Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVŨ THỊ NGỌC ÁNH PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU LU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu vàkết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

GS TS Phạm Chí Vĩnh Thầy luôn tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức,kinh nghiệm cho tôi, để tôi có được thành quả này Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,các cán bộ Phòng sau đại học và đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học

đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án Tôi cảm ơn các thành viêntrong nhóm xêmina do thầy Phạm Chí Vĩnh làm trưởng nhóm, đã chia sẻ kinhnghiệm, tạo một môi trường nghiên cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tôi.Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã luôn luôngiúp đỡ, động viên và ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận án

Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

Mục lục

1.1 Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng 4

1.1.1 Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp 4

1.1.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án 5

1.1.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án 8

1.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu 11

1.2.1 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp mỏng 11

1.2.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp có độ dày tùy ý 14

1.3 Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án 15

2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG 17 2.1 Các bước thực hiện của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng 18

2.1.1 Trường hợp lớp mỏng 18

2.1.2 Trường hợp lớp vật liệu có độ dày hữu hạn 22

2.2 Điều kiện biên tiền hiệu dụng 23

2.2.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất 23

2.2.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất 30

2.2.3 Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn 33

2.3 Điều kiện biên hiệu dụng 38

2.3.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất với liên kết gắn chặt và liên kết trượt 38 2.3.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất với liên kết gắn chặt 45

2.3.3 Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn với liên kết gắn chặt, liên

kết trượt và liên kết lò xo 45

2.4 Kết luận chương 2 47

3 SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI PHỦ LỚP MỎNG 49 3.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết gắn chặt 50

3.2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết gắn chặt 54 3.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt 58

3.4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt 62

3.5 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt 64

3.6 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt 67

3.7 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được, không thuần nhất 69

3.8 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được 71

3.8.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết gắn chặt 72 3.8.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết trượt 74

3.9 Ví dụ về ảnh hưởng của tính không nén được lên vận tốc sóng 77 3.10 Kết luận chương 3 79

4 SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU CÓ ĐỘ DÀY TÙY Ý 81 4.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng nén được phủ lớp trực hướng nén được 82

4.1.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 82

4.1.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 85

4.1.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 86

4.1.4 Dạng thứ hai của phương trình tán sắc 86

4.1.5 Trường hợp đẳng hướng 88

4.2 Phương pháp giới hạn không nén được 90

4.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng không nén được phủ lớp trực hướng không nén được 93

4.3.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 94

4.3.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 95

4.3.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 95

4.4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp trực hướng nén được 96

4.4.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 96

4.4.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 97

4.4.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 97

4.5 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng nén được phủ lớp trực hướng không nén được 97

4.5.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 98

4.5.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 99

4.5.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 99

4.6 Ví dụ số 99

4.7 Kết luận chương 4 102

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 106

PHỤ LỤC

Danh sách hình vẽ

2.1 Mô hình bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi 173.1 Mô hình bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi 493.2 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM khôngnén được, liên kết gắn chặt 533.3 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LMnén được, liên kết gắn chặt 573.4 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM nénđược, liên kết trượt 613.5 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM khôngnén được, liên kết trượt 643.6 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LMnén được, liên kết trượt 663.7 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LMkhông nén được, liên kết trượt 683.8 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ

LM không thuần nhất với δ = 0.1, liên kết gắn chặt 723.9 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ

LM không thuần nhất với δ = −0.1, liên kết gắn chặt 73

3.10 Các đường cong xấp xỉ: Bovik (nét đứt có chấm), bậc bốn (nétđứt) và đường cong chính xác (nét liền) của vận tốc sóng Rayleightrong BKG đẳng hướng nén được phủ LM đẳng hướng nén được,liên kết gắn chặt 753.11 Đường cong xấp xỉ bậc bốn (nét đứt) và đường cong chính xác(nét liền) của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng nénđược phủ LM đẳng hướng nén được, liên kết trượt 763.12 Ảnh hưởng của tính không nén được của lớp lên vận tốc sóngRayleigh BKG là nén được 773.13 Ảnh hưởng của tính không nén được của lớp lên vận tốc sóngRayleigh BKG là không nén được 783.14 Ảnh hưởng của tính không nén được của BKG lên vận tốc sóngRayleigh Lớp là nén được 793.15 Ảnh hưởng của tính không nén được của BKG lên vận tốc sóngRayleigh Lớp là không nén được 794.1 Mô hình bán không gian trực hướng phủ lớp trực hướng có độdày h 814.2 Đường cong vận tốc của sáu mode đầu tiên của sóng Rayleightrong BKG trực hướng nén được phủ lớp trực hướng nén được độdày tùy ý, liên kết lò xo 1004.3 Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleighvới liên kết lò xo BKG và lớp là trực hướng nén được 1004.4 Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleighvới liên kết gắn chặt (nét liền) và liên kết trượt (nét đứt) BKG

và lớp là trực hướng nén được 1014.5 Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh các mode 0, 1, 2 vào độmềm pháp cN (nét liền) và độ mềm tiếp cT (nét đứt), trường hợplớp trực hướng nén được có độ dày tùy ý trên BKG trực hướngnén được 102

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận án

Nhiều bài toán thực tế dẫn đến bài toán biên của lý thuyết đàn hồi trênmiền Ω gồm một số miền con (thành phần) liên kết với nhau Để giải các bàitoán biên này, cần tìm nghiệm tổng quát trên từng miền con, sau đó cho chúngthỏa mãn các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết Khi Ω gồmnhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cầngiảm số thành phần của Ω Để bảo toàn tương tác cơ học, ảnh hưởng của cácthành phần đưa ra khỏi kết cấuΩlên phần còn lại Ω∗ sẽ được thay thế bằng cácđiều kiện trên biên của Ω∗, được gọi là các điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD).Phương pháp này, do vậy, được gọi là phương pháp điều kiện biên hiệu dụng(PPĐKBHD) Vì tác dụng làm giảm số ẩn của một bài toán biên, PPĐKBHD

có phạm vi ứng dụng lớn, rất cần được nghiên cứu và phát triển

Cấu trúc “một lớp (đàn hồi) dày phủ một lớp (đàn hồi) mỏng”, mô hình hóanhư bán không gian (BKG) đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, đang được sử dụngrộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ hiện đại Việc đánh giácác tính chất cơ học của cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng, do vậy, làhết sức cần thiết và có ý nghĩa Trong nhiều phương pháp đánh giá, phươngpháp truyền sóng Rayleigh được sử dụng rộng rãi bởi nó không phá hủy vậtliệu, thời gian kiểm tra ngắn, giá thành rẻ Khi sử dụng sóng Rayleigh để đánhgiá, phương trình tán sắc (PTTS) dạng hiện của nó là cơ sở toán học để thiếtlập bài toán ngược: xác định các đặc trưng cơ học của cấu trúc từ các giá trị đođược của vận tốc sóng Do vậy, nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trongcác BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng,

là đòi hỏi cấp bách, có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực đánh giá không pháhủy và khoa học vật liệu

Để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong các BKGđàn hồi phủ một lớp đàn hồi, PPĐKBHD được sử dụng Toàn bộ ảnh hưởngcủa lớp lên BKG được thay thế bằng ĐKBHD tại mặt biên của BKG (tức làbiên phân chia giữa BKG và lớp) Sau đó, sóng Rayleigh trong BKG phủ lớp vật

liệu được xét như sóng Rayleigh truyền trong BKG không bị phủ, chịu ĐKBHD.

Mục tiêu của luận án

Mục tiêu của luận án là phát triển PPĐKBHD và tìm ra các PTTS dạng hiệncủa sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

Đối tượng nghiên cứu

Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

Phạm vi nghiên cứu

Cấu trúc bán không gian đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (khôngnén được) phủ một lớp đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không nénđược) với liên kết gắn chặt, liên kết trượt, liên kết lò xo

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng “phương pháp điều kiện biên hiệu dụng”, “phương pháp matrận chuyển”, “phương pháp giới hạn không nén được” để tìm ra các phươngtrình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh

Những đóng góp mới của luận án

1 Phát triển PPĐKBHD cho kết cấu BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi với liênkết trượt và liên kết lò xo

2 Phát triển phương pháp giới hạn không nén được

3 Áp dụng PPĐKBHD và phương pháp giới hạn không nén được để tìm ra cácPTTS dạng hiện xấp xỉ và chính xác của sóng Rayleigh truyền trong các bánkhông gian đàn hồi phủ một lớp vật liệu với liên kết gắn chặt, liên kết trượt,liên kết lò xo

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên 09 bài báo quốc

tế thuộc danh mục ISI (04 SCI-Q1; 02 SCI-Q2, 01 Q1, 02 Q2), 01 bài báo quốc gia uy tín (Vietnam Journal of Mechanics), 01báo cáo Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lầnthứ XII

SCIE-Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, kết luận và bốn chương:

Chương 1: Tổng quan

Chương này trình bày ý tưởng của PPĐKBHD và tổng quan sự phát triển của

nó, tổng quan tình hình nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trong cácBKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.

Chương 2: Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng

Sau khi trình bày các bước thực hiện của PPĐKBHD, chương này thiết lập cácđiều kiện biên hiệu dụng cho lớp đàn hồi trực hướng (nén được và không nénđược) liên kết gắn chặt, trượt, lò xo với BKG đàn hồi Chú ý rằng, các ĐKBHDthu được không chỉ để sử dụng nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh, mà

có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ đối với liên kết gắn chặt, cho bài toántruyền sóng phẳng tùy ý đối với liên kết trượt và liên kết lò xo

Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng

Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp mỏng, chươngnày thiết lập các PTTS xấp xỉ (bậc cao) dạng hiện cho sóng Rayleigh truyềntrong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng (thuần nhất và không thuầnnhất)

Chương 4: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp vậtliệu có độ dày tùy ý

Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp có độ dày tùy

ý, kết hợp với phương pháp giới hạn không nén được, chương này thiết lập cácPTTS chính xác dạng hiện cho sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồiphủ một lớp đàn hồi có độ dày tùy ý

Chương 1

TỔNG QUAN

1.1.1 Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp

Trong không gian Euclide ba chiều Ox1x2x3, xét một vật thể đàn hồi tuyếntính Ω gồm n (≥ 2) thành phần (đặc trưng bởi các hằng số đàn hồi khác nhau)

Ωk(k = 1, 2, , n) Liên kết giữa các thành phần Ωk có thể là liên kết gắn chặt,liên kết trượt hay liên kết lò xo

Xét bài toán biên của lý thuyết đàn hồi tuyến tính trên miền Ω: tìm cácthành phần chuyển dịch uk(x1, x2, x3, t) (k = 1, 2, 3) thỏa mãn các phương trìnhchuyển động (bỏ qua lực khối):

c(k)ijpquq,pj = ρ(k)u ¨i, i = 1, 2, 3, k = 1, 2, , n (1.1)

và các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết Trong phương trình(1.1), c(k)ijpq, ρ(k) tương ứng là các hằng số đàn hồi, mật độ khối lượng của vật thể

Ωk, dấu “,” chỉ đạo hàm theo biến xk, dấu “.” chỉ đạo hàm theo biến thời gian t

Để giải bài toán biên trên, ta phải tìm nghiệm (tổng quát) của hệ phươngtrình (1.1) trong từng miền con Ωk(k = 1, 2, , n), sau đó cho chúng thỏa mãnđiều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết

Khi miền Ω gồm nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn, việc giải bài toán,

do vậy trở nên rất khó khăn Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cần giảm sốthành phần của Ω Để bảo toàn tương tác cơ học của kết cấu, ảnh hưởng củacác thành phần đưa ra khỏi kết cấu Ω lên phần còn lại Ω∗ phải được thay thế(một cách tương đương) bằng các điều kiện trên biên củaΩ∗ Các điều kiện nàyđược gọi là các “điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD)”, như đã nói ở phần mởđầu

Ta phải tìm các điều kiện biên hiệu dụng để giải bài toán biên trên miền Ω∗.Như sẽ thấy ở các chương sau, chúng là các hệ thức tuyến tính giữa các thànhphần chuyển dịch, các thành phần ứng suất và các đạo hàm riêng của chúng(theo xk và t).

Như vậy, ý tưởng của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là: Bỏ bớt một

số thành phần của kết cấu và thay thế một cách tương đương ảnh hưởng củachúng lên phần còn lại bằng các điều kiện biên hiệu dụng

Ý nghĩa của phương pháp: Giảm số ẩn cần tìm của các bài toán biên của lýthuyết đàn hồi đối với các kết cấu nhiều thành phần

Mục tiêu của phương pháp: Tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng

1.1.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án

Người đầu tiên sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là Tiersten[73] (1969) Ông áp dụng cho kết cấu bán không gian phủ lớp mỏng, mô hìnhtoán học của một lớp dày phủ một lớp mỏng Kết cấu này đang được sử dụngrộng rãi trong công nghệ hiện đại Vật liệu của bán không gian và lớp đều là đànhồi đẳng hướng Liên kết giữa chúng là liên kết gắn chặt Tiersten bỏ lớp mỏng

và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệudụng xấp xỉ bậc nhất Để rút ra các điều kiện biên hiệu dụng, Tiersten thay thế(một cách gần đúng) lớp mỏng bằng một bản mỏng và sử dụng lý thuyết bảnbậc nhất, sau đó xấp xỉ chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán khônggian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản Các điều kiện biên hiệu dụng thuđược có thể sử dụng cho mọi bài toán động của lý thuyết đàn hồi Tiersten đã

sử dụng chúng để nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gianđàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng Phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng đã được tìm ra khá dễ dàng bằng cách khai triểnmột định thức cấp hai Trong khi đó, nếu sử dụng phương pháp truyền thống,phải khai triển một định thức cấp sáu Trước Tiersten, phương trình tán sắccủa sóng Rayleigh đối với cấu trúc này đã được tìm ra nhưng vẫn ở dạng địnhthức (cấp sáu), nên không thuận tiện khi sử dụng

Tuy nhiên:

(i) Cách tiệm cận của Tiersten phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyếtbản Đây là một lý thuyết xấp xỉ, bậc một hoặc bậc ba (thiết lập gần đây), xâydựng chủ yếu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng

(ii) Khi vật liệu của lớp là dị hướng, các phương trình của bản (nếu đã đượcthiết lập) trở nên phức tạp, quá trình rút ra các điều kiện biên hiệu dụng theo

cách tiệm cận của Tiersten do vậy gặp nhiều khó khăn.

(iii) Hơn nữa, với cách tiệm cận của Tiersten, không thể rút ra các điều kiệnbiên hiệu dụng bậc cao, vì khi đó giả thiết chuyển dịch tại biên phân chia giữalớp và bán không gian (xấp xỉ) bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản khôngcòn phù hợp

Với các lý do nêu trên, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng không đạtđược sự phát triển nào trong một thời gian dài

Đến năm 1996, Bovik [8] đưa ra cách tiếp cận mới cho phương pháp điềukiện biên hiệu dụng Cũng như Tiersten, Bovik giả thiết lớp và bán không gian

là đàn hồi đẳng hướng, liên kết gắn chặt với nhau, và cũng đã tìm ra điều kiệnbiên hiệu dụng bậc một Để tìm ra điều kiện biên hiệu dụng, Bovik thực hiệncác bước sau:

(i) Khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp theo độdày của nó đến cấp một

Các khai triển này chứa các đạo hàm cấp một theo hướng pháp tuyến (vuônggóc với lớp), lấy tại biên phân chia, đối với các thành phần ứng suất của lớptrên các mặt phẳng song song với lớp Để sử dụng sự liên tục của chuyển dịch

và ứng suất tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (do liên kết gắn chặtgây ra), cần biểu diễn các đạo hàm theo hướng pháp tuyến nói trên qua các đạohàm theo hướng tiếp tuyến (song song với lớp) và đạo hàm theo thời gian, lấytại mặt dưới của lớp, của các thành phần chuyển dịch và các thành phần ứngsuất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp Chú ý rằng, từ sự liên tụccủa chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia suy ra sự liên tục của đạo hàmtheo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian, nhưng không suy ra sự liêntục của đạo hàm theo hướng pháp tuyến

(ii) Từ các liên hệ ứng suất-biến dạng (định luật Hooke) và các phương trìnhchuyển động, biểu diễn đạo hàm (cấp một) theo hướng pháp tuyến của các thànhphần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp qua các đạo hàmtheo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của các thành phần chuyểndịch và các thành phần ứng suất của lớp (trên các mặt phẳng song song với lớp).(iii) Sử dụng biểu diễn của đạo hàm theo hướng pháp tuyến (thu được ở bước(ii)) vào khai triển Taylor (thu được ở bước (i)) cùng với điều kiện tự do đối vớiứng suất (tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bánkhông gian, điều kiện biên hiệu dụng được suy ra

Chú ý rằng, trong ba bước nêu trên, bước (ii) là quan trọng nhất

Chú ý 1.1: Tiersten [73] và Bovik [8] đều tìm ra các điều kiện biên hiệu

dụng bậc một cho lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng gắn chặt với một bán khônggian đàn hồi đẳng hướng Tuy nhiên, chúng không trùng nhau So sánh hai điềukiện biên hiệu dụng thu được, Bovik cho rằng Tiersten đã bỏ sót một số số hạng(bậc nhất) trong điều kiện biên hiệu dụng mà ông thu được Tuy nhiên, Vĩnh

và Ánh [59] (2016), đã chỉ ra rằng, điều kiện biên hiệu dụng (xấp xỉ bậc một)thu được bởi Bovik thừa hai số hạng bậc hai, điều kiện biên hiệu dụng thu đượcbởi Tiersten là đầy đủ Như vậy, điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ thu được bởiBovik là bậc một thừa, bậc hai thiếu

Khác với Tiersten, Bovik xuất phát từ các phương trình cơ bản (các phươngtrình chuyển động và định luật Hooke) chính xác của lý thuyết đàn hồi tuyếntính đối với của lớp, do vậy không cần giả thiết: chuyển dịch tại biên phân chiagiữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản Hơn nữa,với cách tiếp cận của Bovik, các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao có thể đượctìm ra bằng cách khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên củalớp đến cấp cần thiết

Tuy nhiên, do Bovik sử dụng các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồidưới dạng thành phần, nên việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao (đểtăng độ chính xác của mô hình xấp xỉ) là rất khó khăn, đặc biệt khi mở rộngcho vật liệu đàn hồi dị hướng Vì những vật liệu này đang được sử dụng rộngrãi trong công nghệ hiện đại, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc caocho chúng là hết sức có ý nghĩa, về cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế

Để khắc phục hạn chế nêu trên của Bovik, Vĩnh và Linh [48] (2012) đã pháttriển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng dựa trên phương trình ma trận của

lý thuyết đàn hồi tuyến tính và khai triển Taylor Cụ thể, để thu được điều kiệnbiên hiệu dụng Vĩnh và Linh [48] tiến hành các bước sau:

(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ cácphương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó

Véctơ hàm cần tìm của phương trình này gồm hai véctơ hai thành phần:véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất trên các thiết diện (mặt phẳng) song songvới lớp, được gọi là véctơ trạng thái (bốn thành phần) Phương trình ma trận códạng một phương trình vi phân (theo hướng pháp tuyến), tuyến tính cấp mộtcủa véctơ trạng thái Ma trận (toán tử) của phương trình này phụ thuộc vàocác đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian (và các tham số vật liệu) Cóthể xem phương trình này như là biểu diễn của đạo hàm pháp tuyến của véctơtrạng thái qua các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của nó.Chú ý rằng, các phương trình ma trận còn được sử dụng trong các bài toán

khác nhau của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, nên việc tìm ra chúng có ý nghĩaquan trọng về phương diện lý thuyết.

(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của

nó đến cấp cần thiết

Các hệ số của khai triển này là các đạo hàm các cấp theo hướng pháp tuyếncủa véctơ ứng suất lấy tại mặt dưới của lớp

(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor

ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian(lấy tại mặt dưới của lớp)

(iv) Rút ra điều kiện biên hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay các kếtquả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự do đốivới ứng suất tại mặt trên của lớp, điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bánkhông gian

Chú ý rằng, dưới dạng ma trận, điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức tuyếntính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của bán không gian (không phảicủa lớp) tại biên của bán không gian (tức là biên phân chia) Hai ma trận hệ

số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàmtheo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp

Sử dụng cách tiếp cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận”, Vĩnh vàLinh [48], Vĩnh và cộng sự [50] đã thu được các điều kiện biên hiệu dụng bậc

ba cho cấu trúc bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi (BKG-LM-ĐH)trực hướng nén được và không nén được, với liên kết gắn chặt Các điều kiệnbiên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ của lý thuyếtđàn hồi (tuyến tính)

Như vậy, trước luận án, PPĐKBHD mới chỉ phát triển cho cấu trúc LM-ĐH đẳng hướng hoặc trực hướng, lớp và BKG cùng nén được hoặc cùngkhông nén được, và liên kết gắn chặt với nhau

BKG-1.1.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án

Luận án tiếp tục quan tâm xét cấu trúc BKG đàn hồi trực hướng phủ một lớpđàn hồi trực hướng Tuy nhiên, luận án phát triển PPĐKBHD cho các trườnghợp sau:

(i) Liên kết giữa BKG và lớp là liên kết trượt hoặc liên kết lò xo

(ii) BKG là nén được (không nén được) phủ lớp vật liệu không nén được (nénđược), tức là BKG và lớp không cùng nén được (không nén được)

(iii) Lớp vật liệu có độ dày tùy ý (ngoài trường hợp lớp mỏng)

(iv) Lớp vật liệu (mỏng) không thuần nhất.

Khi mới sử dụng, liên kết giữa lớp và BKG là gắn chặt Sau một thời gian,

do ảnh hưởng của các yếu tố cơ học và vật lý khác nhau, liên kết dần yếu đi[27, 28], không còn thực sự gắn chặt, và cuối cùng trở thành liên kết trượt Dovậy, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liên kết lò

xo là hết sức cần thiết và có ý nghĩa trong các ứng dụng thực tế

Bài toán của lý thuyết đàn hồi với liên kết trượt đã được nhiều tác giả nghiêncứu, như Murty [36, 37] , Barnett và cộng sự [5], Ting [78], Vì các ĐKBHDcho liên kết trượt chưa được thiết lập nên các bài toán này đã được giải trựctiếp Vì chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến không liên tục qua biên phân chianên việc tìm ra các ĐKBHD cho liên kết trượt khó hơn so với liên kết gắn chặt

Để vượt qua khó khăn này, cần khử chuyển dịch tiếp tuyến ra khỏi điều kiệnbiên tiền hiệu dụng

Liên kết không thực sự gắn chặt (imperfectly bonded contact) đang là đề tàinghiên cứu thời sự (xem [3, 17, 18, 26, 29, 30, 65, 81]), vì những ứng dụng của

nó trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ Liên kết này được mô hìnhhóa như là liên kết lò xo (xem [4, 7, 21, 33, 63, 67, 82])

Đối với liên kết lò xo, chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến cũng như theo hướngpháp tuyến đều không liên tục qua biên phân chia nên việc tìm ra các ĐKBHDkhó hơn so với liên kết gắn chặt và liên kết trượt Để thu được các ĐKBHD cầnkhử các thành phần chuyển dịch của lớp ra khỏi các điều kiện biên tiền hiệudụng

Mặt khác, cho đến nay chưa có một điều kiện biên hiệu dụng nào được thiếtlập cho loại vật liệu đàn hồi không nén được, một loại vật liệu đang được sửdụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế Sự xuất hiện của áp lực thủy tĩnhtrong các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi không nén được có thể lànguyên nhân dẫn đến tình trạng này

Với các lý do nêu trên, luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệudụng theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận” cho vật liệuđàn hồi dị hướng với liên kết trượt và liên kết lò xo, cho cả vật liệu nén được vàkhông nén được

Để thu được các điều kiện biên hiệu dụng (bậc cao) cho liên kết trượt và liênkết lò xo, cần thực hiện các bước sau:

(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ cácphương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó

Đối với vật liệu đàn hồi nén được, các phương trình ma trận được thiết lập

theo cách mà Vĩnh và Linh [48] đã sử dụng Tuy nhiên, đối với vật liệu đàn hồikhông nén được, tình hình trở nên khó khăn hơn, vì phải khử áp suất thủy tĩnh

ra khỏi các phương trình cơ bản

(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của

nó đến cấp cần thiết

(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor

ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian(lấy tại mặt dưới của lớp)

(iv) Rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thaycác kết quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự

do đối với ứng suất tại mặt trên của lớp

Điều kiện biên tiền hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ chuyểndịch và véctơ ứng suất của lớp (không phải của bán không gian) tại biên phânchia Hai ma trận hệ số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướngtiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày củalớp

(v) Từ điều kiện biên tiền hiệu dụng và điều kiện liên kết (trượt, lò xo) suy

ra điều kiện biên hiệu dụng

Đối với liên kết gắn chặt, điều kiện biên hiệu dụng nhận được trực tiếp từđiều kiện biên tiền hiệu dụng vì véctơ trạng thái liên tục qua biên phân chia.Tuy nhiên, đối với liên kết trượt, liên kết lò xo, véctơ trạng thái không liên tụcqua biên phân chia nên việc rút ra các điều kiện biên hiệu dụng khó khăn hơn.Như sẽ thấy ở chương 2, để vượt qua khó khăn, phải hạn chế nghiên cứutrong lớp các bài toán sóng phẳng Điều này có nghĩa, các điều kiện biên hiệudụng thu được cho liên kết trượt và liên kết lò xo chỉ được sử dụng cho các bàitoán sóng phẳng

Trong nhiều bài toán thực tế, lớp vật liệu phủ bán không gian không phải làmỏng mà có độ dày tùy ý Việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng chính xáccho các lớp vật liệu này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Cho đến nay, chưa cómột điều kiện biên hiệu dụng chính xác nào được tìm ra

Luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng để tìm ra cácđiều kiện biên hiệu dụng chính xác cho lớp đàn hồi trực hướng, với cả ba liênkết: liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo

Như sẽ thấy ở chương 2, ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồitrực hướng có độ dày tùy ý là cơ sở để phát triển phương pháp Vì khả năngtìm được các ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi là rất hạn chế,

chỉ có thể đối với vật liệu đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi đẳng hướng cóứng suất trước, nên phạm vi ứng dụng của cách tiệm cận này hẹp hơn rất nhiều

so với phạm vi ứng dụng của cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình matrận” Với lý do đó mà luận án trình bày cả hai cách tiệm cận

Chi tiết của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liênkết lò xo đối với vật liệu nén được và không nén được sẽ được trình bày trongchương 2 Hai nội dung chủ yếu của chương này là, rút ra các điều kiện biêntiền hiệu dụng, và sau đó là các điều kiện biên hiệu dụng

Chú ý rằng, các điều kiện biên hiệu dụng thu được trong luận án có thể sửdụng cho nhiều bài toán khác nhau (liên kết gắn chặt: cho bài toán động tùyý; liên kết trượt và liên kết lò xo: cho bài toán sóng phẳng bất kỳ) Tuy vậy,trong phạm vi giới hạn của luận án, chúng được sử dụng để nghiên cứu bài toántruyền sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

hồi được phủ một lớp vật liệu

1.2.1 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ

một lớp mỏng

Cấu trúc một lớp vật liệu dày phủ một lớp vật liệu mỏng, mô hình hóa nhưmột bán không gian phủ lớp mỏng, đã và đang được sử dụng rộng rãi trong côngnghệ hiện đại (xem chẳng hạn Fu [20] (2007), Steigmann và Ogden [70] (2007),Qian và cộng sự [62] (2009) và các tài liệu tham khảo ở trong đó, Weiqiu Chen

và cộng sự [84] (2017) ) Việc đánh giá (đo) các tính chất cơ học của cấu trúcnày trước và trong quá trình sử dụng, do vậy là quan trọng và hết sức cần thiết[19, 32, 83] Trong số các phương pháp đo khác nhau, phương pháp sóng mặtđược sử dụng rộng rãi nhất [19, 83] vì nó không phá hủy cấu trúc, giá thành

rẻ, dễ thực hiện và tốn ít thời gian [24], trong đó sóng mặt Rayleigh là công cụthuận tiện nhất [24, 25] Trước hết, sóng Rayleigh được truyền vào cấu trúc cần

đo, sau đó vận tốc truyền của nó được xác định Một bài toán ngược được thiếtlập để đánh giá các tham số cơ học của cấu trúc từ các giá trị đo được của vậntốc sóng Cơ sở toán học của bài toán này chính là phương trình tán sắc dạnghiện của sóng Rayleigh

Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các cấu trúc bán khônggian phủ một lớp vật liệu mỏng, là cần thiết và hết sức có ý nghĩa trong ứng dụng

thực tế.

Mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất của các nghiên cứu về sóng Rayleigh

là tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của nó, phương trình xác định vậntốc sóng Rayleigh từ các tham số vật liệu và hình học của cấu trúc Thứ nhất,

vì vận tốc sóng Rayleigh có mặt trong các biểu thức của chuyển dịch và ứngsuất Muốn xác định chúng trước hết phải xác định được vận tốc sóng Rayleigh

Mà để xác định vận tốc sóng Rayleigh, phải tìm ra phương trình tán sắc dạnghiện Thứ hai, phương trình tán sắc dạng hiện là cơ sở toán học để giải bài toánngược, một bài toán quan trọng trong các ứng dụng thực tế, như đã nói ở trên.Đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi không phủ, tự do đối vớiứng suất, đã có một số lượng lớn các PTTS dạng hiện [11, 12, 14, 16, 41],[44]-[47],[57, 58],[75]-[77] và các công thức vận tốc sóng [42, 43], [51]-[56] được tìm

ra Tuy nhiên, đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớpvật liệu, như đã nêu ở chương tổng quan, mới chỉ có một số lượng hạn chế cácPTTS dạng hiện được tìm thấy Điều này cho thấy sự khó khăn phức tạp hơnnhiều trong việc tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trongBKG đàn hồi phủ một lớp vật liệu

Với giả thiết lớp mỏng, tức là độ dày không thứ nguyên ε = k.h (h là độdày của lớp, k là số sóng) của lớp nhỏ hơn nhiều so với một, phương trình tánsắc của sóng Rayleigh, truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng,thường được tìm dưới dạng xấp xỉ (bậcn)F = 0, trong đóF là một đa thức bậc

n đối với ε với các hệ số là các hàm số của các tham số vật liệu của cấu trúc vàvận tốc sóng

Bromwich [9] (1899) là người đầu tiên nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng(BKG-LM-ĐHĐH) Lớp và bán không gian được giả thiết là nén được và liênkết gắn chặt với nhau Bromwich đã tìm ra PTTS xấp xỉ bậc một bằng biến đổitrực tiếp từ các điều kiện tự do đối với ứng suất và điều kiện liên tục

Achenbach và Keshava [2] (1967) thiết lập PTTS xấp xỉ bậc bốn của sóngRayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH nén được, liên kết gắn chặt, phươngtrình xấp xỉ bậc ba cho liên kết trượt Tuy nhiên, các phương trình này có độchính xác không cao Hơn nữa, chúng chứa một hệ số không có cơ sở để xác định(hệ số trượt, bắt nguồn từ lý thuyết bản Mindlin [34]), nên việc sử dụng cầntránh, như đã nhấn mạnh bởi Touratier [79], Muller và Touratier [35], Stephen[71] Achenbach và Keshava [2] thay thế lớp mỏng bằng bản mỏng và sử dụng

lý thuyết bản Mindlin [34] Tuy nhiên, các tác giả này không thiết lập các điều

kiện biên hiệu dụng để thay thế ảnh hưởng của lớp lên BKG.

Hai năm sau, Tiersten [73] (1969) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc hai của sóngRayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH liên kết gắn chặt, bằng cách sử dụngPPĐKBHD Mặc dù là xấp xỉ bậc hai nhưng PTTS thu được bởi Tiersten có

độ chính xác cao hơn PTTS xấp xỉ bậc bốn thiết lập bởi Achenbach và Keshava[2]

Năm 1996, sau khi tìm ra ĐKBHD mới, xấp xỉ bậc một, cho cấu trúc LM-ĐHĐH liên kết gắn chặt bằng phương pháp khai triển Taylor, Bovik [8] sửdụng nó để thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong cấutrúc này PTTS mà ông thu được không trùng với PTTS của Tiersten, và quamột số khảo sát số Bovik kết luận PTTS xấp xỉ của ông chính xác hơn, do vậyĐKBHD mà ông mới thiết lập chính xác hơn ĐKBHD xấp xỉ bậc một tìm rabởi Tiersten [73]

BKG-Chú ý 1.2: Để thu được PTTS xấp xỉ bậcn cần sử dụng điều kiện biên hiệudụng xấp xỉ bậcn Tuy nhiên, sử dụng điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc một,Tiersten và Bovik thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai, Achenbach và Keshava thiếtlập PTTS xấp xỉ bậc ba (cho liên kết trượt), bậc bốn (cho liên kết gắn chặt),

Do vậy, các PTTS thu được không đầy đủ

Vật liệu đàn hồi dị hướng và đàn hồi phức hợp được sử dụng ngày càng rộngrãi trong các ứng dụng thực tế Việc mở rộng các kết quả thu được cho các vậtliệu này là yêu cầu cấp bách Steigmann và Ogden [70] (2007) tìm ra PTTS xấp

xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong BKG-LM đẳng hướng ngang có ứngsuất dư, liên kết gắn chặt, Wang [80] (2006) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc nhất choBKG đàn hồi đẳng hướng phủ lớp đàn điện, liên kết gắn chặt

Để tăng độ chính xác cho lời giải của các bài toán ngược, cần thiết lập cácPTTS xấp xỉ bậc cao Vĩnh và cộng sự tìm ra PTTS xấp xỉ bậc ba của sóngtruyền trong BKG-LM-ĐH trực hướng không nén được [50] (2014), Vĩnh vàLinh thiết lập các PTTS xấp xỉ bậc ba của sóng truyền trong BKG-LM-ĐHtrực hướng nén được [48] (2012) , BKG-LM-ĐH có biến dạng trước nén được[49] (2013) Trong các nghiên cứu trên, lớp và BKG được giả thiết liên kết gắnchặt với nhau

Để thu được các PTTS xấp xỉ, Steigmann và Ogden, Wang, Vĩnh và Linh,Vĩnh và cộng sự, đều sử dụng PPĐKBHD: thay thế lớp mỏng bằng các ĐKBHD,sau đó sóng Rayleigh truyền trong BKG-LM tự do đối với ứng suất được khảosát như là sóng Rayleigh truyền trong BKG chịu các ĐKBHD

Như vậy, đã có nhiều nghiên cứu dành cho sóng Rayleigh truyền trong các

BKG đàn hồi phủ LM đàn hồi, và đã có nhiều PTTS xấp xỉ được tìm ra Tuynhiên, trong các nghiên cứu đã tiến hành, liên kết giữa lớp và BKG được giảthiết là liên kết gắn chặt Chỉ có duy nhất một nghiên cứu trong đó liên kếtđược xét là liên kết trượt Đó là công trình của Achenbach và Keshava [2] (1967).Tuy vậy, PTTS xấp xỉ (bậc ba) thu được trong công trình này có độ chính xáckhông cao, và chứa một hệ số không có cơ sở xác định nên không tiện lợi khi sửdụng, như đã nhấn mạnh ở trên.

Hơn nữa, trong các công trình đã thực hiện, vật liệu của BKG và LM đều giảthiết là nén được Vật liệu đàn hồi không nén được đang được sử dụng rộng rãitrong công nghệ hiện đại Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trongBKG-LM trong đó hoặc BKG hoặc LM hoặc cả hai là vật liệu đàn hồi khôngnén được là hết sức có ý nghĩa Cần chú ý rằng, chưa có một nghiên cứu nàođược tiến hành, trong đó BKG là nén được (không nén được), LM là không nénđược (nén được)

Với những lý do nêu trên, luận án tập trung nghiên cứu sự truyền củasóng Rayleigh trong các BKG-LM đàn hồi (nén được hoặc không nénđược) với liên kết trượt

1.2.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ

Tuy nhiên, Love không thành công trong việc mở rộng kết quả thu được chotrường hợp nén được, tức là: cả lớp và BKG đều là đàn hồi đẳng hướng nénđược PTTS chính xác dạng hiện cho trường hợp này được tìm ra vào năm 1953bởi Haskell [22], và được trình bày dưới dạng ngắn gọn tường minh hơn bởiBen-Menahem và Singh [6] (2000) Để thu được PTTS, Haskell khai triển trựctiếp một định thức cấp sáu, bắt nguồn từ hai điều kiện tự do với ứng suất vàbốn điều kiện liên tục của chuyển dịch và ứng suất

Việc tìm ra PTTS chính xác dạng hiện (dạng tường minh) của sóng Rayleigh

truyền trong BKG và lớp tạo thành từ các vật liệu phức tạp hơn, như vật liệuđàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi có ứng suất trước, là một nhiệm vụ khókhăn hơn nhiều, so với vật liệu đàn hồi đẳng hướng Đó là vì, đối với vật liệuđàn hồi đẳng hướng, dễ dàng xác định hai nghiệm đặc trưng của bán không gianthỏa mãn điều kiện tắt dần đối với sóng Rayleigh Tuy nhiên, đối với vật liệuđàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi có ứng suất trước, điều này là không thể.Ogden và Sotiropoulos tìm ra PTTS chính xác dạng hiện cho vật liệu đànhồi có biến dạng trước không nén được [39] (1995), vật liệu đàn hồi có biến dạngtrước, nén được [40] (1996) Đối với vật liệu đàn hồi trực hướng nén được, PTTSchính xác dạng hiện được tìm ra bởi Sotiropoulos [69] (1999) Tuy nhiên, cácPTTS thu được chưa hoàn toàn tường minh, như đã chỉ ra bởi Vinh và cộng

sự [60] (2016) Để thu được các PTTS, các tác giả đều khai triển trực tiếp địnhthức cấp sáu bắt nguồn từ điều kiện biên và điều kiện liên tục Vì việc khai triểnđịnh thức cấp sáu là rất phức tạp, hơn nữa không được các tác giả trình bày,nên người đọc không thể theo dõi và kiểm tra Do vậy, một số lỗi in ấn trongPTTS thu được bởi Sotiropoulos [69] tồn tại trong nhiều năm mới được pháthiện (xem Vĩnh và cộng sự [60])

Từ các phân tích nêu trên, luận án đặt mục tiêu tìm ra các PTTS chính xác,hoàn toàn tường minh, của sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi trựchướng phủ một lớp đàn hồi trực hướng với liên kết gắn chặt, liên kết trượt vàliên kết lò xo Vật liệu của BKG và lớp có thể là nén được và không nén được.Tức là, có bốn khả năng xảy ra: BKG và lớp đều là nén được, hoặc không nénđược (hai khả năng), BKG và lớp không cùng tính chất nén được hay không nénđược (hai khả năng)

Từ các phân tích tổng quan, luận án lựa chọn các vấn đề sau để tiến hànhnghiên cứu:

(i) Phát triển PPĐKBHD theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình

ma trận” cho lớp vật liệu mỏng, đàn hồi dị hướng, với liên kết trượt, liên kết lòxo

(ii) Phát triển PPĐKBHD dựa trên “ma trận chuyển” cho lớp đàn hồi trựchướng độ dày hữu hạn, với liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo.(iii) Thiết lập các điều kiện biên hiệu dụng cho lớp trực hướng nén được(không nén được) phủ trên bán không gian với liên kết trượt và liên kết lò xo

(iv) Nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các BKG đàn hồi phủ lớpđàn hồi mỏng với liên kết gắn chặt, liên kết trượt.

(v) Nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các BKG đàn hồi trựchướng phủ lớp đàn hồi trực hướng độ dày tùy ý, với liên kết gắn chặt, liên kếttrượt và liên kết lò xo

Mục tiêu chính của các bài toán (iv) và (v) là tìm ra các PTTS bằngPPĐKBHD

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN

BIÊN HIỆU DỤNG

Chương 2 gồm ba nội dung chính:

(i) Các bước thực hiện của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng (PPĐKBHD).Phần này giới thiệu các bước cơ bản của PPĐKBHD, cho cả ba liên kết: liênkết gắn chặt, liên kết trượt, liên kết lò xo, cho cả lớp mỏng và lớp có độ dày hữuhạn

(ii) Điều kiện biên tiền hiệu dụng Thực hiện các bước cơ bản của PPĐKBHD

để thiết lập các “điều kiện biên tiền hiệu dụng” Đối với lớp mỏng, sử dụng kỹthuật “khai triển Taylor”, đối với lớp có độ dày hữu hạn, sử dụng các “ma trậnchuyển” của lớp đàn hồi

(iii) Điều kiện biên hiệu dụng Từ các điều kiện biên tiền hiệu dụng thu được

và điều kiện liên kết (gắn chặt, trượt, lò xo), rút ra các điều kiện biên hiệu dụng

2.1 Các bước thực hiện của phương pháp điều kiện

biên hiệu dụng

2.1.1 Trường hợp lớp mỏng

Xét cấu trúc gồm một lớp vật liệu đàn hồi dị hướng có độ dày h chiếmmiền −h ≤ x2 ≤ 0 phủ trên bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 Chú ý rằng các đạilượng của bán không gian và lớp có cùng ký hiệu nhưng được phân biệt bởi dấugạch ngang nếu liên quan đến lớp

Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng được thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Tìm phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi

Từ các phương trình cơ bản dưới dạng thành phần gồm định luật Hooke, phươngtrình chuyển động, suy ra phương trình dạng ma trận có dạng:

¯t

#, −h ≤ x2 ≤ 0 (2.1)trong đó

trong đó σ ¯ij là các thành phần của tenxơ ứng suất, dấu “ 0 ” chỉ đạo hàm riêngtheo biến x2, Mk là các ma trận vuông cấp 3 phụ thuộc vào các đạo hàm riêngtheo biến x1, x3, t và các tham số vật liệu của lớp, “T ” là kí hiệu chuyển vị của

ma trận

Chú ý 2.1: Trong phương trình ma trận (2.1), đạo hàm theo hướng pháp tuyến

∂/∂x2 được biểu diễn qua đạo hàm theo hướng tiếp tuyến ∂/∂x1, ∂/∂x3 và đạohàm theo biến thời gian ∂/∂t

Từ phương trình ma trận (2.1) suy ra:

¯ t

¯ t

#, −h ≤ x2 ≤ 0 (2.3)

trong đó u ¯(n) và ¯t(n) là các đạo hàm cấp n theo biến x2 của u ¯ và ¯t, M(n)k là cáckhối của ma trận Mn Cho x2 = 0, từ (2.3) suy ra:

¯ t(0)

#, n = 1, 2, (2.4)

ở đây u(0) ¯ và ¯t(0) là các giá trị của u ¯ và ¯t tại mặt phẳng dưới của lớp x2 = 0.Theo (2.4) ta có:

¯

t(k)(0) = M(k)3 u(0) + M ¯ (k)4 ¯t(0), k = 1, 2, (2.5)Bước 2: Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày củalớp mỏng đến cấp n:

Bước 3: Tìm “điều kiện biên tiền hiệu dụng” bậc n dạng ma trận

Thay (2.5) vào (2.6) ta được:

Hệ thức (2.7) là điều kiện biên tiền hiệu dụng xấp xỉ bậc n dạng ma trận Nó là

cơ sở để thiết lập điều kiện biên hiệu dụng

Bước 4: Rút ra điều kiện biên hiệu dụng

Sử dụng điều kiện biên tiền hiệu dụng (2.7) và điều kiện liên kết giữa lớp và bánkhông gian, điều kiện biên hiệu dụng được tìm ra

• Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết gắn chặt

Khi đó, véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất liên tục qua mặt phẳng phân chiagiữa lớp và bán không gian x2 = 0, tức là (xem [65]):

¯ u(0) = u(0), ¯ t(0) = t(0). (2.8)

Từ (2.8), dễ dàng thấy rằng đạo hàm của chuyển dịch và ứng suất theo biến

x1, x3 và biến thời gian t đến cấp bất kỳ cũng liên tục qua mặt phẳng x2 = 0

Do vậy, suy ra:

Các điều kiện biên hiệu dụng này có thể sử dụng cho bài toán độngbất kỳ.

•Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết trượt

Khi đó, tại mặt phẳng x2 = 0, ta có (xem [64]):

σ12 = 0, ¯ σ12 = 0, σ32= 0, ¯ σ32= 0, u2 = ¯ u2, σ22 = ¯ σ22 tại x2 = 0. (2.11)Như vậy, chỉ có chuyển dịch pháp và ứng suất pháp liên tục qua mặt phẳng

x 2 = 0, các chuyển dịch tiếp không liên tục, các ứng suất tiếp bằng không tại đó

Vì các chuyển dịch tiếp gián đoạn qua biên phân chia nên việc rút ra điều kiệnbiên hiệu dụng trở nên khó khăn hơn so với trường hợp liên kết gắn chặt Đểvượt qua khó khăn này, phải hạn chế nghiên cứu trong lớp bài toán sóng phẳng.Giả sử, sóng phẳng truyền theo hướng x1 với vận tốc sóng c, số sóng k Khi đó,các thành phần chuyển dịch và ứng suất của sóng có dạng:

u1= U1(y)eik(x1 −ct) , u2 = U2(y)eik(x1 −ct) , u3 = U3(y)eik(x1 −ct) ,

σ12= ikΣ1(y)eik(x1 −ct) , σ22= ikΣ2(y)eik(x1 −ct) , σ32 = ikΣ3(y)eik(x1 −ct) (2.13)đối với bán không gian, trong đó y = kx 2

Thế (2.12) vào điều kiện biên tiền hiệu dụng (2.7) ta thu được điều kiện biêntiền hiệu dụng dưới dạng biên độ của ứng suất và chuyển dịch, có dạng:

AU2(0) = BΣ2(0) (2.15)trong đó A, B là các hằng số phụ thuộc vào các tham số vật liệu (của lớp) và độdày của lớp Như vậy, tại mặt phẳng x2 = 0, biên của BKG, ta có các hệ thức

Σ1(0) = 0, Σ3(0) = 0, AU2(0) = BΣ2(0). (2.16)

Đó chính là các điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt

•Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo

Khi lớp và bán không gian liên kết lò xo với nhau, tại mặt phẳng x2 = 0, ta có(xem [4, 21, 33]) :

σ12 = KT 1(u1− ¯ u1), σ22 = KN(u2− ¯ u2), σ32= KT 2(u3− ¯ u3),

¯

σ12 = σ12, σ22= ¯ σ22, σ32 = ¯ σ32 tại x2 = 0

(2.17)

trong đó KT 1, KT 2 là các độ cứng tiếp và KN là độ cứng pháp của lò xo

Có thể thấy rằng, đối với liên kết lò xo, các chuyển dịch tiếp và các chuyển dịchpháp đều không liên tục qua biên phân chia giữa lớp và bán không gian Do vậy,việc tìm ra điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết lò xo phức tạp hơn so với liênkết gắn chặt và trượt, và cũng chỉ thực hiện được trong lớp các bài toán sóngphẳng, được xác định bởi (2.12) đối với lớp và (2.13) đối với bán không gian

Từ (2.12), (2.13) và (2.17) suy ra:

ikΣ 1 (0) = KT 1[U 1 (0) − ¯ U 1 (0)] , ikΣ 2 (0) = KN[U 2 (0) − ¯ U 2 (0)],

ikΣ3(0) = KT 2[U3(0) − ¯ U3(0)], Σ1(0) = ¯ Σ1(0) , Σ2(0) = ¯ Σ2(0) , Σ3(0) = ¯ Σ3(0).

(2.18)Giải U¯1 (0), U¯2 (0) và U¯3 (0) từ 3 phương trình đầu của (2.18) ta được:

ˆ11U1(0) + ˆ a12U2(0) + ˆ a13U3(0) + ˆ b11Σ1(0) + ˆ b12Σ2(0) + ˆ b13Σ3(0) = 0,

ˆ21U1(0) + ˆ a22U2(0) + ˆ a23U3(0) + ˆ b21Σ1(0) + ˆ b22Σ2(0) + ˆ b23Σ3(0) = 0,

ˆ31U1(0) + ˆ a32U2(0) + ˆ a33U3(0) + ˆ b31Σ1(0) + ˆ b32Σ2(0) + ˆ b33Σ3(0) = 0

(2.20)

trong đó ˆij và ˆbij là các hằng số phụ thuộc vào các tham số vật liệu (của lớp),

độ dày của lớp và các độ cứng tiếp và độ cứng pháp của lò xo

Các hệ thức (2.20) chính là điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết lò xo

2.1.2 Trường hợp lớp vật liệu có độ dày hữu hạn

Khi lớp vật liệu có độ dày hữu hạn (lớp không còn là mỏng), ta không thểkhai triển Taylor véctơ ứng suất theo độ dày của lớp để rút ra điều kiện biêntiền hiệu dụng Cần một kỹ thuật khác để tìm ra chúng Như sẽ thấy, ma trậnchuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi sẽ là một công cụ thích hợp để thực hiệnnhiệm vụ này

• Ma trận chuyển của một lớp đàn hồi

Xét một lớp đàn hồi dị hướng độ dày hữu hạn h chiếm miền không gian

a ≤ x 2 ≤ b, h = b − a Giả sử lớp vật liệu ở trạng thái biến dạng phẳng suy rộng.Xét một sóng phẳng truyền trong lớp vật liệu theo hướngx1với vận tốc sóngcvà

số sóngk Khi đó, chuyển dịch và ứng suất của lớp có dạng (2.12) Ma trận (vuôngcấp sáu) Tđược gọi là ma trận chuyển của lớp đàn hồi, nếu nó liên hệ các véctơbiên độ chuyển dịch-ứng suất (véctơ sáu thành phần) ζ(.) := [ ¯ U1(.), ¯ U2(.), ¯ U3(.),

thì ma trận Tˆ cũng được gọi là ma trận chuyển của lớp đàn hồi

Chú ý rằng, các ma trận chuyển T và Tˆ không phụ thuộc trực tiếp vào a, b,

mà phụ thuộc vào hiệu của chúng h = b − a, là độ dày của lớp vật liệu, và chúng

là nghịch đảo của nhau

Ma trận chuyển được gọi là ở dạng hiện nếu các phần tử của nó là các hàmhiển của các tham số vật liệu, độ dày của lớp và vận tốc sóng Ma trận chuyển

ở dạng hiện được gọi là ma trận chuyển dạng hiện

• Các bước thực hiện PPĐKBHD

Xét cấu trúc gồm một lớp vật liệu đàn hồi dị hướng −h ≤ x2 ≤ 0 có độ dàyhữu hạn hphủ bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 Để tìm điều kiện biên hiệu dụng,cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thiết lập ma trận chuyển dạng hiện của lớp

Để tìm ra ma trận chuyển của lớp vật liệu, cần thiết lập phương trình vi phântuyến tính cấp một (hệ số hằng số) đối với véctơ biên độ chuyển dịch-ứng suấtζ(x2) của lớp, được gọi là phát biểu Stroh [72], sau đó tìm nghiệm tổng quátcủa nó, phụ thuộc vào sáu hằng số (tùy ý) Biểu diễn các hằng số này qua ζ(0)

ta sẽ tìm được ma trận chuyển T Áp dụng (2.21) vớia = −h, b = 0 ta có:

Bước 2: Thiết lập điều kiện biên tiền hiệu dụng.

Giả sử mặt trên của lớpx2 = −htự do đối với ứng suất, khi đó: Σ¯k(−h) = 0, k =

1, 2, 3 Từ các kết quả này và ba phương trình cuối của (2.23), ta thu được (ba)điều kiện biên tiền hiệu dụng

Bước 3: Rút ra điều kiện biên hiệu dụng

Tiến hành tương tự như bước 4 của PPĐKBHD cho trường hợp lớp mỏng.Chú ý 2.2: Trong khi kỹ thuật “khai triển Taylor” có thể áp dụng cho lớpvật liệu (mỏng) dị hướng tùy ý thuần nhất hoặc không thuần nhất, thì kỹthuật “ma trận chuyển” có phạm vi ứng dụng hạn chế, vì ma trận chuyển dạnghiện tìm được còn rất ít, chỉ tìm được cho lớp vật liệu thuần nhất Cho đếnnay, mới tìm ra ma trận chuyển dạng hiện cho lớp đàn hồi trực hướng nén được[60, 66], lớp đàn hồi đẳng hướng có ứng suất trước nén được và không nén được[61]

Sau đây, áp dụng các bước cơ bản của PPĐKBHD, luận án thiết lập điềukiện biên hiệu dụng cho các BKG phủ lớp mỏng và phủ lớp có độ dày hữu hạn.Như đã trình bày, để thu được điều kiện biên hiệu dụng, trước hết cần thiết lậpđiều kiện biên tiền hiệu dụng

Vì vật liệu là trực hướng nén được, nên các thành phần ứng suất và các thànhphần chuyển dịch liên hệ bởi các hệ thức sau (xem [74]):

sau(điều kiện cần và đủ để năng lượng biến dạng xác định dương):

¯

σ11,1= ¯ c11u ¯1,11+ ¯ c12u ¯2,21. (2.31)Đạo hàm (2.29) theo x1 và sử dụng kết quả vào (2.31), dẫn tới:

¯ T

#, M =

"

M 1 M 2

M3 M4

#,

¯ T

¯ T

#, M =

"

M1 M2

M3 M4

#, n = 1, 2, 3, , x2 ∈ [−h, 0] (2.38)

Cần nhấn mạnh rằng, phương trình ma trận (2.35) là một công cụ thuận tiện,không những để rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng mà còn được sử dụng chonhiều bài toán khác, chẳng hạn để rút ra biểu diễn Stroh [72], để nghiên cứu sựphản xạ và khúc xạ của sóng [1]

•Khai triển Taylor và điều kiện biên tiền hiệu dụng

Vì lớp mỏng nên h nhỏ Khai triển Taylor T(−h)¯ tại điểm x 2 = 0 đến cấp 3, tađược:

¯ T(−h) = ¯ T(0) + ¯ T0(0)(−h) + 1

#, M2 =

(2.47)

Do vậy, tiến hành tương tự như trên, ta thu được điều kiện biên tiền hiệu dụng

xấp xỉ bậc bốn cho lớp mỏng đẳng hướng nén được như sau:

¯

c22u¨1,tto+h

(2.49)trong đó

trong đó ¯là áp suất thủy tĩnh

Vì vật liệu là không nén được nên các hằng số vật liệu phải thỏa mãn điều kiện

sau (xem [38]):

¯

ckk> 0 (k = 1, 2, 6), ¯ c11+ ¯ c22− 2¯ c12> 0. (2.52)

Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng (2.27)

Vì vật liệu giả thiết là không nén được nên ta có:

¯

σ11= ¯ σ22+ (¯ c11− ¯ c12)¯ u1,1+ (¯ c12− ¯ c22)¯ u2,2. (2.57)Lấy đạo hàm hai vế (2.57) theo x1 và sử dụng (2.55) ta thu được:

¯

σ11,1= ¯ σ22,1+ (¯ c11+ ¯ c22− 2¯ c12)¯ u1,11. (2.58)Thế (2.58) vào (2.56) suy ra:

¯

σ12,2 = −¯ σ22,1− ¯ δ ¯ u1,11+ ¯ ρ¨ u ¯1 (2.59)trong đó δ = ¯¯ c 11 + ¯ c 22 − 2¯ c 12

¯ T

với dấu phẩy “ 0 ” chỉ đạo hàm riêng theo x2 và

¯ T

#, N =

"

N1 N2

N3 N4

#, n = 1, 2, 3, , x2 ∈ [−h, 0]. (2.63)

Chú ý rằng: Để thu được phương trình dạng ma trận khi lớp được làm từ vậtliệu không nén được, cần phải khử áp suất thủy tĩnh ra khỏi các phương trình

cơ bản Do vậy, quá trình đi đến phương trình dạng ma trận đối với trường hợpnày phức tạp và khó hơn so với trường hợp nén được

• Khai triển Taylor và điều kiện biên tiền hiệu dụng

Vì lớp mỏng nên h nhỏ Khai triển Taylor T(−h)¯ tại điểm x 2 = 0 đến cấp 3, tađược:

¯ T(−h) = ¯ T(0) + ¯ T0(0)(−h) + 1

− hN3+h

2

2 (N3N1+ N4N3) −

h36

(N3N1+ N4N3)N1+ (N3N2+ N42)N3

o

¯ U(0)

= 0

(2.67)trong đó I là ma trận đơn vị cấp 2

Sử dụng (2.62) vào (2.67), ta được công thức dạng thành phần của nó là:

c66, r10= ¯δ(

¯ δ

¯

c66 − 2), r 11 = 2r 9 + 1. (2.70)Hai phương trình (2.68) và (2.69) chính là các điều kiện biên tiền hiệu dụng xấp

xỉ bậc ba của lớp mỏng trực hướng không nén được

• Trường hợp đẳng hướng không nén được

Khi vật liệu của lớp là đẳng hướng không nén được thì λ = +∞¯ , tức là ¯ γ = 0.Thay γ = 0 ¯ vào (2.48) và (2.49) ta thu được điều kiện biên tiền hiệu dụng xấp

xỉ bậc bốn cho lớp đẳng hướng không nén được là:

với c ¯ 1 , ¯ c 2 được xác định bởi công thức (2.50)

2.2.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất

Xét một lớp vật liệu mỏng độ dày là h, không thuần nhất, đẳng hướng, nénđược Giả thiết, các tham số vật liệu của lớp không thuần nhất chỉ phụ thuộcvào biến độ dày Cụ thể, các hằng số Lame λ(x¯ 2), ¯ µ(x2) và mật độ khối lượng