Tính toán hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán dẫn PARAPOL

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- Phạm Thị Khánh Huyền TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL C

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Phạm Thị Khánh Huyền

TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440130.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LƯƠNG VĂN TÙNG GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Lương Văn Tùng và GS.TS Nguyễn Quang Báu - người đã trực tiếp huớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo sau Đại học, Truờng Ðại học Khoa học Tự nhiên – Ðại học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt nhất

Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, góp ý và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 28 tháng 12 năm 2018

Học viên

Phạm Thị Khánh Huyền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 1

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 2

5 Nội dung nghiên cứu 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

1.1 Tổng quan về hố lượng tử bán dẫn parabol 4

1.1.1 Hố lượng tử bán dẫn parabol 4

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW 5

1.2 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu 6

1.2.1 Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 6

1.2.2 Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn… 7

1.2.3 Tương tác electron-phonon-photon 9

1.2.4 Phương pháp profile 12

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN GIẢI TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ QUANG TRONG HỐ LƯỢNG TỬ BÁN DẪN PARABOL 14

2.1 Hố thế bán Parabolic hữu hạn 14

2.1.1 Khái niệm hố thế bán Parabolic hữu hạn 14

2.1.2 Hàm sóng của hạt chuyên động trong hố thế bán Parabolic hữu hạn 15

2.1.3 Chuẩn hóa hàm sóng 17

2.1.4 Đồ thị hàm sóng 20

2.1.5 Năng lượng 21

2.2 Hệ số hấp thụ quang- từ 21

2.3 Tính tích phân theo tọa độ và số sóng phonon trong hố thế bán Parabolic hữu hạn 31

2.3.2 Miền thứ hai và thứ ba 0 < z < B 32

2.3.3 Miền thứ tư z > B 33

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 35

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

PHỤ LỤC 52

CÁC TỪ VIẾT TẮT

1 MOAC (magneto-optical absorption coefficient) -Hệ số hấp thụ quang-từ

2 FSPQW ( finite semi-parabol quantum well) - Hố thế bán parabol hữu hạn

3 FWHM (full width at half maximum) - Độ rộng vạch phổ

DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ Bảng 1 Kết quả xác định các tham số 39

Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái n=0 ứng vớiU0 228meV , z 0.4 L0 , và tính được L0= 15.35 nm, B = 49.71 nm 20

Hình 2.3 Hàm sóng trạng thái n=1 khi chọnU0 228meV ,

0

0.4

được L1 = 23.46 nm, B = 49.71nm 21

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của tích f0,0(1 f1,1)vào nồng độ Al 35

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng ngưỡng ∆E vào nồng độ Al đối với các giá

trị nhất định của bề rộng hố thế L, và từ trường B 36

Hình 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với

các nồng độ nhôm khác nhau khi B=10T, L=15nm, T=77K Hình chèn nhỏ cho thấy

sự phụ thuộc của vị trí đỉnh theo nồng độ nhôm s trong quá trình hấp thụ một photon (trục tung bên trái) và yếu tố - (trục tung bên phải) 36

Hình 3.4 Sự phụ thuộc của FWHM vào nồng độ Al tại B =10 T, L =15 nm và T= 77

K Các ký hiệu màu xanh và trống là các quá trình hấp thụ một và hai photon tương ứng 38

Hình 3.5 MOAC phụ thuộc năng lượng photon tới đối với các giá trị khác nhau của

nhiệt độ khi s= 0.3, B=10T, T=77K 40

Hình 3.6 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào bề rộng hố thế khi từ trường

B=10T, nồng độ nhôm s=0.3 ở nhiệt độ T=77K 41

Hình 3.7 Sự phụ thuộc của hệ sô hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với

các giá trị từ trường khác nhau khi độ rộng hố thế L=15nm, nồng độ nhôm s=0.3,

nhiệt độ K=77K Hình chèn nhỏ mô tả sự phụ thuộc của đỉnh đồ thị vào từ trường B (trục trái) và yếu tố G (trục phải) cho quá trình hấp thụ một photon 42

Hình 3.8 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường B khi s=0.3, L=15nm

và T=77K 43

Hình 3.9 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với

các nhiệt độ khác nhau khi L=15nm, s=0.3 và B=10T 44

Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ khi s=0.3, L=15nm;

B=10T 45

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình hấp thụ đa photon trong bán dẫn đã được nhóm H.J Lee, N.L Kang, J.Y Sug, S.D Choi nghiên cứu và công bố trong danh mục các công trình từ công trình [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] trong danh mục tài liệu tham khảo Trong những công trình này nhóm tác giả chủ yếu sử dụng phương pháp toán tử chiếu để thu được độ dẫn quang phi tuyến

Tính toán hệ số hấp thụ quang phi tuyến trong bán dẫn thấp chiều trong trường hợp hấp thụ một photon cũng đã được nhiều nhóm tác giả nghiên cứu và công bố kết quả được liệt kê từ các công trình [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,

20, 21] Bài toán hấp thụ đa photon trong vật liệu bán dẫn nói chung bán dẫn thấp chiều nói riêng là rất phức tạp

Trong những năm gần một số nhóm tác giả đã áp dụng thành công phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green và đã bước đầu thu được một số kết quả về hấp thụ quang phi tuyến trong trường hợp hấp thụ hai photon cho một số vật liệu bán dẫn thấp chiều và đã được công bố trong các công trình [22,

23, 24, 25]

2 Tính cấp thiết của đề tài

Nghiên cứu các hiệu ứng quang trong các bán dẫn nói chung, bán dẫn

thấp chiều nói riêng đang được các nhà nghiên cứu vật liệu trong nước và thế giới quan tâm một cách đặc biệt vì khả năng ứng dụng của nó trong tương lai là hết sức to lớn Chính vì những lý do trên mà trong những năm gần đây, quá trình hấp thụ đa photon, trong đó có quá trình hấp thụ hai photon đã được quan tâm nghiên cứu [1–7] Trong những công trình này, độ dẫn quang phi tuyến bậc nhất và bậc hai

đã được thu nhận bằng phương pháp chiếu toán tử Mặc dù những kết quả thu được có ý nghĩa vật lý rất rõ ràng và hữu ích trong việc nghiên cứu độ dẫn quang trong các hệ bán dẫn thấp chiều, nhưng các tính toán giải tích là rất phức tạp Vì vậy những kết quả này ít được áp dụng để khảo sát các quá trình phi tuyến, đặc biệt

là áp dụng để tính số Do đó, các nhà nghiên cứu thường áp dụng các phương pháp khác nhau và đã nghiên cứu thành công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ

quang phi tuyến trong các hệ bán dẫn thấp chiều [8–20] Kết quả của các công trình này cho thấy rằng hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh vào thế giam giữ [11,14], cấu trúc của hệ [8–10,13–18], áp suất thủy tỉnh [16,17,19], cũng như trường ngoài [12,20] Tuy nhiên, những công trình này chỉ giới hạn ở việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang thông qua quá trình hấp thụ một photon, còn vấn đề hấp thụ hai photon vẫn

chưa được quan tâm nghiên cứu

Trong thời gian gần đây, chúng tôi đã thành công trong việc áp dụng phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green để đưa ra được biểu thức tường minh cho công suất hấp thụ và hệ số hấp thụ quang, trong đó bao hàm được quá trình hai photon [21] Áp dụng kết quả thu được, chúng tôi đã thành công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến nhờ vào quá trình hai photon trong hố lượng tử parabol khi có điện trường [22] và khi không có điện trường [23], cũng như trong hố lượng tử với thế Gauss [24]

Trong thời gian gần đây, đã có những nghiên cứu thành công hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến trong nhiều loại hố lượng tử khác nhau như hố lượng tử parabolic, bán parabol bất đối xứng, hố thế tam giác,…

Tuy nhiên, hầu hết các công trình chỉ nghiên cứu cho các hố thế vô hạn Các

hố thế hữu hạn hầu như chưa được nghiên cứu Trong đề tài này chúng tôi khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon với hố lượng tử bán parabol hữu hạn Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ được thu nhận từ phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green Kết quả tính số được áp dụng cho vật liệu GaAs/AlGaAs Đây là một cấu trúc dễ chế tạo và có nhiều ứng dụng trong công nghệ Vì vậy việc nghiên cứu hiệu ứng hấp thụ quang qua quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán parabol hữu hạn có ý nghĩa cả về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng, và cần được quan tâm nghiên cứu

3 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là: xác định biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ quang trong FSPQW và khảo sát tính số để tìm các tích chất quan trong vật liệu nghiên cứu

Đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp

hàm Green Đây là một phương pháp hiện đại, đáng tin cậy trong nghiên cứu vật lý

lý thuyết để tìm biều thức giải tích của hệ số hấp thụ photon

Chúng tôi sử dụng phần mềm Mathematica, Matlab để khảo sát số, vẽ đồ thị

5 Nội dung nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu những nội dung chủ yếu sau:

a Tính toán, thu biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ photon trong FSPQW

khi có mặt của trường điện từ

b Sử dụng các phần mềm toán học, khảo sát số để phát hiện hiệu ứng hấp

thụ quang và từ đó tính độ rộng vạch phổ (FWHM) của quang phổ hấp thụ

c Giải thích kết quả của hiệu ứng và dự đoán khả năng ứng dụng của nó

trong kỹ thuật, công nghệ

Đề tài nghiên cứu đã được nhận đăng trên tạp chí chuyên ngành Tên bài báo

: “ Two – photon induced magneto- optical absorption in finite semi- parabolic

quantum wells.” gửi đăng trên tạp chí : “ Superlatives and Microstructures.”

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.1 Tổng quan về hố lượng tử bán parabol hữu hạn

1.1.1 Hố lượng tử bán dẫn parabol hữu hạn

Hình 1.1 Hố thế Parabolic hữu hạn khi U0 228meV , z 0.4L 0

Thế Finite semi-parabolic quantum well ( FSPQW) có thế năng phân bố theo quy luật:

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW

Khi một từ trường tĩnh Bđược đặt theo trục z, trong chuẩn Landau với thế véc tơ A (0, x, 0)B , Hamiltonian của một electron là:

N x x là hàm sóng dao động điều hòa, có tâm tại vị trí 2

x a k , L y và k y lần lượt độ dài chuẩn hóa và véc tơ sóng của electron theo chiều y; và *

0 ( y/ c)

là bán kính quỹ đạo trong mặt phẳng (x,y) Các thành phần hàm riêng và trị riêng theo phương trục z trong các công thức (1.3) và (1.4) tìm được bằng cách giải phương trình Schrodingercho thế Parabol hữu hạn là:

Ở đây A n là hệ số chuẩn hóa

Biểu thức tính năng lượng cho hạt electron chuyển động trong hố lượng tử bán dẫn parabol khi năng lượng nhỏ hơn hàng rào thế là:

3 2 2

E n ; n = 0,1,2…… (1.6)

1.2 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

1.2.1 Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Trong phương pháp này, ta kí hiệu toán tử nhiễu loạn là một hàm của thời gian V t ˆ( ) Hamiltonian của hệ có dạng:

H ˆ H ˆ0 V t ˆ( ) (1.7) Trong trường hợp này, năng lượng của hệ không bảo toàn, do đó không có các trạng thái dừng Ta cần phải tính gần đúng các hàm sóng của hệ nhiễu loạn theo hàm sóng trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn dựa vào việc ứng dụng phương pháp biến thiên các hằng số để giải các phương trình vi phân tuyến tính do Dirac

đưa ra năm 1926 Gọi (0)( , ) (0)( ) iE t n/

Giới hạn ở trường hợp khi các trạng thái của hệ thống không nhiễu loạn ứng

với phổ gián đoạn Giả sử có nhiễu loạn nhỏ V t ˆ( )tác dụng lên hệ Hàm sóng cần tìm của hệ nhiễu loạn thỏa mãn phương trình:

Các hệ số khai triển a tk( ) chỉ phụ thuộc vào t và không phụ thuộc vào tọa

độ Thay biểu thức của vào (1.8) và chú ý đến (1.9) ta thu được:

(1)

0

( ) i mn t m

k mk k

định bằng đặc tính của nhiễu loạn và sự phụ thuộc vào thời gian Khi hệ chuyển từ trạng thái dừng (0)m ( ) x sang trạng thái dừng (0)n ( ) x , n m trong khoảng thời gian từ 0 tcó nhiễu loạn tác động thì xác suất chuyển dời của hệ là:

2 2

(1)

2 0

Xác xuất chuyển dời từ trạng thái lượng tử có năng lượng E n(0)sang trạng thái có phổ liên tục trong khoảng dv tính cho một đơn vị thời gian được xác định bởi:

1

(0) 2

Công thức trên chứng tỏ, dưới tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian,

hệ chỉ có thể thực hiện chuyển dời sang trạng thái có mức năng lượng thỏa mãn điều kiện:

Lấy tích phân theo năng lượng, ta tìm được xác xuất dời chuyển toàn phần

trong một đơn vị thời gian từ trạng thái có năng lượng En(0) sang trạng thái của phổ

năng lượng dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn điều hòa:

ký hiệu phần tử nhiễu loạn bằng cách đưa vào hàm mũ như:

Trong mục này, chúng tôi trình bày tóm tắt phương pháp để thu được hàm mật độ trạng thái của khí electron chuẩn 2 chiều (2 dimension electron gas-DEG) khi có mặt đồng thời cả từ trường mạnh và trường laser trong mô hình Faraday [30]

Sử dụng gần đúng lưỡng cực cho trường điện từ, chúng ta có thể viết

0

x

A t A t với là tần số sóng điện từ (trường laser) và A0 F0 / , F0

là cường độ điện trường của trường điện từ Do đó, Hamiltonian của electron cho 2DEG có thể được viết như sau:

a eB là bán kính cyclotron và E N (N 1/ 2) c là năng lượng mức

Landau thứ N với N=0,1,2,… và c eB m / * là tần số cycclontron Các đại lượng khác trong phương trình (1.35) có dạng sau :

m là năng lượng gây ra bởi trường bức xạ và từ trường,

Độ rộng vạch phổ liên quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc vào tính chất cụ thể của cơ chế tán xạ của hạt tải chất rắn Vì vậy việc nghiên cứu

độ rộng vạch phổ cho phép ta thu được các thông tin về cơ chế tán xạ này

Hình 1.2 Độ rộng vạch phổ

Về nguyên tắc, độ rộng vạch phổ chỉ được thu nhận từ đồ thị của công suất hấp thụ (hoặc hệ số hấp thụ) như là một hàm năng lượng của photon Ý tưởng của phương pháp tìm độ rộng vạch phổ là đầu tiên tìm giá trị cực đại của công suất hấp thụ từ đó kẽ đường thẳng P Pmax / 2song song với trục hoành cắt đồ thị của công suất hấp thụ tại hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm này là độ rộng vạch phổ Như

vậy, để tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào một đại lượng xnào đó, trước hết ta vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng của photon theo các giá trị khác nhau của x Sau đó xác định giá trị công suất cực đại

max

P bằng lệnh FindMaxValue, từ đó dùng lệnh FindRoot Pmax( ) / 2 để tìm hai giá trị của năng lượng photon 1 và 2ứng với một nửa giá trị công suất cực đại và tính 1 2, đây chính là độ rộng vạch phổ Mỗi cặp giá trị

x ứng với một điểm trên đồ thị Cuối cùng nối các điểm này với nhau ta có

độ rộng vạch phổ theo đại lượng x Đây là phương pháp profile

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN GIẢI TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ QUANG TRONG HỐ LƯỢNG

TỬ BÁN DẪN PARABOL 2.1 Hố thế bán Parabolic hữu hạn

2.1.1 Khái niệm hố thế bán Parabolic hữu hạn

Hố thế lượng tử bán Parabolic hữu hạn có thế năng phân bố theo quy luật:

Hình 2.1: Hố thế Parabolic hữu hạn khi U0 228meV , z 0.4 LO

Tọa độ các biên trong hình 2.1 được xác định theo các công thức:

0 2

2

z

U B

Nếu ta xét trường hợp hạt có năng lượng En nhỏ hơn thành của thế thì từ hình vẽ 1.1 ta thấy có bốn miền khác nhau:

- Miền thứ nhất z < 0 là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế năng giam cầm không đổi En <

- Miền thứ hai 0 < z < Ln là miền năng lượng của hạt lớn hơn thế năng giam cầm V (z)

- Miền thứ ba Ln < z < B là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế năng nhưng thế năng biến đổi theo tọa độ

- Miền thứ tư là z > B đây là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế giam cầm không đổi

Thay (2.1) vào (2.3) ta sẽ có phương trình Schro¨dinger ứng với bốn miền là:

2 2 2

2 2 2

Ở đây A1, A3, A4 là các hằng số tích phân được xác định dựa vào điều

kiện liên tục của hàm sóng

Nghiệm (2.13) và (2.14) có thể được viết lại dưới dạng khác:

2

z z

z k

z z

2

2 2 2

2 4

z k

z z

là số nguyên thì bắt buộc m phải nhận

các số lẻ Điều này cũng có nghĩa là

2 4

z z

z k

2 4

z z

z k

Trước hết ta dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng để xác định các hệ số

tích phân A1, A3 và A4

a Tại vị trí biên z = 0

Ở vị trí biên đầu tiên bên trái của hố thế z=0 thì: nên thu được hệ số tích

phân thứ nhất là:

2 2 5 4

Ở vị trí biên bên phải z = B thì ta có điều kiện ϕ3(B)= ϕ4(B) nên ta thu

được hệ số tích phân cuối cùng là:

2

2 2

2 1

2 4

(2.28)

2 2

(2.34)

d Tính miền thứ tƣ B < z < ∞

1 1

2 2

12

H B

H z B

2 1

z

z

B k BH

B

B C

Hình 2.2: Hàm sóng trạng thái n=0 ứng với U0 228meV , z 0.4 LO , và

tính được L0= 15.35 nm, B = 49.71 nm

(2.36)

Hình 2.3: Hàm sóng trạng thái n=1 khi chọn U0 228meV , z 0.4 LO , và

2

E n ; n = 0, 1, 2, … (2.38)

2.2 Hệ số hấp thụ quang – từ

Khi đặt một trường điện từ có tần số Ω vào một hệ, thì hệ số hấp thụ quang

- từ do sự hấp thụ photon cùng với sự hấp thụ hay phát xạ phonon được xác định bởi hệ thức:

từ Chuang S L 1995 Physics of Optoelectronic Devices (New York: Wiley))

Trong đó, W là thành phần ma trận dịch chuyển trên một đơn vị diện tích

do tương tác electron–photon–phonon trong hệ 2D được xác định bởi (cite Seeger

K 1985 Semiconductor Physics: An Introduction (Berlin: Springer)) công thức:

2 0 2

N

c c

N

c c

Sử dụng công thức tính tích phân (cite Alexander D Poularikas,

"Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing Alexander D

B

Ta tính tổng theo trong công thức (2.40) và xét quá trình hấp thụ 2

photon nên chỉ lấy 1, 2, sẽ thu được biểu thức:

(2.54)

(2.56)

(2.59)

2 2