Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HDHB.. Từ C kẻ CE vuông góc với AD.. Chứng minh: a Tam giác ABD là tam giác đều b AH CE c EH song song với AC... Hai tam giác cân ADC và DEH có : ADCED
Trang 1TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 Năm học: 2013-2014 Câu 1 (5 điểm) Cho a c
c bchứng minh rằng :
)a c c b )a c a )b a b a
Câu 2 (2 điểm) Tìm x y z, , biết 1 3 1 5 1 7
Câu 3 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: 1 12 12 12 12 1
6 5 6 7 100 4
b) Tìm số nguyên a để: 2 9 5 17 3
Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1996
1997
x
Câu 5 (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc 0
30
C , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm
D sao cho HDHB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều
b) AH CE
c) EH song song với AC
Trang 2ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 BÍCH HÒA 2013-2014 Câu 1
a) Từ a c a c a c a c c b
c b c b c b a c c b
.
a c
c a b
c b khi đó:
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
c) Theo câu b, ta có:
Từ
hay
Vậy
2 2
2 2
Câu 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1 3 1 5 1 7 1 7 1 5 2 1 5 1 3 2
5 12 2
5 12
x x
Thay x 2vào trên ta được 1 3 2 1
y y
y y
15
x y
Câu 3
a) Đặt 12 12 12 12
A
Ta có :
* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 4
* 1 1 1 1 1 1 1
5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
Vậy 1 12 12 12 12 1
6 5 6 7 100 4
b) Ta có : 2 9 5 17 3 4 26 4 12 14 4.( 3) 14 14
a
Khi đó (a 3)là ước của 14 mà Ư 14 1; 2; 7; 14
Ta có a 2; 4; 1; 5;10; 4;11; 17
Câu 4
Trang 3A với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi A đạt giá trị nhỏ nhất
1996 1996
1997 1997
0
x xnên x 1996 1996
Vậy A nhỏ nhất bằng 1996
1997 khi x = 0 Suy ra GTLN của A 1996 1996
1997 1997
Câu 5
a) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A
90 30 60
B nên tam giác ABD là tam giác đều
90 60 30
EACBACBAD ACH AHC CEA (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó: AH = CE
c) AHC CEA cmt( )nên HC = EA
ADC
30
ADCDCA nên DA = DC
E
D H
B
A
C
Trang 4Suy ra DE = DH Tam giác DEH cân ở D
Hai tam giác cân ADC và DEH có : ADCEDH(hai góc đối đỉnh ) do đó
ACDDHEở vị trí so le trong , suy ra EH/ /AC