Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Bài viết nghiên cứu và mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuối cùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trong chứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 22 (47) - Tháng 11/2016

Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Lower limit and upper limit of array of random variables and their applications

TS Dương Xuân Giáp, Trường Đại học Vinh

ThS Ngơ Hà Châu Loan ThS Bùi Đình Thắng Trường Đại học Kinh tế Nghệ An Tơn Nữ Minh Ngọc, Sinh viên Trường Đại học Vinh

Duong Xuan Giap, Ph.D., Vinh University

Ngo Ha Chau Loan, M.Sc

Bui Dinh Thang, M.Sc

Nghe An College of Economics Ton Nu Minh Ngoc, Student of Vinh University

Tĩm tắt

Trong bài báo này, chúng tơi đưa ra khái niệm giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp: max hoặc min các tọa độ tiến tới vơ cùng Từ đĩ, chúng tơi nghiên cứu và

mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng Cuối cùng, chúng tơi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hốn đổi được và trong chứng minh chiều “limsup” của hội tụ Mosco

Từ khĩa: giới hạn dưới, giới hạn trên, biến ngẫu nhiên, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue,

định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn

Abstract

In this paper, we introduce the concepts of lower limit and upper limit of array of random variables for two cases: max of indicators tends to infinity, and min of indicators tends to infinity Thereby, we study and extend some properties of lower limit and upper limit to the multidimensional array case Finally,

we obtain some of their applications in proving multidimensional Birkhoff’s ergodic theorem, in proving strong law of large numbers for array of - exchangeable random elements, and in proving

“limsup” part of Mosco convergence

Keywords: lower limit, upper limit, random variable, Fatou’s lemma, Lebesgue’s bounded convergence theorem, Birkhoff’s ergodic theorem, the law of large numbers

1 Phần mở đầu

Giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy

các số thực là một khái niệm có vai trò

quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc

biệt là trong các định lý giới hạn Dựa vào

các khái niệm này, ta có Bổ đề Fatou và

ứng dụng để chứng minh định lý hội tụ bị

chặn Lebesgue, định lý hội tụ đơn điệu, các

tính chất khả tích đều, định lý ergodic

Birkhoff, luật số lớn và chiều “limsup”

của hội tụ Mosco trong xác suất đa trị,

Khi nghiên cứu các định lý giới hạn

trong lý thuyết xác suất cho cấu trúc nhiều

chỉ số, việc xây dựng khái niệm và nghiên

cứu tính chất của giới hạn dưới, giới hạn

trên đối với mảng các biến ngẫu nhiên

đóng một vai trò hết sức quan trọng

2 Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn

giả thiết rằng là một không gian

xác suất, là không gian Banach thực, khả

ly và là không gian đối ngẫu của Ký

hiệu là -đại số Borel trên Ký hiệu

(tương ứng, ) là tập tất cả các số thực

(tương ứng, tập tất cả các số tự nhiên)

ký hiệu

số thực và , giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của chúng tương ứng được ký

, lôgarit cơ số của được ký

Định nghĩa 2.1 (xem [10]) Họ các

biến ngẫu nhiên được gọi là

khả tích đều nếu

Bổ đề 2.2 (xem [10]) Họ các biến

ngẫu nhiên là khả tích đều khi

và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn:

,

với mọi , tồn tại sao

Định nghĩa 2.3 Họ các phần tử ngẫu

nhiên được gọi là khả tích đều

nếu họ các biến ngẫu nhiên

là khả tích đều

Bổ đề 2.4 (Định lý hội tụ đơn điệu,

xem [1]) Nếu dãy các biến ngẫu nhiên

khi (X là một biến ngẫu

Định nghĩa 2.5 Mảng các phần tử

2-hoán đổi được nếu với mọi ,

Định nghĩa 2.6 ([9]) Một phép biến đổi được gọi là đo được nếu

Một phép biến đổi

được gọi là bảo toàn độ đo nếu T là đo

với mọi Khi đó, ta nói là độ đo T-bất biến

Một tập được gọi là T-bất

Một biến ngẫu nhiên được gọi

Một phép biến đổi bảo toàn độ đo

được gọi là ergodic nếu các tập T-bất biến chỉ có xác suất 0 hoặc 1;

nghĩa là, với mọi , điều kiện

kéo theo

hoặc

Nhận xét 2.7 (1) Phép biến đổi bảo

vì tính chất bảo toàn độ đo phụ thuộc vào

-đại số và vào độ đo

(2) Họ tất cả các tập T-bất biến lập

thành một -đại số con của -đại số Ta

ký hiệu -đại số này là

biến đổi bảo toàn độ đo thì tích

(còn được viết gọn là ) cũng là phép

biến đổi bảo toàn độ đo Đặc biệt, nếu

là một phép biến đổi bảo toàn

độ đo thì phép lặp cũng là một phép biến đổi bảo toàn độ đo

(4) Theo U Krengel [9, tr 5], biến

ngẫu nhiên là T-bất biến nếu và chỉ nếu

là -đo được

Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng và khác rỗng của Với ,

ký hiệu là bao lồi đóng của A, hàm

bởi

3 Giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 3.1 Giới hạn dưới (tương ứng, ) và giới hạn trên

(tương ứng, ) các tọa độ tiến tới vô cùng, được định nghĩa bởi

Định nghĩa 3.2 Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới hạn của mảng ) khi (tương ứng, ), ký hiệu

), nếu

Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới hạn của mảng

Định nghĩa 3.3 Mảng được gọi là mảng con của mảng

nếu nó là dãy con theo từng tọa độ, nghĩa là, nếu cố định tọa

độ thì nó là dãy con ứng với tọa độ còn lại Giới hạn của mảng con gọi

Nhận xét 3.4 Với mỗi , đặt

4 Giới hạn dưới và giới hạn trên luôn tồn tại (có thể bằng )

5 Nếu mảng bị chặn trên thì giới hạn dưới thuộc , nếu bị chặn dưới thì giới hạn trên thuộc và nếu bị chặn thì cả giới hạn dưới và giới hạn trên đều thuộc

) khi và chỉ khi với mọi , tồn tại sao cho với mọi

Chứng minh Sau đây chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp , còn đối với trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp thực ( ) Đối với trường hợp không gian Banach bất kỳ, ta suy trực tiếp từ Định nghĩa 3.2 và kết quả trường hợp thực

: Với mọi : Theo giả thiết thì và Do đó, tồn tại sao cho với

Khi đó, với mọi mà , ta có Từ

đó, Như vậy, chiều thuận của định lý được chứng minh

, hay

Kết hợp điều này với tính đơn điệu của các dãy số và , ta suy ra

phải chứng minh

Định lý 3.6 Đối với mảng các số thực ứng với sự hội tụ khi hoặc các tọa độ tiến tới vô cùng, ta luôn có

giới hạn dưới giới hạn riêng giới hạn trên

Chứng minh Chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp “giới hạn dưới giới hạn

riêng” và Các trường hợp còn lại, ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử và tồn tại mảng con

Do điều này đúng với mọi nên (mâu thuẫn với giả thiết phản chứng)

Định lý 3.7 (Bổ đề Fatou) Giả sử là mảng các biến ngẫu nhiên không

âm Khi đó,

Nếu là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn h.c.c với mọi , trong đó là các biến ngẫu nhiên khả tích (nghĩa là, và

), thì

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp Đối với trường hợp

ta chứng minh hoàn toàn tương tự

(Bổ đề 2.4), ta có

với mọi Cho ta được điều phải chứng minh

Dựa vào và Nhận xét 3.4 (6)

Định lý 3.8 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn với mọi , trong đó , và

h.c.c (tương ứng, h.c.c.) Khi đó, khả tích và khi (tương ứng, ) Đặc biệt, khi (tương ứng, )

Chứng minh Do h.c.c nên h.c.c với mọi Áp dụng Định lý 3.7 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 3.9 Mảng các phần tử ngẫu nhiên được gọi là hội tụ theo trung bình cấp tới phần tử ngẫu nhiên khi (tương ứng,

nếu

Dựa vào bổ đề Fatou đối với mảng các biến ngẫu nhiên, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hội tụ h.c.c và hội tụ theo trung bình cho cả hai trường hợp: và các tọa độ tiến tới vô cùng Các kết quả này là chìa khóa để thu được các ứng dụng ở mục sau

Định lý 3.10 Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên khi Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là tương đương:

mảng là khả tích đều,

Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì

Chứng minh : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7) và Bổ đề 2.2, ta có

là khả tích đều

nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có

: Với mọi , ta có

Khi đó,

trong (3.4), cho , ta được

Đối với sự hội tụ khi các tọa độ tiến tới vô cùng, ta chỉ thu được kết quả yếu hơn như sau:

Định lý 3.11 Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên khi Khi đó, với mọi số thực , nếu khả tích

Chứng minh Tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.10 (phần )

Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng trong phát biểu của Định lý 3.11, ta không thu được kết luận

”

Ví dụ 3.12 Ta định nghĩa mảng các biến ngẫu nhiên như sau

Khi đó, mảng hội tụ h.c.c và theo trung bình cấp tới biến ngẫu

không khả tích đều

Tiếp theo, chúng tôi mở rộng Định lý 3.10 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên

Định lý 3.13 Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c tới phần

tử ngẫu nhiên khi Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là tương đương:

mảng là khả tích đều,

và trong khi Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì khi

Chứng minh : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7), Bổ đề 2.2 và Định nghĩa 2.3, ta có

Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có

Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta thu

: Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên

ta suy ra mảng này khả tích đều Từ giả thiết và bất đẳng thức

(với mọi ) ta suy

Cuối cùng, chúng tôi mở rộng Định lý 3.11 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên

Định lý 3.14 Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c tới phần

tử ngẫu nhiên khi Khi đó, với mọi số thực , nếu

Chứng minh Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 3.13

4 Một số ứng dụng

Trong [2], N Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi cho trường hợp thực, trong đó kết quả hội tụ là một hàm khả tích Kết quả này sau đó được N Dunford, J T Schwartz [3] và N A Fava [6] mở rộng cho trường hợp các toán tử co Sử dụng Định lý 3.11, chúng tôi thiết lập được định lý ergodic Birkhoff cho nhiều phép biến đổi mà giới hạn thu được là kỳ vọng có điều kiện ứng với -đại số các tập bất biến Các phép biến đổi bảo toàn độ đo được giả thiết là giao hoán

Định lý 4.1 Giả sử là các phép biến đổi giao hoán, bảo toàn độ đo Khi

đó, nếu phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn thì

trong đó Hơn nữa, nếu là ergodic với nào đó thuộc , thì

h.c.c

Chứng minh Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị thực

Với mọi , ta có

Dựa trên kết quả của N A Fava [6, Hệ quả, tr 281] (hoặc có thể tham khảo [9,Định lý 1.1,

tr 196]), tồn tại các tập với xác suất sao cho

và

trong đó và đều thuộc

ta có Tiếp tục, đặt , chúng ta có Vì vậy, trong công

này tương đương với h.c.c., và do đó là -đo được

Dựa trên tính giao hoán của các phép biến đổi , ta suy ra hàm giới hạn là biến ngẫu nhiên -đo được với mọi Từ đó, là -đo được

Cố định bất kỳ thuộc Với mọi , do là -đo được nên là -bất biến Điều này dẫn tới

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng mảng các biến ngẫu nhiên

là khả tích đều Thật vậy, do nên ta có thể giả sử Cố định bất

kỳ, từ , ta suy ra tồn tại sao cho

Do đó,

Từ đó,

Bây giờ ta chọn sao cho Khi đó, với mọi thỏa mãn

với mọi số nguyên dương , ta suy ra

hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên khi Từ đó, theo (4.4) và áp dụng Định lý 3.11, ta có Vì vậy, Như vậy, định lý được chứng minh cho trường hợp nhận giá trị thực Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly Với mọi và mọi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (chứng minh ở trên) , ta có

Do đó, định lý được chứng minh cho trường hợp là phần tử ngẫu nhiên đơn giản Với phần tử ngẫu nhiên bất kỳ và với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản

, ta có

Với mỗi cố định, áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho mỗi phần tử ngẫu nhiên đơn giản , số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức (4.5) hội tụ tới h.c.c khi

Do vậy,

hạng cuối ở vế phải của (4.6) hội tụ tới h.c.c khi

Với mỗi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên thực, ta suy ra

hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên khi sao cho Điều này kéo theo dãy các biến ngẫu nhiên hội tụ theo trung bình tới , và do đó nó hội tụ theo xác suất tới Từ đó, tồn tại dãy con

của dãy sao cho hội tụ h.c.c tới Vì vậy,

h.c.c khi Định lý được chứng minh

Năm 1996, N Etemadi và M Kaminski [5] đã chứng minh luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được cho các trường hợp hội tụ h.c.c và hội tụ theo trung

bình Sau đó, năm 1997, N Etemadi [4] mở rộng [5, Định lý 2] của N.Etemadi và M Kaminski đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly cho trường hợp hội tụ h.c.c Dựa trên Định lý 3.10, chúng tôi hoàn thiện sự mở rộng trên của N Etemadi đối với [5, Định lý 2]

Định lý 4.2 Giả sử là một mảng các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được,

h.c.c và trong khi , trong đó là một phần tử ngẫu nhiên nào đó thỏa mãn

Chứng minh Theo [4, Hệ quả 1], tồn tại phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn

Sử dụng [5, Định lý 2] cho mảng các biến ngẫu nhiên -hoán đổi được , ta

trong tới một biến ngẫu nhiên nào đó khi sao cho

mảng các phần tử ngẫu nhiên này hội tụ hầu chắc chắn tới khi , do vậy nó hội tụ trong tới phần tử ngẫu nhiên khi bằng cách áp dụng Định lý 3.13

Vì vậy,

Giả sử Để thuận tiện, các tôpô (tôpô sinh bởi chuẩn) và (tôpô yếu) trên được ký hiệu chung là Đặt

được hiểu theo nghĩa là dãy con theo từng tọa độ) Ta nói mảng hội tụ Mosco tới khi nếu

Kết quả thu được sau đây được sử dụng khi chứng minh chiều “ ” của hội tụ Mosco đối với luật số lớn đa trị cho mảng kép

Định lý 4.3 Giả sử và là một tập con đếm được của sao cho khi và chỉ khi với mọi (sự tồn tại của dựa vào định lý tách Hahn-Banach) Khi đó, nếu

với mọi , thì

Chứng minh Với mỗi , tồn tại mảng sao cho

Điều này kéo theo Do đó, ta thu được điều phải chứng minh

Cuối cùng, chúng tôi cho một ứng dụng của giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các số thực khi mở rộng điều kiện mà F Hiai sử dụng trong [8, Định lý 3.3] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều chỉ số

Chứng minh Do (4.7) nên