ứng dụng hàm số trong giải các phương trình căn thức

phương pháp hàm số phân dạng bài tập sử dụng hàm số trong giải các phương trình căn thức luyện thi đại học, Các bài toán giải phương trình vô tỷ là bài toán khó trong chương trình THPT và thường xuất hiện trong đề thi đại học với vai trò phân biệt học sinh khá giỏi, do đó thu hút được nhiều sự chú ý và quan tâm của học sinh. Vì vậy trong tiểu luận này chúng tôi lựa chọn thực hiện đề tài “Ứng dụng về hàm số trong các bài toán về phương trình căn thức” nhằm giúp các em học sinh hiểu và nắm được một số dạng phương trình vô tỷ nhất định có thể sử dụng phương pháp ứng dụng hàm số để thực hiện giải dạng toán này tốt hơn.

Cần Thơ - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC

Giảng viên hướng dẫn

ThS Bùi Anh Tuấn

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Văn Nhân Mssv: B1300407 Lớp: Sư phạm Toán K39

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng sự giúp đỡ của cha mẹ, thầy cô bạn bè,

mà tôi đã hoàn thành xong bài tiểu luận tốt nghiệp của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Anh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn tôi

trong suốt thời gian hoàn thành tiểu luận

Đồng thời tôi xin gửi làm cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Bộ Môn SP Toán – Khoa

Sư Phạm – Trường Đại Học Cần Thơ trong bốn năm qua đã tận tình dạy dỗ và trang bị

những tri thức, những nền tảng vô cùng bổ ích, đã chỉ dẫn tôi rất nhiều về cách học, cách

làm việc và các kỹ năng sư phạm cần thiết cho công tác giảng dạy sau này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn sát cánh

cùng tôi vượt qua khó khăn trở ngại, luôn ủng hộ và động viên tôi cả về vật chất lẫn tinh

thần, luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiện cứu để

tiểu luận của tôi hoàn thành tốt đẹp

Mặc dù cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót khó có thể tránh khỏi Tôi rất mong nhận

được những đóng góp quý báu của Thầy Cô

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Văn Nhân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 2

KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2

1.1 Tính đơn điệu của hàm số 2

1.1.1 Định nghĩa: 2

1.1.2 Tính chất: 2

1.1.3 Định lí: 2

1.2 Phương pháp chứng minh hàm đơn điệu: 2

1.3 Tóm tắt kiến thức về căn thức 3

1.3.1 Định nghĩa 3

1.3.2 Chú ý 3

1.3.3 Các pháp tính và tính chất của căn bậc n 3

Chương 2 4

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC 4

2.1 Ứng dụng trong giải phương trình căn thức: 4

2.1.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất giải phương trình dạng f x g x  [g x có thể là hằng số] 4

2.1.1 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng f u x   f v x  sử dụng tính chất f u  f v  u v để giải phương trình 18

2.2 Ứng dụng trong các bài toán có chứa tham số 31

2.2.1 Dạng 1: khảo sát trực tiếp 31

2.2.1 Dạng 2: khảo sát thông qua ẩn phụ 39

Chương 3 47

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ THI CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2007 ĐẾN 2016 47

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình THPT, học sinh đã được học hàm số và ứng dụng của hàm

số Phần ứng dụng của hàm số khá hiệu quả trong việc góp phần giải các bài toán về phương trình vô tỷ Các bài toán giải phương trình vô tỷ là bài toán khó trong chương trình THPT và thường xuất hiện trong đề thi đại học với vai trò phân biệt học sinh khá giỏi, do đó thu hút được nhiều sự chú ý và quan tâm của học sinh Vì vậy trong tiểu luận

này chúng tôi lựa chọn thực hiện đề tài “Ứng dụng về hàm số trong các bài toán về phương trình căn thức” nhằm giúp các em học sinh hiểu và nắm được một số dạng

phương trình vô tỷ nhất định có thể sử dụng phương pháp ứng dụng hàm số để thực hiện giải dạng toán này tốt hơn

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm tổng hợp, hệ thống hóa các dạng toán trong phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp ứng dụng hàm số trong chương trình THPT

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Các dạng toán trong phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp ứng dụng hàm

số trong chương trình THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp: tổng hợp và hệ thống hóa Tham khảo các loại sách báo, Internet và tài liệu có liên quan đến vấn đề

1.2 Phương pháp chứng minh hàm đơn điệu:

 Bước 1: Tìm TXĐ D của f x  và chỉ ra f x  liên tục trên D

 Bước 2: Tính f ' x

 Bước 3: Xét f ' x Nếu:

o Nếu f ' x   0, x Dthì f x  đồng biến trên D

o Nếu f ' x   0, x Dthì f x  nghịch biến trên D

o Căn bậc n có giá trị dương là n

a( còn gọi là căn số học bậc n của a)

o Căn bậc n có giá trị âm là n

Chương 2

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC

2.1 Ứng dụng trong giải phương trình căn thức

2.1.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh

nghiệm duy nhất giải phương trình dạng f x g x  [g x  có thể là hằng số]

 Chứng minh f x  là đơn điệu trên D

 Bước 2: Chỉ ra x0Dsao cho f x 0 k

 Bước 3: Kết luận x0 là nghiệm duy nhất của f x g x k

o Nếu g x là hàm số

 Bước 1: Xét f x và g x 

 Tìm TXĐ DD xD y của f x và g x 

 Tìm f ' x và g x' 

 Chứng minh f x và g x  ngược tính đơn điệu

 Bước 2: Chỉ ra x0Dsao cho f x 0 g x 0

 Bước 3: Kết luận x0 là nghiệm duy nhất của f x g x 

o Khi hàm g x là hàm hằng ta chỉ cần chỉ ra hàm f x  đơn điệu

o Khi f x và g x cùng tính đồng biến hoặc nghịch biến chuyển sang cách khác

o Ta có thể biến đổi f x g x  thành f x g x 0 Sau đó xét tính đơn điệu của hám số h x  f x   g x

 

  

Suy ra f đồng biến trên  1, 

Ta thấy f  0 3 suy ra x3 là nghiệm duy nhất của phương trình f x 3 Vậy f x  là phương trình có một nghiệm duy nhất x3

Ví dụ 2: Giải phương trình 5 2

2x 5x 5x2 2 x 0 Giải

Suy ra f đồng biến trên , 2, g nghịch biến trên , 2

Ta thấy f  1 g 1 suy ra x1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1

Ví dụ 3: Giải phương trình 2

3x 2 6  x 3x 12 Giải

Điều kiện:

2 3 6

Ta thấy f là hàm liên tục trên 2, 6

Ta thấy f  2 0 suy ra x2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

Ví dụ 4: Giải phương trình 2

4x 1 4x  1 1 Giải

Điều kiện:

2

141

11

4

22

12

x x

x x

Ta thấy f  0   1 x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x0

Suy ra f đồng biến trên 1, 

Ta thấy f  2   4 t 2 là nghiệm duy nhất của phương trình  1

Vậy phương trình  1 có nghiệm duy nhất t2

Ta thấy 3 6 3

f       x

  là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3

Suy ra f đồng biến trên 1,

Ta thấy f  2   0 x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

1) Giải phương trình 2 2

3 x x  2 x x 1 2) Giải phương trình 4 x 2 22 3 x x28

3) Giải phương trình x 2 4   x 6x 18

4) Giải phương trình 3x7  5 4 x 3 x3

5) Giải phương trình 2 x  2 2 x  1 x  1 4

6) Giải phương trình 15 x 3 x 6

Suy ra f là hàm đồng biến trên 3, 2

Ta nhận thấy f  1   1 t 1là nghiệm duy nhất của phương trình  2

Vậy phương trình  2 có nghiệm duy nhất t1

Khi đó ta có 2 2

5 12

5 12

Ta nhận thấy f  2   0 x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Suy ra f là hàm đồng biến trên  2, 4

Ta nhận thấy f  3   0 x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3

Ta nhận thấy f  1   0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1

Ta thấy f là hàm liên tục trên  1, 

Suy ra f là hàm đồng biến trên  1, 

Ta nhận thấy f  3   2 x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3

6) 15 x 3 x 6

Giải Điều kiện:

Suy ra f là hàm nghịch biến trên , 3

Ta nhận thấy f      1 6 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1

Ta nhận thấy f  5   2 x 5 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 5

Ta nhận thấy f      1 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1

9) 3x  1 x 7x  2 4

Giải Điều kiện:

Ta nhận thấy f  1   4 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

10) 3x 5 2x  3 2 12x

Giải Điều kiện:

5

3

53

32

1212

x

x x

x x

Suy ra f là hàm đồng biến trên 5,12

3

Ta nhận thấy f  3   2 x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x3

11) 3x  1 8 x1

Giải Điều kiện:

1

1 3

3 1

x

x x

Ta nhận thấy f  8   8 x 8 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8

Đặt t x 4

x

  với t4 khi đó  1  t 1 t 4 3  2 Xét f t  t 1 t4 Ta thấy f là hàm liên tục trên 4,

Suy ra f là hàm đồng biến trên 4, 

Mà f  5   3 t 5 là nghiệm duy nhất của phương trình  2

Vậy phương trình  2 có nghiệm duy nhất t 5

t

t t

Ta nhận thấy f      1 6 t 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất t   1

   

   

 Vậy x1là nghiệm cần tìm

14) 4x 1 4x2  1 1 0

Giải Điều kiện:

2

1

1 4

2

4 1 0

x

x x

  là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

2

x

2.1.1 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng f u x   f v x  với f là hàm đơn điệu

 Dấu hiệu: phương trình có thể đưa về dạng f u x   f v x  

o Bước 1: Biến đổi phương trình đưa về dạng f u x   f v x  

o Bước 2: Chứng minh f đơn điệu

x x

   

3

3 3

Vì

2

2 2

1

11

4x  x x1 2x1 10) Giải phương trình 3 2  

x  x  x  x x 11) Giải phương trình 3 2  2  2

x  x  x  x  x  12) Giải phương trình 8x336x253x2533x5

x x

 



  Vậy phương trình có nghiệm là S1, 2 

2) Giải phương trình  2   

8x  2 x x 6 5  x 0

Giải Điều kiện : x5

   

3 3

5 104

x x

5) Giải phương trình x 27x 1 3 2x 1

   

Giải Điều kiện: x0

Vậy phương trình có nghiệm là S 2

x

  Vậy phương trình có nghiệm là S 3

x x

x  x  x  x x

f t  t t trên .Ta thấy f liên tục trên

x x x x

 Vậy phương trình có nghiệm là S 0

2.2 Ứng dụng trong các bài toán có chứa tham số

o Bước 3: Giải phương trình f ' x 0

o Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm sốy f x và khảo sát rồi kết luận

Ví dụ 1: Cho phương trình 2  

m x  x  x ( m là tham số thực ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải a) Ta có 2  2

2 2 1 1 0,

x  x  x    x Nên phương trình  1 tương đương

2

2 2

x m

 

1

Dựa bảng biến thiên ta có phương trình  2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

10

m m

  







 thì phương trình  1 có nghiệm duy nhất

b) Dựa bảng biến thiên ta có phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt

1 31

'

x x x

x x

 

1 1

Phương trình  2 vô nghiệm khi 1

10

m m

x x x m

x x m x

x x

32

Phương trình  2 vô nghiệm khi 1 5 3

m m

 

3 3 22 2



4



Phương trình có nghiệm duy nhất thuộc 1,1

m m

m m

x

 

 Xét hàm số   2

1 1

1'

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình  2 có nghiệm duy nhất khi 1

1

m m

2

3 4

 

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Phương trình có nghiệm khi 0 m 1

Vậy 0 m 1 thì phương trình có nghiệm

3) Định m để phương trình 2m3 1x2 2 x32x21 có nghiệm duy nhất

(m là tham số thực )

Giải Điều kiện   1 x 1

 

 '

Phương trình có nghiệm duy nhất khi

thì phương trình có nghiệm duy nhất

2.2.1 Dạng 2: khảo sát thông qua ẩn phụ

o Bước 1: Cô lập m đưa phương trình về dạng f x  p m  và tìm TXĐ

D của hàm số f x 

o Bước 2: Đặt t x tìm tập giá trị D' của t với xD

o Bước 3: Biến đổi f x  p m  về dạng g t  p m 

o Bước 4: Tính g t'  và giải phương trình g t' 0

o Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số g t và khảo sát rồi kết luận

Dựa vào bảng biến thiên  1 ta có: 3 t 3 2

Ta có phương trình  1 có nghiệm khi phương trình  2 trong 3,3 2

Dựa vào bảng biến thiên  2 ta có: phương trình  2 trong 3,3 2

 

6

2 9

x t

Dựa vào bảng biến thiên  1 ta có: 0 9



Dựa vào bảng biến thiên  1 ta thấy mỗi giá trị 0,9

2

t 



  thì có 2 giá trị x suy ra phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình  3 có 2 nghiệm phân

Ví dụ 3: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

m  x  x m (m là tham số thực )

Giải Đặt 2

x

 

 Cho t  0 x 0 Bảng biến thiên  1

Dựa vào bảng biến thiên  1 ta có t1

Dựa vào bảng biến thiên  2 ta có: phương trình  2 có nghiệm khi 4

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:

Phương trình  2 có đúng hai nghiệm t   4,   /    1 m 4

Vậy m 4 thì phương trình  1 có đúng hai nghiệm

x t

1

x t

2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

f t   t  t trên 0,1

 '

cho   1

3

f t   t Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình  2 có nghiệm khi 1 1

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m thì phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt:

Để phương trình  1 có hai nghiệm thực phân biệt ta chỉ cần chứng minh

phương trình  2 có đúng một nghiệm thuộc 2,

Vậy  m 0 phương trình  1 có hai nghiệm thực phân biệt

Bài 3: Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

 

0

Khi đó phương trình đã cho tương đương

Bài 5: Một số câu trắc nghiệm

Dựa vào phân bậc nhận thức Bloom chúng tôi phân các câu hỏi vào nhóm sau:

 Hiểu – Biết

Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình x 3 2 là?

A x 3 B x 3 C x 3 D.x  3

Câu 2: Phương trình 7x 2 5 có bao nhiêu nghiệm thực?

A Vô nghiệm B Vô số nghiệm

C Nghiệm duy nhất D Hai nghiệm phân biệt

Câu 4: Với m 1 thì phương trình mx  2 m 2x có bao nhiêu nghiệm thực?

A Vô nghiệm B Vô số nghiệm

C Nghiệm duy nhất D Hai nghiệm

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình   4x 8 m có nghiệm thực?

A m 0 B m0 C m 0 D m0

 Vận dụng

Câu 1: Phương trình 7x 6 x 3 3 có nghiệm thực là

A x 1 B x 1 C x 0 D x3

x x





  

Câu 3: Số nghiệm thực của phương trình 2

A  0,3 B 1, 5, 7, 3 C 0,1, 4,3  D 2, 0, 2

Câu 8: Khi m4 thì phương trình 2x 5 x 1 5m4(m là tham số thực) có

bao nhiêu nghiệm nguyên ?

A 2 B 3 C 1 D 0

Câu 9: Có bao nhiêu tham số m nguyên để phương trình 2 2

x  x   m  m có nghiệm thực ?

A 2 B 5 C 4 D 3

Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng

A Phương trình x  6 m x3 (m là tham số thực) luôn có nghiệm thực với mọi m

B Phương trình x  6 m x3(m là tham số thực) vô nghiệm với mọi m

thực

C Phương trình x  6 m x3(m là tham số thực) luôn có nghiệm thực

với mọi m0

D Phương trình x  6 m x3(m là tham số thực) luôn có nghiệm thực



D 13 3

4



Câu 4: Tổng các giá trị m nguyên để phương trình

6.D 7.C 8.C 9.D 10.C

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An (2014), Cẩm nang luyện thi đại học – Ứng dụng hàm số giải toán Đại số và Giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,

Hà Nội

[2] Lê Hồng Đức (2008), Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Đình Thành Công (2016), Phương pháp hàm số chinh phục giải toán Phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội

[4] Nguyễn Tài Chung(2016), Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh

[5] Phan Huy Khải (2009), Phương trình và bất phương trình Đại số, NXB Khoa học

Tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội

[6] Trần Bá Hà (2016), Phương pháp giải các câu khó trong đề thi Đại học môn Toán,

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội

[7] Trần Minh Dũng – Trịnh Minh Dũng (2016), Chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ quyển 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội

http://www.slideshare.net/tuituhoc/ky-thuat-su-dung-ham-so-giai-[9] Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình vô tỷ

Truy cập từ wedsite ham-so-de-giai-phuong-trinh-vo-ti.html, ngày 01/09/2016

http://www.toanhoc.edu.vn/2015/07/su-dung-tinh-don-dieu-cua-[10] Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Truy cập từ wedsite d%E1%BB%A5ng-t%C3%ADnh-%C4%91%C6%A1n-%C4%91i%E1%BB%87u-c%E1%BB%A7a-h%C3%A0m-s%E1%BB%91-%C4%91%E1%BB%83-

http://diendantoanhoc.net/topic/81016-21-%E1%BB%A9ng-gi%E1%BA%A3i-pt-bpt-hpt/, ngày 30/08/2016