21 ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I.. Xoay quanh trục hoành Ox * Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x y , 0,xa x, bquay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay.

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC)

BÀI GIẢNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

I Xoay quanh trục hoành (Ox)

* Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x y( ), 0,xa x, bquay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích xoay quanh Ox được tính theo công thức:

2

b

x a

V  f x dx

Chú ý: Khi không cho đầy đủ các đường thẳng xa x, bta xét phương trình hoành độ giao điểm f x( )0

* Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x y( ), g x x , a x, bquay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích xoay quanh Ox được tính theo công thức:

b

x a

V  f x g x dx

Chú ý: Khi không cho đầy đủ các đường thẳng xa x, bta xét phương trình hoành độ giao điểm f x( )g x 

II Áp dụng

Ví dụ 1 Tính thể tích xoay quanh Ox bị giới hạn bởi:

a)

3

1

0

1

1

y x

y

x

x

  



  





b)

sin 0

4 0

x x y

















c)

1 0 4

y x









d)

0

y

0 0

x

y x





Giải

a)

1

1

16

7

Ox



b)

2

/ 4

0

x



= ( 1) 0



2

 

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

x 1 0  x = 1

=>

4

2 1

7

6

Ox

V   x dx 

d) Đường tròn: y2 = 9 – (x – 2)2

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 9 – (x – 2)2

= 0

 x = 5 hoặc x = -1

Ox

e) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2(x – 1).ex = 0  x = 1

=>

1

2 2 0

I  x e dx

=> V = (e2 – 5) Π

Ví dụ 2 Tính thể tích quay quanh trục Ox

a)

2 2

y x

sin cos 4 2

x x









 















c) y = x2 + 1 và tiếp tuyến tại A(1; 2)

Giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2x – x2 = x  x2 – x = 0

 x = 0 hoặc x = 1

=>

1

0

Ox

b) =>

/ 2 1

/ 4

Ox



c) yx21

Ta có: y'2xy' 1 2

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx21 tại điểm A 1; 2 là:   y2 x 1    2 2x

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Ta cần tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi đồ thị hàm số yx21 và đường thẳng y2x quanh quanh trục Ox

x  1 2x x 1   0 x 1

Khi đó ta có:

 

Ox

1

0

II Xoay quanh trục Oy

Thể tích quay quanh trục tung (Oy) được giới hạn bởi:

x = f(y) ; trục tung ; y = a ; y = b

b

Oy

a

V   f y dy

Ví dụ: Tính thể tích xoay quanh trục Oy được giới hạn bởi:

a) y = 2x ; y = 1 ; y = 4 ; trục tung

b) y x1 ; y = 2 ; trục hoành ; trục tung

c) y = ln x ; y = 0 ; y = ln2 ; trục tung

d) y x ; y = - x + 2 ; y = 0

Giải

a)

2 1

1

Oy



b)

2

0

Oy

c)

ln 2

0

ln 2

0

Oy

V  e dy e    



d) Xét phương trình tung độ giao điểm:

y2 = 2 – y  y2 + y – 2 = 0

 y = 1 hoặc y = -2 (loại vì y0)

=>

1

0

32

15

Oy

V   y  y dy 