7 đề thi online – nguyên hàm từng phần – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu đề thi: - Sử dụng thành thạo công thức tính nguyên hàm từng phần.. Chọn D.Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm loga v

ĐỀ THI ONLINE – NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu đề thi:

- Sử dụng thành thạo công thức tính nguyên hàm từng phần

- Biết được các đối tượng ưu tiên khi tính nguyên hàm từng phần

- Xử lý tốt các bài toán nguyên hàm quay đầu

Cấu trúc đề thi:

Đề thi gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm được phân thành 4 cấp độ

Câu 1 (Nhận biết) Nguyên hàm của hàm số   x

f x xe là:

A. xexexC B. ex C C.

2 x

x

e C

2  D. xex ex C

Câu 2 (Nhận biết) Kết quả ln xdx là:

A. xlnx + x + C B. Đáp án khác C. xlnx + C D. xlnx – x + C

Câu 3 (Nhận biết). x sin x cos xdx bằng:

A. 1 1sin 2x xcos 2x C

sin 2x cos 2x C

C. 1 1sin 2x xcos 2x C

sin 2x cos 2x C

Câu 4 (Nhận biết) Tính Icos xdx ta được:

A. 2 x sin xcos xC B. 2 x sin xcos xC

C. x sin xcos xC D. x sin xcos xC

Câu 5 (Nhận biết) Ta có x xa

e



 là một họ nguyên hàm của hàm số   x

x

f x

e

 , khi đó:

A. a = 2 B. a = -1 C. a = 0 D. a = 1

Câu 6 (Nhận biết) Tính I x sinxdx

3

 ta được:

A. 9sinx 3x cosx C

3 3 B. 9sinx 3x cosx C

3 3

C. 9cosx 3x sinx C

3 3 D. 9cosx 3x sinx C

3 3

Câu 7 (Thông hiểu) Tìm họ nguyên hàm   2 x

F x x e dx ?

F x  x 2x2 e C B.    2  x

F x  2x  x 2 e C

F x  x 2x2 e C D.    2  x

F x  x 2x2 e C

Câu 8 (Thông hiểu) Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số yx.cos x mà F(0) = 1 Phát iểu nào sau đây đúng:

A. F(x) là hàm chẵn

B. F(x) là hàm lẻ

C. F(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2

D. F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ

Câu 9 (Thông hiểu) Một nguyên hàm   x a cos 3x 1

x 2 sin 3xdx sin 3 x 2017



bằng:

A. S = 14 B. S = 15 C. S = 3 D. S = 10

Câu 10 (Thông hiểu) Một nguyên hàm của   2

x

f x

cos x

 là:

A. xtanx – ln|cosx| B. xtanx + ln(cosx) C. xtanx + ln|cosx| D. xtanx – ln|sinx|

Câu 11 (Thông hiểu) Tính x ln 3xdx3

A. 1x ln 3x4 C

C. 1x ln 3x4 1 x4 C

   D. 1x ln 3x4 1 x4 C

4 16 

Câu 12 (Thông hiểu) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số   2

x

f x

cos x

 thỏa mãn F 0 0 Tính

 

F  ?

A. F   1 B.   1

F

2

  C. F  1 D. F  0

Câu 13 (Vận dụng) Nguyên hàm của hàm số Icos 2x ln sin x cos x dx là:

A. 1    1

I 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C

I 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C

I 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C

I 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C

Câu 14 (Vận dụng) Tính  2 

Iln x x 1 dx ta được:

x ln x x  1 x  1 C B.  2  2

ln x x  1 x  1 C

x ln x x  1 x  1 C D.  2  2

ln x x  1 x  1 C

Câu 15 (Vận dụng) Tính 2

Ix tan xdx ta được:

A. 1 2

x x tan x ln cos x C

2

x x tan x ln cos x C 2

C. 1x2 x tan x ln cos x C

2    D. 1x2 x tan x ln cos x C

Câu 16 (Vận dụng) Tìm hàm số F(x) của   x x

2 1

f x

e



 biết F(0) = 1

A.   xx 

2 ln 2 1

F x

e ln 2 1



F x

ln 2 1 e e ln 2 1

C.   xx 

2 ln 2

F x

e ln 2 1





F x

e

 

   

Câu 17 (Vận dụng) Cho F x  x1 f ' x dx   Tính If x dx  theo F(x)

A. Ix 1 f x   2F x C B. IF x   x 1 f x   

C. Ix 1 f x   C D. Ix 1 f x     F x C

Câu 18 (Vận dụng) Tính 2 x

Ie cos 3xdx ta được:

2sin 3x 3cos 3x C

3sin 3x 2 cos 3x C

C. e2x  

2sin 3x 3cos 3x C

3sin 3x 2 cos 3x C

Câu 19 (Vận dụng cao) Nguyên hàm của hàm số  2  x

x

x x e

x e







F x xe  1 ln xe  1 C B.   x x

F x e  1 ln xe  1 C

F x xe  1 ln xe  1 C D.   x x

F x xe  1 ln xe  1 C

Câu 20 (Vận dụng cao) Tính

2 2 2

x 1

dx

x 1





A. 2x C

x 1

2x C

x 1

x C

x 1

2x C

x 1

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

Câu 1

Phương pháp:

ux, dve dx

Cách giải:

f x dx xe dx x.e e dx xe e C

dv e dx v e

Chọn D.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm số mũ ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 2

Phương pháp:

Đặt uln x, dvdx

Cách giải:

Đặt

1

u ln x du dx

ln xdx x ln x dx x ln x x C

x

dv dx

v x



Chọn D.

Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm loga và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u là hàm loga

Câu 3

Phương pháp:

Sử dụng công thức nhân đôi sin x cos x 1sin 2x

2

 , sau đó dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt

ux, dvsin 2xdx

Cách giải:

1

I x sin x cos xdx x sin 2xdx

2

Đặt

du dx

cos 2x

2







Chọn A.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 4

Phương pháp:

Trước hết ta nên đặt t x để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Cách giải:

x    t x t dx2tdt I 2 t cos tdt.

I 2 t sin t sint dt C 2 t sin t cos t C 2 x sin x cos x C

dv cos tdt v sin t

Chọn B.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 5

Phương pháp:

Đặt u x x

dv e dx









 , sau đó tính nguyên hàm và suy ra a

Cách giải:

x

x

F x dx xe dx

e



Đặt   x x x x   x

x

e

dv e dx v e

x

x a

e



 là một họ nguyên hàm của hàm số   x

a 1 x

C 0 e







Chọn D

Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm đa thức và hàm mũ, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 6

Phương pháp:

Đặt u x, dv sinxdx

3

Cách giải:

F x x sin dx

3

 

F x 3x cos 3 cos dx C 3x cos 9 sin C

dv sin dx v 3cos

Chọn B.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 7

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần

Cách giải:

1 x

x

du 2xdx

u x

F x x e 2 xe dx x e 2I C

v e

dv e dx







2

I x.e e dx xe e C

dv e dx v e

Do đó   2 x  x x  2 x x x  2  x

F x x e 2 xe e C C x e 2xe 2e  C x 2x2 e C

Chọn A.

Câu 8

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt u x ,

dv cos xdx





 sau đó sử dụng giả thiết F(0) = 1 để

tìm hằng số C và xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số F(x) tìm được

Cách giải:

Ta có F x x.cos xdx

Đặt u x du dx F x  x sin x sin xdx C x sin x cos x C

dv cos xdx v sin x

F 0  1 0sin 0 cos 0 C 1        1 C 1 C 0 F x x sin xcos x

Ta có: F       x x sin  x cos  x x sin xcos xF x F x  là hàm chẵn

Chọn A.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 9

Phương pháp:

Đặt u  x 2, dvsin 3xdx, sau đó đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình để tìm ra các hệ số a, b, c, C

Cách giải:

Đặt

du dx

u x 2

cos 3x

dv sin 3xdx v

3

x 2 sin 3xdx x 2 cos 3 x cos 3xdx C x 2 cos 3x sin 3x C





 

Một nguyên hàm   x a cos 3x 1

x 2 sin 3xdx sin 3 x 2017



a 2

b 3

S ab c 2.3 9 15

c 9

C 2017





 

 



 



Chọn C.

Chú ý và sai lầm: Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Câu 10

Phương pháp:

Nhận thấy 12 dx tan x

cos x 

 nên ta đặt u x, dv 12 dx

cos x

Cách giải:

    x2

F x f x dx dx

cos x

Đặt

 

2

u x

du dx 1

v tan x

cos x

d cos x sin x

F x x tan x tan xdx C x tan x dx C x tan x C x tan x ln cos x C

Khi C 0 F x x tan x ln cos x





Chọn C

Câu 11

Phương pháp:

Đặt u ln 3x3

dv x dx









Cách giải:

Đặt

4

1

du dx

I x ln 3x x dx C x ln 3x C

dv x dx x

v 4









Chọn D.

Chú ý và sai lầm: Khi xuất hiện hàm đa thức và hàm ln ta ưu tiên đặt u là hàm ln

Câu 12

Phương pháp:

Nhận thấy 12 dx tan x

cos x 

 nên ta đặt u x, dv 12 dx

cos x

Cách giải:

   

2

u x

du dx 1

v tan x

cos x

d cos x sin x

F x x tan x tan xdx C x tan x dx C x tan x C x tan x ln cos x C

F 0 C 0 F 0





Chọn D.

Câu 13

Phương pháp:

Dùng công thức nhân đôi 2 2   

cos 2xcos x sin x  cos x sin x cos x sin x , bằng cách đặt ẩn phụ

tsin x cos x ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm ln và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u bằng hàm ln

Cách giải:

Ta có:

cos 2x ln sin x cos x cos x sin x cos x sin x ln sin x cos x

I cos x sin x cos x sin x ln sin x cos x dx

Đặt tsin xcos xdtcos x sin x dx  , khi đó ta có:It ln tdt

1

du dt

u ln t t

dv tdt t

v 2







2

1

2 2

1

1

2

1

I t ln t tdt C t ln t C

sin x cos x 1

sin x cos x ln sin x cos x C

sin x cos x sin 2x ln sin x cos x C

1 sin 2x ln sin x cos x C

1 sin 2x ln 1 sin 2x C







Chọn C.

Câu 14

Phương pháp:

Đặt  2 

u ln x x 1

dv dx







Cách giải:

2

1

dv dx









1 2

x

x 1



2

t

x 1



Khi đó ta có:  2  2

Chọn A.

Câu 15

Phương pháp:

Sử dụng công thức 2

2

1 tan x 1,

cos x

  sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Cách giải:

2

Ta có:

2

Đặt

2

u x

du dx 1

v tan x

cos x



 

d cos x sin x

I x tan x tan xdx C x tan x dx C x tan x C x tan x ln cos x C

I x tan x ln cos x C C x tan x ln cos x C

Chọn A.

Câu 16

Phương pháp:

Tách nguyên hàm ban đầu thành   x  

x

2 1

F x dx 2 1 e dx 2 e dx e dx

e



Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt

x

x

u 2

dv e dx

 







 , lưu ý

đây là nguyên hàm quay đầu

Cách giải:

x

2 1

F x dx 2 1 e dx 2 e dx e dx 2 e dx e C I e C

e



Đặt

u 2 du 2 ln 2dx

dv e dx v e

 

   

x

x

2 e

I 2 e ln 2 2 e dx C 2 e ln 2.I C ln 2 1 I C 2 e I C

ln 2 1

ln 2 1 ln 2 1 e e

ln 2 1 e e ln 2 1 ln 2 1 e e ln 2 1









   



Chọn B.

Câu 17

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt u = x + 1 và dv = f’(x)dx

Cách giải:

Đặt

dv f ' x dx v f x

               

F x x 1 f x f x dx C I f x dx x 1 f x F x C

Chọn D.

Câu 18

Phương pháp:

Đây là nguyên hàm quay đầu, sau khi nguyên hàm từng phần 2 lần ta thấy xuất hiện đúng nguyên hàm cần tìm ban đầu

Cách giải:

Đặt

2x 2x

1

du 2e dx

I 2 sin 3x e sin 3xdx C sin 3x

dv cos 3xdx v

3



Xét nguyên hàm 2x

e sin 3xdx

 , đặt

2x 2x

da 2e

e sin 3xdx e cos 3x e cos 3x C e cos 3x I C cos 3x

b sin 3 xdx db

3

Do đó ta có

2x

I e sin 3x e cos 3x I C C

I e sin 3x e cos 3x C

1

I e 3sin 3x 2 cos 3x C

13

Chọn D.

Câu 19

Phương pháp:

Quy đồng mẫu, biến đổi biểu thức, ta có nhận xét  x    x

xe 1 ' x 1 e nên đặt  

x

x x

u xe

x 1 e

xe 1

 







Cách giải:

Ta có:  2  x  2  x  2  2x x  x

x

x

xe 1

e





x

x x

x

u xe

du e xe dx x 1 e dx

d xe 1

x 1 e

v ln xe 1



Khi đó ta có: x x x   x

Ixe ln xe  1 ln xe 1 x 1 e dx C

txe  1 dt e xe dx x 1 e dx ln xe 1 x 1 e dx ln t dt

 x  x  x 

1

u ln t du dt

ln t dt ln t t dt C ln t t t C xe 1 ln xe 1 xe 1 C

t

dv dt

v t





Ixe ln xe  1 xe 1 ln xe  1 xe   1 C xe  1 ln xe  1 C

Chọn A.

Câu 20

Phương pháp:

Nhận xét

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt  

2

2 2

u x

d x 1 dv

x 1







Cách giải:

Ta có:

Ta tính

2 2

xd x 1 2x

dx





  bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

2 2

2

2

u x

du dx

x 1

x 1







Từ (1) và (2) suy ra

2

2

x 1



Chọn C.

Chú ý và sai lầm: Ta không thể chia cả tử và mẫu cho x2 do x = 0 vẫn thuộc vào tập xác định của hàm số