081 đề thi HSG toán 7 trường hồng đà 2015 2016

5 điểm Cho tam giác ABC M là trung điểm của , BC Trên tia đối của tia.. Tính HEM và BME Câu 5... ACEB Vì AMC  EMBMACMEB2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và E

PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG

TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7

NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi : TOÁN Câu 1 (3 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

12 12 10 10

2 13 2 65 3 11 3 5

2 104 3 2

b) Cho A   3 32 33 3 2015

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 A 3 3n

Câu 2 (5 điểm)

a) Tìm các số , ,x y z biết rằng y z 1 x z 2 y x 3 1

  b) Tìm :x 4 3 2 1

2012 2013 2014 2015

x  x  x  x

c) Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 2016x

Câu 3 (5 điểm)

a) Cho 1

3

x A

x





 Tìm số nguyên x để A là số nguyên b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

15 3

x B x





 c) Tìm số nguyên ,x y sao cho x2xy y 0

Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC M là trung điểm của , BC Trên tia đối của tia MA

lấy điểm E sao cho MEMA.Chứng minh rằng:

a) ACEBvà AC/ /BE

b) Gọi I là một điểm trên AC K là một điểm trên EB sao cho ; AI EK.Chứng minh

ba điểm , ,I M K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC H( BC).Biết HBE50 ,0 MEB250 Tính HEM và BME

Câu 5 (2 điểm)

Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ , IM IN IP lần lượt vuông góc với , ,

, ,

BC CA AB Chứng minh rằng: AN2BP2 CM2 AP2 BM2 CN2

ĐÁP ÁN Câu 1

a)

12 10

10 9

2 78 3 16

3 3 6

2 104 3 16

b) Tìm được n2010

Câu 2

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 

2

2

 

 

       

Vì x      y z 0 x y z 0,5 Thay kết quả này vào đề bài ta có:

0,5 1 0,5 2 0,5 3

2

tức là 1.5 x 2,5 y 2,5 z 2

Vậy 1; 5; 5

x y z  

 

)

2012 2013 2014 2015

2012 2013 2014 2015

2012 2013 2014 2015

2016 0 2016

b

x

c) Ta có: 2   2014

0

x

x

 





A

Để Alà số nguyên thì x 3là ước của 4, tức là x    3  1; 2; 4

Vậy giá trị x cần tìm là: 1;4;16;25;49

b)

2

15 12 1

x

B



Ta có: x2 0.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 x2  3 3(2 vế dương)

Vậy MaxB  5 x 0

c) Từ : x2xy   y 0 1 2y2x  1 1

Vì ,x y là các số nguyên nên 1 2 y và 2x1là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau:

Vậy có 2 cặp số ,x y như trên thỏa mãn điều kiện đầu bài

Câu 4

a) Xét AMC và EMBcó: AM EM gt AMC( ); EMB(đối đỉnh);BM MC gt( ) Nên AMC EMB c g c( )ACEB

Vì AMC  EMBMACMEB(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE)AC/ /BE

b) Xét AMIvà EMKcó: AM EM gt MAI( ); MEK(vì AMC EMB)

AI EK gt  AMI  EMK c g c AMI EMK

Mà AMI IME1800(tính chất hai góc kề bù)

K

H

E M

A

I

180 , ,

    thẳng hàng

c) Trong tam giác vuông  0

90

BHE H  có HBE500

0 0 0

40 25 15

HEM HEB MEB

Nên BMEHEM MHE150 900 1050(định lý góc ngoài của tam giác)

Câu 5

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có:

;

AN IA IN CN IC IN

 

1

Tương tự ta cũng có: 2 2 2 2  2 2 2 2 

Từ (1), (2), (3) ta có: AN2BP2 CM2 AP2 BM2 CN2

M

N P

A

I