042 đề HSG toán 7 trường hiền quan 2015 2016

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam.. giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại.. A Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA a Chứn

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016

Môn thi: Toán 7

Câu 1 Tìm các số , ,x y z biết:

 3

c x x  d)12x15y20zvà x  y z 48

Câu 2

a) Tìm số dư khi chia 22011cho 31

b) Với a b là các số nguyên dương sao cho , a1và b2007chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a  a bchia hết cho 6

c) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 6x2 5y2 74

Câu 3

a) Cho tỉ lệ thức a b

b  c Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức

2 2

2 2







b) Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỳ và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không ? Giải thích ?

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam

giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A Từ E và F kẻ đường vuông

góc EK và FN với đường thẳng HA

a) Chứng minh rằng: EK FN

b) Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện của tam giác

ABCđể EF 2AI

Câu 5

a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a   b c d 1.Gọi S là tổng các

giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a b c d Hỏi S có thể , , , đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu

b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC60 0 Chứng minh rằng

BC AB  AC AB AC

ĐÁP ÁN Câu 1

 3

a x         x x

b) 9 7 x 5x3 Điều kiện 3

5

x

( )

tm

c) x3 x 0.DK x: 0

9

x

x







48

20; 16; 12

 

Câu 2

a) Ta có: 5    5 402  

2 32 1 mod31  2 1 mod31

2011

2 2 mod31

  Vậy số dư khi chia 22011cho 31là 2

b) Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 mod3 4a  2 0 mod3 

Mà 4a  2 0 mod 2 4a 2 6

Khi đó ta có 4a   a b 4a     2 a 1 b 20072010 6

Vậy với a b là các số nguyên dương sao cho , a1và b2007chia hết cho 6 thì

4a  a bchia hết cho 6

c) Từ 6 2 5 2 74 6 2 74 2 74

6

x  y   x  x  mà x nguyên 2  

0;1;4;9

x

Mặt khác ta có



    x y,  3,2 ; 3, 2 ;  3;2 ,  3, 2 

Câu 3

a) Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2



   

        



   

Vậy nếu có tỉ lệ thức a b

b  c ta có tỉ lệ thức

2 2

2 2



b) Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng

Ta có 1 2 3 2008 2008.2009 1004.2009

2

S       là một số chẵn Khi lấy ra hai số a b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi , ab  a b 2b

là số chẵn

Nên tổng mới phải là một số chẵn

Vậy trên bảng không thể còn lại số 1

Câu 4

a) Chứng minh KAF  HBA ch( gn)EK AH

Chứng minh NFI  HCA ch( gn)FN  AH

Suy ra EK FN

2

2

EF

AI  gt  AI EI FI IEAIAEvà IAF IFA

I

H

K

N

F

E

A

B

C

0 0

Vậy EF 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

Câu 5

a) Giả sử a   b c d 0

Ta có: S            a b b c c d a c a d b d

            

Mà c3d  0 S 3ab

Mặt khác a     b c d 1 a 1

Suy ra S3a b 2a  a b 2.1 1 3 

Dấu bằng xảy ra khi

3 0

1 1

0 1

a

a







     

 



Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a b c d có 1 số bằng 1 còn 3 số bằng 0 , , , b)

Kẻ BH AC

2

AB

Áp dụng định lý Pytago ta có:

AB AH BH và BC2 BH2 HC2

2

Từ (1) và  2 dfcm

H A