BÀI GIẢNG: TÌM ĐIỂM CÓ YẾU TỐ MIN, MAX
MÔN TOÁN LỚP 12 - THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ
I/ Tìm điểm thuộc mặt phẳng
*) Khoảng cách Đại số
Ax
( ; )
o By o Cz o D
d M P
(khoảng cách thường
Ax
o By o Cz o D
d M P
)
*) Xét sự cùng phía, trái phía 2 điểm với mặt phẳng
d A P d B P A, B trái phía
d A P d B P A, B cùng phía
VD1: Cho A(1;3;1)và B(2;0; 4)và ( ) :P x z 4 0 Tìm M( )P sao cho (MA+MB) min
Hướng dẫn giải:
1 1 4
1 1
2 4 4
1 1
d A P
d B P
Suy ra A, B khác phía với (P)
min
Suy ra A, B, M thẳng hàng
(1; 3;3)
1
3 3 :
3 1
4 0
1 3 3 5
2 2 2 2
AB
x t
AB
x z
VD2: Cho A(0; 0; 1)và B(1; 1; 1)và ( ) :P x y z 4 0 Tìm M( )P sao cho (MA+MB) min
Hướng dẫn giải:
A, B cùng phía
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua (P)
A
M
B
Trang 2' ( ) ' (1;1;1)
(1;1;1)
1 1 ' :
1 ( ) : 4 0
( 1) ( 1) ( 1) 4 0
1 4 4 4
; ;
3 3 3 3
P
B
x t
y t
BB
z t
Vì H là trung điểm BB’
Phương trình đường thẳng
5 ' : 5
1 2
Để MAMB min thì M AB' P
' 5 ; 5 ; 1 2
1
5 5 1 2 4 0
4
5 5 3
; ;
4 4 2
M
VD3: Cho A(2;0;0)và B(0;1;0),( ) :P x y z 1 0 Tìm M( )P sao cho MA MB max
Hướng dẫn giải:
A,B cùng phía
AMBM AB
Dấu “=”A,B,M thẳng hàng
B
M
B’
B
A
M
M
Trang 32 2 ( 2;1; 0)
: 0 (2; 0; 0)
( 4;3; 0)
y t AB
AB z A
M
TH: A,B khác phía
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua (P)
Khi đó, M là giao điểm của AB’ và (P)
II/ Điểm thuộc đường thẳng
+) Đưa M (tham số)
+) Lập công thức
Biến về bài toán Min, Max
VD5: Cho :
d t và A(0;0;3), (0;3;3)B Tìm M( )d sao cho (MA+MB) min
Hướng dẫn giải:
( ; ; )
( ; 3; 3) ( 3) ( 3)
3 6 9 3 12 18
( ) 3 6 9 3 12 18
'( )
2 3 6 9 2 3 12 18
M t t t
f t
Cho '( ) 0 3
2
f t t
3 3 3
; ;
2 2 2
M
Tìm K sao cho KA KB 3KCmin, A(1;1;0), (3; 1; 4), ( 1;0;1)B C
B
A
M
B’
M
Trang 4Hướng dẫn giải:
( 1; 1; 2 2)
(2 ; ; 2 2 )
(4 ; 2 ; 6 2 )
3 ( 3 ; 3 3 ;9 6 )
3 ( 6; 1; 2 1) ( 6) (1 ) (2 1) 6 6 38
2
2 6 6 38
t