011 đề HSG toán 7 huyện nga sơn 2009 2010

Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE H và K thuộc đường thẳng AE.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN Câu 1 ( 4 điểm) Tìm x biết:

13 13

21 25

2

x x

Câu 2 (3 điểm) So sánh:

a) 500

3 và 300

7 b)

9 1 243

13 1 83

c)

19

20

10 1

10 1

 và

20

21

10 1

10 1



Câu 3 (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng các bình phương là 1201; số thứ nhất

và số thứ hai có tỉ lệ là 3 và 4; số thứ nhất và số thứ ba tỉ lệ với 5 và 8

Câu 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A Gọi M là trung điểm BC, điểm

E nằm giữa M và C Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng:

a) BH = CK

b) MBH MAK

c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân

d) Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì 2 2

BH CK luôn không đổi

Câu 5 (1 điểm) Cho ba số chính phương x y z; ; Chứng minh rằng

   12

A xy yz zx

ĐÁP ÁN HSG 7 NGA SƠN 2009-2010 Câu 1

a) 7,5 : 9 613 213 7,5 :50 63 7,5 63 50. 4

Vậy 4

5

x

3x 1  46  2.3

3x 1  46  54  3x 1  100  3x 1  10

3x  1 10 hoặc 3x   1 10

*Nếu 3 1 10 11

3

x   x

*Nếu 3x      1 10 x 3

3

x x 

c)  2

2 1 2x   160  2x 32  x 5 Vậy x 5

2

*) Xét x  0 VT  0, VP < 0 nên không có giá trị nào của x thỏa mãn

*) Xét x 0 1 0

2

x

Khi đó (*) trở thành: 1 2 3 21

Vậy 21

2

x

Câu 2

a) Ta có: 500  5 100 100 300  3 100 100

Vì 100 100

243  343 nên 500 300

3  7 Vậy 500 300

3  7

b) Ta có: 1 15 1 1 14 1 1

Vậy

9 13

243 83

c) Ta có

20

21

P

Q



  

 



  

 

Vì 209 219

10 1  10 1

  nên từ (1) và (2) suy ra 10P10Q P Q

Vậy P > Q

Câu 3

Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là x y z, , Theo đề bài ta có:

3 4

x y

5 8 15 20 24

15 20 24

  2  2 2

2

       

        

Vậy x 15;y 20;z 24là ba số phải tìm

Câu 4

a) Xét ABHvà CAKcó:

0

H  K gt AB AC gt ABH CAK(cùng phụ với BAH)

b) Dễ thấy ABM  AMC cgc( ) AMBAMC

AMBAMC AMB AMC AM BC

Do ABCvuông cân nên 0

45

ABC  AMBvuông cân tại MMAMB

Xét MBHvà MAKcó: BH AK(chứng minh câu a)

MBH MAK (cùng phụ với AEB); MA = MB (chứng minh trên)

( )

MBH MAK c g c

c) Theo câu b) MBH  MAKMHMK và KMAHMB(1)

HMB HMA KMAKMHHMAKMH 

Từ (1) và (2)  MKHvuông cân tại M

d) Khi E khác M và C

H

K

A

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ACK ta có:

AKBHAK BH

*Khi E trùng với C thì 2 2 2 2 2 2

0

BH CK  AB  AB  AC

BH KC MA MC  AC

Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng 2 2

BH KC luôn không đổi

Câu 5 Theo đề bài x y z; ; là 3 số chính phương Mà một số chính phương khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thê dư 0 hoặc dư 1

Do đó trong 3 số chính phương x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên 3 số xy y; z z; xphải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 suy ra

xyyzzx 3

Chứng minh tương tự ta cũng có xyyzzx 4

Mà  3, 4  1nên Axyyzzx12