061 đề HSG toán 7 trường phú trường 2017 2018

7 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB ACBC.Các tia phân giác của Avà C cắt nhau tại O.

TRƯỜNG THCS PHÚ TRƯỜNG ĐỀ THI OLYMPIC

MÔN TOÁN 7 – NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1 (5 điểm)

a) Cho a c

b  d Chứng minh rằng:  

6

6 6

6

6 6

3

0 3

a c

b d



b) Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15;60 và 8

Câu 2 (3 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức 2 5

3



 với

3 5

a

b  b) Tìm các số a b c biết , , ab2,bc6,ac3

Câu 3 (3 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên abccó ba chữ số khác nhau sao cho 3a5b8c

b) Chứng minh đa thức x2 4x10không có nghiệm

Câu 4 (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A x 2

x



 với x là số nguyên

Câu 5 (7 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB ACBC.Các tia phân giác của Avà

C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC

Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI  AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI

a) Chứng minh tam giác FCH cân và AK KI

b) Chứng minh ba điểm B O K thẳng hàng , ,

ĐÁP ÁN Câu 1

6

6

6 6

)

a

a c



   







        





b) Gọi hai số phải tìm là a b a,   b 0 , theo đầu bài ta có:

3

a

b





   

     



Câu 2

3

)

3

3 4

a

a

a

b

   

 

 

  b) Theo đề bài: ab2,bc6,ac3

Ta có: ab bc ac 2.6.3a b c2 2 2 36abc 6

Trường hợp 1:

   

   

   

Trường hợp 2:

     

     

     

Vậy

  

    

    

Câu 3

a) 3a5b8c3a3b8c8b3a b  8 c b 

Do đó: 3a b  8 a b 8

Do abnên a b 8; 8 

-Trường hợp a b      8 c d 3 a 8,b0,c3hoặc a9,b1,c4

-Trường hợp: a b       8 c b 3 a 1,b9,c6

Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803,914,196

x  x x  x x   x   x

Do đó 2

4 10

x  x không có nghiệm

Câu 4

Xét các trường hợp:

+)x   2 A 0

+)x   1 A 1

+)x 1 A x 2 1 2



     A lớn nhất 2

x

 lớn nhất

Vì x là số nguyên dương, nên 2

xlớn nhất xnhỏ nhất, tức là x1,khi đó A3 Vậy giá trị lớn nhất của A  3 x 1

Câu 5

a) Chứng minh CHO CFO ch( gn)CH CF FCHcân tại C

Vẽ IG/ /AC G( FH).Chứng minh FIG cân tại I

Suy ra AH IG IGK,  AHK  AHK  IGK g(  c g)AK KI

b) Vẽ OEABtại E Tương tự câu a, ta có: AEH,BEFthứ tự cân tại A B , , suy ra BEBFvà AE AH

BABEEABF AH BF FI BI ABIcân tại B

Mà BO là phân giác của B BK, là đường trung tuyến của ABI nên B O K là ba , , điểm thẳng hàng

E

G K

I

H

F O A