , y = 6

3x = 2y

2x +3y  0

Ví d ụ 12a/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x)= 2x – x2

với 0 < x < 2

b/ Tìm GTNN của Q(x)= x2 4

x

 , x > 0

Giải:

a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với 0 < x < 2 =>x > 0; 2 – x > 0

Xét tổng x + (2 - x) = 2 = không đổi

Vậy tích x(2 - x) lớn nhất khi x = 2 – x => x = 1

GTLN của P(x) với 0 < x < 2 là: P(1) = 1 +1 = 2, ứng với giá trị x =1

b/ Ta có Q(x)= x2 4 x 4;

x   x x > 0

Xét tích x.4

x = 4 = không đổi

Vậy tổng x + 4

x đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 4

x => x2 = 4

=> x = 2

Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta cĩ ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52

 ( 2x + 3y )2  13.13.4

 2x + 3y  26 Vậy maxA = 26  2 3

2 3 0



�

�  �

�

Thay y = 3

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4  x2 = 16  x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y  0 x = -4 ,y = -6 khơng thoả mãn 2x +3y  0

Vậy Max A = 26  x =4 , y = 6

Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk 1x 1y 12 Tìm GTNN của bt: A = x y

Giải Do x > 0, y > 0 nên 1 0, 1 0

y

x  áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 1 1,

x y

ta có: 1 1 1 1 1.

2 x y x y

�  � �

� � Hay 14� 1xy => xy � 4

Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x � 0, y � 0 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

2 2 4 4

Vậy: Min A = 4 khi : 1 1 1 4

2



�

�  

�

�

Ví dụ 15 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2

A  x    x 1 x   x 1

Giải Ta có:

2

2

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số 2 2

x   x 1, x   x 1 ta có :

x    x 1 x   x 1 2 � x   x 1 x    x 1 2 x  x  1 2 �

 Max A = 2 khi

x 0

�

�

Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x y z

   với x, y, z > 0.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

3

Do đó min x y z 3 x y z x y z

2

y  � x (do x, y > 0)

nên để

chứng minh x y z 3

y   � z x ta chỉ cần chứng minh : y z y 1

z   � x x (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó

tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z

y   z x.

VD 17: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x +

y + z = 1.

Giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có:

1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y)(y z)(z x)    (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3 A  A ≤

3

2 9

� �

� �

� �

max A =

3

2

9

� �

� �

� � khi và chỉ khi x = y = z =

1

3

VD 18 Tìm GTNN của A xy yz zx

   với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.

Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x

x  y � y  z � Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = 1 với x = y = z = 1

3.

VD 19 Tìm GTNN của 2 2

 với : x > 0, y > 0, x + y < 1

Giải Ta có:

 

 

2 4

2 2 4

1 1 1

2

x y



�  �

�

VD 20 : Cho 1

2

x�  , Tìm GTLN của A = 2x 2  5x 2 + 2 x+3 - 2x

Giải : Ta có : A = 2x 2   5x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1   x 2 + 2 x+3 - 2x  Với 1

2

x�  ta có:

2x 1 0

2 0

x

 �

�

�  

�

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2  Ta có: 2x 1 x+2 2x 1 x+2  

2

Hay : 3x 3 2x 1 x+2  

2

Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2   � x=1

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4  Ta có: x 3 4 4 3 2 3

Hay : x 7 2 3

 � 

Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4   � x=1

Do đó: A x 7

2

 

2



- 2x = 5 Dấu “ = ” xảy ra khi x=1

VD 21: Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S =1 4 9

x y z

Giải Ta có: S = x + y + z  1 4 9

�   �

� �=1+4+9+ y 4x 4z 9y 9x z

�  � �   � �   �

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương y,4x

x y ta có : y 4x 2 y.4x 4

Tương tự ta có : 4z 9y 2 4 9z. y 12

y  z � y z  ; 9x z 2 9x z 6

 S � 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36

Dấu “=” sảy ra khi :

2 2

4

1

2

4 9

3

6

1

2 1

x y z

�



�



�   

�

Vậy Min S = 36 khi 1, 1, 1

VD 22: Tìm GTNN của hàm số : y x2  2x  1 x2  2x 1

Cách 1: y x2  2x  1 x2  2x     1 x 1 x 1

Nếu: x < -1 thì y           x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2

Nếu: -1 x 1 � � thì y        x 1 x 1 x 1 x 1 2

Nếu: x > 1 thì y        x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 � �

Ta có : y   x 1 1 x �x    1 1 x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 � �

Bài 23: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 Tìm GTLN của A = x 2 y

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :

A = x(4 -2x ) = 2 –  2  2

2 2 2 2 2

2  x 2  2

=> Max A = 2 khi 2 2 0 12

x x

y

x xy

�   � 

�

Cách 2: Ta có : A = 1.2

2 x xy Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi

2 2

x xy

có : 2 x y� 2 =A

Vậy Max A =2 khi 2 1

�

�   � 

BÀI TẬP TỰ LUYÊN

Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y 4x2  4x  1 4x2  12x 9 b,

Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y 4x2  20x  25 x2   8x 16 b,

25 20 4 25 30 9

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1   x 2 x 1 

3/ Trong các hằng bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau

-Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ 13: Tìm GTLN và GTNN của tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả

mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất  x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất  x – y lớn nhất