5 tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (tiết 2)

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

(PHẦN 2)

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn:

a) z 1 2i 5 và z z 34

b) z    2 i z 1 2i và 1 1

10

z 

c) 1

1

z i

z

 và (z3)(z3 )i 9.

Giải

a) z 1 2i 5 và z z 34

Gọi z a bi ( ,a b )

+) z 1 2i     5 a bi 1 2i  5 (a1)2 (b 2)2  5 (a1)2 (b 2)2 25

2 2

     (1)

+) z z 34 2 2

(a bi a bi)( ) 34 a b 34

Từ (1) và (2) ta có hệ

2 2

2 2

34

a b





Thế a2 34b2 vào (1) ta được 34 2 a4b20 a 2b   7 a 2b7

Thế a2b7 vào (2) ta được:

  





    



Vậy số phức cần tìm là 1 3 5 ; 2 29 3

z   i z    i

b) z    2 i z 1 2i và 1 1

10

z 

Gọi z a bi ( ,a b )

+) z    2 i z 1 2i        a 2 bi i a 1 bi 2i

( 2) ( 1) ( 1) (2 )

( 2) ( 1) ( 1) (2 ) 4 4 2 1 2 1 4 4

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

2a 2b 0 a b 0

      (1)

+) 1 1 1 1

a bi

Từ (1) và (2) ta có hệ 2 20

10

a b

 





 

Thế a b vào (2) ta được 2 2 10 2 5 5 5

    

   

Vậy số phức cần tìm là z1  5 5 ;i z2   5 5 i

c) 1

1

z i

z

 và (z3)(z3 )i 9.

Gọi z a bi ( ,a b )

+) 1

1

z i

z

    z i z 1

2b 1 2a 1 a b 0

          a b

+) (z3)(z3 )i   9 z 3 z3i 9

3 ( 3) 9 ( 3) ( 3) 9

(a3) a a  (a 3)  9 a  (a 3) 9

2 6 0

  



        

Vậy số phức cần tìm là z1 0;z2   3 3 i

Ví dụ 4:

a) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 4i  z 2i và z 1 2i min

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của z biết (2z)(1z) là thuần ảo

Giải

a) +) z 2 4i  z 2i

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

Gọi z a bi ( ,a b ) Điều kiện đã cho trở thành

4 4 8 16 4 4 4 4 16

     

+) z 1 2i 2 2

1 2 ( 1) ( 2)

Thế b 4 a ta được 2 2 2

(a1)  (2 a)  2a 2a5 Ycbt  2a22a5 min2a22a5 min

Xét hàm số y 2a2 2a5

Có

2

2

a



Từ bảng biến thiên 1

2

a

  thì z 1 2i min Thay 1

2

a vào b 4 a 7

2

b

Vậy 1 7

2 2

z  i

b) (2z)(1z)=2 2 z z z z

Gọi z a bi ( ,a b ) Điều kiện đã cho trở thành:

2 2( a bi ) ( a bi) ( a b )  2 a a  b 3bi

Ycbt   a2 b2   a 2 0 b2   a2 a 2

Vì b2         0 a2 a 2 0 1 a 2

2 2

z  a b thay 2 2

2

b    a a ta được z  a2a2  a 2 a2

Vì        1 a 2 1 a 2 4 a 2 1

Dấu “=” xảy ra khi a      2 1 a 1 b 0

Vậy min z 1 khi a 1;b0

2



'

y