185 đề HSG toán 7 huyện tam dương 2017 2018

K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M Chứng minh rằng.. 2,0 điểm Cho tam giác ABC vuông cân tại A.. Tìm giá trị nhỏ nhất của .k.

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

4

10 81 16.15

4 675

Câu 2 (2,0 điểm) Tìm ba số , ,x y z thỏa mãn

3 4 5

x  y z và 2x2 2y2 3z2  100

Câu 3 (2,0 điểm) Cho các số ,x y thỏa mãn   4 2018

Tính giá trị của biểu thức M 11x y2 4xy2

Câu 4 (2,0 điểm) Cho các số thực , , ,a b c d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Tính giá trị của biểu thức M a b b c c d d a

c d d a a b b c

Câu 5 (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai   2

f x ax bxc ( x là ẩn, a b c hệ số) , , : Biết rằng : f  0 2018, f  1 2019, f   1 2017.Tính f 2019

Câu 6 (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 27 2

12

x Q

x





 (với x )

Câu 7 (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a33a2  5 5bvà

3 5c

a 

Câu 8 (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 0

60 Tia Oz là phân giác của xOy Từ điểm

B bất kỳ trên tia Ox kẻ BH BK lần lượt vuông góc với , Oy Oz tại , H và K Qua B

kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M Chứng minh rằng BH MK

Câu 9 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm M nằm bên trong

tam giác sao cho MA2cm MB, 3cm AMC, 135 0 Tính MC

Câu 10 (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1;2;3; ;200, ta lấy ra k số bất kỳ sao cho

trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia Tìm giá trị nhỏ nhất của k

ĐÁP ÁN Câu 1

 

4 2 2 2 2

Câu 2

Từ

4

3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 25

Suy ra

2

2

2

6 8 36

10 64

6 100

8 10

x y x

z y

x z

y z

 









 









(Vì , ,x y z cùng dấu)

Vậy x y z; ;   6;8;10 ;   6; 8; 10 

Câu 3

Vì  4  2018

2 0; 2 1 0

x  y  với mọi ,x y nên:   4 2014

x  y  (x y, )

Mà theo đề bài   4 2014

x  y  , suy ra   4 2014

1

2

Câu 4

Từ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Suy ra

(*)

a b c d a b c d a b c d a b c d

Nếu a        b c d 0 a b c d b;    c a d

4

a b b c c d d a

M

c d d a a b b c

Nếu a   b c d 0thì từ  *    a b c d

4

a b b c c d d a

M

c d d a a b b c

Câu 5

Xét x0 : f  0 2018 c 2018

Xét x1: f  1 2019   a b c 2018  a b 1(1)

Xét x 1: f   1 2017   a b c 2017   a b 1 (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế    a 0 b 1

Từ đó tìm được f x  x 2018

Suy ra f 2019 1

Câu 6

Ta có: 27 2 2 3

x Q



  , suy ra Q lớn nhất khi

3

12xlớn nhất

*Nếu x12thì 12 0 3 0

12

x

x



*Nếu x12thì 12 0 3 0

12

x

x



Từ 2 trường hợp trên suy ra 3

12xlớn nhất khi 12 x 0

Vì phân số 3

12xcó tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số

có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất

Hay 12   x 1 x 11

Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x11

Câu 7

Do a  5b a33a2    5 a 3 5c

Vậy 5b    5c b c 5 5b c

Hay  3 2   

a  a  a 2  

Mà 2     

Hay a   3  1; 5, do a    a 3 4

Từ (1) và (2) suy ra a   3 5 a 2

Từ đó tính được 5b 233.22 5 2552  b 2

Và 5c       a 3 2 3 5 c 1

Vậy a2,b2,c1

Câu 8

Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì BOM BMO300

BK là đường cao của tam giác cân BMO nên K là trung điểm của

OM KM KO(1)

Chứng minh BKO OHB ch gnBH OK(2)

Từ (1) và (2) suy ra BH MK dfcm( )

M

H

K

x

B

z

Câu 9

Dựng tam giác ADM vuông cân tại A, (D, B khác phía đối với AM )

Chứng minh ABM  ACD c g c( )vì: AD AM(AMDvuông cân tại A)

(

MABCAD cùng phụ với CAM ; ) AB AC gt( )

Suy ra CDBM 3cm

Tính được 2 2 2

8

MD AD  AM 

Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M

Suy ra MC2 CD2 MD2    9 8 1 CD1(cm)

D

C A

B

M

Câu 10

Xét 100 số 101;102;103; ;200 Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội của số kia (vì 101.2200) Do đó k 101 (1)

Xét 101số bất kỳ lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a1 a2 a3  a101 200

Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:

3

2 2

2 2

Với n ilà số tự nhiên, còn b ilà các số lẻ i1;101

Suy ra các b ilà các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên:

1;3;5; ;199 Vì có 101các số b imà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số

i

b và b nào đó bằng nhau j

Suy ra trong hai số 2 n i

a  b và 2 n j

a  b sẽ có một số là bội của số còn lại Như vậy nếu lấy ra 101số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của

số kia (2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101