Dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN NGỌC HƯNG DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM VẬT LIỆU CHỨC NĂNG DỰA TRÊN LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT ĐƠN GIẢN Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng côn

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN NGỌC HƯNG

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM VẬT LIỆU CHỨC NĂNG DỰA TRÊN

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT ĐƠN GIẢN

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành: 60 58 02 08

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 02 năm 2016

Trang 2

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn: TS Vũ Tân Văn, TS Nguyễn Trọng Phước

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS Đỗ Kiến Quốc

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Lê Trung Kiên

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 19 tháng

02 năm 2016

Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS TS Ngô Hữu Cường

Trang 3

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN NGỌC HƯNG MSHV: 13210137 Ngày, tháng, năm sinh: 12/01/1989 Nơi sinh: Bình Định Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số: 60580208

I TÊN ĐỀ TÀI: Dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản

II NHIỆM VỤ VÃ NỘI DUNG

1 Tìm hiểu về đặc trưng cơ học của vật liệu chức năng và kết cấu dạng tấm được làm từ vật liệu chức năng

2 Tìm hiểu lý thuyết biến dạng cắt được sử dụng tính toán cho tấm vật liệu chức năng

3 Thiết lập phương trình dao động tấm vật liệu chức năng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản dùng phương pháp không lưới nội suy moving Kriging

4 Lập trình tính toán số và rút ra các nhận xét

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 15/01/2015

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 14/12/2015

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Vũ Tân Văn, TS Nguyễn Trọng Phước

Tp HCM, ngày tháng năm 201

(Họ tèn và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

TS Vũ Tân Văn TS Nguyễn Trọng Phước

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Trang 4

ii

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được

sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn tới tập thể

và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy TS Vũ Tân Văn và thầy TS Nguyễn Trọng Phước Các thầy đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài, góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi

bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 31 tháng 12 năm 2015

Nguyễn Ngọc Hưng

Trang 5

3

TÓM TẮT LUẬN VẲN THẠC SĨ

Luận văn này phân tích dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản dùng phương pháp không lưới nội suy moving Kriging Tấm vật liệu chức năng được mô hình như một tấm composite mà các đại lượng cơ học thay đổi theo chiều dày tấm với qui luật hàm mũ liên tục Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản sử dụng trong luận văn được tạo thành từ ý tưởng phân tích chuyển vị đứng trong lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (hay còn gọi là lý thuyết tấm Mindlin) thành hai thành phần chuyển vị đứng do uốn và chuyển vị đứng do cắt Phương trình chủ đạo phân tích dao động tự do của tấm vật liệu chức năng được thiết lập và áp dụng phương pháp không lưới nội suy moving Kriking để giải phương trình này Một chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để giải quyết bài toán này; kết quả từ chương trình này cũng có kiểm chứng với một số kết quả từ nghiên cứu khác Các khảo sát số được thực hiện để nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến nghiệm dao động tự do của tấm vật liệu chức năng như: điều kiện biên, tỷ

lệ cạnh dài/ ngắn, qui luật vật liệu khác nhau

Trang 6

4

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy TS Vũ Tân Vãn và Thầy TS Nguyễn Trọng Phước

Các công thức trong luận vãn được biến đổi chính xác, kết quả số thu được chính xác, khách quan

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 31 tháng 12 năm 2015

Nguyễn Ngọc Hưng

Trang 7

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC V DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ viii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xvi

CHUÔNG 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Mục tiêu luận vãn 3

1.3 Phương pháp thực hiện 3

1.4 Bố cục luận văn 4

CHUƠNG2 TỒNG QUAN 5

2.1 Giới thiệu chương 5

2.2 Tấm vật liệu chức năng (Functionally Graded Plates) 5

2.2.1 Lịch sử hình thành 5

2.2.2 Đặc tính và ứng dụng 6

2.3 Lý thuyết tấm FGM 8

2.3.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 12

2.3.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 13

2.4 Phương pháp rời rạc 13

2.4.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 17

2.4.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 17

2.5 Kết luận chương 17

CHUƠNG3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 19

3.1 Giới thiệu chương 19

Trang 8

vi

3.2 Tính chất cơ học của tấm FGM 19

3.3 Lý thuyết tấm FGM 20

3.4 Hàm dạng phương pháp không lưới nội suy MK 22

3.4.1 Xây dựng Hàm dạng 22

3.4.2 Tính chất toán học của hàm nội suy MK 24

3.4.3 Miền giá đỡ (support domain) 25

3.4.4 Miền ảnh hưởng (influence domain) 27

3.5 Phương trình dao động của tấm FGM 28

3.5.1 Hàm dạng chuyển vị 28

3.5.2 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng - chuyển vị 29

3.5.3 Phương trình năng lượng của tấm 31

3.6 Điều kiện biên 36

3.7 Phép tích phân số 37

3.8 Mã nguồn, sơ đồ khối 38

3.9 Kết luận chương 41

CHƯƠNG 4 VÍ DỤ SỐ 42

4.1 Giới thiệu 42

4.2 Kiểm chứng kết quả phân tích tấm FGM 42

4.2.1 Tần số dao động 42

4.2.2 Chuyển vị 48

4.3 Kiểm chứng kết quả phân tích tấm đồng nhất 50

4.4 Khảo sát sự hội tụ 56

4.5 Khảo sát hệ số 0 60

4.5.1 Tấm FGM có 4 cạnh biên là tựa đơn 60

4.5.2 Tấm FGM có 4 cạnh biên là ngàm 64

4.5.3 Tấm FGM có 4 cạnh biên là 2 cạnh ngàm 2 cạnh tựa đơn 68

4.5.4 Tấm FGM có 4 cạnh biên là 2 cạnh tựa đơn 2 cạnh tự do 72

4.6 Khảo sát hệ số a 77

4.7 Khảo sát hệ số n 82

4.8 Khảo sát tỷlệ cạnh dài/ rộng 84

Trang 9

vii

4.9 Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số afh đến chuyển vị của tấm FGM 87

4.10

Khảo sát ảnh hưởng của hệ số k s đến chuyển vị của tấm FGM 90

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN 93

5.1 Kết luận 93

5.2 Hướng phát triển đề tài 94

CHƯƠNG 6 PHỤ LỤC 1

Trang 10

8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

•

Hình 2.1 Vật liệu chức năng được chế tạo tại Đại học kỹ thuật Nanyang 6

Hình 2.2.Vật liệu chức năng (mô tả 6

Hình 2.3 Tấm vật liệu chức năng 7

Hình 2.4 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết Kirchhoff 9

Hình 2.5 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết Reissner-Mindlin 10

Hình 2.6 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết HSDT 11

Hình 2.7 Mô hình bài toán trong FEM và Mfree 14

Hình 2.8 Sơ đồ so sánh thuật toán của 2 phương pháp FEM và Mfree 15

Hình 2.9 Chuyển vị trong phương pháp nội suy MLS 16

Hình 3.1.Sự thay đổi của V c theo tỷ số z'h 20

Hình 3.2 Bố trí các nút trong phương pháp không lưới 26

Hình 3.3 Miền ảnh hưởng cho 1 điểm bất kì 28

Hình 3.4 Điều kiện biên của tấm FGM có 4 cạnh biên là tựa đơn 36

Hình 3.5 Điều kiện biên của tấm FGM có 4 cạnh biên là ngàm 37

Hình 3.6 Lưu đồ thuật toán 40

Hình 4.1 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 4 cạnh biên tựa đơn ứng với n=i 43

Hình 4.2 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 4 cạnh biên ngàm ứng với 72=1 45

Hình 4.3 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM có 2 cạnh biên tựa đơn, 2 cạnh biên là ngàm ứng với n=1 46

Hình 4.4 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 2 cạnh biên tựa đơn và 2 cạnh biên tự do ứng với 77—1 47

Hình 4.5 Chia nhỏ tấm để tính toán trong SAP2000 51

Hình 4.6 Tỷ lệ phần trăm sai khác tần số dao động tự do của tấm đồng nhất ứng với mỗi tỷ số LịB khác nhau 53

Hình 4.7 Tỷ lệ phần trăm sai khác tần số dao động tự do của tấm đồng nhất

Trang 11

9

ứng với mỗi tỷ so L-B khác nhau 55

Hình 4.8 Khảo sát sự hội tụ của tần số không thứ nguyên thứ nhất của tấm

FGM 57 Hình 4.9 Hội tụ của 5 mode dao động đầu tiên 57 Hình 4.10 Khảo sát sự hội tụ của tần số không thứ nguyên thứ nhất của tấm

FGM 58 Hình 4.11 Sai số của năm mode đàu tiên với nghiệm chính xác 59 Hình 4.12 Sai số tần số dao động không thứ nguyên thứ nhất (mode 1) khi

khảo sát hệ số 0 ứng với mỗi giá tri a 64

Hình 4.13 Sai số tần số dao động không thứ nguyên thứ nhất (mode 1) khi

khảo sát hệ số 0 ứng với mỗi giá trị a 68

khảo sát hệ số Q ứng với mỗi giá trị a 72

khảo sát hệ số 0 ứng với mỗi giá trị a 76

Hình 4.16 Biểu đồ so sánh các giá trị tần số dao động không thứ nguyên

ứng với mỗi giá trị a và phương pháp khác 78

ứng với mỗi giá trị a và phương pháp khác 80 Hình 4.19 Biểu đồ so sánh các giá trị tần số dao động không thứ nguyên

Hình 4.20 Hình dạng sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM với 4 cạnh

biên tựa đơn và tỷ lệ cạnh L/B=2 85 Hình 4.21 Phần trăm của chuyển vị đứng do cắt so với chuyển vị tổng thể 88 Hình 4.22 Các thành phần chuyển vị của tấm FGM có 4 cạnh biên tựa đơn

với các hệ số vật liệu chức năng khác nhau 90

Trang 12

Hình 4.23 Sai số của chuyển vị tương ứng với các giá tri của hệ số k s được

khảo sát 92

Trang 13

xi

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 So sánh đặc tính cơ học của tấm FGM và tấm composite 5 Bảng 3.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss 38 Bảng 4.1 Thông số tấm FGM có vật liệu là A'AQ 42 Bảng 4.2 Tần số dao động của tấm FGM có 4 cạnh biên là tựa đơn với các

hệ số Ákhác nhau 42 Bảng 4.3 Tần số dao động của tấm FGM có 4 cạnh biên là ngàm với các hệ

số n khác nhau 44

Bảng 4.4 Tần số dao động của tấm FGM có 2 cạnh biên là tựa đơn và 2

cạnh biên là ngàm với các hệ so n khác nhau 45

Bảng 4.5 Tần số dao động của tấm FGM có 2 cạnh biên là tựa đơn và 2

cạnh biên tự do với các hệ số n khác nhau 46 Bảng 4.6 Thông số tấm FGM với vật liệu AI' ZQ-1 48

Bảng 4.7 Chuyển vị không thứ nguyên của tấm FGM so sánh với các

phương pháp khác 48 Bảng 4.8 Chuyển vị chính giữa tấm FGM có «'7z=100 với các điều kiện

biên khác nhau 49 Bảng 4.9 Thông số tấm đồng nhất 50 Bảng 4.10 Khảo sát tần số dao động tự nhiên của tấm 4 cạnh tựa đơn khi

thay đổi tỷ số các cạnh dài/ rộng 52 Bảng 4.11 Tỷ lệ phần trăm sai khác tần số dao động tự nhiên của tấm 4

cạnh tựa đơn khi thay đổi tỷ số các cạnh dài/ rộng với SAP2000 52 Bảng 4.12 Khảo sát tần số dao động tự nhiên của tấm 4 cạnh ngàm khi thay

đổi tỷ số các cạnh dài/ rộng 54 Bảng 4.13 Tỷ lệ phần trăm sai khác tần số dao động tự nhiên của tấm 4

cạnh ngàm khi thay đổi tỷ số các cạnh dài/ rộng với SAP2000 54 Bảng 4.14 Khảo sát sự hội tụ tàn số của tấm FGM có bốn cạnh tựa đơn 56 Bảng 4.15 Khảo sát sự hội tụ tàn số của tấm FGM có bốn cạnh ngàm 58

Trang 14

khác 61

Bảng 4.20 Tần số dao động không thứ nguyên ứng với mỗi giá trị Q khi hệ

số a = 3 62 Bảng 4.21 Sai số của tần số dao động không thứ nguyên với phương pháp

Bảng 4.27 Sai số của tần số dao động không thứ nguyên với phương pháp

CPT-neu based IGA [39] 65

Bảng 4.28 Tần số dao động không thứ nguyên ứng với mỗi giá trị 0 khi hệ

số a - 2.8 65

Trang 15

xiii

Bảng 4.30 Tần số dao động không thứ nguyên ứng với mỗi giá tri Q khi hệ

số a = 2.5 69

số a = 2.8 69

khác 70

số a - 3.2 70

số a = 2.5 73

số a = 2.8 73

Trang 16

xiv

Bảng 4.44 Tần số dao động không thứ nguyên ứng với mỗi giá tri Q khi hệ

số a = 3.2 74 Bảng 4.53 Sai số của tần số dao động không thứ nguyên với phương pháp

số a = 3.5 75

CPT-neu based IGA [39] 75 Bảng 4.56 Tần số dao động không thứ nguyên năm mode đầu tiên ứng với

mỗi giá trị của hệ số a 77

Bảng 4.57 Tần số dao động không thứ nguyên năm mode đầu tiên ứng với

mỗi giá trị của hệ so a 78

Trang 17

XV

mỗi giá trị của hệ so a 80

mỗi giá trị của hệ so a 81 Bảng 4.60 Tần số dao động thứ 1 của tấm FGM với chiều dày và hệ số n

thay đổi 83 Bảng 4.61 Phần trăm sai số tần số dao động thứ nhất của luận vãn và phương pháp S-

FSDT based IGA 84 Bảng 4.62 Tần số dao động tự do tấm FGM có 4 cạnh biên tựa đom với tỷ

lệ cạnh 84 Bảng 4.63 Tần số dao động tự do tấm FGM với tỷ lệ cạnh dài/ rộng khác

nhau 86 Bảng 4.64 Các thành phần chuyển vị đứng không thứ nguyên ở chính giữa

tấm FGM với các điều kiện biên khác nhau 87 Bảng 4.65 Các thành phần chuyển vị của tấm FGM 4 cạnh tựa đơn với các

hệ số vật liệu chức năng n khác nhau 89 Bảng 4.66 So sánh chuyển vị chính giữa tấm FGM khi thay đổi hệ số k s 91

Bảng 4.67 Phần trăm sai số chuyển vị khi sử dụng các giá trị k s và chuyển

vị được tính theo phương pháp FSDT based kp-Ritz 91

Trang 18

S-FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 đơn giản

HSDTs Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

L Chiều dài tấm theo phương X

B Chiều dài tấm theo phương y

E

G

Module đàn hồi của vật liệu Module chống cắt đàn hồi của vật liệu

V Hệ số poisson của vật liệu

p Trọng lượng riêng của vật liệu tấm

Trang 19

17

h Chiều dày tấm

Px Góc xoay của tấm quay quanh trục y

Py Góc xoay của tấm quay quanh trục X

K s Hệ số hiệu chỉnh cắt

e, x Đạo hàm riêng bậc một của hàm ệ theo biến X

6y Đạo hàm riêng bậc một của hàm ộ theo biến y

@,xx Đạo hàm riêng bậc hai của hàm ệ theo biến X

o.xy Đạo hàm riêng bậc hai của hàm ệ theo biến X, y

Trang 20

CHƯƠNG 1 MỞ ĐÀU

1.1 Đặt vấn đề

Hiện nay, nhiều loại vật liệu mới được nghiên cứu và phát triển để đáp ứng yêu cầu sử dụng trong cuộc sống Trong đó, vật liệu composite đã được phát minh và ứng dụng rộng rãi trong các ngành như: hàng không, vũ trụ, đóng tàu, ô tô, cơ khí, xây dựng,

đồ gia dụng, Vật liệu này có đặc điểm là nhiều pha với các đặc trưng cơ học khác nhau được kết nối lại, tạo ra những dạng cấu trúc khác nhau có độ bền cao, và khả năng chịu lực, nhiệt tốt đáp ứng với yêu cầu thực tiễn Tuy vậy, vật liệu composite truyền thống

có nhược điểm là khả năng bị tách lớp trong quá trình sử dụng

Năm 1984, một loại vật liệu mới với các đặc trưng cơ học tốt và khắc phục được hiện tượng tách lớp, được giới thiệu bởi các nhà khoa học Nhật bản mang tên vật liệu chức năng (Functionally Graded Material - FGM) Theo các tài liệu tham khảo, FGM là loại vật liệu rất linh động do đặc trưng cơ học thay đổi tùy vào yêu cầu của cấu kiện nên đáp ứng hầu hết các yêu cầu trong kỹ thuật chế tạo của các ngành như: vũ trụ, hàng không, y học, quân sự, cấu trúc sản xuất từ FGM sẽ chịu đựng tốt các tác động từ nguyên nhân cơ và nhiệt Hiện nay, có nhiều nghiên cứu về ứng xử cơ học tấm FGM đã được công bố Các hướng nghiên cứu về ứng xử cơ học của tấm FGM có thể dựa trên phương pháp thực nghiệm hoặc phương pháp số

Với hướng nghiên cứu ứng xử cơ học của tấm FGM dựa trên thực nghiệm càn kinh phí chế tạo lớn, nên thường được đàu tư bởi các công ty công nghiệp, hướng nghiên cứu này được sự quan tâm chủ yếu ở nước ngoài, ở Việt nam hiện nay chưa có nghiên cứu nào về việc thí nghiệm vật liệu FGM trong xây dựng Ngược lại, hướng nghiên cứu dựa trên phương pháp so bằng cách rời rạc hóa cho tấm FGM rất phổ biến ở trên thế giới và Việt nam

Trang 21

2

Các phương pháp số, dựa trên phương pháp tính toán xấp xỉ, phát triển mạnh mẽ đáp ứng nhu cầu phân tích, tính toán các bài toán kỹ thuật Phương pháp số phần tử hữu hạn (PTHH) được sử dụng rộng rãi phổ biến nhất đến ngày nay, nhờ vào những ưu điểm của nó như dễ thực hiện, độ chính xác cao

Những năm gần đây, xuất hiện một lớp phương pháp tính toán số mới có tên là phương pháp không lưới (meshfree hay meshless), chẳng hạn như phương pháp không lưới tự do Galerkin (Element - Free Gralerkm method - EFG), phương pháp không lưới Local Petrov Gralerkin (Meshless Local Petrov - Galerkin method - MLPG), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm (Meshless Radial Point Interpolation method-MRPI), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm địa phương (Meshless Local Radial Point Interpolation method-MLRPI) Các phương pháp này đã được giới thiệu

và sử dụng có kết quả tương đối khả quan So sánh với phương pháp số truyền thống thì những phương pháp này có một số ưu điểm trong việc rời rạc hóa mô hình tính toán, nhưng bên cạnh đó chúng cũng có những nhược điểm là cần đến kỹ thuật tính toán phức tạp hơn nhằm nâng cao độ chính xác của bài toán Vì vậy, khi giải quyết bài toán thực

tế cần chọn phương pháp số phù hợp dựa vào việc phân tích ưu, nhược điểm của chúng

Mặt khác, việc phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM thường dựa trên lý thuyết của tấm 1 lớp (ESL), gồm có 3 loại chính: lý thuyết tấm cổ điển (CPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDTs) Lý thuyết CPT bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng do cắt, do đó kết quả tính toán chỉ phù hợp đối với tấm mỏng

Lý thuyết FSDT có xét đến ảnh hưởng của biến dạng do cắt dựa trên trường chuyển vị bậc nhất, tuy nhiên khi chiều dày tấm trở nên mỏng thì sẽ xảy ra hiện tượng khóa cat (shear locking) ảnh hưởng đến sự chính xác của lời giải Lý thuyết HSDTs sử dụng trường chuyển vị bậc cao, dẫn đến các phương trình chuyển động phức tạp đòi hỏi các

kỹ thuật tính toán phức tạp hơn Gần đây, lý thuyết biến dạng cắt đơn giản (S-FSDT) được đề xuất Lý thuyết này có ưu điểm như ít ẩn số hơn (4 ẩn số so với 5 ẩn số của FSDT); hiện tượng shear locking dễ dàng được loại bỏ Lý thuyết S-FSDT là một cải tiến mới của lý thuyết FSDT nên cũng nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước cũng như ngoài nước

Trang 22

3

Luận vãn nghiên cứu đặc trưng động lực học của tấm FGM bằng lý thuyết S- FSDT và kết hợp phương pháp không lưới nội suy Moving Kriging (MK) Đây là một hướng tiếp cận mới đối với bài toán phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM

1.2 Mục tiêu luận văn

Mục tiêu của luận vãn này nhằm phân tích dao động của tấm vật liệu chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) sử dụng phương pháp không lưới phần tử tự do bằng cách nội suy chuyển vị moving Kriging (MK) Cụ thể các nội dung được thực hiện như sau:

Tìm hiểu về đặc trưng cơ học của vật liệu chức năng và kết cấu dạng tấm được làm từ vật liệu chức năng

Tìm hiểu các lý thuyết biến dạng cắt và lựa chọn lý thuyết biến dạng cắt được sử dụng tính toán cho tấm vật liệu chức năng

•S Thiết lập phương trình dao động tấm vật liệu chức năng theo lý thuyết biến dạng

cắt bậc nhất đơn giản dùng phương pháp không lưới nội suy moving Kriging Lập trình tính toán số và rút ra các nhận xét

• Sử dụng chương trình MATLAB để giải các ví dụ số Kết quả được đánh giá, so

Trang 23

và hướng phát triển của đề tài Phần cuối cùng trong luận vãn là phụ lục với mã nguồn chương trình MATLAB và tài liệu tham khảo phục vụ nghiên cứu của luận văn.

Trang 24

5

2.1 Giới thiệu chương

Chương này sẽ trình bày tổng quan về tấm vật liệu chức năng và tình hình nghiên cứu của các tác giả gần đây về loại tấm này Các tìm hiểu của luận vãn tập trung vào 2 phần chính Phần 1 tìm hiểu về các phương pháp thực hiện như: phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp không lưới Phần 2 tìm hiểu về các lý thuyết biến dạng cắt của tấm như: lý thuyết biến dạng cắt cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc 1, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 đơn giản Từ những tìm hiểu ở trên đã hình thành nên ý tưởng của luận vãn này

2.2 Tấm vật liệu chức năng (Functionally Graded Plates)

2.2.1 Lịch sử hình thành

Vật liệu Composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới như: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ô tô, cơ khí, xây dựng, đồ gia dụng do có nhiều ưu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ, độ bền, mô đun đàn hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt Vật liệu Composite là loại vật liệu được tổ hợp từ 2 pha vật liệu khác nhau, có tính chất rất khác nhau Vật liệu composite lớp là loại được

sử dụng phổ biến, những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính cơ học Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây tách lớp Một loại vật liệu mới

đã được các nhà khoa học Nhật Bản phát minh năm 1984 có tên vật liệu chức năng - Functionally Graded Materials (FGM)[1], Vật liệu chức năng có đầy đủ các ưu điểm của vật liệu composite, ngoài ra nó còn khắc phục hạn chế thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp trong vật liệu composite Chẳng hạn các so sánh ở Bảng 2.1 giữa tấm FGM và tấm composite thuần túy sẽ làm rõ những đặc tính nổi bậc của vật liệu chức năng

Bảng 2.1 So sánh đặc tính cơ học của tấm FGM và tấm composite

Trang 25

6

2.2.2 Đặc tính và ứng dụng

Vật liệu chức năng - FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thuờng gặp trong các loại composite lớp Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư; vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al ) phân bố trong không gian khối vật liệu theo một trật tự nhất định

Hình 2.1 Vật liệu chức năng được

chế tạo tại Đại học kỹ thuật Nanyang

Hình 2.2.Vật liệu chức năng (mô tả sự thay đổi mật độ theo chiều dày)

Trang 26

7

Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất, các thành phần này

là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động

Hình 2.3 Tấm vật liệu chức năng Vật liệu chức năng thường được áp dụng nhiều trong những môi trường có điều kiện làm việc khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, các bộ phận trong động cơ, các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn Ví dụ trong các lớp cách nhiệt truyền thống của thiết bị truyền nhiệt cao, một lớp vật liệu gốm sẽ được trán lên để bảo vệ lớp kim loại bên trong, tuy nhiên sự thay đổi đột ngột giữa mặt tiếp xúc kim loại và gốm gây ra hiện tượng tập trung lớn ứng suất ở khu vực này vì lý do sự co giãn vì nhiệt của 2 vật liệu này là khác nhau Các ảnh hưởng tiêu cực này hoàn toàn được giảm thiểu khi sử dụng vật liệu chức năng

2.3 Lý thuyết tấm FGM

Lý thuyết của tấm FGM đều được dựa trên lý thuyết của tấm đồng nhất đã được nghiên cứu rất nhiều Chẳng hạn lý thuyết tấm 1 lớp ( ESL), gồm có 3 loại chính: lý thuyết tấm cổ điển (CPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDTs)

Trang 27

8

Lý thuyết tấm cổ điển (lý thuyết Kirchhoff) bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng do cắt Do đó

lý thuyết tấm cổ điển không thể hiện ảnh hưởng của các biến dạng cắt vì vậy lý thuyết này

có kết quả chính xác đối với tấm mỏng và không phải là một lý thuyết phù hợp đối với tấm dày Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDTs) thông thường 5 ẩn số như FSDT nhưng các phương trình chuyển động phức tạp hơn nhiều so với FSDT Do đó HSDTs ít được sử dụng hơn những lý thuyết tấm khác Lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) được sử dụng rộng rãi [2], đôi khi còn được gọi là lý thuyết Reissner-Mindlin, có tính đến chuyển vị do cắt là cần thiết để thể hiện đầy đủ các ứng xử vật lý của tấm dày Sự khác nhau của 3 lý thuyết tấm cơ bản được thể hiện như sau:

> Lý thuyết tấm cổ điển

Dựa trên giả thuyết của Love-Kirchhoff như sau:

Khi tấm chịu uốn thì các mặt phang cắt ngang vuông góc với mặt trung bình của tấm thì luôn thẳng và phang

Khi chịu uốn mặt trung bình của tấm không có biến dạng kéo nén hay cắt, và khi đó mặt trung bình là mặt điều hòa

Tương tác giữa các mặt tấm song song với mặt trung bình được bỏ qua, nghĩa là biến dạng cắt ngang được bỏ qua

Trang 29

10

> Biến dạng cắt bậc cao HSDT

Các giả thuyết tương tự lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, với khác biệt là mặt phẳng tiết diện vuông góc với mặt trung bình của tấm không còn phẳng sau khi chịu uốn Trong lý thuyết biến dạng cắt này không sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt mà nó đã được thể hiện thông qua các hàm chuyển vị bậc cao

Trang 30

11

Hình 2.6 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết HSDT

Dựa vào Hình 2.6 nhận thấy mô hình tấm HSDT có tiết diện tấm sau khi chịu uốn không còn phẳng nữa rất phù hợp với thực tế chịu lực của tấm dày Hình 2.5 thể hiện mô hình tấm dựa trên lý thuyết Reissner-Mindlin có kể đến ảnh hưởng của các biến dạng cắt Các kết quả tính toán khi sử dụng 2 lý thuyết FSDT và HSDT thường tương đồng nhau, nhưng việc

sử dụng lý thuyết HSDT phức tạp hơn nhiều so với lý thuyết FSDT, vì vậy sử dụng phổ biến trong tính toán phân tích tấm là lý thuyết FSDT Ngoài ra FSDT còn có khả năng nới lỏng tính liên tục c 1 và dễ dàng thỏa mãn yêu cầu liên tục bậc c° khi sử dụng phần tử Lagrangian bậc thấp Những ưu điểm được nêu ở trên, FSDT luôn được sử dụng rộng rãi phổ biến nhất Tuy nhiên FSDT nó cũng có nhược điểm khi sử dụng phương pháp số thì gặp hiện tượng shear locking khi phân tích tấm dày kể cả tấm mỏng Kỹ thuật giải quyết hiện tượng shear locking như các yếu tố dòng MITC [4], phương pháp ứng suất cân bằng [5], phương pháp miền phù hợp [6], phần tử hữu hạn trơn [7] với kỹ thuật chia nhỏ diện tích chịu ứng suất Những phương pháp trên thường xuyên được sử dụng để xử lý hiện tượng shear locking, tuy nhiên tốn nhiều thời gian và cách thực hiện rất phức tạp

Gần đây Thai và cộng sự (2013,2012) [17] đã cải tiến FSDT bằng cách phân tách chuyển vị đứng thành 2 thành phần chuyển vị đứng do uốn và chuyển vị đứng do cắt Một

lý thuyết biến dạng cắt của tấm được xuất hiện với tên gọi “a simple first- order shear deformation theory” (S-FSDT) Lý thuyết này có vài ưu điểm như: ít ẩn số hom (4 ẩn số

so với 5 ẩn số của FSDT); hiện tượng shear locking dễ dàng được loại bỏ Lý thuyết FSDT là một cải tiến mới của FSDT nên cũng nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước cũng như ngoài nước

S-2.3.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Tấm FGM cũng là 1 dạng tấm, cho nên lý thuyết tấm FGM được dựa trên lý thuyết của tấm đồng nhất Đã có nhiều nghiên cứu nhằm dự báo ứng xử tĩnh, dao động và ổn định của tấm FGM dưới tác dụng tải trọng cơ nhiệt khác nhau Do đó, rất nhiều lý thuyết tấm FGM được phát triển dựa trên lý thuyết tấm đồng nhất được sử dụng trong nghiên cứu, tổng quan về tình hình nghiên cứu lý thuyết tấm FGM có thể tóm tắt như sau:

Một số nghiên cứu của Feldman và Aboudi (1997) [8], Javaheri và Eslami (2002) [9],

Trang 31

Gần đây Thai và cộng sự (2013) [11] đã cải tiến lý thuyết biến dạng bậc 1 chỉ còn 4 biến

có tên S-FSDT nhằm giảm bớt khối lượng tính toán trong phân tích tĩnh, dao động ổn định của tấm bằng giải tích

Tuy mới được phát triển nhưng S-FSDT đã được nhiều sự quan tâm và ứng dụng trong nhiều phương pháp khác nhau Chẳng hạn Mohamadi (2014) [41] đã áp dụng lý thuyết S-FSDT vào phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp đẳng hình học IGA, Yin và cộng

sự (2014) [42] đã áp dụng vào phương pháp đẳng hình học NURBS

2.3.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Việc nghiên cứu kết cấu sử dụng vật liệu chức năng đã và đang là chủ đề thu hút một số nhà nghiên cứu tại Việt Nam, trong đó một số nghiên cứu điển hình như: Nguyen

và cộng sự (2011) [15] tập trung vào các phương pháp số cho phân tích tấm chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) Loc và cộng sự (2013) [16] phân tích tĩnh, ổn định và dao động tự do tấm chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ngoài ra còn có các luận vãn cao học ở trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh như sau:

Luận vãn cao học của Nguyễn Hoàng Lâm (2012) phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng dựa trên lý thuyết tấm Mindlin sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Luận văn cao học của Nguyễn Thành Tấn (2014) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 đơn giản để phân tích dao động ổn định của tấm sandwich chức năng sử dụng phương pháp giải tích

2.4 Phương pháp ròi rạc

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) gọi tắt là FEM đã được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật, vì có nhiều ưu điểm như dễ áp dụng, kết quả có độ tin cậy cao Vì the, FEM nhận được sự quan tâm lớn của các nhà khoa học trên thế giới Từ đó

Trang 32

13

nhiều phương pháp cải tiến từ FEM được ra đời như XEFM/ GEF (Extended/ Genreralized Finite Element Method), SFEM (Smoothed Finite Element Method) để ngày càng nâng tầm phương pháp FEM lên cao hơn Tuy nhiên trong một số lĩnh vực tính toán thì FEM cũng bộc lộ nhược điểm của nó Chẳng hạn khi giải các bài toán có biến dạng lớn, thì FEM hay gặp tình trạng dễ suy biến về mặt hình học dẫn đến kết quả thiếu độ chính xác; đối với bài toán tính nứt khi sử dụng FEM phải liên tục chia lại lưới gây tốn thời gian cho người thực hiện Nhiều phương mới đã được nghiên cứu để khắc phục những nhược điểm của FEM Các phương pháp này tuy còn nhiều hạn chế hơn FEM nhưng một vài lĩnh vực xử

lý tốt hơn FEM Một trong những phương pháp như vậy là phương pháp không lưới ( meshfree hay meshless) đã được

Trang 33

số nút mà không ảnh hưởng nhiều đến quá trình thực hiện Các phương pháp không lưới rất thích hợp cho bài toán có biến dạng lớn hoặc bài toán có biên di động Với các ưu điểm nêu trên thì phương pháp này ngày càng được sử dụng có hiệu quả trong tính toán các bài toán kỹ thuật So sánh hai phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp không lưới (Mfree) có thể tóm tắt như sơ đồ Hình 2.8:

1 1 - 1

Trang 34

15

Hình 2.8 Sơ đồ so sánh thuật toán của 2 phương pháp FEM và Mfree

Nhiều phương pháp không lưới khác nhau đã được giới thiệu và được nhiều tác giả phát triển theo nhiều hướng khác nhau như: The Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) - 1977 [7], The Diffuse Element Method (DEM) - 1992, The Element Free Method (EFG) - 1994 [24], The Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM) - 1996, Meshless Local Petrov - Galerkin method (MLPG) Tat cả các phương pháp này đều có chung một đặc điểm là cần xây dựng các điểm nút, các điểm nút được xác định trong miền xấp xỉ mà không cần tìm cả miền Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là kỹ thuật nội suy (hay cách xấp xỉ) của từng phương pháp là khác nhau Nói chung có nhiều cách nội suy ví

dụ như: phương pháp nhân chất điểm (The Kernel mothod), xấp xỉ bình phương cực tiểu động ( The Moving least square approximation), phương pháp phân chia đồng nhất (The

Trang 35

16

Partition of Unity)

Phương pháp không lưới EFG sử dụng 2 loại phương pháp nội suy đó là phương pháp xấp

xỉ bình phương cực tiểu động The moving least square approximation (MLS); và phương pháp kỹ thuật nội suy moving Kriging (MK) Sự kết hợp phương pháp FEG với kỹ thuật nội suy moving Kriging được tác giả giới thiệu trong thời gian gần đây [13] với tên là Meshfree Galerkin Kriging Method (MGK) Một trong những đặc điểm nổi bậc của phương pháp nội suy Moving Kriging (MK) là hàm dạng có tính chất Kronecker Delta, do

đó điều kiện biên chính tự thỏa mãn Điều này rất thuận lợi khi áp điều kiện biên cho bài toán khi xây dựng lời giải cho bài toán trên máy tính So sánh 2 phương pháp nội suy MK

và MLS để làm rõ tính chất Kronecker Delta Khi giá trị chuyển vị tại 1 điểm X bất kì được nội suy thì giá trị nội suy đó đúng bằng chuyển vị tại điểm đó Phương pháp nội suy MLS không thỏa mãn tính chất Kronecker Delta nên nội suy chuyển vị tại mỗi điểm không bằng chính chuyển vị tại điểm đó nghĩa là

Hình 2.9 Chuyển vị trong phương pháp nội suy MLS

Để giải quyết vấn đề không thỏa mãn tính chất Kronecker Delta trong phương pháp nội suy MLS phải sử dụng hàm trọng số khối lượng (weighted residual) Hàm trọng số được thêm vào để hiệu chỉnh làm cho việc nội suy chuyển vị tại 1 điểm bất kì bằng chính giá trị chuyển vị tại điểm đó Việc xác định các giá trị của hàm trọng số làm bài toán trở nên phức tạp, gây khó khăn cho người lập trình, tăng nguy cơ sai so Ngược lại với phương pháp nội

Trang 36

17

suy MLS thì phương pháp nội suy MK thỏa mãn được tính chất Kronecker Delta nên không

sử dụng hàm trọng so (weighted residual) làm giảm đáng kể độ phức tạp trong tính toán Với những tính chất được kể trên thì phương pháp nội suy MK hiện được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học

2.4.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Gu (2003) [13] giới thiệu thành công phương pháp MGK cho bài toán truyền nhiệt ổn định

p Tongsuk và w Kanok-Nukulchai(2004) [17] đã áp dụng phương pháp MGK để giải bài toán 1 chiều (kéo-nén), bài toán dầm mỏng, dầm cao, và bài toán phẳng hai chiều

Bùi Quốc Tính và các cộng sự (2011) [42] đã sử dụng phương pháp MGK cho tấm mỏng Kirchhoff

2.4.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Nguyễn Nhật Tân - luận văn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài phân tích tấm mỏng bằng phương pháp không lưới MGK(2010)

Phan Ngọc Cường - luận vãn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài áp dụng phương pháp không lưới MGK phân tích động lực học cho tấm Reisser- Mindlin sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT)(2012)

Phạm Vãn Mạnh - luận vãn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài phân tích ổn định của tấm Conposite có đặc tính thay đổi chịu nén phi tuyến bằng một phương pháp không lưới (2012) Trong luận văn này tác giả sử dụng lý thuyết tấm Reisser-Mindlin kết hợp với phương pháp không lưới MGK

2.5 Kết luận chương

Chương này đã trình bày tổng quan về vật liệu chức năng, lý thuyết cắt và phương pháp rời rạc được sử dụng để tính toán trong phân tích tấm FGM Lược qua tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước đã có nhiều nghiên cứu về tấm FGM tuy nhiên việc sử dụng lý thuyết S-FSDT với khả năng ít ẩn số hơn, đơn giản hơn vẫn chưa được sử dụng nhiều Áp dụng phương pháp không lưới MGK kết hợp lý thuyết S-FSDT cũng là nội dung chính của bài luận vãn này

Trang 37

18

3.1 Giới thiệu chương

Trong chương này lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản áp dụng cho tấm FGM

sẽ được trình bày Phương pháp không lưới MGK cũng được thể hiện nhằm áp dụng cho bài toán phân tích dao động tự do của tấm FGM Bằng cách áp dụng nguyên lý Hamilton phân tích bài toán tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp phương pháp không lưới MGK, để thiết lập phương trình dao động tự do của tấm FGM được trình bày cụ thể trong chương này

Chương này bao gồm 5 mục, mục 2 giới thiệu bài toán cần giải quyết là tấm vật liệu chức năng, mục 3 tính toán dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp với phương pháp không lưới để tìm ra lời giải bài toán dưới dạng các ma trận Qua đó nghiệm của bài toán sẽ tìm được bằng cách lập trình

3.2 Tính chất cơ học của tấm FGM

Luận văn này phân tích dao động tự do của tấm FGM bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp với phương pháp không lưới MGK Tấm FGM được xét để phân tích có các đặc tính cơ học như sau:

Mặt dưới và trên của tấm hoàn toàn là kim loại và gốm Mặt phang xy nằm ở giữa tấm Chiều dương của trục z hướng lên trên Trong luận vãn này, tỷ số Possion’s V được xem là hằng số Ngược lại, môđun đàn hồi-E, mật độ khối lượng p được xem là thay đổi liên tục

theo chiều dày tấm FGM với luật hỗn hợp Voigt hay theo lược đồ Mori-Tanaka Theo đó, môđun đàn hồi£'(z), mật độ khối lượng p(z) được xác định như sau:

£(z) = £m+(£c-£m)Kc

p(z)=pm+(pc-pj^

Trong đó -0.5A < z < 0.5A

(3.1) (3.2)

Trang 38

19

lượng riêng của kim loại p c: khối lượng riêng của gốm

Hình 3.1.Sự thay đổi của V c theo tỷ số zjh Hình 3.1 biểu diễn sự thay đổi của hàm mật độ thể tích V cđối với tỷ số chiều dày

tấm FGM khi trị số n thay đổi Đối với giá trị n rất lớn n > 100 thì V c — 0 - có thể xem như

vật liệu của tấm chỉ bao gồm là kim loại Đối với giá trị n rất bé n < 0.01 thì V c — 1 - có

thể xem như vật liệu của tấm chỉ bao gồm là gốm Sự thay đổi của việc kết hợp giữa hai

vật liệu kim loại và gốm là tuyến tính khi n = 1

Trang 39

Ngoài ra theo lý thuyết Reissner-Mindlin

Trường chuyển vị mới được viết lại bằng cách thế (3.4) và (3.5) vào (3.3):

(3.7)

Trang 40

Vì vậy còn được gọi là miền giá đỡ của điểm X sẽ được trình bày cụ thể ở mục 3.4.3.Giả

sử trong miền giá đỡ có n điểm nút Xj ợ e [1,»]), sẽ có n giá trị chuyển vị tương ứng với mỗi điểm nút u, ự G [l,w]) Khi đó chuyển vị tại một điểm bất kì Vx G được viết như sau:

Kết hợp phương trình (3.7) và (3.8), chuyển vị với mọi điểm trong miền giá đỡ được viết lại:

Không mất tính tổng quát khi viết lại công thức (3.9) và bỏ chỉ số h như sau:

với chuyển vị tại mỗi điểm nút X (i G [1,«]) là u7 - [uj V Ị w bI w sI ]T; (/ € [1,«]) Trong

(3.10) ộj được định nghĩa bởi hàm dạng nội suy MK:

Định dạng
Số trang	95
Dung lượng	2,61 MB
File đính kèm	123.rar (12 MB)