20 ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I.. Khi đó diện tích hình phẳng vẫn được tính theo công b a S  f x g x dx Phương pháp chung cho cả 2 dạng trên Cách 1: Đại số -Bước 1: X

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC)

BÀI GIẢNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I Lý thuyết

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x ,yg x x , a x, b

| ( ) ( ) |

b

a

S  f x g x dx

Trường hợp đặc biệt khi g x 0 (trục hoành) thì diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đồ thị hàm số y f x ,y0,xa x, b là | ( ) |

b

a

S  f x dx

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số y f x ,yg x 

Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm f x   g x 0 Giả sử phương trình có n nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự a x1 x2   x n b Khi đó diện tích hình phẳng vẫn được tính theo công

b

a

S  f x g x dx

Phương pháp chung cho cả 2 dạng trên

Cách 1: Đại số

-Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm Suy ra các nghiệm a x1 x2   x n b(nếu cho sẵn 2 đường thẳngxa x, bthì chỉ xét các nghiệm thuộc (a, b))

-Bước 2: Diện tích hình phẳng

| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx

f x g x dx f x g x dx f x g x dx





Cách này dùng khi có sự tham gia của 2 đồ thị hàm sốy f x ,yg x 

Cách 2: Đồ thị

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Khi hình phẳng bị giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường cong

II Áp dụng

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 – 3x2 , trục hoành (y = 0), trục tung (x = 0) và đường thẳng x = 4

Giải

Cách 1

4

0

| 3 |

hp

S  x  x dx

+) Cho: x3 – 3x2 = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 3

=>

| 3 | | 3 |

I  x  x dx x  x dx

=

|x 3x dx| | x 3x dx|

=

Cách 2:

| 3 | | 3 |

I  x  x dx x  x dx

27 27 27

4 4 2

S  x  x dx x  x  dx   x x dx x  x dx  

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sin x, y = 1, trục tung, x =

Giải

+)

/ 2

0

| sin 1|



Xét sin x – 1 = 0 (x ∈ [0; ])

 x =

0 0

2



Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y 1 ln x

x



Giải

Chú ý: Nếu đề bài không đủ cận thì xét phương trình hoành độ giao điểm

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

1 lnx 0

x



  1 ln x0 lnx  1 x e

=>

1 ln 1 ln

Đặt 1 ln x t  ta có:

=> 1 ln x t2

=> 1dx 2tdt

x

2

3 3

t

S  t  t dt  t dt  

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – x + 3 và y = 2x + 1

Giải

Cách 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x2 – x + 3 = 2x + 1

⟺ x2

– 3x + 2 = 0

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

⟺ x = 1 hoặc x = 2

S  x   x x dx x  x dx  x  x dx

=

2

1

2

x x

x

Cách 2

Vẽ đồ thị

Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng:

2

2

2 2(1)

4 5(2)

1(3)

y x x

y x x

y

   





Giải

2

2

2 2 (1)

4 5 (2)

y x x

y x x

y

   



 



+) Xét phương trình: x2

– 2x + 2 = x2 + 4x + 5  6x = -3 ⟺ x = 1

2



1

1 1

2 2

9 9 9

hp

Ví dụ 6.Tính diện tích hình phẳng:

y = |x2 – 4 x + 3| và ∆: y = x + 3

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

0

x

                 

Dựa vào hình vẽ ta có

Cách 1:

6

13 27 29 125 27 109

x x dx x x dx x x dx

x

Cách 2:

125 4 109

x