Một tài liệu word về sáng kiến kinh nghiệm môn toán bậc trung học phổ thông. Sáng kiến kinh nghiệm chủ đề toán học nội dung về các đặc điểm khi khảo sát hàm bậc bốn, hàm trùng phương. Tài liệu tùy ý chỉnh sửa, thêm bớt nội dung. Xin chân thành cảm ơn.
Trang 11 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong các năm gần đây đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng , chúng ta
thường gặp câu khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) và các vấn đề liên quan đến điểm cực trị của hàm số này Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp THPT và đại học bài viết này đưa ra một số tính chất của các điểm cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c và một số ứng dụng của nó Muốn học sinh học tốt được các dạng toán về “ Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ” thì
mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu
đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách rập khuôn, máy móc, đều đó làm cho học sinh học tập một cách thụ động và khó nhớ và kết quả học tập sẽ không cao Đó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn
ra hàng ngày
Với yêu cầu của giáo dục hiện nay ngoài việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Thì người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao
Riêng phần “ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx 2 + c ” cũng không nằm ngoài
quy luật đó
Xuất phát từ nhu cầu thực tế từ các em học sinh Trường THPT Đinh Tiên Hoàng cung như qua nhiềm năm kinh nghiệm của bản thân ,tôi đã chọn
đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Tính chất của các điểm cực trị của hàm số
- Nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung
và chuyên đề “ Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ” nói riêng theo
phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp
Trang 2tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học
mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức
- Đối với chuyên đề “ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx 2 + c ”, góp
phần cho các em học sinh 12 ôn thi tốt nghiệp tốt đạt kết quả tốt hơn
2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập
- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh
Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo Lên đến lớp 10,
11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên đối với các em ở tất cả các môn học Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh THPT gặp phải
Trang 3một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em mới quen dần với cách học đó Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe
và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới
phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm”
hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó
là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò
mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp
Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua quá trình
tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở
để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà
2.2 Thực trạng :
2.2.1.Giới thiệu khái quát về đơn vị :
Trường THPT Đinh Tiên Hoàng – Tỉnh Quảng Ngãi là một trường công lập đứng chân trên địa bàn của huyện miền núi Sơn Tây điều kiện kinh tế khó khăn, dân tộc thiểu số chiếm 80% ,tỉ lệ hộ nghèo cao ,học sinh phần lớn là con em dân tộc thiểu số, đường xá đi lại khó khăn , chất lượng học tập của các em chưa cao
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao thep dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh
2.2.2 Thực trang khi chưa đổi mới phương pháp bộ môn toán ở trường THPT Đinh Tiên Hoàng:
Những năm học trước khi chưa đổi mới thì chất lượng tiếp thu bài cũng như độ nhớ kiến thức của học sinh còn rất thấp
Trang 4Qua quá trình dạy học bộ môn toán ở trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tôi xin đưa ra những kinh nghiệm của mình về chuyên :
“ Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ” Nhằm góp phần giúp cho các em
học sinh 12 ôn thi tốt nghiệp đạt kết quả cao hơn
Trang 5I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) trên R
Ta có y 4ax3 2bx 2 (2x ax2 b)
0 0
x y
Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi 0
y có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ab 0 (*)
Với điều kiện (*) , đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
2
2
;
16
AB AC
a
a
Sau đây là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này
1) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
Suy ra ABC là tam giac vuông khi và chỉ khi góc BAC bằng 90o hay ΔABCABC vuông cân tại A
Khi đó BCAB 2 BC2 2AB2
4
3 2
16
Tính chất 1 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi 3 0
8 0.
ab
Trang 62) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Ta có ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB AC BC AB2 BC2
4
3 2
24 0 16
Tính chất 2 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 3
0
24 0
ab
3) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác cân có một góc cho trước
●Trường hợp 1: 90o
Khi đó tam giác ABC là tam giác tù Vì tam giác ABC cân tại A nên góc BAC = .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có
2 2 2 (1 s )
4 2
16
co
3
16a (b 8 )(1a co s )
8 ( 8 ) s = 0
●Trường hợp 2: 90o
Khi đó đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành
ba đỉnh của một tam giác ABC vuông cân tại A
khi và chỉ khi 3
0
8 0.
ab
●Trường hợp 3: 90o
- Nếu B C thì A 180o 2 , suy ra cosA=cos(180o 2 ) cos2 Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có :
2 2 2 (1 s2 )
4 2
16
co
3
16a (b 8 )(1a co s2 )
3 8 ( 3 8 ) s2 =0
- Nếu A thì tương tự trường hợp 1 , ta có
3 8 ( 3 8 ) s =0
b a b a co
Trang 7Tính chất 3 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc cho trước khi và chỉ khi
3
0
0
0
8 ( 8 ) s2 =0 , khi B=C= <90
0
8 ( 8 ) s =0 , khi A= <90
o
o
o
o
ab
ab
ab
ab
4) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C thỏa mãn BC = OA ( Với O là gốc tọa độ)
a
2 2 0
Tính chất 4 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A,B,C thỏa mãn điều kiện BC = OA khi và chỉ khi 2
0
2 0.
ab
5) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích của tam giác đó.
Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC Khi đó H
2 0;
4
b c a
.Suy ra
AH
2
ABC
3
.
Tính chất 5 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi
5
3
0
32
ab
b
S
a
6) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm của BC với trục Oy
Khi đó
2 0;
4
b
a
và
.
4 4 | |
AH
Trang 8Từ tam giác vuông AHC , ta có sin ACH AH AH
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta được :
2 4
8 4 | |
16 sin
R
ACH
3 8
8 | |
R
a b
Tính chất 6 Đồ thị hàn số y = ax4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi 3
0 8
8 | |
ab
R
a b
II- ỨNG DỤNG
☞ Ví dụ 1 ( Câu 1 TSĐH năm 2012, khối A-A2)
Cho hàm số y = x 4 – 2(m + 1)x 2 + m 2 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Lời giải Áp dụng tính chất 1 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi 3
0
8 0
ab
3
2( 1) 0
8( 1) 8 0
m
m
3
1
0 ( 1) 1
m
m m
☞ Ví dụ 2 ( Câu 1 TSĐH năm 2011, khối B)
Cho hàm số y = x 4 – 2(m + 1)x 2 + m (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai điểm cực trị còn lại
Lời giải Áp dụng tính chất 4 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C
sao cho OA = BC khi và chỉ khi 2
0
2 0
ab
2( 1) 0 4( 1) 0
m
2
1
2 2 2
m
m
☞ Ví dụ 3
Cho hàm số y = x 4 – 2m x 2 -3 (1) , với m là tham số
Trang 9Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải Áp dụng tính chất 6 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực tri là R
Khi và chỉ khi 3
0 8
8 | |
ab
R
a b
3
( 2 ) 8 8( 2 )
m m R
m
3
0 1 2
m m R m
Suy ra 1 2 1
2
m
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương , ta có :
3
3
m
☞ Ví dụ 4
Cho hàm số y = x 4 – 2m x 2 +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị này có bán kính bằng 1
Lời giải Áp dụng tính chất 6 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực tri này là R
Khi và chỉ khi 3
0 8
8 | |
ab
R
a b
0 1 2
m m R m
Theo đề ta có R = 1 Suy ra 1 3 1
2
m m
m3 2m 1 0 (m 1)(m2m 1) 0 1
1 5
2
m
m
Đối chiếu với điều kiện m 0 ta được 1, 1 5
2
☞ Ví dụ 5
Cho hàm số y = x 4 + 2(m - 2)x 2 + m 2 – 5m + 5 (1) , với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Lời giải Áp dụng tính chất 2 , đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu
, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Trang 10Khi và chỉ khi 3
0
24 0
ab
2( 2) 0 8( 2) 24 0
m m
3
2 3
m
☞ Ví dụ 6
Cho hàm số y = - x 4 + 2m x 2 +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 o
Lời giải Áp dụng tính chất 3 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có một góc 90o
Khi và chỉ khi 3 3
0
8 ( 8 ) cos 0
ab
8 8 (8 8) cos120o 0
m
m
m m
☞ Ví dụ 7
Cho hàm số y = x 4 - 2m x 2 +m + 2 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32
Lời giải Áp dụng tính chất 5 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích S
Khi và chỉ khi 5
3
0 32
ab
b S
a
5 3
( 2 ) 32
32.1
m
m
5
0
4.
32
m
m m
III – BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Trang 111 Cho hàm số y = x 4 – 2mx 2 + m + 1 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
2 Cho hàm số y = - x 4 + 2mx 2 + m 2 + m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 30 o
3 Cho hàm số y = 2x4 – 2m x 2 – m +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho hàm số y = 2x 4 – 2(m + 3)x 2 + m +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai điểm cực trị còn lại
5 Cho hàm số y = - x 4 – 2(m – 1) x 2 + m + 1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32
6 Cho hàm số y = x 4 – 2(m + 1)x 2 + m 2 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
7 Cho hàm số y = x 4 – 2(m + 1)x 2 + m (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai điểm cực trị còn lại
8 Cho hàm số y = x 4 – 2m x 2 -3 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
9 Cho hàm số y = x 4 – 2m x 2 +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị này có bán kính bằng 1
10 Cho hàm số y = x 4 + 2(m - 2)x 2 + m 2 – 5m + 5 (1) , với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
11 Cho hàm số y = - x 4 + 2m x 2 +1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 o
12 Cho hàm số y = x 4 - 2m x 2 +m + 2 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32
13 Cho hàm số y = -x 4 + 2m x 2 + m - 1 (1) , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 30 o
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ